Есть 12 монет, одна из которых фальшивая. При этом неизвестно, в какую сторону она отличается от настоящих, т.е. она может быть как легче, так и тяжелее. В вашем распоряжении чашечные весы без гирь, как в аптеке. Нужно за три взвешивания найти фальшивую монету, а также выяснить, тяжелее она или легче.
Решение
Для удобства пронумеруем монеты от 1 до 12.
Первым взвешиванием сравним две группы по четыре монеты: 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8.
Случай I: первое взвешивание показало равенство
Если весы покажут равенство, то фальшивая монета находится среди оставшихся четырёх монет. Тогда вторым взвешиванием мы сравним три монеты 9, 10, 11 с заведомо настоящими 1, 2, 3.
Если и в этот раз весы покажут равенство, то фальшивка — монета номер 12, и третьим взвешиванием мы сравним её с настоящей и узнаем, легче она или тяжелее.
Если же три монеты 9, 10, 11 оказались легче (тяжелее), то третьим взвешиванием сравним друг с другом монеты 9 и 10. Если они равны, то монета 11 — фальшивая, и она легче (тяжелее) настоящей. Иначе заключаем, что из монет 9 и 10 фальшивая та, которая легче (тяжелее) другой.
Случай II: первое взвешивание показало неравенство
Теперь предположим, что первое взвешивание показало, что монеты 1, 2, 3, 4 тяжелее, чем 5, 6, 7, 8. Случай, когда первые монеты оказались легче, симметричен.
Во втором взвешивании на одну чашу поместим монеты 1, 2, 5, а на другую — монеты 3, 4, 9 (монета 9 — заведомо настоящая).
Если второе взвешивание показало равенство, то у нас остаются три монеты 6, 7, 8, одна и которых легче остальных. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 6 и 7. Если они равны, то монета 8 легче остальных. Иначе фальшивой является та, которая легче другой.
Теперь предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались тяжелее, чем 3, 4, 9. Это означает, что фальшивка находится среди монет 1 и 2, причём она тяжелее остальных. Сравнив в третьем взвешивании эти две монеты друг с другом, мы определим фальшивую.
Предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались легче, чем 3, 4, 9. Это означает, что либо монета 5 легче остальных, либо одна из монет 3 и 4 тяжелее остальных. Третьим взвешиванием мы сравним друг с другом монеты 3 и 4 и найдём ответ.
Универсальная методика к решению задач на примере головоломки «12 монет, 3 взвешивания» +23
Алгоритмы, Мозг, Занимательные задачки
Рекомендация: подборка платных и бесплатных курсов Java — https://katalog-kursov.ru/
Дано: 12 монет, одна из них фальшивая, отличается только весом. Неизвестно легче или тяжелее. Даны рычажные весы, которые показывают, что груз с одной из сторон тяжелее. За 3 взвешивания необходимо найти фальшивую монетку.
Из опыта советую не спешить, решать письменно. Головоломка «12 монет, 3 взвешивания» несколько раз возникала в моей жизни. Первый раз ее задал мне мой товарищ-олимпиадник, решил я ее после олимпиады и пришлось пару часиков поломать голову. И через несколько лет она далось мне не сразу. Если желаете решить самим — делайте на листочке.
Ниже будет разбор и этапы решения. Этапы проведут по универсальной методике решения задач, которая применима как к программированию, так и к жизни. Благодаря подходу решение головоломки станет простым.
Предлагаю вам, прежде чем читать предложить решение. У вас есть ответ? Проверенный?
Если бы это было программного обеспечения вопросы были бы следующие: «Вы запрограммировали, протестировали алгоритм? Рассмотрели тестовые случаи и проверили их?».
Как показывает опыт, чтобы решить требуется нарисовать дерево решений и проверить все 12 случаев.
1. Подсказки
В процессе решения поможет:
1) Понижение энтропии (меры неопределенности) и ответы на вопросы:
- Что узнали на предыдущем шаге?
- Что снижает неопределённость?
- Какой информацией располагаем?
- Что еще нужно узнать?
