Алгебра как найти силу - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сила обозначается буквой F
Сила измеряется в Ньютонах [Н]
Равнодействующая сила это сила, которой можно заменить
действие нескольких сил.
Если силы сонаправлены, то равнодействующая равна
их сумме R = F1 + F2

На рисунке две силы 4Н и 9Н заменены одной силой 13Н

Если силы разнонаправлены, то равнодействующая равна разности этих сил R = F₁ — F₂
Равнодействующая направлена в сторону большей силы

Сила тяжести

g это ускорение свободного падения, в расчетах будем округлять до 10

1. На тело действуют вправо две силы: F₁ = 3Н и F₂ = 8Н.
Сделать рисунок с расстановкой сил, определить
равнодействующую силу.

Показать решение

2. На тело действует вправо сила F₁ = 7Н и влево сила F₂ = 3Н .
Сделать рисунок с расстановкой сил, определить
равнодействующую силу.

Показать решение

3. На автомобиль действует сила тяги F₁ = 700Н и сила
сопротивления воздуха F₂ = 700Н .
Сделать рисунок с расстановкой сил, определить
равнодействующую силу.

Показать решение

4. На тело вдоль одной прямой действуют три силы: F₁ = 7Н ,
F₂ = 3Н и F₃ =10Н.
Чему может быть равна равнодействующая сила ?
Сделать рисунки с расстановкой сил для всех вариантов,
определить
равнодействующие силы.

Показать решение

Источник

В задачах динамики учитывают силы, действующие на тело. Векторы сил могут действовать в различных направлениях. Большинство школьных задач можно решить, располагая векторы сил в одной плоскости. Поэтому, в статье будем рассматривать векторы, лежащие в одной плоскости — компланарные векторы.

Что такое равнодействующая

Равнодействующий вектор – это вектор, который мы получаем, когда складываем несколько векторов сил.

Результат сложения может дать:

вектор, имеющий длину,
или вектор, не имеющий длины.

Примечание: Когда у вектора отсутствует длина, говорят, что вектор равен нулю. На рисунке нулевой вектор можно изобразить одной точкой. Длины у точки нет – т. е. длина нулевая, а направление может быть любым.

Длина вектора содержит сумму квадратов всех его проекций на оси.

В частности, для вектора ускорения (vec{a}), лежащего на плоскости xOy, длина вычисляется так

[ large left| vec{a} right| = sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} ]

Где ( a_{x} ) и ( a_{y} ) — это проекции вектора (ссылка) ( vec{a} ) на оси Ox и Oy.

Когда вектор равен нулю, равна нулю каждая его проекция на осях.

Длина вектора отлична от нуля, когда хотя бы одна его проекция ненулевая.

Прочитайте подробнее о параметрах векторов.

Левая часть силового уравнения

В левой части силового уравнения записываем силы, действующие на тело.

Когда векторы сил направлены вдоль параллельных прямых, проводим на рисунке одну ось. Если векторы сил не параллельные, проводим две оси на плоскости. Раскладываем векторы на проекции по осям. Для каждой оси составляем отдельное уравнение. Количество уравнений совпадает с количеством осей.

Если сила сонаправлена с осью, то она войдет в левую часть уравнения со знаком «+», а если она направлена против оси — то со знаком «минус».

Правая часть силового уравнения

В правой части уравнения записываем равнодействующую. В задаче может присутствовать несколько осей, вдоль каждой оси направляем отдельную проекцию равнодействующей.

Примечание: Тело может вдоль одной оси двигаться с ускорением, а вдоль другой оси двигаться без ускорения, или, вообще, покоиться. Например, тело может двигаться по вертикали под действием силы тяжести, а по горизонтали при этом не смещаться.

Когда проекция равнодействующей вдоль какой-либо оси не равна нулю, тело по оси будет двигаться с ускорением. Это следует из второго закона Ньютона.

Тогда в правой части уравнения запишем:

(ma), если ускорение направлено туда же, куда направлена ось;
(- ma), если ускорение направлено противоположно оси;

А когда проекция равнодействующей на ось нулевая, ускорение вдоль оси отсутствует. Тогда вдоль этой оси тело движется с неизменной скоростью, или же, вдоль этой оси движение отсутствует. Это следует из первого закона Ньютона.

В правой части уравнения запишем ноль (0 = ускорения нет).

Векторы сил параллельны

В случае, когда векторы направлены вдоль одной прямой, достаточно выбрать и провести единственную ось.

Выясним, как выглядит силовое уравнение для задачи, в которой векторы сил направлены вдоль единственной оси. Например, парашютист спускается вертикально вниз (рис. 1) на парашюте под действием силы тяжести.

Рис. 1. Парашютист спускается на парашюте, векторы сил направлены вдоль единственной оси

Проведем на рисунке ось, направим ее вверх.

Примечание: Мы можем направить ось вниз, если захотим. При таком направлении оси знаки проекций векторов изменятся на противоположные, но на конечный ответ это никак не повлияет.

Составим левую часть уравнения. В левой части мы запишем силы, действующие на парашютиста:

[large F_{text{сопр}} — m cdot g ]

Сила ( F_{text{сопр}}) направлена по оси, поэтому войдет в уравнение со знаком «+». А сила ( m cdot g ) вошла в уравнение со знаком «минус», так как направлена против оси.

В правую часть уравнения поместим равнодействующую.

Размеры парашюта рассчитаны так, что парашютист опускается вниз с постоянной (неизменной, т. е. одной и той же) скоростью. Значит, скорость есть, она не меняется, ускорения нет.

Математики запишут, что ускорение есть, но оно – нулевое (vec{a}=0).

То есть, вдоль вертикальной оси тело движется без ускорения, значит, силы компенсировались. По первому закону Ньютона, равнодействующая равна нулю и, в правой части уравнения запишем ноль.

