Определение
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.
-ый элемент арифметической прогрессии
Чтобы найти -ый элемент, нужно к элементу прибавить разность арифметической прогрессии.
где — разность арифметической прогрессии, — -ый элемент арифметической прогрессии.
Выразим -ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.
Получаем, что
Пример 1. Найти -ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен , а разность .
Решение.
Ответ: .
Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен , а -ый — -ти.
Решение.
Вычтем из второго уравнения первое:
Ответ: .
Сумма арифметической прогрессии
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:
Докажем первую формулу.
Сложим почленно два последних равенства.
Получаем,
Так как, то
Следовательно,
Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.
Решение.
Ответ: .
Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен , а разность арифметической прогрессии равна . Найдите сумму первых элементов данной арифметической прогрессии.
Решение.
Ответ: .
Пример 5. Арине надо решить задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила задач, а в последний она запланировала решить задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.
Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
По условии задачи: Надо найти
Ответ:
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Доказательство основывается на том, что
Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
Найдите .
Решение.
Ответ: .
Арифметическая прогрессия
- Понятие арифметической прогрессии
- Формула n-го члена арифметической прогрессии
- Свойства арифметической прогрессии
- Сумма первых n членов арифметической прогрессии
- Примеры
п.1. Понятие арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой an, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена an-1 и некоторого постоянного числа d: $$ mathrm{ a_n=a_{n-1}+d, ninmathbb{N}, nleq 2 } $$ Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, … является арифметической прогрессией с разностью d = 3.
2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, … является арифметической прогрессией с разностью d = –3.
п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии
По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: an = an-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:
a2 = a1 + d, $qquad$ a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d,…
Получаем:
an = a1 + (n – 1)d
Например:
Найдём a7, если известно, что a1 = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a7 = a1 + 6d = 5 + 6 · 3 = 23
п.3. Свойства арифметической прогрессии
Свойство 1. Линейность
Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:
an = dn + (a1 – d)
с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a1 – d.
При d > 0 прогрессия линейно возрастает
При d < 0 прогрессия линейно убывает
Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой: $$ mathrm{ a_n=dn+b, ninmathbb{N}, binmathbb{R}, dinmathbb{R}} $$ где d, b – некоторые числа.
Свойство 2. Признак арифметической прогрессии
Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{a_nright} — text{арифметическая прогрессия} Leftrightarrow a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ a_n=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}, ninmathbb{N}, ninmathbb{N}, n geq k+1 } $$
Например:
Найдём a9, если известно, что a7 = 10, a11 = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: (mathrm{a_9=frac{a_7+a_{11}}{2}=frac{10+15}{2}=12,5})
Свойство 3. Равенство сумм индексов
Если {an} – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q } $$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ a_1 + a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=… } $$
Например:
Найдём a6, если известно, что a2 = 5, a4 = 10, a8 = 20
По равенству сумм индексов a2 + a8 = a4 + a6
Откуда a6 = a2 + a8 – a4 = 5 + 20 – 10 = 15
п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического её крайних членов и количества членов: $$mathrm{ S_n=frac{a_1+a_n}{2}n} $$
Если учесть, что an = a1 + d(n – 1), получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}n} $$
Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +…+ 100
В этом случае a1 = 1, a100 = 100, n = 100
(mathrm{ S_{100}=frac{1+100}{2}cdot 100=5050})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a7 = 10, a15 = 42
Найдем разность данных членов: a15 – a7 = (a1 + 14d) – (a1 + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a7 = a1 + 6d = a1 + 6 · 4 = 10 ⇒ a1 = 10 – 24 = –14
Ответ: a1 = –14, d = 4
б) a10 = 95, S10 = 500
Сумма прогрессии: (mathrm{S_{10}=frac{a_1+a_{10}}{2}cdot 10Rightarrow 500=(a_1+95)cdot 5Rightarrow a_1+95=100Rightarrow a_1=5})
10-й член: (mathrm{a_{10}=a_1+9dRightarrow95=5+9dRightarrow 9d=90Rightarrow d=10})
Ответ: a1 = 5, d = 10
Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму (mathrm{underbrace{1+3+5+…}_{100 text{слагаемых}}})
По условию a1 = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
(mathrm{S_{100}=frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=frac{2cdot 1+2cdot 99}{2}cdot 100=10000})
Формула n-го члена данной прогрессии: (mathrm{a_n=a_1+d(n-1)=dn+(a_1-d)=2n-1})
100-й член (mathrm{a_{100}=2cdot 100-1=199})
Ответ: S100 = 10000, a100 = 199
Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, … находится между числами 110 и 345?
