Арифметическая прогрессия как найти сумму первых десяти

Прогрессия — это последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Содержание:

Числовая последовательность

В жизни мы часто встречаемся с функциями, областью определения которых является множество натуральных чисел. Например, стоимость проезда в пригородном транспорте зависит от дальности поездки и задается функцией Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Функция стоимости проезда задана таблично, областью определения функции является множество натуральных чисел Прогрессии в математике - с примерами решения В таком случае говорят, что рассматривается функция натурального аргумента, или числовая последовательность.

Примером числовой последовательности является последовательность положительных четных чисел: 2; 4; 6; 8; … . Число 2 — первый член последовательности, число 4 — второй и т. д. Ясно, что на 5-м месте будет число 10 (пятый член последовательности), а на 100-м — число 200 (сотый член последовательности).

Еще один пример — последовательность чисел, обратных натуральным числам: Прогрессии в математике - с примерами решения На Прогрессии в математике - с примерами решения месте запишется число Прогрессии в математике - с примерами решения которое является Прогрессии в математике - с примерами решения членом данной последовательности.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными. Например, последовательность двузначных чисел 10; 11; …; 99 является конечной, так как содержит конечное число членов. А последовательность нечетных натуральных чисел — бесконечная.

Определение числовой последовательности

Определение:

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве Прогрессии в математике - с примерами решения натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.

Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: Прогрессии в математике - с примерами решения — первый член последовательности, Прогрессии в математике - с примерами решения — второй член последовательности, Прогрессии в математике - с примерами решения член последовательности. Последовательность с Прогрессии в математике - с примерами решения членом Прогрессии в математике - с примерами решения обозначается Прогрессии в математике - с примерами решения Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения имеет вид Прогрессии в математике - с примерами решения

Если Прогрессии в математике - с примерами решения — последовательность нечетных натуральных чисел Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Последовательности, так же как и функции, могут быть заданы различными способами.

Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы ее Прогрессии в математике - с примерами решения члена. Например, последовательность четных натуральных чисел можно задать с помощью формулы Прогрессии в математике - с примерами решения а последовательность чисел, обратных натуральным числам, задается формулой Прогрессии в математике - с примерами решения

С помощью формулы Прогрессии в математике - с примерами решения члена можно найти любой член последовательности.

Например, пусть последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения задана формулой Прогрессии в математике - с примерами решения тогда

Прогрессии в математике - с примерами решения

Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы Прогрессии в математике - с примерами решения члена, нужно вместо п подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).

Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ (от лат. recurrentis — возвращающийся). Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.

Например, условия Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения определяют бесконечную последовательность: Прогрессии в математике - с примерами решения т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №1

Найдите несколько членов последовательности Прогрессии в математике - с примерами решения где Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Запишем несколько членов этой последовательности в ряд: 1; 1; 2; 3; 5; … .

Полученную последовательность чисел называют последовательностью Фибоначчи по имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180—1240).

Формула n-го члена последовательности

Пример №2

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения задана формулой Прогрессии в математике - с примерами решения члена Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите: Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №3

Последовательность задана формулой Прогрессии в математике - с примерами решения члена Прогрессии в математике - с примерами решения Является ли членом этой последовательности число:

а) -2; б) -7?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно определить, имеет ли натуральные корни уравнение:

а) Прогрессии в математике - с примерами решения значит, число -2 не является членом последовательности;

б) Прогрессии в математике - с примерами решения значит, число -7 является членом последовательности с номером 5.

Пример №4

Для каких членов последовательности Прогрессии в математике - с примерами решения заданной формулой Прогрессии в математике - с примерами решения члена Прогрессии в математике - с примерами решения выполняется неравенство Прогрессии в математике - с примерами решения?

Решение:

Подставим в неравенство Прогрессии в математике - с примерами решения выражение для Прогрессии в математике - с примерами решения члена, получим Прогрессии в математике - с примерами решения Решение полученного квадратного неравенства есть отрезок [-4; 1], выберем из этого отрезка только натуральные числа, получим Прогрессии в математике - с примерами решения. Значит, данное неравенство выполняется только для первого члена последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности

Пример №5

Запишите 5 первых членов последовательности Прогрессии в математике - с примерами решения, если Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №6

Запишите несколько первых членов последовательности Прогрессии в математике - с примерами решения, если Прогрессии в математике - с примерами решения

Задайте эту последовательность формулой Прогрессии в математике - с примерами решения члена.

Решение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Получим следующую последовательность: 8; -8; 8; -8; …. На нечетных местах этой последовательности стоят члены, равные числу 8, а на четных — числу -8, значит, формула Прогрессии в математике - с примерами решения члена имеет вид Прогрессии в математике - с примерами решения

Арифметическая прогрессия

Рассмотрим задачу. В горной местности температура воздуха летом при подъеме на каждые 100 м в среднем понижается на 0,7 °С. У подножия горы температура равна 26 °С. Найдите температуру воздуха на высоте 100 м; 200 м; 300 м.