Примечания:

На рисунке 1 скорость обозначена красным вектором, направленным вниз и обозначенным, как (vec{v_{0}}). Обычно математики дописывают нижний индекс к величине, которая не должна меняться. Так как у вектора скорости этот индекс есть, скорость считаем неизменной.
На рисунке векторы скоростей и ускорений нужно рисовать отдельно от векторов сил! Решая задачу, мы будем складывать векторы (ссылка), имеющие одинаковую размерность. Силы измеряют в Ньютонах, поэтому их можно складывать. А ускорения и скорости измеряют в других единицах, с Ньютонами их сложить не получится. Именно поэтому, чтобы не запутаться, ускорения и скорости рисуем на небольшом расстоянии от тела, отдельно от векторов сил.

Итоговое силовое уравнение имеет вид:

[large F_{text{сопр}} — m cdot g = 0 ]

Зная массу парашютиста, можно вычислить силу сопротивления воздуха. А зная эту силу, можно рассчитать и размеры парашюта.

Векторы сил не параллельны

Когда векторы направлены вдоль разных прямых, будем проводить две взаимно перпендикулярные оси на плоскости.

Разберем задачу равнозамедленного движения тела по горизонтальной шероховатой поверхности (рис. 2).

Рис. 2. Равнозамедленное движения тела по горизонтальной шероховатой поверхности

Поверхность шероховатая, это намек на то, что есть сила трения. А если в условии напишут, что поверхность гладкая, значит, силы трения нет.

Движение равнозамедленное (ссылка), значит, скорость тела уменьшается и есть вектор ускорения, который направлен против вектора скорости.

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси. Ось Ox проведем горизонтально, а ось Oy – вертикально. Рассмотрим оси и проекции векторов на них по очереди.

Горизонтальная ось. Пусть движение тела происходит в положительном направлении оси Ox. Сила трения всегда направлена против движения, поэтому направим ее влево. Скорость тела направлена вправо и будет уменьшаться, значит, ускорение, так же, направим влево. Вектор ускорения рисуем отдельно от векторов сил.

Наличие ускорения говорит о том, что вдоль оси Ox равнодействующая имеет не нулевую проекцию. Ускорение направлено против оси, запишем (- ma) в правой части уравнения.

Так выглядит уравнение для горизонтальной оси

[large -F_{text{трен}} = -m cdot a_{x} ]

Вертикальная ось. Вниз направлена сила тяжести, а вверх – сила реакции опоры. Так как поверхность горизонтальная и тело не движется ни вверх, ни вниз, то движения вдоль оси Oy нет. Значит, сила тяжести и реакция опоры компенсировались и нет ускорения вдоль оси Oy. В правой части уравнения для вертикальной оси запишем ноль.

Для вертикальной оси уравнение выглядит так:

[large N — m cdot g = 0 ]

Система, пригодная для решения задачи, состоит из двух уравнений

[ large boxed{ begin{cases} -F_{text{трен}} = -m cdot a_{x} \ N — m cdot g = 0 end{cases} } ]

Куда направить оси

Разберем равнозамедленное движение тела вверх по наклонной шероховатой плоскости (рис. 3).

Силы, действующие на тело в этой задаче, не параллельные, направлены вдоль разных прямых. Поэтому для составления уравнений нужно использовать две взаимно перпендикулярные оси. Попробуем для начала провести ось Oy вертикально, а ось Ox горизонтально.

Рис. 3. Большая часть векторов не лежит на осях, такие векторы придется раскладывать на проекции, чтобы составить силовые уравнения

Из рисунка 3 видно, вдоль оси направлен только один вектор (mg). Остальные векторы сил не параллельны ни одной из осей. Такие векторы придется раскладывать на проекции, это усложнит конечную систему уравнений.

Если выберем оси так, как показано на рисунке 3, на проекции нужно будет разложить три вектора.

Попробуем теперь провести оси так, чтобы как можно большее количество векторов оказались параллельными осям (рис. 4). Из рисунка видно, что только один вектор (mg) окажется ненаправленным вдоль какой-либо оси. Остальные векторы сил параллельны осям.

Рис. 4. Большая часть векторов лежит на осях, раскладывать на проекции нужно только один вектор, силовые уравнения будут иметь простой вид

При таком выборе осей раскладывать на проекции придется только один вектор. Это позволит быстрее решить задачу и решать более простые уравнения.

Примечание: Если мы выбререм оси так, как это представлено на рисунке 3, получим более сложные уравнения. Но решив их, мы получим точно такой же ответ, как и в случае выбора осей на рисунке 4.

Выводы:

Выбор осей на конечный результат не влияет! А влияет только на сложность полученных уравнений.
Оси проводим так, чтобы как можно больше векторов оказались направленными вдоль осей.

Движение по наклонной плоскости

Составим систему уравнений для решения такой задачи:

Велосипедист подъезжает с начальной скоростью к подъему, посыпанному песком и, едет в гору на велосипеде по инерции, не крутя педали. Масса велосипедиста с велосипедом, начальная скорость его, коэффициент сопротивления поверхности и угол наклона известны.

Нужно составить систему силовых уравнений, чтобы найти ускорение велосипедиста. А после, зная начальную скорость и ускорение, найти путь, который велосипедист сможет проехать по инерции в горку.

Выражение для ускорения

Составим рисунок, на котором изобразим силы, действующие на велосипедиста (рис. 5)

Рис. 5. Велосипедист едет в гору по инерции, отмечены силы, действующие на велосипедиста, видно, что при таком выборе осей необходимо разложить вектор mg на проекции

Мы провели оси так, чтобы пришлось разложить на проекции только один вектор и система силовых уравнений оказалась достаточно простой.

Пользуясь осями координат, составляем теперь уравнения в проекциях.

