Будем решать задачи как найди значение выражения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

Числа (целые, дробные и т.д.);
Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

1 • 2 = 2
2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

4 • 5 = 20
3 + 1 = 4
4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

Синус;
Косинус;
Котангенс;
Тангенс;
Секанс;
Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Важно: Не стоит бояться буквенных тригонометрических значений. Большинство примеров построено таким образом, чтобы функции можно было заменить более удобной для вычисления формулой. Поэтому вместо того, чтобы пытаться сразу решить пример, стоит обратить внимание на особенности функций и возможность их приведения к подходящей формуле.

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

Степени;
Скобки;
Корни;
Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

Источник

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки «+», «·», «-«, «÷», то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14-5-3=9-3=6.

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112

12-(-14)+23÷114·1112=12-(-14)+23·411·1112=12-(-14)+29.

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.

0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34

1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2

2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3+13-1-1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3+13-1=3-1.

Таким образом:

3+13-1-1=3-1-1=1.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.

Начинаем вычислять по порядку.

23·4-10=212-10=22=4

16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6

2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32

22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3,22=3,2÷2=1,6

7-2·36=7-66=16

1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 25-1-25-74-3.

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24

Исходное выражение принимает вид:

25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.

Вычислим значение этого выражения:

25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.

log2log2256=log28=3.

По свойству логарифмов:

log62+log63=log6(2·3)=log66=1.

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

tg4π3=3

sin-5π2=-1

cosπ=-1.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
Выполняются действия в скобках.
Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π

Теперь можно узнать значение синуса:

sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4

Отсюда:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.

Со знаменателем дроби все проще:

lne2=2.

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.

С учетом этого, запишем все выражение:

-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.

Окончательный результат:

-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов.

Источник

Итак, давайте разберем, задание №9 в ЕГЭ по математике профильного уровня. Все эти задания требуют – найдите значение выражения. То есть, наша задача вычислить – найти значение выражения и записать в ответ число.

Задания ЕГЭ профильного уровня по математике

Какие бывают задания с требованием найти значение выражения. Эти задания бывают разными и относящимися к разным темам. Например, выражения в задании 9 ЕГЭ по математике профильного уровня бывают:

степенные
логарифмические
тригонометрические
числовые
иррациональные (с корнями)
с переменными заданными величинами

Давайте рассмотрим общий принцип и необходимые теоретические сведения для решения каждого типа выражения.

Степенные выражения

Для того, чтобы найти значение выражения со степенями, вам понадобятся формулы для вычисления степеней. Приведем самые распространенные из них, на которые обычно дается задание нахождения значения выражения со степенями. Вы должны четко понимать, что если число находится в какой то степени, то оно не свободное, оно в отношении степени. И нельзя сократить два числа в дроби, если у них одно основание и разные показатели степени. Или если разные основания и разные показатели степени.

Например, вот здесь $frac{6^{5}}{2^{3}}$ мы никак не можем получить . Потому что мы не имеем право делить 6 на 2, пока 6 находится в степени. И 2 находится в степени. Степень вообще всегда первое действие. То есть среди действий +, – , : , и степень, мы сначала будем возводить в степень. Именно это свойство степени проверяется, например, в этом задании:

Найдите значение выражения $frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}$ . Мы не можем сократить 3 и 9, потому что они находятся в отношении степени. И нам нужно сначала возвести в степень. Только потом мы можем разделить числитель на знаменатель.

Итак, найдем значение этого выражения: $frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}=frac{3^{6,5}}{(3^2)^{2,25}}=frac{3^{6,5}}{3^{4,5}}=3^{6,5-4,5}=3^2=9$ .

Здесь мы использовали свойство степени при делении степеней с одинаковыми основаниями. Приведем все необходимые для решения данных заданий свойства степеней:

$boxed {a^m cdot a^n=a^{m+n}}$

$boxed {frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$

$boxed {(a^m)^n=a^{mn}}$

$boxed { (frac{a^m}{b^n})^k=frac{a^{mk}}{b^{nk}}}$

$boxed {(a^m cdot b^n)^k=a^{mk}cdot b^{nk}}$

$boxed {a^{-n}=frac{1}{a^n}}$

Давайте рассмотрим еще несколько заданий.

Найдите значение выражения

Задание 1.

Найдите значение выражения .