Вопросы подходят для любой задачи, проектов. Ответы на них помогают в снижении рисков срыва сроков, перерасхода бюджета и получения нагоняя от начальства.
2) Декомпозиция. Подход от простого к сложному. Если подготовить решение простейших случаев, затем использовать их для решения задачи (алгоритм разделяй и властвуй) то, будет проще, чем представлять всю ситуацию в голове.
Алгоритмы «разделяй и властвуй» разбивают задачу на две или более подзадачи того же типа, но меньшего размера до элементарных задач и объединяют их решения для получения ответа к исходной задаче.
Составьте вопросы для декомпозиции. Какие бы вы предложили?
2. Декомпозиция
Какие вопросы вы сформулировали для декомпозиции? Есть совпадения?
1) Какая ситуация самая элементарная? Что можем сделать за одно взвешивание?
За одно взвешивание можем определить, какая монета тяжелее, равен ли вес монет.
2) Если у нас 2 монеты, и, известно, фальшивая тяжелее или легче. Как за одно взвешивание определить фальшивую?
Необходимо взвесить монеты, и в зависимости от стрелки весов определить фальшивую.
3) Если у нас 2 монеты, и, не известно, фальшивая тяжелее или легче, как за одно взвешивание определить фальшивую?
Взвесив одну из 2-х представленных монет с третьей монетой, про которую известно, что она подлинная.
4) Если у нас 3 монеты, и, известно, фальшивая тяжелее или легче. Как за одно взвешивание определить фальшивую?
Необходимо сравнить любые две из этих монет, если они равны, фальшивой является третья монета.
5) Если у нас 3 монеты, и, неизвестно, фальшивая тяжелее или легче. Можно ли определить фальшивую за одно взвешивание?
К сожалению, нет.
6) Если у нас 4 монеты, и, неизвестно фальшивая тяжелее или легче, можно определить фальшивую за одно взвешивание?
К сожалению, нет.
7) Если у нас 4 монеты, и, неизвестно, фальшивая тяжелее или легче, за сколько взвешиваний можно определить фальшивую?
За два взвешивания.
Далее из элементарных случаев соберем ситуации из 8, 9, 10, 11 и 12 монет. Как вы видите решение?
Ниже полное решение.
3. Решение
Первый шаг: разделим монеты на 3 группы по 4: 1 2 3 4, 5 6 7 8, 9 10 11 12.
Сравним первые две группы. Возможны три варианта:
- первая группа тяжелее;
- вторая группа тяжелее;
- равны.
1) Если группы равны, то фальшивая монета находится в третьей группе. Необходимо найти фальшивую монету из 4 монет за два взвешивания.
Делим третью группу на две: 9 10 11 12
Сравниваем 9 и 10:
- если они равны, то фальшивая монета во второй группе – сравниваем 9 и 11. Если 9 и 11 равны — то фальшивая – 12, если нет -11
- если они не равны, то фальшивая в первой группе – сравниваем 10 и 12. Если 10 и 12 равны – фальшивая – 9, если нет – 10.
Таким образом мы нашли фальшивую монету.
2) Рассмотрим второй случай. Если первая группа тяжелее второй, то присваиваем первой группе знак «>», второй группе знак «<», третьей группе – «0».
Делим монеты на группы 1 9 10 11 и 5 2 3 4, взвешиваем. Возможны три варианта:
- Равны. Фальшивая монета находится среди чисел: 6 7 8. Сравниваем 6 и 7, если равны – фальшивая — 8, если 6 больше, то фальшивая – 7, если 7 больше, то фальшивая – 6, так как в данном случае фальшивая монета легче.
- Первая группа тяжелее, то фальшивая монета либо 1, либо 5. Сравниваем 1 и 9, если они равны – фальшивая монета — 5, если нет — 1.
- Первая группа легче, то фальшивая среди монет 2 3 4, так как известно, что 9, 10 и 11 настоящие, и перевесить вторая группа может только за счет монет 2, 3 и 4. Сравниваем 2 и 3, если равны – фальшивая 4, если 2 тяжелее, то фальшивая – 2, иначе 3-я является фальшивой.