Решение:

Температура воздуха на высоте 100 м равна 26 °С — 0,7 °С = 25,3 °С. На высоте 200 м температура будет равна 25,3 °С — 0,7 °С = 24,6 °С, а на высоте 300 м — 24,6 °С — 0,7 °С = 23,9 °С.

Ответ: 25,3 °С; 24,6 °С; 23,9 °С.

Решая задачу, мы получили последовательность 26; 25,3; 24,6; … . Каждый член этой последовательности равен предыдущему, сложенному с числом -0,7. Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются арифметическими прогрессиями (от лат. progression — движение вперед).

Определение арифметической прогрессией

Определение:

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е.

Прогрессии в математике - с примерами решения

Число Прогрессии в математике - с примерами решения называется разностью арифметической прогрессии.

Из равенства Прогрессии в математике - с примерами решения следует, что Прогрессии в математике - с примерами решения

Чтобы задать арифметическую прогрессию Прогрессии в математике - с примерами решения, достаточно задать ее первый член Прогрессии в математике - с примерами решения и разность Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Например, если Прогрессии в математике - с примерами решения то получится арифметическая прогрессия 3; 7; 11; 15; … .

Если Прогрессии в математике - с примерами решения то арифметическая прогрессия имеет вид 2; -1; -4; -7; -10; … .

Если Прогрессии в математике - с примерами решения то все члены арифметической прогрессии равны между собой: -7; -7; -7; -7; … .

Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена арифметической прогрессии

Прогрессии в математике - с примерами решения

Выведем эту формулу. Если Прогрессии в математике - с примерами решения — арифметическая прогрессия с разностью Прогрессии в математике - с примерами решения то, используя определение, получим верные равенства:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Сложим эти равенства:

Прогрессии в математике - с примерами решения

После упрощения получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Так как число слагаемых Прогрессии в математике - с примерами решения равно Прогрессии в математике - с примерами решения, то равенство примет вид

Прогрессии в математике - с примерами решения

Получили формулуПрогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения члена арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения

Формула Прогрессии в математике - с примерами решения члена арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член Прогрессии в математике - с примерами решения, номер члена Прогрессии в математике - с примерами решения и разность прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №7

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — арифметическая прогрессия, Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите 100-й член прогрессии.

Решение:

По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Ответ: 249,5.

Пример №8

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — арифметическая прогрессия, Прогрессии в математике - с примерами решения Является ли членом этой прогрессии число: а) 168; б) 201?

Решение:

а) По условию Прогрессии в математике - с примерами решения Подставим эти значения в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена Прогрессии в математике - с примерами решения и получим уравнение Прогрессии в математике - с примерами решения Решив его, получим, что Прогрессии в математике - с примерами решения — корень уравнения. Так как 67 — натуральное число, то число 168 является членом этой прогрессии с номером 67.

б) Подставим значения Прогрессии в математике - с примерами решения в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена Прогрессии в математике - с примерами решения и получим уравнение Прогрессии в математике - с примерами решения Решим его: Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения Так как корень уравнения 80,2 — не натуральное число, то число 201 не является членом этой прогрессии.

Ответ: а) число 168 является членом этой прогрессии; б) число 201 не является членом этой прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним)

членов, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения при Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решенияпри Прогрессии в математике - с примерами решения

Доказательство. В арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения для члена Прогрессии в математике - с примерами решения запишем по формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена предыдущий и последующий члены, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Найдем их среднее арифметическое:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним) членов, то последовательность является арифметической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности Прогрессии в математике - с примерами решения каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения. Тогда Прогрессии в математике - с примерами решения,

Прогрессии в математике - с примерами решения значит, разность каждого ее члена с предыдущим членом есть одно и то же число. Обозначим его Прогрессии в математике - с примерами решения получим Прогрессии в математике - с примерами решения при любом натуральном Прогрессии в математике - с примерами решения, следовательно, Прогрессии в математике - с примерами решения Значит, по определению последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — арифметическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством арифметической прогрессии:

числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №9

Проверьте, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой

Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Запишем для Прогрессии в математике - с примерами решения предыдущий и последующий члены последовательности:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Найдем среднее арифметическое этих членов: Прогрессии в математике - с примерами решения

По характеристическому свойству арифметической прогрессии последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения является арифметической прогрессией.

Решение арифметической прогрессии

Пример №10

Последовательность 2; 12; 22; … является арифметической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является арифметической прогрессией, то найдем ее разность Прогрессии в математике - с примерами решения Тогда каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с числом 10: 2; 12; 22; 32; 42;….