Уравнение для проекций векторов на ось Ox:

[ large — F_{text{трен}} – m cdot g_{x} = — m cdot a ]

Уравнение для проекций векторов на ось Oy:

[ large N – m cdot g_{y} = 0 ]

Разложим теперь силу тяжести — вектор (mg) на проекции. Чтобы проделать это разложение, нужно отметить угол (alpha ) межу вектором (mg) и одной из осей. В нашем случае, это угол между вектором (mg) и осью Oy.

[ large begin{cases} m cdot g_{y} = mg cdot cos left(alpha right) \ m cdot g_{x} = mg cdot sin left(alpha right) end{cases} ]

Подставив разложение вектора (mg) в уравнения для осей, получим такую систему уравнений

[ large begin{cases} — F_{text{трен}} – mg cdot sin left(alpha right) = — m cdot a \ N – mg cdot cos left(alpha right) = 0 end{cases} ]

Дополним эту систему выражением для силы трения.

[ large F_{text{трен}} = mu cdot N ]

Запишем эти уравнения в систему и выразим из нее уравнение для ускорения.

[ large begin{cases} N = mg cdot cos left(alpha right) \ F_{text{трен}} = mu cdot mg cdot cos left(alpha right) \ mu cdot mg cdot cos left(alpha right) + mg cdot sin left(alpha right) = m cdot a end{cases} ]

Поделим нижнее уравнение системы на массу велосипедиста и запишем окончательно уравнение для ускорения:

[ large mu cdot g cdot cos left(alpha right) + g cdot sin left(alpha right) = a ]

Выражение для пройденного пути

Запишем выражения для связи скоростей и пройденного пути. Велосипедист движется по инерции в гору и его скорость уменьшается из-за силы тяжести и силы сопротивления поверхности, посыпанной песком. Когда скорость велосипедиста обратится в ноль, он, проехав часть пути в гору, остановится. Используем систему двух уравнений, она описывает путь при учете уменьшения скорости до нуля:

[ large begin{cases} 0 = v_{0} — a cdot t \ S = v_{0} cdot t — a cdot frac{t^2}{2} end{cases} ]

Получим теперь уравнение для пути, в котором будут присутствовать только начальная скорость и ускорение и, будет отсутствовать время.

[ large begin{cases} t = frac{v_{0}}{a} \ S = v_{0} cdot frac{v_{0}}{a} — a cdot frac{1}{2} cdot frac{v_{0}}{a} cdot frac{v_{0}}{a} end{cases} ]

Упрощенная система для решения задачи теперь включает всего два уравнения

[ large begin{cases} mu cdot g cdot cos left(alpha right) + g cdot sin left(alpha right) = a \ S = v_{0} cdot frac{v_{0}}{a} — frac{v_{0}}{2} cdot frac{v_{0}}{a} end{cases} ]

Подставив в эту систему известные значения начальной (v_{0}) скорости велосипедиста, коэффициент (mu) сопротивления поверхности и угол (alpha) наклона плоскости, сможем посчитать путь, пройденный велосипедистом до его полной остановки.

Источник

Применение векторной алгебры в механике

Опишем применение векторной алгебры в механике для решения задачи приведения системы сил. Будем использовать элементарные механические понятия, опираясь на их физический смысл, не придерживаясь формального изложения теории. В частности, силы будем рассматривать как скользящие векторы, не определяя их свойства аксиомами, как это принято в теоретической механике.

Момент силы, приложенной в точке относительно центра

Положение точки твердого тела будем задавать ее радиус-вектором vec{r}=overrightarrow{OA} с началом в некоторой заданной точке пространства. Силы, действующие на тело, будем обозначать прописными буквами (например, сила overrightarrow{F} ). Напомним, что сила является не свободным, а скользящим вектором (см. пункт 5 замечаний 1.1). Силу можно переносить, не изменяя длины и направления, только вдоль содержащей ее прямой (вдоль линии действия силы), при этом механическое воздействие силы на тело остается неизменным. Поэтому, задавая силу overrightarrow{F} , указывают точку ее приложения (либо линию её действия).

Моментом силы overrightarrow{F} , приложенной в точке , относительно центра называется векторное произведение bigl[vec{r},overrightarrow{F}bigl] радиус-вектора vec{r}=overrightarrow{OA} насилу (рис.1.62,а) и обозначается $vec{m}_0(overrightarrow{F})=,bigl[vec{r},overrightarrow{F}bigl]$ . Из определения векторного произведения следует, что модуль момента силы равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линии действия этой силы, называемое плечом (рис.1.62,а):

$left|m_0(overrightarrow{F})right|=left|bigl[vec{r},overrightarrow{F}bigl]right|=|vec{r}|cdotbigr|overrightarrow{F}bigr|cdotsinvarphi=OPcdotbigr|overrightarrow{F}bigr|.$

Система сил $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},ldots,overrightarrow{F_n}$ , приложенных к твердому телу, характеризуется главным вектором:

$overrightarrow{F}= overrightarrow{F_1}+ overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n},$

(1.24)

и главным моментом относительно точки :

$overrightarrow{M_O}= vec{m}_O overrightarrow{F_1}+ vec{m}_Ooverrightarrow{F_2}+cdots+vec{m}_Ooverrightarrow{F_n}=[vec{r}_1,overrightarrow{F_1}]+[vec{r}_2,overrightarrow{F_2}]+cdots+[vec{r}_n,overrightarrow{F_n}],$

(1.25)

где $vec{r}_1= overrightarrow{OA_1}, ldots, vec{r}_n=overrightarrow{OA_n}$ — радиус-векторы точек A_1,A_2,ldots,A_n приложения сил $overrightarrow{F_1}, overrightarrow{F_2}, ldots, overrightarrow{F_n}$ (1.24) сложение сил выполняется как сложение свободных векторов.