Очевидно, что перед нами формула сокращенного умножения в развернутом виде: . Применяя эту формулу к нашему выражению, увидим, что , а . Получим: $a^2-b^2=(sqrt{3})^2-(sqrt{13})^2=3-13=-10$ .

Ответ: -10.

Задание 2.

Найдите значение выражения $frac{(5sqrt{3})^2}{10}$ .

При возведении произведения в степень, в нее возводится каждый множитель, то есть получим: $frac{5^2 cdot (sqrt{3})^2}{10}=frac{25cdot3}{10}=frac{75}{10}=7,5$ .

Ответ: 7,5.

Ничего сложного, если вы знаете формулы сокращенного умножения и свойства степеней.

А для того, чтобы найти значение выражения, в котором есть логарифмы, нужно знать свойства логарифмов.

Задание 3.

Найдите значение выражения $frac{log_{3}4}{log_{3}2}+log_{2}0,5$ .

Здесь для нахождения значения выражения мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

переход к новому основанию $log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}$ .

сложение логарифмов с одинаковыми основаниями: $log_{a}b+log_{a}c=log_{a}{bc}$ .

Итак, получим: $frac{log_{3}4}{log_{3}2}+log_{2}0,5=log_{2}4+log_{2}0,5=log_{2}{4cdot 0,5}=log_{2}2=1$

Ответ: 1.

Задание 4.

Найдите значение выражения $frac{(2^{frac{4}{7}}cdot 3^{frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}$ .

Помните: при возведении в степень произведения, в нее возводится каждый множитель: $(a^m cdot b^n)^k=a^{mk} cdot b^{nk}$

Преобразуем выражение в числителе дроби:

$frac{(2^{frac{4cdot 21}{7}}cdot 3^{frac{2cdot 21}{3}})}{6^{12}}=frac{2^{4cdot 3}cdot 3^{2cdot 7}}{6^{12}}$

Разложим 6 на множители 2 и 3, получим:

$frac{2^{4cdot 3}cdot 3^{2cdot 7}}{(2 cdot 3)^{12}}=frac{2^{4cdot 3}cdot 3^{2cdot 7}}{2^{12} cdot 3^{12}}=frac {2^{12}cdot 3^{14}}{2^{12} cdot 3^{12}}$

Далее используем свойства степеней:

$frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ .

Сокращая числитель и знаменатель на $2^{12}$ , получим: $frac {2^{12}cdot 3^{14}}{2^{12} cdot 3^{12}}=3^{14-12}=3^2=9$ .

Ответ: 9.

Задание 5

Найдите значение выражения: $frac {81^{2,6}}{9^{3,7}}$ .

Решим данное выражение, учитывая, что , а . Получим: $frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}$ . При возведении степени в степень, показатели степени перемножаются, имеем: $frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}=frac{3^{4cdot 2,6}}{3^{2cdot 3,7}}=frac{3^{10,4}}{3^{7,4}}=3^{10,4-7,4}=3^3=27$ .

Ответ: 27.

Задание 6

Найдите значение выражения $log_{8}144-log_{8}2,25$ .

Для того чтобы найти значение этого выражения надо применить следующее свойство логарифмов: $log_{a}b-log_{a}c=log_{a}{frac{b}{c}}$ .

Получим: $log_{8}144-log_{8}2,25=log_{8}{frac{144}{2,25}}=log_{8}{64}=2$ .

Ответ: 2.

Задание 7

Найдите значение выражения $log_{4}40-log_{4}2,5$ .

Действуем также, как и в предыдущем задании, используя свойство разности логарифмов:

$log_{4}40-log_{4}2,5=log_{4}{frac{40}{2,5}}=log_{4}{16}=2$ .

Ответ: 2.

Задание 8

Найдите , если .

Для того, чтобы найти значение данного выражения нам понадобятся две тригонометрические формулы:

Основное тригонометрическое тождество: $cos^{2} {alpha}+sin^{2} {alpha}=1$ .
Косинус двойного аргумента: $cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}$ .

Итак, по формуле (2) распишем наше выражение в следующем виде: $28cos{2alpha}=28(cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha})$ . Однако, нам известен только косинус, для того чтобы из синуса сделать косинус, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^{2} {alpha}=1-cos^{2} {alpha}$ .

Тогда наше выражение примет вид:

$28cos{2alpha}=28(cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha})=28(cos^{2} {alpha}-(1-cos^{2} {alpha}))=28(2cos^{2} {alpha}-1)$ .