По условию a1 = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: begin{gather*} mathrm{ 6k+4=110Rightarrow 6k=106Rightarrow k=17frac23Rightarrow 17lt klt 18 }\ mathrm{ 6m+4=345Rightarrow 6m=341Rightarrow m=56frac56Rightarrow 56lt mlt 57 } end{gather*} Ближайший сосед справа к 100 – это a18 = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a56 = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56
Количество членов прогрессии в заданном интервале:
n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39
Ответ: 39
Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a11 + a11 = a1 + a21
Откуда a1 + a21 = 2a11 = 14
Искомая сумма: (mathrm{S_{21}=frac{a_1+a_{21}}{2}cdot 21=frac{14}{2}cdot 21=147})
Ответ: 147
Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S5 = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $$ mathrm{ S_5=frac{a_1+a_5}{2}cdot 5=540^circRightarrow a_1+a_5=216^circ } $$ По свойству суммы индексов: a3 + a3 = a1 + a5
Откуда: (mathrm{a_3=frac{a_1+a_5}{2}=108^circ})
Ответ: 108°
Пример 6. При каких значениях x числа x2 – 11, 2x2 + 29, x4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:
a2 – a1 = a3 – a2
(2x2 + 29) – (x2 – 11) = (x4 – 139) – (2x2 + 29)
x4 – 3x2 – 208 = 0 ⇒ (x2 + 13)(x2 – 16) = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ±4
Ответ: x = ±4
Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d < 0 и: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{a_1+a_2+a_3=9} & \ mathrm{a_1^2+a_2^2+a_3^2=99} & end{array}right. $$ Используем свойство прогрессии: (mathrm{a_2=frac{a_1+a_3}{2}}). Получаем из первого уравнения:
3a2 = 9 ⇒ a_2 = 3
Тогда a1 = a2 – d = 3 – d, a3 = a2 + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:
(3 – d)2 + 32 + (3 + d)2 = 99
9 – 6d + d2 + 9 + 9 + 6d + d2 = 99
2d2 = 72 ⇒ d2 = 36 ⇒ d = ±6
Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a1 = a2 – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a7 = a1 + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Другими словами, последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие аn+1=аn+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = аn+1–аn. Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18….., так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = a1+2d;
a4 = a3 + d = a1+3d.
Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:
Формула n-ого члена арифметической прогрессии
an = a1 + d(n−1)
где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a1 – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии
Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.
Пример №1. Найти а20 арифметической прогрессии (аn), если а1=14, d=5. Составляем формулу для а20 и подставляем в нее данные: а20= a1 + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.
Найти а7 арифметической прогрессии (аn), если а1=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а7= a1 + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.
Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а12. Здесь для нахождения а12 надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а12: а12= a1 + d(12−1)=10+2(12−1)=32.
Утверждение
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.
Так, например, формула an=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a20=5×20+1=101.
Свойство арифметической прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:
аn=(аn-1+ аn+1):2
Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.
Пример №2. Найти а10 арифметической прогрессии (аn), если а9=24; а11=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а10 известны соседние члены. Значит, а10=(а9+а11):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.
Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии
Для нахождения суммы (обозначим ее буквой S) большого количества членов арифметической прогрессии существует формула, позволяющая это сделать быстро.
Формула суммы членов арифметической прогрессии с известными членами
Sn=
(a1+an
)n2
В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда аn не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.
Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью
Sn=2a1+d(n−1)2n
Рассмотрим на примерах применение данных формул.
Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (аn), если а1=11, а50=39.
Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а1=11, а50=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:
S50=(a1+a50
)502=(11+39)502=25002=1250
Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.
Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:
d=18-3=15; а10=3+15(10-1)=138
S10=(a1+a10
)102=(3+138)102=705
Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:
S10=2a1+d(10−1)210=2×3+15(10−1)210=705
Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.
Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.
Задание OM1420223
Миша решил заказать себе такси. Подача машины и первые пять минут поездки в совокупности стоят 159 рублей, а стоимость каждой последующей минуты поездки фиксирована. Стоимость поездки с 6 по 15 минуту (включительно) составила 80 рублей, а с 6 по 25 минуту – 160 рублей. Найти итоговую стоимость поездки, если она длилась 1 час.
Выпишем, что мы имеем по условию задачи в левый столбец, а в правый запишем то, что из этого следует
Известно | Решение |
Подача и первые 5 минут – 159 руб | – |
Стоимость с 6 по 15 минуту – 80 рублей
Стоимость с 6 по 25 минуту – 160 рублей. |
Разница во времени 10 минут стоит 80 руб |
Значит, 1 минута стоит 8 руб (80:10=8) | |
1 час – ? руб | 1 час=60 мин; убираем 5 минут, которые включены в подачу машины, значит, надо найти стоимость 55 минут: 55•8=440 руб
Прибавляем стоимость подачи: 440+159=599 рублей |
Ответ: 599
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1420221
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Из условия задачи видно, что имеем дело с арифметической прогрессией, так как сказано, что в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем.
Выписываем, что нам известно и определяем, что нужно найти: всего 12 рядов, значит n=12; в первом ряду 18 мест, значит, а1=18; так как в каждом последующем ряду мест на 2 больше, то разность арифметической прогрессии d=2. Надо найти, сколько всего мест в амфитеатре, т.е. найти сумму арифметической прогрессии S12.
Для нахождения суммы имеем формулу Sn=a1+an2×n, то есть для нашей задачи S12=a1+a122×12. У нас нет а12, найдем его по формуле n-ого члена арифметической прогрессии: a12=a1+d(n-1)=18+2(12-1)=18+22=40. Подставим данные в формулу суммы:
S12=18+402×12=348
Следовательно, 348 мест всего в амфитеатре.
Проверка: можно проверить решение следующим способом, просто прибавляя по 2 места в каждый ряд до 12-ого, а затем сложить количество мест. Записать можно так: 18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40=348. Этим же способом, кстати, можно решить задачу, если от волнения забыли про арифметическую прогрессию.
Ответ: 348
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание 14OM21R
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 80С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -60С.
Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:
-6-8=-14 через 1 минуту
-14-8=-22 через 2 минуты
-22-8=-30 через 3 минуты
-30-8=-38 через 4 минуты
-38-8=-46 через 5 минут
-46-8=-54 через 6 минут
Значит, наш ответ -540С
Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. an=a1+d(n – 1). В данном случае a1=-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a7=-61-8(7 – 1). Вычислим: a6=-6-8∙5=-6-48=-54.
Ответ: -54
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1407
К концу 2008 года в городе проживало 38100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2016 года в городе проживало 43620 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2012 года?
Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.
Рассмотрим данные:
2008 г – 38100 человек
2012 г – ? человек
2016 г. – 43620 человек
Удобно решить данную задачу способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=an−akk−n , где k>n. Число d (разность прогрессии) будет являться ежегодным приростом населения.
Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:
(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.
Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.
38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек
Ответ: 40860
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1406
Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?
Анализируя содержание задачи, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, так как после первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8, а это значит, что с каждой последующей минутой количество очков удваивается. То есть знаменатель геометрической прогрессии q равен 2, b1=2 по условию (после 1 минуты 2 очка). Так как очки суммируются, то будем использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn=b1(qn−1)q−1, где Sn>30000, так как для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков.
Подставляем наши данные в формулу: 2(2n−1)2−1>30000
Упрощаем выражение: так как в знаменателе дроби получается 1, то получим 2(2n-1)>30000; делим обе части на 2: 2n-1>15000; переносим 1 в правую часть и получим: 2n>15001. Теперь надо подобрать число n, при котором будет верно наше неравенство. Делать это можно постепенно, возводя 2 в степени, а можно запомнить, что 210=1024. Тогда легко будет добраться до числа, которое меньше 15001, а это 214=16384, где 16384<15001. Следовательно, наш ответ 14 минут.
Ответ: 14
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1405
В течение 25 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 7-й день акция стоила 777 рублей, а в 12-й день – 852 рубля?
В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а7=777; в 12-й день – 852 рубля, это а12=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а25.
1 способ:
В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой аn=ak+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а12=а7+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.
Теперь, зная число d, мы можем найти а25 через, например, а12, используя всё ту же формулу. Получаем: а25=а12+d(25-12); а25=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.
2 способ:
Можно решить данную задачу другим способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=an−akk−n , где k>n. Составим формулу для наших а12 и а7, а затем подставим в нее данные: d=a12−a712−7; d=852−77712−7=15. Теперь по этой же формуле найдем а25, связывая его с а12: d=a25−a1225−12; 15=a25−85213; найдем отсюда а25, а25=15∙13+852=1047.
Ответ: 1047
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1404
Грузовик перевозит партию щебня массой 176 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что в первый день было перевезено 6 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней.
В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а1=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S11=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а11.
Итак, если нам встретилась сумма арифметической прогрессии, значит, нам надо воспользоваться формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn=а1+аn2∙n, куда мы и подставим все данные: 176=6+а112∙11.
Разделим обе части на 11, получим 16= 6+а112 ; умножим 16 на 2 (правило пропорции): 32=6+а11. Отсюда найдем а11=32–6=26. Итак, мы нашли, что 26 тонн щебня было перевезено в последний день.
Ответ: 26
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1403
Для получения витамина D могут быть рекомендованы солнечные ванны. Загорать лучше утром до 10 часов или вечером после 17 часов. Михаилу назначили курс солнечных ванн. Михаил начинает курс с 15 минут в первый день и увеличивает время этой процедуры в каждый следующий день на 15 минут. В какой по счету день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 15 минут?
Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а1=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.
Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии аn=a1+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.
Ответ: 5
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1402
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 7,5 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 60 метрам.
Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а1+аn=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. Sn=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.
Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии
Sn=а1+аn2∙n, имеем 60=7,5 ∙ n2. Отсюда находим n, умножая сначала 60 на 2 (по определению пропорции), затем 120 делим на 7,5 и получаем, что n=16. Таким образом, улитка потратила на весь путь 16 дней.
Ответ: 16
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1401
При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.
При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.
Итак, имеем а1=0,2; d=0,2. Ищем а7. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу аn=a1+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а7=a1+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4
Ответ: 1,4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 8.2k
Прогрессия — это последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Числа составляющие последовательность, называются ее членами.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами а,d и законом a1 = a, an = an-1 +d, a2 – a1 =
a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an – 1 =…
d — разность данной арифметической прогрессии; , определенное формулой
d = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an – 1 =… ,
Если d>0 — арифметическую прогрессию называют возрастающей;
Если d<0 — арифметическую прогрессию называют убывающей;
В случае, если a =0 — все члены прогрессии равны числу a, а арифметическую прогрессию называют стационарной.
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
an = a1+ d( n-1)
Пример 1.Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии
Решение: Так как an = a1+ d( n-1) , то
Ответ: a15 = 8
Если для суммы первых n членов арифметической прогрессии ввести обозначение
Sn = a1 + a2 + … + an , n = 1, 2, 3, … ,
то будет справедливо формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Пример 1.Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти сумму ее десяти первых членов.
Решение: Так как an = a1+ d( n-1) , то
Ответ: S10 = 365.
Вопросы к конспектам
Между числами 2 и 20 вставьте четыре числа, которые вместе с данными числами составляют арифметическую прогрессию. Определите а5.
Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а5 + а12 =48; а16 — а8 =44
Найти S10 в арифметической прогрессии, если d = 1,5, a9= 12
Найти сумму 22 первых членов арифметической прогрессии 12,16,20,24,…
Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 56, а сумма четырех последних членов равна 112. Найдите разность арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Теоретическая часть.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, на одно и то же число больше (или меньше) предыдущего.
Последовательность чисел -10; -5; 0; 5; 10; 15; … будет являться возрастающей арифметической прогрессией, т.к. каждое следующее число больше предыдущего на 5.
Также арифметической прогрессией, только уже убывающей, будет являться последовательность чисел 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5; 1; … , т.к. в ней числа уменьшаются на 0,5.
Число, на которое увеличиваются/уменьшаются члены арифметической прогрессии называется разностью. Получается, что в первой последовательности чисел разность равна 5, а во второй — -0,5. Кстати разность обозначается буквой d.
Зная первый член арифметической прогрессии и разность можно найти любой член прогрессии. Для этого нам понадобится формула n-ого члена:
Но для сдачи экзамена лучше запомнить другую формулу. Для ее применения не обязательно знать 1-ый член прогрессии: здесь можно брать любой по счету! Обрати внимание, что k < n.
Помимо этого каждый член арифметической прогрессии можно найти, зная предыдущий и следующий.
И в завершении теоретической части нам пригодятся еще формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Практическая часть.
Задание 1.
Эту задачу можно решить двумя способами: либо логическим путем, либо по формуле n-ого члена арифметической прогрессии. Мне кажется, что быстрее будет без формулы.
Числа уменьшаются 7. Значит вычитая число 7 можно дойти и до 7-ого члена прогрессии.
Запишу, какая в этом случае получится последовательность.
20; 13; 6; -1; -8; -15; -22; -29; … .
Ну давайте еще решим это же задания, но используя формулу. Не зря же я их тут писала! Первый член прогрессии a1 известен и равен 20, разность прогрессии d равна -7, а номер члена n равен 7, тогда
.
Ответ: -22.
Задание 2.
Используем формулу для нахождения n-ого члена прогрессии.
По условию a1 = -6,8, d = -8,5, n = 5, тогда
.
Ответ: -40,8.
Задание 3.
Здесь вообще тоже можно обойтись без формул. Числа в последовательности уменьшаются на 2, значит х = -9 — 2 = -11.
Но и по формуле эта задача тоже решаема. Пусть a1 = -9, a2 = x, a3 = -13.
Ответ: -11.
Задание 4.
Здесь нам поможет формула для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии через k-ый член.
Пусть k = 6, n = 19.
Ответ: -0,2.
Задание 5.
Известен первый член прогрессии, а также известно то, что числа в последовательности уменьшаются на 17, т.е. разность прогрессии d равна -17. Используем вторую формулу суммы.
Ответ: -21.
Задание 6.
Члены прогрессии увеличиваются на 4. Допишем ее до 5-ого члена.
6; 10; 14; 18; 22.
Осталось это все сложить)
S = 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 70.
Ответ: 70.
Видишь, не для всех заданий нужны формулы. Достаточно просто немножечко схитрить)