Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
Калькулятор n-го члена и суммы n членов:
Арифметическая прогрессия
Первый член прогрессии а1
Показать все члены прогрессии
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма арифметической прогрессии Sn
Арифметическая прогрессия — это некая последовательность чисел, каждый следующий член которой отличается от предыдущего на одно и то же число d, называемое шаг прогрессии или разность прогрессии. Калькулятор арифметической прогрессии, используя следующие формулы, может найти первый член арифметической прогрессии , n-ный член прогрессии, найти сумму первых членов или разность.
Арифметическая прогрессия как последовательность, составленная из действительных чисел, связывает их между собой заданной закономерностью ряда. Как правило, числовой ряд начинается с того, что дан первый член арифметической прогрессии, как отправная точка. Далее каждый следующий член прогрессии получается путем прибавления к предыдущему одного и того же параметра, называемого разность арифметической прогрессии или шаг арифметической прогрессии. Если разность является положительным числом, то вся последовательность будет стремиться к плюс бесконечности, так как значения членов будут увеличиваться по мере возрастания их порядковых номеров.
Если разность арифметической прогрессии представлена отрицательным числом, каждый следующий член будет меньше предыдущего и вся последовательность будет стремиться к минус бесконечности. В некоторых случаях предел арифметической прогрессии будет конкретным числом. Это происходит, если шаг прогрессии (разность) равен нулю, тогда первый член арифметической прогрессии совпадает со всеми остальными.
Формулы арифметической прогрессии включают в себя следующие равенства:
• формула первого члена арифметической прогрессии;
• формула n-ного члена прогрессии;
• формула разности арифметической прогрессии;
• формула суммы первых членов арифметической прогрессии или суммы определенной выборки членов.
По всем формулам онлайн калькулятор рассчитывает необходимые значения, используя условия, по которым дана арифметическая прогрессия. Числа, выстроенные в симметричной последовательности, дают возможность вычислить любой член или сумму прогрессии, опираясь всего на два или три параметра в зависимости от уровня сложности задания.
Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.
Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:
- 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,
- 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6
А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.
An = 2n.
Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.
An = 2n − 1
Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.
Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:
An = n2 + 2
Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 10002 + 2 = 1000002.
Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.
Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.
Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:
- An = 2n
- Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)
Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Замечания
Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.
Понятие арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.
Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.
Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…
Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…
Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:
An = a1 + (n − 1)d
Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.
Sn = [(a1 + an) / 2] × n
Примеры задач
Пример 1
В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 3
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 3
Получаем:
- Арифметическая прогрессия: 61
- Сумма членов прогрессии: 650
- Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61
Проверяем самостоятельно по формулам с теории:
- a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61
Пример 2
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 5
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 2
Результаты рассчета:
- Арифметическая прогрессия: 43
- Сумма членов прогрессии: 480
- Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43
Проверяем:
- Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
- S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480
Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.
Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: an, am, n, m
Найти: d, a1
Эта математическая программа находит (d) и (a_1) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел ( a_n, a_m, n ) и ( m ).
Числа ( a_n) и ( a_m ) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби ( ( 2,5 ) ) и в виде обыкновенной дроби ( ( -5frac{2}{7} ) ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа ( a_n) и ( a_m ) можно задать не только целые, но и дробные.
Числа ( n ) и ( m ) могут быть только целые положительные.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: ( -1frac{2}{3} )
Введите числа an, am, n, m
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например,
дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных
номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a1, a2, a3, …, aN
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число an.
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a1, a2, a3, …, an, … .
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности,
число a3 — третьим членом последовательности и т. д.
Число an называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, …
а1 = 1 — первый член последовательности; аn = n2 является n-м членом последовательности;
an+1= (n + 1)2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности.
Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена.
Например, формулой ( a_n=frac{1}{n}, ; n in mathbb{N} ) задана последовательность
( 1, ; frac{1}{2} , ; frac{1}{3} , ; frac{1}{4} , dots,frac{1}{n} , dots )
Арифметическая прогрессия
Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно ( 365frac{1}{4} ) суток, поэтому каждые
четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.
Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.
Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, … .
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4.
Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями.
Определение.
Числовая последовательность a1, a2, a3, …, an, … называется арифметической
прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
( a_{n+1} = a_n+d, )
где d — некоторое число.
Из этой формулы следует, что an+1 — an = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.
По определению арифметической прогрессии имеем:
( a_{n+1}=a_n+d, quad a_{n-1}=a_n-d, )
откуда
( a_n= frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} ), где ( n>1 )
Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.
Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.
Отметим, что если a1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной
формуле an+1 = an + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например,
для a100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической
прогрессии
( a_2=a_1+d, )
( a_3=a_2+d=a_1+2d, )
( a_4=a_3+d=a_1+3d )
и т.д.
Вообще,
( a_n=a_1+(n-1)d, )
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.
Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a1, a2, a3, …, an, …
Пусть Sn — сумма n первых членов этой прогрессии:
Sn = a1, a2, a3, …, an
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
$$ S_n = n cdot frac{a_1+a_n}{2} $$
Так как ( a_n=a_1+(n-1)d ), то заменив в этой формуле an получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых
членов арифметической прогрессии:
$$ S_n = n cdot frac{2a_1+(n-1)d}{2} $$
Главная 
Учёба 
Арифметическая прогрессия.
Арифметическая прогрессия.
Арифметической прогрессией является последовательность чисел таких, у которых разница между любыми двумя последовательными числами последовательности является константой.
Пример: 3,6,9,12 … является арифметической прогрессии с разностью 3.
Формула арифметической прогрессии: a+(n−1)*d где,
(a) -> первое число прогрессии,
(n) -> последнее число прогрессии,
(d) -> разность арифметической прогрессии.
Калькулятор арифметической прогрессии, онлайн
Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!
Нет комментариев.