Парой сил (рис. 1.62,6) называется система двух параллельных сил overrightarrow{F} и -overrightarrow{F} (линии действия которых параллельны). Главный вектор пары сил, разумеется, нулевой. Найдем главный момент. По формуле (1.2S), учитывая свойства векторного произведения, получаем

$overrightarrow{M}= left[vec{r}_1, overrightarrow{F}right]+left[vec{r}_2,-overrightarrow{F}right]= left[vec{r}_1,overrightarrow{F}right]-left[vec{r}_2, overrightarrow{F} right]=left[vec{a},overrightarrow{F}right].$

(1.26)

где $vec{a}=vec{r}_1-vec{r}_2=overrightarrow{AA_1}$ . Как видим, главный момент пары сил не зависит от точки (поэтому она и не указана в (1.26)). Следовательно, момент пары сил — свободный вектор, который может быть приложен к любой точке. Механическое воздействие на тело различных пар сил с одинаковым главным моментом одно и то же.

Приведение системы сил, приложенных к твердому телу

Рассмотрим задачу приведения системы сил, которая формулируется следующим образом. Пусть к твердому телу в точках A_1,A_2,ldots,A_n , определяемых радиус-векторами $vec{r}_1=overrightarrow{OA_1},ldots,vec{r}_n=overrightarrow{OA_n}$ , приложены силы $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},ldots,overrightarrow{F_n}$ соответственно. Требуется упростить эту систему сил, т.е. заменить её минимальным количеством сил так, чтобы их механическое воздействие на тело совпадало бы с действием заданной системы сил.

Замечания 1.15

1. С точки зрения векторной алгебры задачу приведения системы сил можно рассматривать как задачу нахождения «суммы» заданных скользящих векторов. Если бы речь шла о свободных векторах, то их можно было бы приложить к любой точке пространства и сложить по правилу параллелограмма (в случае двух векторов) или по правилу ломаной. Для скользящих векторов так делать нельзя.

2. Для решения задачи приведения системы сил используется операция «переноса» силы в точку вне линии ее действия. Пусть в точке приложена сила overrightarrow{F} (рис.1.63,а). Приложим к произвольной точке две противоположные силы и -overrightarrow{F} , воздействия которых на твердое тело, разумеется, компенсируются (рис. 1.63,б). При этом получим пару сил и , приложенных к точкам и соответственно. Пара сил характеризуется моментом (1.26): overrightarrow{M}=left[vec{a},overrightarrow{F}right] . Таким образом, силу можно перенести в любую точку, добавив при этом соответствующую пару сил (рис.1.63,в).

Приложение силы в точке

Решение задачи приведения системы сил содержит два этапа.

Первый этап. Силы $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},ldots,overrightarrow{F_n}$ , приложенные к твердому телу в точках A_1,A_2,ldots,A_n , «переносятся» в одну точку (см. п.2 замечаний 1.15). «Перенесем» все силы в точку и сложим их. Получим главный вектор (1.24), приложенный к точке , и главный момент (1.25) заданной системы сил. Таким образом, исходная система сил приводится к главному вектору overrightarrow{F} , приложенному в точке , и свободному главному моменту $overrightarrow{M}_O$ . Главный вектор называют первым инвариантом системы сил, так как его величина и направление не зависят от выбора точки .

Второй этап. Упрощение системы сил посредством выбора точки . Пусть известны: главный вектор overrightarrow{F} системы сил и главный момент $overrightarrow{M}_O$ относительно точки . Найдем главный момент $overrightarrow{M}'_{O'}$ той же системы сил относительно другой точки . Поскольку для всякой точки $A_i,~i=overline{1,n}$ : $vec{r}_i=vec{a}+vec{r},,!'_i$ , где $vec{r}_i=overrightarrow{OA_i},vec{r},,!'_i=overrightarrow{O'A_i},vec{a}=overrightarrow{OO'}$ (рис.1.64,а),то

$overrightarrow{M}_O=sum_{n}^{i=1}left[vec{r}_i,overrightarrow{F_i}right]=sum_{i=1}^{n}left[vec{r},,!'_i+vec{a},overrightarrow{F_i}right]=sum_{i=1}^{n}left[vec{r},,!'_i,overrightarrow{F_i}right]+left[vec{a},sum_{i=1}^{n}overrightarrow{F_i}right]=overrightarrow{M}'_{O'}+left[vec{a},overrightarrow{F}right].$

Значит, главные моменты связаны следующим образом

главный вектор системы сил и главный момент

$overrightarrow{M}_O= overrightarrow{M}'_{O'}+ left[vec{a}, overrightarrow{F}right].$

(1.27)

Рассмотрим частные случаи.

1. Если главный вектор сил нулевой (overrightarrow{F}=vec{o}) , то из формулы (1.27) следует равенство моментов $(overrightarrow{M}_O=overrightarrow{M}'_{O'})$ , т.е. главный момент не зависит от центра , а система сил эквивалентна паре. В этом случае говорят, что система сил приводится к паре сил с моментом (рис. 1.64,6). Если overrightarrow{F}=vec{o} и $overrightarrow{M}_O=vec{o}$ , то механические воздействия всех сил взаимно уничтожаются (случай уравновешенной системы сил).