Подставляем значение косинуса, получим:

$28(2cos^{2} {alpha}-1)=28(2(-0,7)^2-1)=28(2cdot 0,49 - 1)=28cdot (-0,02)=-0,56$ .

Ответ: -0,56.

Задание 9

Найдите значение выражения $3sqrt{2}cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-3sqrt{2}sin ^2 {frac{13 pi}{8}}$ .

Решим. Вынесем за скобки. Получим: $3sqrt{2}(cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-sin ^2 {frac{13 pi}{8}})$ .

В скобках видим формулу косинуса двойного аргумента: $cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}$ . Применяя ее, имеем:

$3sqrt{2}(cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-sin ^2 {frac{13 pi}{8}})=3sqrt{2}cos {frac{2 cdot 13 pi}{8}}=3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}$

Мы знаем, что $cos {pi/4}=frac{sqrt{2}}{2}$ . Но мы не знаем, чему равен $cos {frac{13pi}{4}}$ , давайте рассуждать в это 3 и еще $frac{pi}{4}}$ .

То есть, $cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi+frac{pi}{4})}$ . Применяя формулы или правило приведения, получим: $cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi+frac{pi}{4})}=-cos{frac{pi}{4}}=-frac{sqrt{2}}{2}$ . Подставляя это значение в наше выражение $3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}$ , вычислим: $3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}=3sqrt{2} cdot(-frac{sqrt{2}}{2})=-3$

Ответ: -3.

Источник

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения
- Как найти значение числового выражения?
  - Простейшие случаи
  - Выражения со скобками
  - Выражения с корнями
  - Выражения со степенями
  - Выражения с дробями
  - Выражения с логарифмами
  - Выражения с тригонометрическими функциями
  - Общий случай числового выражения
- Вычисление значений выражений рациональными способами
- Нахождение значений выражений с переменными
Помогите найти значение выражений. Стр 110. Задания базового уровня № 2. ГДЗ Математика 3 класс Моро М.
Основы алгебры — Вычисление выражений
Оценка выражений и формул: правила и методы
- Вычисление алгебраических выражений с примерами
- Правила вычисления выражений
  - Правило коммутативности
  - Правило ассоциативности
  - Правило дистрибутивности
- Шаги по вычислению выражений и формул
- Правила вычисления формул

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

Как найти значение числового выражения?

Простейшие случаи

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14-5-3=9-3=6.

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112

12-(-14)+23÷114·1112=12-(-14)+23·411·1112=12-(-14)+29.

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).

0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34

1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2

2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3+13-1-1

3+13-1=3-1.

Таким образом:

3+13-1-1=3-1-1=1.

Выражения со степенями

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.

Начинаем вычислять по порядку.

23·4-10=212-10=22=4

16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.

2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6

2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32

22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314

Выражения с дробями

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3,22=3,2÷2=1,6

7-2·36=7-66=16

1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 25-1-25-74-3.

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24

Исходное выражение принимает вид:

25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.

Вычислим значение этого выражения:

25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.

Выражения с логарифмами

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.

log2log2256=log28=3.

По свойству логарифмов:

log62+log63=log6(2·3)=log66=1.

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.

Выражения с тригонометрическими функциями

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

tg4π3=3

sin-5π2=-1

cosπ=-1.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.

Значение выражения найдено.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.

Общий случай числового выражения

Как найти значение выражения

Корни, степени, логарифмы и т.
д. заменяются их значениями.
Выполняются действия в скобках.
Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.

π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π

Теперь можно узнать значение синуса:

sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4

Отсюда:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.

Со знаменателем дроби все проще:

lne2=2.

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.

С учетом этого, запишем все выражение:

-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.

Окончательный результат:

-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Нахождение значений выражений с переменными

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов.

Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.

Помогите найти значение выражений. Стр 110. Задания базового уровня № 2. ГДЗ Математика 3 класс Моро М.