Пример №11

Известны члены арифметической прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите разность этой прогрессии.

Решение:

Найдем разность арифметической прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Пример №12

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — арифметическая прогрессия. Найдите двадцатый член прогрессии, если Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения получим: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №13

Запишите формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена для арифметической прогрессии -15,5; -14,9; -14,3; … и найдите ее двадцатый член.

Решение:

По условию Прогрессии в математике - с примерами решения тогда Прогрессии в математике - с примерами решения Запишем формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена данной арифметической прогрессии, подставив в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения значения для Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Подставим Прогрессии в математике - с примерами решения в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена данной арифметической прогрессии и найдем ее двадцатый член: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №14

В арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения известно, что Прогрессии в математике - с примерами решения Число 16 является членом этой прогрессии. Найдите его номер.

Решение:

Так как Прогрессии в математике - с примерами решения то Прогрессии в математике - с примерами решения По условию Прогрессии в математике - с примерами решения Воспользуемся формулой Прогрессии в математике - с примерами решения тогда

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №15

В арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Решение:

По условию Прогрессии в математике - с примерами решения

Решим систему уравнений

Прогрессии в математике - с примерами решения

Вычтем из второго уравнения первое, получим Прогрессии в математике - с примерами решения откуда Прогрессии в математике - с примерами решения Подставим Прогрессии в математике - с примерами решения в первое уравнение системы, получим Прогрессии в математике - с примерами решения

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример №16

Найдите восьмой член арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения если Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №17

При каком значении Прогрессии в математике - с примерами решения последовательность Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения является арифметической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Решим полученное уравнение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим задачу. Двое друзей решили улучшить знание английского языка и каждый день учить на 3 новых слова больше, чем в предыдущий. Сколько слов выучит каждый из друзей за 10 дней, если они начнут с одного слова?

Для решения этой задачи нужно найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения у которой Прогрессии в математике - с примерами решения

Возникает вопрос: как найти эту сумму, не вычисляя всех десяти членов прогрессии?

В общем виде эта задача приводит к необходимости вывода формулы суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов арифметической прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Для того чтобы вывести эту формулу, докажем свойство: суммы двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равны сумме первого и последнего ее членов, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения

В общем виде: Прогрессии в математике - с примерами решения

Доказательство:

Преобразуем слагаемые в левой части равенства, воспользовавшись формулой Прогрессии в математике - с примерами решения члена: Прогрессии в математике - с примерами решения

Тогда получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

С помощью доказанного свойства найдем, например, сумму всех натуральных чисел от 1 до 50.

Натуральные числа от 1 до 50 составляют арифметическую прогрессию 1; 2; 3; …; 50. Первый член этой прогрессии равен 1, последний равен 50. Всего в этой прогрессии 50 членов.

Поскольку Прогрессии в математике - с примерами решения то и Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения (рис. 94), то искомая сумма равна Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Выведем формулу суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов арифметической прогрессии.

Обозначим Прогрессии в математике - с примерами решения через Прогрессии в математике - с примерами решения и запишем эту сумму дважды: с первого члена до Прогрессии в математике - с примерами решения и с Прогрессии в математике - с примерами решения члена до первого:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Сложим эти два равенства и получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

По свойству Прогрессии в математике - с примерами решения заменим каждую сумму в скобках на Прогрессии в математике - с примерами решения

Число всех таких пар сумм равно Прогрессии в математике - с примерами решения значит, удвоенная искомая сумма равна:

Прогрессии в математике - с примерами решения т. е. Прогрессии в математике - с примерами решенияформула суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов арифметической прогрессии.

Идея такого доказательства принадлежит выдающемуся немецкому математику К. Гауссу (1777—1855).

Формулу суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов арифметической прогрессии можно записать и в другом виде. Для этого по формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена арифметической прогрессии выразим Прогрессии в математике - с примерами решения через Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения и получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Если известен первый член прогрессии и разность, то удобно использовать формулу Прогрессии в математике - с примерами решения

Применим эту формулу к задаче о количестве выученных иностранных слов и получим: Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения Каждый из друзей выучил по 145 новых слов.

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №18

Найдите сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии 3; 7; 11; 15; … .

Решение:

В этой прогрессии первый член равен 3, а разность Прогрессии в математике - с примерами решения Применим формулу суммы

Прогрессии в математике - с примерами решения

для и получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Ответ: 5050.

Пример №19

В арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите сумму 85 первых членов арифметической прогрессии.

Решение:

Применим формулу суммы Прогрессии в математике - с примерами решения и получим: Прогрессии в математике - с примерами решения

Ответ: 1785.

Пример №20

Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен -2, а разность прогрессии равна 0,4.