2. Если главный вектор сил ненулевой (overrightarrow{F}nevec{o}) , то можно найти ортогональную проекцию главного момента на линию действия главного вектора:

$overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}_O=frac{ bigllangleoverrightarrow{M}_O,overrightarrow{F}bigrrangle } {bigl|overrightarrow{F}bigr|^2}cdot overrightarrow{F}.$

Найдем проекции векторов в левой и правой частях (1.27) на линию действия главного вектора overrightarrow{F} . Поскольку скалярное произведение векторов и [vec{a},overrightarrow{F}] равняется нулю, так как эти векторы ортогональны, то

$overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}_O=overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}'_{O'},$

Динамический винт

т.е. ортогональная проекция главного момента на линию действия главного вектора системы сил не зависит от точки (проекцию $overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}} overrightarrow{M}_O$ называют вторым инвариантом системы сил). Выберем теперь точку (т.е. вектор vec{a}=overrightarrow{OO'} ) так, чтобы ортогональная составляющая $overrightarrow{M}_{perp}=overrightarrow{M}_O-overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}_O$ равнялась нулевому вектору (рис.1.65,а). Для этого от точки отложим вектор vec{a} перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и $overrightarrow{M}_O$ , так, чтобы выполнялось равенство $[vec{a},overrightarrow{F}]=overrightarrow{M}_{perp}$ . Найденную точку можно переносить параллельно прямой, содержащей вектор , при этом равенство $[vec{a},overrightarrow{F}]=overrightarrow{M}_{perp}$ будет выполняться, так как не изменяется плечо для .

Таким образом, любая система сил приводится к главному вектору overrightarrow{F} и паре сил с моментом $overrightarrow{M}'_{O'}$ , коллинеарным главному вектору (так называемому динамическому винту (рис. 1.65,6)).

Если второй инвариант системы сил равен нулевому вектору $(overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}_O=vec{o})$ , то система сил сводится к одной силе , называемой равнодействующей, механическое воздействие которой эквивалентно воздействию исходной системы сил. Равнодействующая системы сил совпадает с главным вектором: $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ .

Далее рассмотрим задачи приведения систем сходящихся и систем параллельных сил к равнодействующей силе.

Системы сходящихся и системы параллельных сил

Система сил $overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ , линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.

Пусть задана система сходящихся сил $overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ с главным вектором $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ . Поскольку линии действия всех сил проходят через одну точку , то главный момент относительно этой точки равен нулевому вектору: $overrightarrow{M}_A=vec{o}$ . Тогда второй инвариант $overrightarrow{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}_A=vec{o}$ . Такая система приводится к равнодействующей $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ . Требуется определить точку (ее радиус-вектор vec{r} ) приложения равнодействующей силы.

Системы сил

Если все силы принадлежат одной прямой, то и равнодействующая лежит на этой прямой (любую точку прямой можно считать точкой приложения равнодействующей). Если не все силы коллинеарны и линии действия пересекаются в точке , то эта точка является точкой приложения равнодействующей (1.66,а). Например, в системе $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},overrightarrow{F_3}$ (рис. 1.66,6) силы $overrightarrow{F_1}$ и $overrightarrow{F_2}$ не коллинеарны, поэтому точку (точнее ее радиус-вектор vec{r}=overrightarrow{OA} ) можно найти из системы уравнений:

$begin{cases}vec{r}=vec{r}_1+x_1cdotoverrightarrow{F_1},\vec{r}=vec{r}_2+x_2cdotoverrightarrow{F_2}end{cases}$

которая выражает условия коллинеарности векторов: $(vec{r}-vec{r}_1)paralleloverrightarrow{F_1}$ и $(vec{r}_2-vec{r})paralleloverrightarrow{F_2}$ , т.е. $frac{vec{r}-vec{r}_1}{overrightarrow{F_1}}=x_1$ и $frac{vec{r}_2-vec{r}}{overrightarrow{F_2}}=x_2$ . Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к равенству $vec{r}_1-vec{r}_2+x_1cdotoverrightarrow{F_1}+x_2cdotoverrightarrow{F_2}=vec{o}$ , которое можно представить в виде

$Deltavec{r}= x_1cdot overrightarrow{F_1}+ x_2cdotoverrightarrow{F_2}$

где $Deltavec{r}=vec{r}_2-vec{r}_1$ . Таким образом, неизвестные x_1,x_2 (достаточно найти одну неизвестную, например, x_1 ) можно найти как коэффициенты разложения вектора $Deltavec{r}=vec{r}_2-vec{r}_1$ по базису $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2}$ , а затем получить искомый радиус-вектор:

$vec{r}=vec{r}_1+x_1cdotoverrightarrow{F_1}.$

Он определяет точку равнодействующей силы $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+overrightarrow{F_3}$ .

Пример 1.30. В стандартном базисе на плоскости заданы координатные столбцы системы трех сходящихся сил $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},overrightarrow{F_3}$ и точек (радиус-векторов $vec{r}_1,vec{r}_2,vec{r}_3$ ) их приложения (рис. 1.66,б):

$f_1=begin{pmatrix}1\-1end{pmatrix};~~f_2=begin{pmatrix}2\0end{pmatrix};~~f_3=begin{pmatrix}-2\-2end{pmatrix};~~r_1=begin{pmatrix}2\1end{pmatrix};~~r_2=begin{pmatrix}0\2end{pmatrix};~~r_3=begin{pmatrix}-1\0end{pmatrix}.$

Требуется найти:

а) равнодействующую overrightarrow{F} и точку (радиус-вектор vec{r} ) её приложения;

б) моменты каждой силы $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},overrightarrow{F_3}$ , момент равнодействующей overrightarrow{F} , а также главный момент $overrightarrow{M}_O$ заданной системы сил относительно точки .

Решение. а) Находим координатный столбец равнодействующей всех сил:

$f=f_1+f_2+f_3=begin{pmatrix}1\-1end{pmatrix}+begin{pmatrix}2\0end{pmatrix}+begin{pmatrix}-2\-2end{pmatrix}=begin{pmatrix}1\-3end{pmatrix}$ . Следовательно, overrightarrow{F}=vec{i}-3,vec{j} .

