11p 2 как найти

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac<π><2>), (-frac<π><2>), (frac<3π><2>)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac<π><2>) . (frac<π><2>) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-) (frac<π><2>) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac<3π><2>) . Для этого дробь (frac<3><2>) переведем в смешанный вид (frac<3><2>) (=1) (frac<1><2>) , т.е. (frac<3π><2>) (=π+) (frac<π><2>) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac<3π><2>) .

Обозначаем числа (frac<π><4>), (frac<π><3>), (frac<π><6>)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac<π><4>) , (frac<π><3>) и (frac<π><6>) .
(frac<π><4>) – это половина от (frac<π><2>) (то есть, (frac<π><4>) (=) (frac<π><2>) (:2)) , поэтому расстояние (frac<π><4>) – это половина четверти окружности.

(frac<π><4>) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac<π><3>) (=π:3)), поэтому расстояние (frac<π><3>) – это треть от полукруга.

(frac<π><6>) – это половина (frac<π><3>) (ведь (frac<π><6>) (=) (frac<π><3>) (:2)) поэтому расстояние (frac<π><6>) – это половина от расстояния (frac<π><3>) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac<π><2>) ,(π), (frac<3π><2>) , (frac<π><4>) , (frac<π><3>) , (frac<π><6>) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа (frac<7π><6>), (-frac<4π><3>), (frac<7π><4>)

Обозначим на окружности точку (frac<7π><6>) , для этого выполним следующие преобразования: (frac<7π><6>) (=) (frac<6π + π><6>) (=) (frac<6π><6>) (+) (frac<π><6>) (=π+) (frac<π><6>) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac<π><6>) .

Отметим на окружности точку (-) (frac<4π><3>) . Преобразовываем: (-) (frac<4π><3>) (=-) (frac<3π><3>) (-) (frac<π><3>) (=-π-) (frac<π><3>) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac<π><3>) .

Нанесем точку (frac<7π><4>) , для этого преобразуем (frac<7π><4>) (=) (frac<8π-π><4>) (=) (frac<8π><4>) (-) (frac<π><4>) (=2π-) (frac<π><4>) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac<7π><4>) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac<π><4>) .

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac<7π><2>) ,(frac<16π><3>), (-frac<21π><2>), (-frac<29π><6>)

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac<7π><2>) . Как обычно, преобразовываем: (frac<7π><2>) (=) (frac<6π><2>) (+) (frac<π><2>) (=3π+) (frac<π><2>) (=2π+π+) (frac<π><2>) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac<7π><2>) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac<π><2>) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac<16π><3>) . Вновь преобразования: (frac<16π><3>) (=) (frac<15π + π><3>) (=) (frac<15π><3>) (+) (frac<π><3>) (=5π+) (frac<π><3>) (=4π+π+) (frac<π><3>) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac<π><3>) – и мы найдем место точки (frac<16π><3>) .

Нанесем на окружность число (-) (frac<21π><2>) .
(-) (frac<21π><2>) (= -) (frac<20π><2>) (-) (frac<π><2>) (=-10π-) (frac<π><2>) . Значит, место (-) (frac<21π><2>) совпадает с местом числа (-) (frac<π><2>) .

Обозначим (-) (frac<29π><6>) .
(-) (frac<29π><6>) (=-) (frac<30π><6>) (+) (frac<π><6>) (=-5π+) (frac<π><6>) (=-4π-π+) (frac<π><6>) . Для обозначение (-) (frac<29π><6>) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac<π><6>) .

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

11 п на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac ) . (frac ) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-) (frac ) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac ) . Для этого дробь (frac ) переведем в смешанный вид (frac ) (=1) (frac ) , т.е. (frac ) (=π+) (frac ) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac ) .

Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac ) , (frac ) и (frac ) .
(frac ) – это половина от (frac ) (то есть, (frac ) (=) (frac ) (:2)) , поэтому расстояние (frac ) – это половина четверти окружности.

(frac ) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac ) (=π:3)), поэтому расстояние (frac ) – это треть от полукруга.

(frac ) – это половина (frac ) (ведь (frac ) (=) (frac ) (:2)) поэтому расстояние (frac ) – это половина от расстояния (frac ) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac ) ,(π), (frac ) , (frac ) , (frac ) , (frac ) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )

Обозначим на окружности точку (frac ) , для этого выполним следующие преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=π+) (frac ) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac ) .

Отметим на окружности точку (-) (frac ) . Преобразовываем: (-) (frac ) (=-) (frac ) (-) (frac ) (=-π-) (frac ) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac ) .

Нанесем точку (frac ) , для этого преобразуем (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (-) (frac ) (=2π-) (frac ) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac ) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac ) .

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac ) . Как обычно, преобразовываем: (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=3π+) (frac ) (=2π+π+) (frac ) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac ) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac ) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac ) . Вновь преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=5π+) (frac ) (=4π+π+) (frac ) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac ) – и мы найдем место точки (frac ) .

Нанесем на окружность число (-) (frac ) .
(-) (frac ) (= -) (frac ) (-) (frac ) (=-10π-) (frac ) . Значит, место (-) (frac ) совпадает с местом числа (-) (frac ) .

Обозначим (-) (frac ) .
(-) (frac ) (=-) (frac ) (+) (frac ) (=-5π+) (frac ) (=-4π-π+) (frac ) . Для обозначение (-) (frac ) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac ) .

Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Видео

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Тангенс угла

Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:

Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):

Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:

С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:

Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:

Это значит, что справедлива формула:

С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:

Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):

Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.

Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:

Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:

Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.

Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.

В частности, тангенс не определен при х = – π/2.

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30<>^circ =frac > )Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60<>^circ ) и ( displaystyle 45<>^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60<>^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60<>^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30<>^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:( displaystyle sin 30<>^circ =cos 60<>^circ )( displaystyle sin 60<>^circ =cos 30<>^circ )Тогда так как ( displaystyle sin 30<>^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60<>^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30<>^circ =frac > ), то и ( displaystyle sin 60<>^circ =frac > ).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:( displaystyle si ^ >45<>^circ +co >45<>^circ =2si ^ >45<>^circ =1)( displaystyle si ^ >45<>^circ =co >45<>^circ =1/2)Откуда: ( displaystyle sin 45<>^circ =cos 45<>^circ =sqrt =frac > )

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0<>^circ =0), ( displaystyle cos 0<>^circ =1), ( displaystyle sin 90<>^circ =1), ( displaystyle cos 90<>^circ =0).Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle text g alpha =frac ), ( displaystyle ctg alpha =frac )Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

( displaystyle ctg 0=frac =frac =. )Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle _ >), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle _ >) и ( displaystyle _ >).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений

• В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
• В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Например здесь:

Решите уравнение: ( displaystyle 8co >x-10co >x+3=0)

Решение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Замена ( displaystyle t=co >x).

( displaystyle cosx=frac > ) или ( displaystyle cosx=-frac > )

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям!

Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней?!