Решение:

Воспользуемся формулой

Прогрессии в математике - с примерами решения

так как Прогрессии в математике - с примерами решения то Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №21

Найдите сумму 4 + 7 + 10+ … + 100, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии.

Решение:

Последовательность 4, 7, 10, …, 100 является арифметической прогрессией, в которой Прогрессии в математике - с примерами решения По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения найдем количество членов этой прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решения

Воспользуемся формулой суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения п и найдем искомую сумму: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №22

Найдите количество членов арифметической прогрессии, зная, что их сумма равна 430, первый член прогрессии равен -7, а разность прогрессии равна 3.

Решение:

Воспользуемся формулой суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Так как Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения,то составим и решим уравнение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Так как Прогрессии в математике - с примерами решения — натуральное число, то Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №23

В арифметической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите сумму членов этой прогрессии с четвертого по семнадцатый включительно.

Решение:

Найдем Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения Поскольку Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решениято составим систему уравнений

Прогрессии в математике - с примерами решения

Решим полученную систему способом сложения:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Тогда Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Примем четвертый член данной прогрессии за первый член некоторой другой прогрессии, тогда семнадцатый член данной прогрессии станет четырнадцатым (17 — 4 + 1 = 14) членом новой прогрессии. Искомая сумма равна: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №24

Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5.

Решение:

Первое число в последовательности всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5, — это число 18. Каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с числом 26. Последнее четное число, которое при делении на 13 дает в остатке 5, — это число 278. Поскольку рассматриваются только четные числа, то разность прогрессии равна 26. Найдем номер числа прогрессии, равного 278: Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения откуда Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим задачу. Вкладчик положил в банк 1000 р. на

депозит, по которому сумма вклада увеличивается ежегодно на 5 %. Какая сумма будет у него через 1 год, 2 года, 6 лет?

Решение:

Начальная сумма в 1000 р. через год увеличится на 5 % и составит 105 % от 1000 р. Найдем 105 % = 1,05 от 1000 р.: 1000 • 1,05 = 1050 (р.).

Через два года сумма вклада станет равной Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения (р.), через три года — Прогрессии в математике - с примерами решения (р.) и т. д. Получим числовую последовательность: Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Через шесть лет сумма будет равна Прогрессии в математике - с примерами решения

Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются геометрическими прогрессиями.

Определение геометрической прогрессии

Определение:

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.

Прогрессии в математике - с примерами решения

Число Прогрессии в математике - с примерами решения называется знаменателем геометрической прогрессии.

Из равенства Прогрессии в математике - с примерами решения следует, что Прогрессии в математике - с примерами решения

Чтобы задать геометрическую прогрессию Прогрессии в математике - с примерами решения достаточно задать ее первый член Прогрессии в математике - с примерами решения, и знаменатель Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Например, если Прогрессии в математике - с примерами решения то получится геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; … .

Если Прогрессии в математике - с примерами решения то получится геометрическая прогрессия, знаки членов у которой чередуются, так как знаменатель прогрессии является отрицательным числом: 3; -6; 12; -24; … .

Если Прогрессии в математике - с примерами решения то геометрическая прогрессия имеет

вид Прогрессии в математике - с примерами решения

ЕслиПрогрессии в математике - с примерами решения то все члены геометрической прогрессии равны между собой: 3; 3; 3; 3; … .

Чтобы вычислить любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена геометрической прогрессии

Прогрессии в математике - с примерами решения

Выведем эту формулу. Если Прогрессии в математике - с примерами решения — геометрическая прогрессия и Прогрессии в математике - с примерами решения — ее знаменатель, то по определению верны равенства:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Перемножим эти равенства между собой:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Разделим обе части равенства на произведение Прогрессии в математике - с примерами решения и получим Прогрессии в математике - с примерами решения

Так как число множителей Прогрессии в математике - с примерами решения равно Прогрессии в математике - с примерами решения то равенство примет вид

Прогрессии в математике - с примерами решения

Получили формулу Прогрессии в математике - с примерами решениячлена геометрической прогрессии.

Формула Прогрессии в математике - с примерами решения члена геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии.

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №25

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — геометрическая прогрессия, Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите 8-й член прогрессии.

Решение:

По формулеПрогрессии в математике - с примерами решения члена получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Ответ: 4374.

Пример №26

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — геометрическая прогрессия, Прогрессии в математике - с примерами решения Является ли число 320 членом этой прогрессии?

Решение:

По условию Прогрессии в математике - с примерами решения Подставим эти значения в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена Прогрессии в математике - с примерами решения и получим уравнение Прогрессии в математике - с примерами решения

Решим это уравнение: Прогрессии в математике - с примерами решения

Так как 8 — натуральное число, то число 320 является членом этой прогрессии с номером 8.