Поскольку силы $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2}$ не коллинеарны, то задача сводится к разложению вектора $Deltavec{r}=vec{r}_2-vec{r}_1$ ; по векторам $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2}$ : $Deltavec{r}=x_1overrightarrow{F_1}+x_2overrightarrow{F_2}$ . Находим координатный столбец Delta r вектора $Deltavec{r}=vec{r}_2-vec{r}_1$ :

$Delta r=begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}-begin{pmatrix}2\1end{pmatrix}=begin{pmatrix}-2\1end{pmatrix}.$

По формулам (1.19) получаем

$x_1=frac{Deltavec{r}landoverrightarrow{F_2}}{overrightarrow{F_1}landoverrightarrow{F_2}}=frac{begin{vmatrix}-2&2\1&0end{vmatrix}}{begin{vmatrix}1&2\-1&0end{vmatrix}}=frac{-2}{2}=-1.$

Следовательно, $r=r_1+x_1cdot f_1=begin{pmatrix}2\1end{pmatrix}+(-1){cdot}begin{pmatrix}1\-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}$ , т.е. vec{r}=vec{i}+2,vec{j} .

Заметим, что линия действия силы $overrightarrow{F_3}$ , проходит через найденную точку , так как векторы $(vec{r}-vec{r}_3)$ и $overrightarrow{F_3}$ коллинеарны: $r-r_3=begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}-begin{pmatrix}-1\0end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\2end{pmatrix}$ , т.е. заданная система сил является системой сходящихся сил.

б) Найдем по определению моменты сил $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},overrightarrow{F_3},overrightarrow{F}$ относительно точки :

$begin{array}{*{20}{l}} overrightarrow{m}_{O}!left(overrightarrow{F_1}right)=left[vec{r}_1,overrightarrow{F_1}right]=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\2&1&0\1&-1&0end{vmatrix}=-3vec{k};&quad overrightarrow{m}_{O}!left(overrightarrow{F_3}right)=left[vec{r}_3,overrightarrow{F_3}right]=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\-1&0&0\-2&-2&0end{vmatrix}=2vec{k};\[20pt] overrightarrow{m}_{O}!left(overrightarrow{F_2}right)=left[vec{r}_2,overrightarrow{F_2}right]=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\0&2&0\2&0&0end{vmatrix}=-4vec{k};&quad overrightarrow{m}_{O}!left(overrightarrow{F}right)=left[vec{r},overrightarrow{F}right]=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\1&2&0\1&-3&0end{vmatrix}=-5vec{k}. end{array}$

Главный момент $overrightarrow{M}_O$ системы сил находим по формуле (1.25)

$overrightarrow{M}_O=-3,vec{k}-4,vec{k}+2,vec{k}=-5,vec{k}.$

Главный момент $overrightarrow{M}_O$ можно найти по формуле (1.27): $overrightarrow{M}_O=overrightarrow{M}_A+[vec{r},overrightarrow{F}]$ , где vec{r}=overrightarrow{OA} . Поскольку главный момент $overrightarrow{M}_A$ системы сил относительно точки нулевой $(overrightarrow{M}_A=vec{o})$ , то $overrightarrow{M}_O=[vec{r},overrightarrow{F}]=overrightarrow{m}_{O}!left(overrightarrow{F}right)=-5,vec{k}$ . Результаты вычислений совпадают.

Система сил $overrightarrow{F_1}, overrightarrow{F_2}, ldots, overrightarrow{F_n}$ называется системой параллельных сил, если векторы $overrightarrow{F_1}, overrightarrow{F_2}, ldots, overrightarrow{F_n}$ коллинеарны.

Системы двух и трех параллельных сил

Пусть задана система параллельных сил $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2},ldots,overrightarrow{F_n}$ с главным вектором $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ , отличным от нулевого вектора. Поскольку момент каждой силы перпендикулярен линии ее действия, то и главный момент $overrightarrow{M}_O$ системы параллельных сил перпендикулярен главному вектору overrightarrow{F} . Тогда второй инвариант $vec{operatorname{pr}}_{overrightarrow{F}}overrightarrow{M}_Onevec{o}$ . Такая система сил приводится к равнодействующей $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+cdots+overrightarrow{F_n}$ . Требуется определить точку (ее радиус- вектор vec{r} ) приложения равнодействующей силы.

Разберем сначала случай системы двух параллельных сил (рис.1.67,а). Поскольку векторы $overrightarrow{F_1},overrightarrow{F_2}$ коллинеарны, то точка (отмеченная треугольником на рис.1.67,а) приложения равнодействующей $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}$ делит отрезок A_1A_2 обратно пропорционально силам (правило Архимеда): $overrightarrow{A_1A}:overrightarrow{AA_2}=overrightarrow{F_2}:overrightarrow{F_1}$ . Поэтому согласно свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций:

$vec{r}=frac{overrightarrow{F_1}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_1+frac{overrightarrow{F_2}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_2.$

Точку приложения равнодействующей $overrightarrow{F}=overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}+overrightarrow{F_3}$ системы трех параллельных сил (рис. 1.67,6) можно найти последовательно: сначала равнодействующую $overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}$ и точку ее приложения (радиус-вектор $vec{r}_{N}$ ):

$vec{r}_{N}=frac{overrightarrow{F_1}}{overrightarrow{F_2}+overrightarrow{F_1}}cdotvec{r}_1+frac{overrightarrow{F_1}}{overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}}cdotvec{r}_2,$

а затем — искомую точку (отмеченную треугольником на рис. 1.67,б):

$begin{aligned}vec{r}&=frac{overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}}{(overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2})+overrightarrow{F_3}}cdotvec{r}_{N}+frac{overrightarrow{F_3}}{(overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2})+overrightarrow{F_3}}cdotvec{r}_3=\[3pt]&=frac{overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}}{(overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2})+overrightarrow{F_3}}cdotleft(frac{overrightarrow{F_1}}{overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}}cdotvec{r}_1+frac{overrightarrow{F_2}}{overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2}}cdotvec{r}_2right)+frac{overrightarrow{F_3}}{(overrightarrow{F_1}+overrightarrow{F_2})+overrightarrow{F_3}}cdotvec{r}_3=\[3pt]&=frac{overrightarrow{F_1}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_1+frac{overrightarrow{F_2}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_2+frac{overrightarrow{F_3}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_3.end{aligned}$