И. – Рамблер/класс Помогите найти значение выражений. Стр 110. Задания базового уровня № 2. ГДЗ Математика 3 класс Моро М.И. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Найди значения выражений.
35-40:8 9 + 81:9
76 — (26 + 14) 28 — (18 + 9): 3

ответы

35 — 40 : 8 = 30 9 + 81 : 9 = 18
76 — (26 + 14) = 36 28 — (18 + 9) : 3 = 19

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения

похожие темы

5 класс

Репетитор

Химия

Алгебра

похожие вопросы 5

ГДЗ, Моро М. И, математика, 4 класс Часть 2, Задание № задание на полях стр48

(Подробнее…)

Моро М.И.Математика4 класс

Сколько было на выставке рисунков учеников из 4 Б класса? ГДЗ 3 класс математика Моро Часть 1 Табличное умножение и деление стр 37 Задание на полях

Доброго дня! Сидим с дочкой над домашкой, и затрудняемся ответить((( Подскажите!
На выставке было 6 рисунков учеников из 4 А (Подробнее…)

ГДЗ3 классМатематикаМоро М.И.

ЕГЭ Математика 11 класс. Ященко И. В. Тренировочная работа 22 Вопрос 9 Найти значение выражения

Привет! ЕГЭ, а упражнения как выполнить не знаю((( Поможете!?
Найдите значение выражения
(Подробнее…)

ЕГЭМатематикаЯщенко И.В.11 классСеменов А.В.

ЕГЭ Математика 11 класс. Ященко И. В. Тренировочная работа 22 Вопрос 10 Найти значение выражения

Привет) Возникла путаница с этим вопросом, кто-нибудь сможет оказать помощь?
Найдите значение выражения
(Подробнее. ..)

ЕГЭМатематикаЯщенко И.В.Семенов А.В.11 класс

3. Вычислите… 6 класс А.П. Ершова Математика. К 2. Вариант А 1

3.
Вычислите: (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классЕршова А.П.

Основы алгебры — Вычисление выражений

Основы алгебры — Вычисление выражений — Первый взгляд

Дом
|
Учитель
|
Родители
|
Глоссарий
|
О нас

Мы
узнали, что в алгебраическом выражении буквы могут обозначать числа.
Когда мы подставляем конкретное значение для каждой переменной,
а затем выполнять операции, это называется оценкой
выражение.

Оценим
выражение 3y + 2y, когда 5 = y.

Нажмите
на шагах, чтобы увидеть, как это делается.

Заменить
каждая буква с присвоенным значением.

Первый шаг: 3(5) + 2(5)

(Используйте скобки!)

Выполнить
операции, чтобы найти значение выражения.

Второй этап:

3(5)
+ 2(5) = 15 + 10 = 25

Помощь с домашним заданием | Алгебра | Основы алгебры

Отправить эту страницу другу по электронной почте

	Поиск



· Вычисление выражений


Первый Взгляд	В Глубина	Примеры	Тренировка
Вычисление выражений

Оценка выражений и формул: правила и методы

Когда я рос подростком, мне никогда особо не нравились ЗАДАЧИ СЛОВА, не потому что они были сложными, а из-за названия ЗАДАЧА СЛОВА. Разве нельзя было назвать это слово-задача, слово-математика или слово-что угодно, но только не ПРОБЛЕМА, потому что слово ПРОБЛЕМА само по себе было психологической проблемой для меня? Однако вскоре после этого я начал понимать, что эти ПРОБЛЕМЫ действительно лучше всего решать, когда выражает в алгебре , уравнениях, и формулах .

Таким образом, в дальнейшем вы узнаете об вычислении алгебраических выражений и формул, их правилах и шагах, а также о некоторых увлекательных примерах, чтобы манипулировать своей памятью. Перейти ВЫРАЖЕНИЕ, не ПРОБЛЕМА!

Вычисление алгебраических выражений с примерами

Выражения — это иллюстрации чисел, переменных и терминов, которые объединяются с помощью таких операций, как сложение, вычитание, деление и умножение. Другими словами, это предложения, используемые математиками для передачи своих идей. 92+6x+(−3))

Как бы математик выразил эту деталь: «Через (5) лет отец будет в два раза старше своего сына в настоящий момент»?

Решение:

Пусть текущий возраст отца равен (f), а сыну — (s). 2), (6xy) и (-3). 93)

Правила вычисления выражений

Правила, которым следуют при вычислении выражений, иначе называются законами алгебраических выражений.

Правило коммутативности

Правило коммутативности применимо как к операциям сложения, так и к умножению. В нем говорится, что положение термина (числа, переменной и т. д.), который подвергается любой из этих операций (сложение или умножение), не является определяющим фактором результата. Это означает, что если вам нужно найти сумму между (x) и (y) или произведение между (x) и (y), результат не изменится, даже если (y) равно позиционируется первым, а (x) позиционируется вторым в операции.