3) Случай когда вторая группа тяжелее первой, аналогичен второму.
Общая диаграмма «Дерева решений» представлена ниже.
Заключение
При поступлении задачи на доработку или отладку хорошо применить рассмотренный выше подход:
- Определиться, что дано?
- На какие элементарные случаизадачи можно разложить?
- Что неизвестно для решения задачи? Какие эксперименты нужно провести, чтобы снизить энтропию?
- Выполнить.
- Задача решена? Нет? Вернуться к шагу 1.
Успешных решений.
Задача имеет решение, но оно будет актуально только для весов с достаточно вместительной чашей для взвешивания.
Из каждого следующего мешочка с монетами необходимо взять на одну монету больше, чем из предыдущего.
- из первого мешочка одна монета
- из второго мешочка две монеты
- из третьего мешочка три монеты
- из четвертого мешочка четыре монеты
- из пятого 5 монет
- из шестого 6 монет
- из седьмого 7 монет
- из восьмого 8 монет
- из девятого 9 монет
- из десятого десять монет
Итого у нас будет: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 монет
Выкладываем их, не смешивая между собой, на чашу весов. Полученный вес в граммах сообщит нам в каком мешочке лежали фальшивые монеты. Если бы все монеты являлись настоящими, то на весах у нас должно было быть 45*10=450 грамм, любое отклонение в граммах укажет нам номер мешочка с фальшивками.
- 449 грамм — фальшивые монеты в первом мешочке
- 448 грамм — фальшивые монеты во втором мешочке
- 447 грамм -фальшивые монеты в третьем мешочке
- 446 грамм — фальшивые монеты в четвертом мешочке
- 445 грамм — фальшивые монеты в пятом мешочке
- 444 грамм — фальшивые монеты в шестом мешочке
- 443 грамма — фальшивые монеты в седьмом мешочке
- 442 грамма — фальшивые монеты в восьмом мешочке
- 441 грамм — фальшивые монеты в девятом мешочке
- 440 грамм — фальшивки в десятом мешочке
Дано: 12 монет, одна из них фальшивая, отличается только весом. Неизвестно легче или тяжелее. Даны рычажные весы, которые показывают, что груз с одной из сторон тяжелее. За 3 взвешивания необходимо найти фальшивую монетку.
Из опыта советую не спешить, решать письменно. Головоломка «12 монет, 3 взвешивания» несколько раз возникала в моей жизни. Первый раз ее задал мне мой товарищ-олимпиадник, решил я ее после олимпиады и пришлось пару часиков поломать голову. И через несколько лет она далось мне не сразу. Если желаете решить самим — делайте на листочке.
Ниже будет разбор и этапы решения. Этапы проведут по универсальной методике решения задач, которая применима как к программированию, так и к жизни. Благодаря подходу решение головоломки станет простым.
Предлагаю вам, прежде чем читать предложить решение. У вас есть ответ? Проверенный?
Если бы это было программного обеспечения вопросы были бы следующие: «Вы запрограммировали, протестировали алгоритм? Рассмотрели тестовые случаи и проверили их?».
Как показывает опыт, чтобы решить требуется нарисовать дерево решений и проверить все 12 случаев.
1. Подсказки
В процессе решения поможет:
1) Понижение энтропии (меры неопределенности) и ответы на вопросы:
- Что узнали на предыдущем шаге?
- Что снижает неопределённость?
- Какой информацией располагаем?
- Что еще нужно узнать?
Вопросы подходят для любой задачи, проектов. Ответы на них помогают в снижении рисков срыва сроков, перерасхода бюджета и получения нагоняя от начальства.
2) Декомпозиция. Подход от простого к сложному. Если подготовить решение простейших случаев, затем использовать их для решения задачи (алгоритм разделяй и властвуй) то, будет проще, чем представлять всю ситуацию в голове.
Алгоритмы «разделяй и властвуй» разбивают задачу на две или более подзадачи того же типа, но меньшего размера до элементарных задач и объединяют их решения для получения ответа к исходной задаче.
Составьте вопросы для декомпозиции. Какие бы вы предложили?
2. Декомпозиция
Какие вопросы вы сформулировали для декомпозиции? Есть совпадения?
1) Какая ситуация самая элементарная? Что можем сделать за одно взвешивание?
За одно взвешивание можем определить, какая монета тяжелее, равен ли вес монет.
2) Если у нас 2 монеты, и, известно, фальшивая тяжелее или легче. Как за одно взвешивание определить фальшивую?
Необходимо взвесить монеты, и в зависимости от стрелки весов определить фальшивую.
3) Если у нас 2 монеты, и, не известно, фальшивая тяжелее или легче, как за одно взвешивание определить фальшивую?
Взвесив одну из 2-х представленных монет с третьей монетой, про которую известно, что она подлинная.
4) Если у нас 3 монеты, и, известно, фальшивая тяжелее или легче. Как за одно взвешивание определить фальшивую?
Необходимо сравнить любые две из этих монет, если они равны, фальшивой является третья монета.
5) Если у нас 3 монеты, и, неизвестно, фальшивая тяжелее или легче. Можно ли определить фальшивую за одно взвешивание?
К сожалению, нет.
6) Если у нас 4 монеты, и, неизвестно фальшивая тяжелее или легче, можно определить фальшивую за одно взвешивание?
К сожалению, нет.
7) Если у нас 4 монеты, и, неизвестно, фальшивая тяжелее или легче, за сколько взвешиваний можно определить фальшивую?
За два взвешивания.
Далее из элементарных случаев соберем ситуации из 8, 9, 10, 11 и 12 монет. Как вы видите решение?
Ниже полное решение.
3. Решение
Первый шаг: разделим монеты на 3 группы по 4: 1 2 3 4, 5 6 7 8, 9 10 11 12.
Сравним первые две группы. Возможны три варианта:
- первая группа тяжелее;
- вторая группа тяжелее;
- равны.
1) Если группы равны, то фальшивая монета находится в третьей группе. Необходимо найти фальшивую монету из 4 монет за два взвешивания.
Делим третью группу на две: 9 10 11 12
Сравниваем 9 и 10:
- если они равны, то фальшивая монета во второй группе – сравниваем 9 и 11. Если 9 и 11 равны — то фальшивая – 12, если нет -11
- если они не равны, то фальшивая в первой группе – сравниваем 10 и 12. Если 10 и 12 равны – фальшивая – 9, если нет – 10.
Таким образом мы нашли фальшивую монету.
2) Рассмотрим второй случай. Если первая группа тяжелее второй, то присваиваем первой группе знак «>», второй группе знак «<», третьей группе – «0».
Делим монеты на группы 1 9 10 11 и 5 2 3 4, взвешиваем. Возможны три варианта:
- Равны. Фальшивая монета находится среди чисел: 6 7 8. Сравниваем 6 и 7, если равны – фальшивая — 8, если 6 больше, то фальшивая – 7, если 7 больше, то фальшивая – 6, так как в данном случае фальшивая монета легче.
- Первая группа тяжелее, то фальшивая монета либо 1, либо 5. Сравниваем 1 и 9, если они равны – фальшивая монета — 5, если нет — 1.
- Первая группа легче, то фальшивая среди монет 2 3 4, так как известно, что 9, 10 и 11 настоящие, и перевесить вторая группа может только за счет монет 2, 3 и 4. Сравниваем 2 и 3, если равны – фальшивая 4, если 2 тяжелее, то фальшивая – 2, иначе 3-я является фальшивой.
3) Случай когда вторая группа тяжелее первой, аналогичен второму.
Общая диаграмма «Дерева решений» представлена ниже.
Заключение
При поступлении задачи на доработку или отладку хорошо применить рассмотренный выше подход:
- Определиться, что дано?
- На какие элементарные случаизадачи можно разложить?
- Что неизвестно для решения задачи? Какие эксперименты нужно провести, чтобы снизить энтропию?
- Выполнить.
- Задача решена? Нет? Вернуться к шагу 1.
Успешных решений.