Ответ: число 320 является членом этой прогрессии.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения при Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

или Прогрессии в математике - с примерами решения при Прогрессии в математике - с примерами решения

Доказательство:

В геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения для члена Прогрессии в математике - с примерами решения запишем по формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена предыдущий и последующий (соседние) члены, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Найдем среднее пропорциональное (среднее геометрическое) соседних с Прогрессии в математике - с примерами решениячленов геометрической прогрессии. Для этого перемножим равенства Прогрессии в математике - с примерами решения и получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Выполним преобразования в правой части равенства:

Прогрессии в математике - с примерами решения

откуда получим, что

Прогрессии в математике - с примерами решения или Прогрессии в математике - с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение:

  • если в последовательности чисел, отличных от нуля, модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, то последовательность является геометрической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности Прогрессии в математике - с примерами решения модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения.

Тогда Прогрессии в математике - с примерами решения значит, Прогрессии в математике - с примерами решения т. е. частное от деления каждого члена последовательности на предшествующий ему член есть одно и то же число, отличное от нуля. Обозначим его Прогрессии в математике - с примерами решения получим Прогрессии в математике - с примерами решения при любом натуральном Прогрессии в математике - с примерами решения следовательно, Прогрессии в математике - с примерами решения Значит, по определению последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — геометрическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством геометрической прогрессии:

  • числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №27

Проверьте, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Запишем для Прогрессии в математике - с примерами решения предыдущий и последующий члены последовательности:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Найдем среднее пропорциональное этих членов:

Прогрессии в математике - с примерами решения

По характеристическому свойству геометрической прогрессии последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения является геометрической прогрессией.

Решение геометрической прогрессии

Пример №28

Последовательность 2; 10; 50; … является геометрической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является геометрической прогрессией, то найдем ее знаменатель Прогрессии в математике - с примерами решения Тогда каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на число 5: 2; 10; 50; 250; 1250; 6250; ….

Пример №29

Известны члены геометрической прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Так как знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему, то Прогрессии в математике - с примерами решения

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Пример №30

Последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения — геометрическая прогрессия. Найдите пятый член этой прогрессии, если Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №31

Запишите формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена для геометрической прогрессии -216; 36; -6; … и найдите ее седьмой член.

Решение:

По условию Прогрессии в математике - с примерами решения тогда Прогрессии в математике - с примерами решения Запишем формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена данной геометрической прогрессии, подставив в формулу Прогрессии в математике - с примерами решениязначения для Прогрессии в математике - с примерами решения и Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения

Подставим Прогрессии в математике - с примерами решения в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена данной геометрической прогрессии и найдем ее седьмой член:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №32

Найдите номер члена геометрической прогрессии 0,1; 0,3; …, равного 218,7.

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Известно, что Прогрессии в математике - с примерами решения По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения члена геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №33

Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения если Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

По условию Прогрессии в математике - с примерами решения

Составим систему уравнений

Прогрессии в математике - с примерами решения

Разделим второе уравнение на первое и получим: Прогрессии в математике - с примерами решения

Подставим это значение Прогрессии в математике - с примерами решения в первое уравнение системы и получим Прогрессии в математике - с примерами решения

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример №34

Найдите сорок девятый член геометрической прогрессии, если сорок восьмой ее член равен 4, а пятидесятый ее член равен 9.

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения и получим Прогрессии в математике - с примерами решения Тогда Прогрессии в математике - с примерами решения или Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №35

При каком значении Прогрессии в математике - с примерами решения последовательность Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения является геометрической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является геометрической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего членов:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Решим полученное уравнение: Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Немало легенд связано с геометрической прогрессией.

Наиболее известная из них рассказывает об изобретателе шахмат.

По легенде, когда создатель шахмат показал свое изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зерен на каждой следующей клетке (рис. 96).

Прогрессии в математике - с примерами решения

Правитель быстро согласился и приказал казначею выдать мудрецу нужное количество зерна. Однако когда казначей показал расчеты, то оказалось, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять все пшеницей.

Число зерен, которое попросил мудрец, равно сумме членов геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения

Выведем формулу, по которой можно находить сумму Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим сумму Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения через Прогрессии в математике - с примерами решения тогда:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения и получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Вычтем из второго равенства первое и получим:

Прогрессии в математике - с примерами решения

т. e. Прогрессии в математике - с примерами решения Выразим из этого равенства Прогрессии в математике - с примерами решения при Прогрессии в математике - с примерами решения и получим формулу суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения

Если Прогрессии в математике - с примерами решения то все члены прогрессии равны первому члену, и сумму Прогрессии в математике - с примерами решения первых прогрессии членов такой геометрической прогрессии можно найти по формуле Прогрессии в математике - с примерами решения

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Вычислим по формуле суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов геометрической прогрессии число зерен, которое запросил в награду мудрец, т. е. сумму

Прогрессии в математике - с примерами решения

Первый член геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения знаменатель Прогрессии в математике - с примерами решения количество членов прогрессии равно 64.

Тогда Прогрессии в математике - с примерами решения

Такого количества пшеницы человечество не собрало за всю свою историю.

Пример №36

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения в которой Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Применим формулу суммы Прогрессии в математике - с примерами решения для

Прогрессии в математике - с примерами решения получим Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Ответ: 511,5.

Пример №37

Найдите сумму двенадцати первых членов геометрической прогрессии 3; -6; 12; -24; … .

Решение:

Подставим в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения значения Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Ответ. -4095.

Пример №38

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения если

Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения тогда Прогрессии в математике - с примерами решения

По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения найдем

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №39

Сумма членов геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Подставим в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения значения Прогрессии в математике - с примерами решения и найдем Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №40

В геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения известно, что Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Подставим в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения члена геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения и найдем первый член прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения

По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения найдем сумму трех первых членов геометрической прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №41

В геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения известно, что Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите сумму п первых членов этой прогрессии.

Решение:

Зная, что третий член геометрической прогрессии равен 16, а ее знаменатель равен 2, по формуле Прогрессии в математике - с примерами решения найдем первый член прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решения Воспользуемся формулой Прогрессии в математике - с примерами решения члена геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения и найдем Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

По формуле суммы Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов геометрической прогрессии найдем Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной периодической дроби. Например, Прогрессии в математике - с примерами решения — конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая десятичная дробь получается в случае, когда деление «не заканчивается», например Прогрессии в математике - с примерами решения

Вы рассматривали правило записи конечной десятичной дроби в виде обыкновенной дроби (например, Прогрессии в математике - с примерами решенияПрогрессии в математике - с примерами решения ит. п.).

Выясним, как бесконечную периодическую десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби.

Рассмотрим, например, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) = 0,7777… . Определим, какой обыкновенной дроби равно это число.

Запишем дробь 0,(7) в виде суммы разрядных слагаемых:

Прогрессии в математике - с примерами решения

В данном случае необходимо найти сумму бесконечного числа слагаемых.

Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем Прогрессии в математике - с примерами решения Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Определение. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель Прогрессии в математике - с примерами решения

Например, геометрическая прогрессия Прогрессии в математике - с примерами решения является бесконечно убывающей геометрической прогрессий, так как Прогрессии в математике - с примерами решения

Геометрическая прогрессия Прогрессии в математике - с примерами решения также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку Прогрессии в математике - с примерами решения

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее обозначают буквой Прогрессии в математике - с примерами решения и находят по формуле

Прогрессии в математике - с примерами решения

Покажем идею вывода формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию Прогрессии в математике - с примерами решения у которой Прогрессии в математике - с примерами решения Сумма Прогрессии в математике - с примерами решения первых членов данной прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения вычисляется по формуле Прогрессии в математике - с примерами решения Запишем эту формулу в виде

Прогрессии в математике - с примерами решения

Представим, что п неограниченно возрастает (говорят, что стремится к бесконечности, и записывают Прогрессии в математике - с примерами решения). Поскольку Прогрессии в математике - с примерами решения то при неограниченном увеличении числа Прогрессии в математике - с примерами решения степень Прогрессии в математике - с примерами решения стремится к нулю, а значение разности Прогрессии в математике - с примерами решения стремится к единице. Значит, при неограниченном увеличении числа Прогрессии в математике - с примерами решения сумма Прогрессии в математике - с примерами решения стремится к числу Прогрессии в математике - с примерами решения что можно записать в виде Прогрессии в математике - с примерами решения при Прогрессии в математике - с примерами решения

Число Прогрессии в математике - с примерами решения называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения у которой Прогрессии в математике - с примерами решения Таким образом,

Прогрессии в математике - с примерами решения

Обозначим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии буквой Прогрессии в математике - с примерами решенияи получим формулу: Прогрессии в математике - с примерами решения

Вычислим по этой формуле сумму разрядных слагаемых:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Слагаемые этой суммы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию Прогрессии в математике - с примерами решения первый член которой равен Прогрессии в математике - с примерами решения

а знаменатель равен Прогрессии в математике - с примерами решения

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Так как Прогрессии в математике - с примерами решения то можем найти сумму этой бесконечной прогрессии. Подставим Прогрессии в математике - с примерами решения в формулу Прогрессии в математике - с примерами решения и получим: Прогрессии в математике - с примерами решения

Значит, Прогрессии в математике - с примерами решения

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) можно записать в виде обыкновенной дроби Прогрессии в математике - с примерами решения, т. е. Прогрессии в математике - с примерами решения

Таким же способом можно любую бесконечную периодическую десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби.