Коммутативность означает:

[x+y=y+x]

или

[xtimes y=ytimes x]

Вы должны попробовать числа с этим ниже.

Докажите коммутативный закон с помощью следующего:

a. (5+3)

б. (6 умножить на 11)

Решение:

а. Обратите внимание, что

[5+3=8]

[3+5=8]

Итак,

[5+3=3+5]

Следовательно, приведенное выше выражение удовлетворяет правилу коммутативности.

б. Обратите внимание, что

[6 times 11=66]

[11 times 6=66]

Следовательно,

[6times 11=11times 6]

Следовательно, приведенное выше выражение удовлетворяет правилу коммутативности.

Обратите внимание, что когда правило коммутативности включает сложение, оно называется аддитивной коммутативностью . Между тем, когда задействовано умножение, оно называется мультипликативной коммутативностью .

Правило ассоциативности

Ассоциативное правило применяется как к операциям сложения, так и к умножению. В нем объясняется, что разделение или группировка (с помощью круглых скобок или квадратных скобок) не влияет на результат сумм или произведений. Это означает, что если (x) и (y) должны были быть разделены и умножены отдельно перед умножением на (z), это все равно эквивалентно умножению разделения (y) и (z). ) перед умножением на (x). Это правило относится и к дополнению.

Ассоциативность означает:

[(x+y)+z=x+(y+z)]

или

[(xtimes y)times z=xtimes (ytimes z)]

Вы должны попробовать числа с этим ниже.

Покажите ассоциативное свойство, используя следующее:

a. ((5+3)+7)

б. ((3умножить на 2)умножить на 4)

Решение:

а. Вычисляя,

[(5+3)+7=8+7=15]

[5+(3+7)=5+10=15]

Таким образом, приведенное выше выражение подчиняется ассоциативному правилу.

б. Вычислив,

[(3times 2)times 4=6times 4=24]

[3times (2times 4)=3times 8=24]

На самом деле приведенное выше выражение демонстрирует ассоциативное свойство.

Обратите внимание, что когда правило ассоциативности включает сложение, это называется аддитивной ассоциативностью . Между тем, когда задействовано умножение, оно называется мультипликативной ассоциативностью .

Правило дистрибутивности

Закон дистрибутивности применяется, когда операции сложения и умножения выполняются одновременно (одновременно). В нем говорится, что когда термин умножается на сегрегацию (сгруппированную в скобках), действующую при сложении, результат эквивалентен сумме произведения между этим термином и отдельными компонентами сегрегации. Отдельные компоненты сегрегата известны как складывает или складывает . Это означает, что когда определенный термин (x) умножается на отдельную сумму (y) и (z), он эквивалентен сумме произведений (x) и (y ), а также (x) и (z).

Распределение означает:

[xtimes (y+z)=xy+xy]

где (y) и (z) называются сложением суммы ((у+г)).

Посмотрите на приведенный ниже пример, в котором используются числа, чтобы дать вам более четкое представление.

Определите закон распределения, используя следующее выражение:

[5times (4+3)]

Решение:

В первом случае

[5times (4+3) =5times 7=35]

и во втором случае

[5times (4+3)=(5times 4)+(5times 3)]

что равно

[5times (4+3)=20+15=35]

Следовательно, выражение (5times (4+3)) удовлетворяет правилу дистрибутивности.

Шаги по вычислению выражений и формул

Чтобы вычислить выражение, нужно выполнить два шага.

Подставьте в выражение присвоенное значение каждой переменной. Лучше всего это сделать, заключив каждое заменяемое значение в круглые скобки.
Выполнение операций над выражениями с использованием порядка операций.

Используйте PEMDAS. Взгляните на статью «Порядок операций» для лучшего понимания.

Если (x = 6), вычислить (6+x)

Решение:

Подставить (6) 92-(-4)-6]

[16+4-6]

[14]

Помните, что вычитание минуса равносильно добавлению плюса.

Правила вычисления формул

Так же, как и правила, которые использовались ранее для описания выражений, формулы определяются правилами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Однако при вычислении формул обычно применяется дополнительное правило. Это правило обратной функции. Это правило поможет вам отменить то, что было сделано, чтобы получить выражение по вашему выбору.

Источник

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник