Биссектриса при основании равнобедренного треугольника как найти

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.

Дано:

∆ ABC,

AC=BC,

AN и BM — биссектрисы.

 Доказать: AN=BM.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ACN и BCM

(не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

2) ∠C — общий

3) ∠CAN=∠CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного   треугольника)

Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).

Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).

Отсюда вытекает, что

Биссектрисы, проведенные из равных углов треугольника, равны.

Биссектрисы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.

Замечание.

(Вместо пары треугольников ACN и BCM можно было рассмотреть треугольники ABM и BAN.

1) AB — общая сторона

2) ∠MAB=∠NBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)

3) ∠ABM=∠BAN (как углы, образованные биссектрисами равных углов).

Следовательно, треугольники ACN и BCM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам).

II. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, пропорциональные боковой стороне и основанию.

Это следует непосредственно из свойства биссектрисы треугольника.

Как найти биссектрису равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при его основании тоже будут равны. Поэтому биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, будут равны друг другу. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, будет одновременно медианой и высотой этого треугольника.

Инструкция

Пусть биссектриса AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как биссектриса AE будет одновременно являться его высотой. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE — его катетами.По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника биссектриса AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE — биссектриса. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).

Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует равен половине суммы длин всех его сторон: P = (AB+BC+AC)/2 = (a+b+c)/2, где BC = a, AC = b, AB = c.Формула Стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, AB), будет иметь вид: l = sqrt(4abp(p-c))/(a+b).

Из формулы Стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (AC), будет иметь такую же длину, так как b = c.

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

• AB = BC, т.к. являются боковыми сторонами равнобедренного △ABC;
• AF = CG, т.к. это биссектрисы, проведенные к боковым сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны между собой).

Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.

• BH – биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
• BH – медиана, значит она делит AC пополам, т.е. AH = HC;
• BH – высота, следовательно, она перпендикулярна AC.

Свойство 3

Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:

l² = b² – a²

• l – биссектриса;
• b – боковая сторона;
• a – половина основания.

Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора (l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).

Свойство 4

Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.

• BD – внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
• BD параллельна основанию AC.

Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Пример задачи

Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 3, чтобы найти длину основания.
a² = b² – l² = 25² – 20² = 225.

Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).

Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.

Биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.

AN и BM — биссектрисы.

Рассмотрим треугольники ACN и BCM

(не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

3) ∠ CAN= ∠ CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного треугольника)

Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).

Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).

Отсюда вытекает, что

Биссектрисы, проведенные из равных углов треугольника, равны.

Биссектрисы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.

(Вместо пары треугольников ACN и BCM можно было рассмотреть треугольники ABM и BAN.

1) AB — общая сторона

2) ∠ MAB= ∠ NBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)

3) ∠ ABM= ∠ BAN (как углы, образованные биссектрисами равных углов).

Следовательно, треугольники ACN и BCM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам).

II. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, пропорциональные боковой стороне и основанию.

Биссектриса в равнобедренном треугольнике — свойства, теоремы и формулы

Общие сведения

Геометрическая фигура является треугольником, если она состоит из трех точек, лежащих в одной плоскости и не лежащих на одной прямой. Она изучается в пятом классе. В геометрии принято сокращенное обозначение при помощи символа Δ, после которого следует писать произвольные три литеры (вершины) в алфавитном порядке. Например, ТUV.

Вершина — точка, из которой исходят два отрезка и образуют две стороны. Отрезок является элементом луча. Обозначается он двумя заглавными литерами (ТU, UV и т. д. ). Луч — часть прямой, имеющая только начало. Он необходим для построения отрезков, из которых состоят все фигуры геометрии.

Прямая — линия, проходящая в бесконечном пространстве. У нее не существует начала и конца. Математики обозначают ее произвольной маленькой латинской буквой (например, m). Кроме того, у равнобедренного Δ существуют и дополнительные параметры — биссектриса, медиана и высота. Первая делит любой угол (сокращенное обозначение — ∠) при вершине, из которой она исходит, на два ∠ с эквивалентной градусной мерой, т. е. пополам.

Медиана соединяет вершину и середину противоположной стороны, а высота — простой перпендикуляр. Он начинается в вершине и находится внутри треугольника, опускаясь на противолежащую сторону.

Равнобедренный Δ — фигура, имеющая две равные боковые стороны. Следует отметить, что любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой. Это правило выполняется, когда она проведена к основанию фигуры. Существует еще один вид Δ. Он называется правильным или равносторонним. Для него справедливо такое утверждение, сформулированное учеными-математиками: любая высота является медианой и биссектрисой. Для решения задач по геометрии рекомендуется знать теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника и ее свойства.

Теоремы о биссектрисах

Теорема о биссектрисах треугольника звучит таким образом: точка пересечения биссектрис — инцентр ΔTUV. Доказывается теорема по такому алгоритму:

1. Из вершин T и U нужно провести биссектрисы TT’ и UU’ на противоположные стороны UV и TV соответственно.
2. На чертеже видно, что они пересекаются в некоторой точке. Последнюю следует обозначить Z.
3. Если предположить, что TT’ и UU’ не пересекаются, а параллельны (||), то секущей является сторона TU. В этом случае должно выполняться тождество: ∠(Т/2)+∠(U/2)=180.
4. Однако утверждение в третьем пункте противоречит сумме градусных мер ∠ треугольника, поскольку ∠Т+∠U+∠V=180. Из выражения, полученного на третьем шаге алгоритма, следует, что ∠Т+∠U=360.
5. На основании рассуждений можно сделать вывод, что Z — точка пересечения биссектрис.
6. Таким же образом доказывается случай для вершины V и биссектрисы VV’.
7. Точка Z — центр описанной окружности. Чтобы это доказать, нужно просто провести круг. На рисунке все вершины ΔTUV будут лежать на нем. Теорема полностью доказана.

Кроме того, существует еще одно утверждение, имеющее такой вид: любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой и медианой.

Доказать его можно посредством такой методики:

1. Начертить равнобедренный ΔTUV. У него стороны TU=UV, а TV — основание.
2. Провести высоту UU’ на основание.
3. Рассмотреть два прямоугольный Δ: TUU’ и UVU’. Они равны между собой, поскольку UU’ — общая, TU=UV и углы (∠Т=∠V) при основании — по определению равнобедренного Δ, а ∠ТU’U=∠UU’V — по построению.
4. На основании третьего пункта можно сделать вывод о равенстве сторон TU’ и VU’, а также ∠U’UТ=∠VU’U. Следовательно, в первом случае UU’ — медиана, а во втором — биссектриса.
5. На основании четвертого утверждения теорема доказана.

Кроме того, существуют определенные свойства, которые могут быть полезными при решении задач. Их получают из теорем и других тождеств, доказываемые математиками.

Полезные свойства

Математики вывели пять полезных свойств для биссектрисы в равнобедренном Δ.

К ним относятся следующие:

1. Свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника: она есть медиана и высота.
2. При проведении из вершин, образующих основание, углы, образованные ими, эквивалентны между собой.
3. Если провести биссектрису TT’ из вершины при основании, то будет выполняться следующее тождество: TU/TV=UT’/T’V (отношение стороны к основанию эквивалентно частному из двух отрезков, полученных при построении).
4. Длина биссектрисы, проведенной к основанию, эквивалентна корню второй степени из квадрата боковой стороны без четвертой части квадрата основания: UU’=[m 2 — (¼)*n 2 ](^½), где m и n — длина боковой стороны и основания.
5. Через точку пересечения проходит круг, касающийся вершин основания.

Следует отметить, что в равностороннем треугольнике каждая биссектриса будет отсекать равные углы из каждой вершины.

В нем можно провести их всего три, а в равнобедренном — 2 высоты, 2 медианы, 2 биссектрисы, а также одну к основанию.

Пример решения

Чтобы усвоить материал, необходимо решить задачу по геометрии. Ее условие имеет такой вид:

1. Периметр равнобедренного Δ равен 40 см.
2. Основание больше боковой стороны на 10 см.

Необходимо найти значение высоты. Решать нужно по такому алгоритму:

1. Составить уравнение: 40=2*t+(t+10), где t — боковая сторона, а (t+10) — основание.
2. Раскрыть скобки: 40=2*t+t+10.
3. Привести подобные коэффициенты:3t=30.
4. Найти неизвестную: t=10 (см).
5. Вычислить основание: 10+10=20 (см).
6. Определить высоту: h= [100+((¼)*20)^2]^(½)=5[5]^(½) (см).

Следовательно, высота равнобедренного Δ со сторонами 10 и 20 см эквивалентна 5[5]^(½) см. Существуют и более сложные задачи, в которых требуется составлять уравнения. Например, условие одной из них имеет такой вид:

1. Высота, опущенная из вершины на основание (ТТ’), равна 20 см.
2. Основание больше стороны на 5 см.

Необходимо найти периметр треугольника. Для решения задачи необходимо составить определенный алгоритм:

1. Обозначить стороны: основание — n, сторона — m и высота — h.
2. Периметр P: Р=2m+n.
3. Записать формулу, руководствуясь первым и четвертым свойствами биссектрисы: h=[m 2 -(¼)*n 2 ]^(½).
4. Записать связь сторон, обозначив боковую сторону переменной t: t=t+5.
5. Подставить в соотношение во втором пункте: 20=[t 2 -(¼)*(t+5)^2]^(½).
6. Возвести обе части в квадрат: 400=t 2 -(¼)*(t+5)^2.
7. Раскрыть скобки: 400=t 2 -(¼)*(t 2 +10+25)=t 2 -(¼)t 2 −10/4−25/4=(¾)t 2 -(10/4)-25/4=(¼)*(3t 2 -10−25).
8. Решить квадратное уравнение, сократив на ¼ обе части: (3t 2 -10t-25)=200.
9. Первый корень равен -7, а второй — +25. Второе значение подходит, поскольку является положительным числом.
10. Основание вычисляется таким образом: n=25+5=30 (см).
11. Если подставить полученное значение для проверки в соотношение h=[t 2 -(¼)*(t+5)^2]^(½), то получится такое выражение: 20=[25 2 -(¼)*30 2 ]^(½)=[625−900/4]^(½)=[625−225]^(½)=20. Значение найдено верно.
12. Периметр находится по формуле: P=25*2+30=80 (см).

Задача решена в полном объеме. Из методики решения видно, что сначала нужно записать основную формулу, а затем найти неизвестные в ней величины по другим вспомогательным тождествам.

Таким образом, при решении задач по геометрии необходимо знать основные определения, формулы, свойства и теоремы, которые также могут быть полезны.

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

• AB = BC, т.к. являются боковыми сторонами равнобедренного △ABC;
• AF = CG, т.к. это биссектрисы, проведенные к боковым сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны между собой).

Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.

• BH – биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
• BH – медиана, значит она делит AC пополам, т.е. AH = HC;
• BH – высота, следовательно, она перпендикулярна AC.

Свойство 3

Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:

Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора ( l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).

Свойство 4

Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.

• BD – внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
• BD параллельна основанию AC.

Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Пример задачи

Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 3, чтобы найти длину основания.
a 2 = b 2 – l 2 = 25 2 – 20 2 = 225 .

Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).

Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.