Чтобы записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, нужно:

  1. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.
  2. Выделить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  3. Указать первый член Прогрессии в математике - с примерами решения, и найти знаменатель этой прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения
  4. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формулеПрогрессии в математике - с примерами решения
  5. Вычислить сумму первых слагаемых и найденного значения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Запишите в виде обыкновенной дроби число Прогрессии в математике - с примерами решения

(1) Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

(2) Прогрессии в математике - с примерами решения

(3) Прогрессии в математике - с примерами решения

(4) Прогрессии в математике - с примерами решения

(5) Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Пример №42

В бесконечной геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Является ли эта прогрессия бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии: Прогрессии в математике - с примерами решения Так как Прогрессии в математике - с примерами решения то данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №43

Является ли бесконечно убывающей геометрическая прогрессия:

а) Прогрессии в математике - с примерами решения

б) Прогрессии в математике - с примерами решения

в) Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

а) Каждый член этой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число Прогрессии в математике - с примерами решения Так как Прогрессии в математике - с примерами решения то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

б) ПосколькуПрогрессии в математике - с примерами решения, то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

в) Знаменатель прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Так-как Прогрессии в математике - с примерами решения то прогрессия не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №44

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой Прогрессии в математике - с примерами решения Прогрессии в математике - с примерами решения

Решение:

По формуле Прогрессии в математике - с примерами решения получим: Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №45

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решения Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

В формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Прогрессии в математике - с примерами решенияподставим Прогрессии в математике - с примерами решения и получим Прогрессии в математике - с примерами решения Решим полученное уравнение:

Прогрессии в математике - с примерами решения

Пример №46

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь 15,2(3) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

(1) Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

(2) Прогрессии в математике - с примерами решения

(3) Прогрессии в математике - с примерами решения

(4) Прогрессии в математике - с примерами решения

(5) Прогрессии в математике - с примерами решения

Прогрессии в математике - с примерами решения

  • Единичная окружность — в тригонометрии
  • Определение синуса и косинуса произвольного угла
  • Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Наибольшее и наименьшее значения функции
  • Раскрытие неопределенностей
  • Дробно-рациональные уравнения
  • Дробно-рациональные неравенства

Определение

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.

n-ый элемент арифметической прогрессии

Чтобы найти n-ый элемент, нужно к (n-1) элементу прибавить разность арифметической прогрессии.

    [a_n=a_{n-1}+d,]

где d — разность арифметической прогрессии, a_ii-ый элемент арифметической прогрессии.

Выразим n-ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.

    [a_{2}=a_{1}+d]

    [a_{3}=a_{2}+d=a_1+d+d=a_1+2d]

    [a_{4}=a_{3}+d=a_1+2d+d=a_1+3d]

    [ldots]

Получаем, что

    [a_n=a_1+d(n-1).]

Пример 1. Найти 10-ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен 2, а разность 0,5.

Решение. 

a_{10}=a_1+d(10-1)=2+0,5(10-1)=2+4,5=6,5.

Ответ: 6,5.

Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен 15, а 10-ый — 18-ти.

Решение.

    [a_5=a_1+4d]

    [a_{10}=a_1+9d]

Вычтем из второго уравнения первое: a_{10}-a_5=a_1-a_1+9d-4d.

d=frac{a_{10}-a_5}{9-4}=frac{18-15}{5}=frac{3}{5}=0,6.

Ответ: 0,6.

Сумма арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму первых n членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

    [S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n;]

    [S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}cdot n.]

Докажем первую формулу.

    [S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+ldots+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}]

    [S_n=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+ldots+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}]

Сложим почленно два последних равенства.

Получаем,

    [S_n+S_n=a_1+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+ldots +a_2+a_{n-1}+a_1+a_n]

Так как, a_k+a_{n-(k-1)}=a_1+d(k-1)+a_n-d(k-1)=a_1+a_n, то 2 cdot S_n=(a_1+a_n) cdot n.

Следовательно,

    [S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]

Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение.

    [1+2+3+ldots+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101 cdot 50=5050.]

Ответ: 5050.

Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен 15, а разность арифметической прогрессии равна 2. Найдите сумму первых 10 элементов данной арифметической прогрессии.

Решение.

S_10=frac{2 cdot 15+2(10-1)}{2}cdot 10 =(30+18)cdot 5=48cdot 5=240.

Ответ: 240.

Пример 5. Арине надо решить 270 задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила 10 задач, а в последний она запланировала решить 17 задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

    [S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]

По условии задачи: S_n=270, a_1=10, a_n=17. Надо найти n.

    [270=frac{10+17}{2}cdot n;]

    [270=frac{27}{2}cdot n;]

    [n=20.]