По индукции заключаем, что точка приложения равнодействующей системы п параллельных сил находится по формуле

$vec{r}=frac{overrightarrow{F_1}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_1+frac{overrightarrow{F_2}}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_2+cdots+frac{overrightarrow{F}_n}{overrightarrow{F}}cdotvec{r}_n.$

Центр масс и барицентрические координаты

Под материальной точкой понимается тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Такое тело рассматривается как геометрическая точка (считается, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке сосредоточена масса , то эту материальную точку будем обозначать . Положение материальной точки задается ее радиус-вектором г vec{r}=overrightarrow{OA} , приложенным к некоторой заданной точке .

Любая совокупность материальных точек называется системой материальных точек. Например, систему образуют материальных точек m_1A_1,m_2A_2,ldots,m_nA_n с массами m_1,m_2,ldots,m_n , положение которых определяется радиус-векторами $vec{r}_1=overrightarrow{OA_1},vec{r}_2=overrightarrow{OA_2},ldots,vec{r}_n=overrightarrow{OA_n}$ соответственно. Предполагаем, что любые две материальные точки соединены жестким «невесомым» стержнем. Любая часть системы материальных точек называется подсистемой.

В поле силы тяжести на каждую материальную точку из системы m_1A_1,m_2A_2,ldots,m_nA_n действует сила $overrightarrow{F_i}=m_icdotvec{g},~i=1,ldots,n$ , где vec{g} –ускорение свободного падения. Эта система параллельных сил, согласно предыдущему разделу, может быть заменена равнодействующей overrightarrow{F}=mcdotvec{g} , где m=m_1+m_2+cdots+m_n — масса всей системы. Точка (ее радиус-вектор vec{r}=overrightarrow{OZ} ) приложения равнодействующей находится по формуле

$vec{r}=frac{m_1}{m}cdotvec{r}_1+frac{m_2}{m}cdotvec{r}_2+cdots+frac{m_n}{m}cdotvec{r}_n$

и называется центром масс (или барицентром) системы материальных точек. Если во всех точках сосредоточены одинаковые массы, центр масс системы называется геометрическим.

Эта формула применима и в случае, когда некоторые (или все) силы противоположны силе тяжести, например, $overrightarrow{F_1}=-mcdotvec{g}$ . В этом случае будем считать, что масса, сосредоточенная в точке A_1 , отрицательная (-m_1) .

Перечислим основные свойства центра масс.

1. Каждая система материальных точек с ненулевой суммарной массой имеет однозначно определенный центр масс

$overrightarrow{OZ}= frac{m_1}{m}cdot overrightarrow{OA_1}+ frac{m_2}{m}cdot overrightarrow{OA_2}+cdots+frac{m_n}{m}cdotoverrightarrow{OA_n}.$

(1.28)

2. Положение центра масс системы m_1A_1,m_2A_2,ldots,m_nA_n (с ненулевой суммарной массой, т.е. m_1+cdots+m_nne0 ) не изменится, если суммарную массу подсистемы m_1A_1,m_2A_2,ldots,m_kA_k,~k<n (с ненулевой суммарной массой, т.е. m_1+cdots+m_kne0 ) перенести в её центр масс.

Замечание 1.16. Учитывая свойство 6 аффинных и выпуклых комбинаций, положение центра масс не зависит от точки приложения радиус-векторов. Поэтому формулу (1.28) можно использовать в виде

$Z=frac{m_1}{m}cdot A_1+frac{m_2}{m}cdot A_2+cdots+frac{m_n}{m}cdot A_n$

не указывая точку приложения радиус-векторов.

Сосредоточение массы в вершинах параллелограмма

Пример 1.31. В трех вершинах A,B,C параллелограмма ABCD сосредоточены массы m,(-m),m соответственно. Найти центр масс этой системы.

Решение. На рис. 1.68 изображена система сил, отвечающая условиям задачи (сила $overrightarrow{F}_B$ , соответствующая «отрицательной» массе, направлена вверх). Суммарная масса всех точек равна (отлична от нуля). По свойству 1 для произвольной точки имеем

$overrightarrow{OZ}=frac{m}{m}cdotoverrightarrow{OA}+frac{-m}{m}cdotoverrightarrow{OB}+frac{m}{m}cdotoverrightarrow{OC}=underbrace{overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}}_{overrightarrow{BA}=overrightarrow{CD}}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{CD}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{OD},$

т.е. центр масс совпадает с вершиной параллелограмма.

Пусть в вершинах треугольника A_aA_2A_3 сосредоточены массы m_1,m_2,m_3 .

Для любой тройки чисел m_1,m_2,m_3 (с отличной от нуля суммой) существует единственная точка (центр масс системы)

$overrightarrow{OZ}=m_1cdotoverrightarrow{OA_1}+m_2cdotoverrightarrow{OA_2}+m_3cdotoverrightarrow{OA_3},$

и наоборот, для любой точки в плоскости треугольника A_1A_2A_3 существует единственная тройка чисел m_1,m_2,m_3 (m_1+m_2+m_3=1) такая, что точка является центром масс системы.

Тройка чисел m_1,m_2,m_3 называется барицентрическими координатами точки относительно треугольника A_1A_2A_3 .

Аналогично определяются барицентрические координаты в пространстве.

Пример 13.2. Найти барицентрические координаты центра вписанной в треугольник ABC окружности.