Ответ: 20.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

    [a_{n}=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}]

Доказательство основывается на том, что

    [a_{n-k}+a_{n+k}=a_n-d cdot k+a_n+d cdot k=2 cdot a_n.]

Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

    […;10; x; 16; 19; … .]

Найдите x.

Решение.

x=frac{16+10}{2}=13

Ответ: 13.

Тема 11.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+…+98+99+100.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.

Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.

1+2+3+4+…..+97+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a1 + an, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

2Sn=a1+an∙n

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

Sn=(a1+an)2∙n

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо an подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:

Sn=(a1+an)2∙n=a1+a1+dn-12∙n=2a1+dn-12∙n

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Разберем несколько примеров:

Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой:Sn=(a1+an)2∙n, получим

S10=(-23+4)2∙10=-192∙10=-19∙5=-95

Рассмотрим еще один пример:

Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:

-15; -11; -7; -3; ….

Итак, a1=-15,d=4, значит, можно воспользоваться второй формулой: Sn=2a1+dn-12∙n, получим:

S22=2∙-15+4∙(22-1)2∙22=-30+842∙22=54∙11=594.

А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S30=a1+a2+…+a14+a15+…+a30, если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.

Итак, S30=2∙10+3∙292∙30=1072∙30=107∙15=1605

S14=2∙10+3∙132∙14=592∙14=59∙7=413

S15-30=S30-S14=1605-413=1192

Ответ: 1192.

Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.

А теперь давай решим уравнение:

x+1+x+5+x+9+…+x+69=684

Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:

x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.

Итак, имеем: a1=x+1,a2=x+5,an=x+69, Sn=684.

Найдем разность арифметической прогрессии:

d=a2-a1=x+5-x+1=4

Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: an = a1 + d(n — 1)

x + 69 = x + 1 + 4(n — 1)

x + 69 = x + 1 + 4n — 4

4n = 72, n = 18

Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:

684=x+1+x+52∙18

684 = (2x + 70) ∙ 9, отсюда 2x + 70 = 76    2x=6,    x=3

Ответ:3

Сумма членов арифметической прогрессии

Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы её крайних членов на количество всех её членов.

где  S  — это сумма всех членов,  a1  — первый член прогрессии,  an  — последний член, а  n  — количество членов в данной прогрессии.

Рассмотрим, почему именно с помощью данной формулы можно найти сумму всех членов арифметической прогрессии:

Если взять любую конечную арифметическую прогрессию, например:

3,  6,  9,  12,  15,  18,  21,  24,  27,  30; 

то не трудно будет посчитать (складывая числа друг за другом), что сумма всех её членов равна  165.  В то же время, если сгруппировать попарно все члены, равноудалённые от концов:

(3 + 30),  (6 + 27),  (9 + 24),  (12 + 21)  и  (15 + 18);

то можно увидеть, что суммы таких групп равны (в данном случае сумма чисел каждой группы равна  33).  Значит, вместо того, чтобы последовательно складывать все члены прогрессии, достаточно узнать сумму двух её членов — первого и последнего. Так как таких сумм получится ровно в 2 раза меньше, чем всех членов в прогрессии, то для вычисления суммы всех членов, надо умножить сумму первого и последнего члена на общее количество членов прогрессии, разделённое на два:

(3 + 30) ·  10  =  (3 + 30) · 10  = 165.
2 2

Исходя из данного примера, можно вывести общую формулу нахождения суммы всех членов прогрессии, если известен первый и последний её члены, а также количество членов:

S (a1 + an) ·  n  =  (a1 + an)n  .
2 2

Если в формулу для суммы вместо  an  вставить равное ему выражение:  a1 + (n — 1)d,  то получится:

S (2a1 + d(n — 1))n  .
2

По этой формуле можно определить сумму в зависимости от первого члена, разности и количества членов данной прогрессии.

Пример. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:

1, 3, 5, 7, … .

Решение: В данной прогрессии первый член равен  1,  а разность —  2,  значит, сумма первых 10 членов равна:

(2 · 1 + 2(10 — 1)) · 10  = 100.
2

Когда речь идет о таком параметре, как сумма арифметической прогрессии, подразумевается всегда сумма первых членов арифметической прогрессии или сумма членов прогрессии с k по n, то есть количество членов, которые берутся для суммы, строго ограничено в заданных условием пределах. В противном случае задание не будет иметь решения, так как вся числовая последовательность именно арифметической прогрессии начинается с конкретного числа — первого члена a1, и продолжается бесконечно.

Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.

a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=⋯

Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии

Пример. Предположим, задано условие: «Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии». Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.

В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Смотрите также

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Все формулы как найти площадь параллелограмма формула
  • Как найти длину биссектрисы в правильном треугольнике
  • Как составить план текста по литературе с примером
  • Как найти загадочную книгу
  • Как найти лики в своей игре