Решение. По условию задачи требуется найти массы $m_{A},m_{B},m_{C}$ , которые нужно сосредоточить в соответствующих вершинах треугольника ABC , чтобы центр масс трех материальных точек $m_{A}A,m_{B}B,m_{C}C$ совпал с центром вписанной в треугольник окружности. Учитывая свойство 4 аффинных и выпуклых комбинаций векторов, получаем (рис. 1.69):

Барицентрические координаты центра вписанной окружности

$begin{aligned}overrightarrow{OZ}&=frac{S_{{ZBC}}}{S}cdotoverrightarrow{OA}+frac{S_{{ZCA}}}{S}cdotoverrightarrow{OB}+frac{S_{{ZAB}}}{S}cdotoverrightarrow{OC}=\[3pt]<br />&=frac{frac{1}{2}cdot rcdot a}{pcdot r}cdotoverrightarrow{OA}+frac{frac{1}{2}cdot rcdot b}{pcdot r}cdotoverrightarrow{OB}+frac{frac{1}{2}cdot rcdot c}{pcdot r}cdotoverrightarrow{OC}=\[3pt]&=frac{a}{2p}cdotoverrightarrow{OA}+frac{b}{2p}cdotoverrightarrow{OB}+frac{c}{2p}cdotoverrightarrow{OC},end{aligned}$

где — площадь треугольника ABC , — радиус вписанной окружности, а — полупериметр.

Таким образом, барицентрические координаты центра вписанной окружности

$m_{A}=frac{a}{a+b+c};qquad m_{B}=frac{b}{a+b+c};qquad m_{C}=frac{c}{a+b+c}$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

The problem is as follows:

A cylinder of $textrm{500 grams}$ in mass has a very thin flexible
non elastic tin wire of negligible weight winded around it as shown in
the figure from below. By how much a force must be applied to pull the
wire so that the cylinder spins and keeps in place?. Assume that the
coefficient of friction is $0.3$ and the acceleration due gravity is
$9.8,frac{m}{s^2}$.

The alternatives given in my book are as follows:

$begin{array}{ll}
1.&textrm{3 N}\
2.&textrm{2.5N}\
3.&textrm{1.5N}\
4.&textrm{0.15N}\
5.&textrm{4.5N }\
end{array}$

I’m not sure exactly if I’m understanding this problem correctly. What I’ve attempted to do here was to assume that the condition which must be met is given by:

$sum ^n_{i=1}tau_{i}=0$

Therefore:

$-Fcos 37^{circ}cdot R-Fsin 37^{circ}cdot R + f_Rcdot R = 0$

Hence:

$f_R=Fcos 37^{circ}+Fsin 37^{circ}=Ffrac{4}{5}+Ffrac{3}{5}$

$f_R=frac{7}{5}F$

But:

$f_R=mu N$

$N=mg-Fsin 37^{circ}$

$f_R=frac{3}{10}(mg-Fsin 37^{circ})=frac{3}{10}left(0.5times 9.8-frac{3F}{5}right)$

Solving this thing yield:

$frac{3}{10}left(0.5times 9.8-frac{3F}{5}right)=frac{7}{5}F$

Hence:

$F=0.93,N$

But it doesn’t check with any of the alternatives given. What did I missunderstood?. Can someone help me here please?.

Источник

Загрузить PDF

Сила — это толчок или усилие, приложенное к объекту, которое заставляет его сдвинуться с места или ускориться. Второй закон Ньютона описывает связь силы с массой и ускорением, позволяя вычислить силу. Как правило, чем больше масса объекта, тем бóльшая сила требуется для того, чтобы сдвинуть его с места.^[1]

1

Умножьте массу на ускорение. Сила F, необходимая для того, чтобы придать объекту массой m ускорение a, определяется по следующей формуле: F = m x a. То есть сила равна массе, умноженной на ускорение.^[2]
2
Переведите единицы измерения в систему СИ. В Международной системе единиц (СИ) основной единицей измерения массы служит килограмм, а ускорения — м/с² (метр на секунду в квадрате). Выразив массу и ускорение в единицах СИ, мы получим значение силы в ньютонах (Н).^[3]
- Например, если масса объекта составляет 3 фунта, необходимо перевести ее в килограммы. 3 фунта равны 1,36 кг, то есть масса объекта равна 1,36 кг.
3

Помните о том, что в физике вес и масса — это разные понятия. Если вес объекта дан в ньютонах, для нахождения массы его следует разделить на 9,8. Например, 10 Н эквивалентны 10/9,8 = 1,02 кг.^[4]

Реклама

1
Найдите силу, необходимую для того, чтобы разогнать автомобиль массой 1000 кг до 5 м/с².^[5]
- Сначала проверим, все ли величины приведены в единицах измерения системы СИ.
- Умножив массу (1000 кг) на ускорение (5 м/с²), получим силу (5000 Н).
2
Вычислите силу, необходимую для того, чтобы разогнать тележку массой 8 фунтов до ускорения 7 м/с².
- Сначала выразим все величины в единицах измерения СИ. Один фунт равен 0,453 кг, поэтому, умножив 8 фунтов на этот коэффициент, находим, что масса тележки составляет 3,62 кг.
- Умножив массу (3,62 кг) на заданное ускорение (7 м/с²), находим необходимую силу (25,34 Н).
3
Найдите силу, действующую на тележку весом 100 Н, которая движется с ускорением 2,5 м/с².
- Как мы помним, вес в ньютонах следует перевести в массу в килограммах, поделив на 9,8. Разделив 100 Н на 9,8, получаем массу 10,2 кг.
- Умножив найденную массу тележки (10,2 кг) на заданное ускорение (2,5 м/с²), получаем силу (25,5 Н).
Реклама

Советы

Всегда внимательно читайте условие задачи, чтобы определить, что дано: масса или вес.
Проверьте единицы измерения и при необходимости выразите массу в килограммах, а ускорение — в м/с².
Согласно определению основной единицы измерения силы в системе СИ, Н = кг * м/с².^[6]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 64 674 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник