Загрузить PDF
Загрузить PDF
С абсолютной частотой все довольно просто: она определяет, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных (объектов или значений). А вот относительная частота характеризует отношение количества конкретного числа в наборе данных. Другими словами, относительная частота – это отношение количества определенного числа к общему количеству чисел в наборе данных. Имейте в виду, что вычислить относительную частоту достаточно легко.
-
1
Соберите данные. Если вы решаете математическую задачу, в ее условии должен быть дан набор данных (чисел). В противном случае проведите эксперимент или исследование и соберите необходимые данные. Подумайте, в какой форме записать исходные данные.
- Например, нужно собрать данные о возрасте людей, которые посмотрели определенный фильм. Конечно, можно записать точный возраст каждого человека, но в этом случае вы получите довольно большой набор данных с 60-70 числами в пределах от 10 до 70 или 80. Поэтому лучше сгруппировать данные по категориям, таким как «Моложе 20», «20-29», «30-39» «40-49», «50-59» и «Старше 60». Получится упорядоченный набор данных с шестью группами чисел.
- Другой пример: врач собирает данные о температуре пациентов в определенный день. Если записать округленные числа, например, 37, 38, 39, то результат будет не слишком точным, поэтому здесь данные нужно представить в виде десятичных дробей.
-
2
Упорядочьте данные. Когда вы соберете данные, у вас, скорее всего, получится хаотичный набор чисел, например, такой: 1, 2, 5, 4, 6, 4, 3, 7, 1, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 1. Такая запись кажется практически бессмысленной и с ней сложно работать. Поэтому упорядочьте числа по возрастанию (от меньшего к большему), например, так: 1,1,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7.[1]
- Упорядочивая данные, будьте внимательны, чтобы не пропустить ни одного числа. Посчитайте общее количество чисел в наборе данных, чтобы убедиться, что вы записали все числа.
-
3
Создайте таблицу с данными. Собранные данные можно организовать в виде таблицы. Такая таблица будет включать три столбца и использоваться для вычисления относительной частоты. Столбцы обозначьте следующим образом:[2]
Реклама
-
1
Найдите количество чисел в наборе данных. Относительная частота характеризует, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных по отношению к общему количеству чисел. Чтобы найти относительную частоту, нужно посчитать общее количество чисел в наборе данных. Общее количество чисел станет знаменателем дроби, с помощью которой будет вычислена относительная частота.[3]
- В нашем примере набор данных содержит 16 чисел.
-
2
Найдите количество определенного числа. То есть посчитайте, сколько раз конкретное число встречается в наборе данных. Это можно сделать как для одного числа, так и для всех чисел из набора данных.[4]
- Например, в нашем примере число встречается в наборе данных три раза.
- Например, в нашем примере число
-
3
Разделите количество конкретного числа на общее количество чисел. Так вы найдете относительную частоту для определенного числа. Вычисление можно представить в виде дроби или воспользоваться калькулятором или электронной таблицей, чтобы разделить два числа.[5]
Реклама
-
1
Результаты вычислений запишите в созданную ранее таблицу. Она позволит представить результаты в наглядной форме. По мере вычисления относительной частоты результаты записывайте в таблицу напротив соответствующего числа. Как правило, значение относительной частоты можно округлить до второго знака после десятичной запятой, но это на ваше усмотрение (в зависимости от требований задачи или исследования). Помните, что округленный результат не равен точному ответу.[6]
- В нашем примере таблица относительных частот будет выглядеть следующим образом:
- x : n(x) : P(x)
- 1 : 3 : 0,19
- 2 : 1 : 0,06
- 3 : 2 : 0,13
- 4 : 3 : 0,19
- 5 : 4 : 0,25
- 6 : 2 : 0,13
- 7 : 1 : 0,06
- Итого : 16 : 1,01
-
2
Представьте числа (элементы), которых нет в наборе данных. Иногда представление чисел с нулевой частотой так же важно, как и представление чисел с ненулевой частотой. Обратите внимание на собранные данные; если между данными имеются пробелы, их нужно заполнить нулями.
- В нашем примере набор данных включает все числа от 1 до 7. Но предположим, что числа 3 нет в наборе. Возможно, это немаловажный факт, поэтому нужно записать, что относительная частота числа 3 равна 0.
-
3
Выразите результаты в процентах. Иногда результаты вычислений нужно преобразовать из десятичных дробей в проценты. Это общепринятая практика, потому что относительная частота характеризует процент случаев появления определенного числа в наборе данных. Чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, нужно десятичную запятую передвинуть на две позиции вправо и приписать символ процента.
- Например, десятичная дробь 0,13 равна 13%.
- Десятичная дробь 0,06 равна 6% (обратите внимание, что перед 6 стоит 0).
Реклама
Советы
- Относительная частота характеризует наличие или возникновение определенного события в наборе событий.
- Если сложить относительные частоты всех чисел из набора данных, вы получите единицу. Помните, что при сложении округленных результатов сумма не будет равна 1,0.
- Если набор данных слишком большой, чтобы обработать его вручную, воспользуйтесь программой MS Excel или MATLAB; это позволит избежать ошибок в процессе вычисления.
Реклама
Источники
Об этой статье
Эту страницу просматривали 145 557 раз.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Preparing, calculating, and reporting your data
Download Article
Absolute frequency is a simple concept to grasp: it refers to the number of times a particular value appears in a specific data set (a collection of objects or values). However, relative frequency can be a little trickier. It refers to the proportion of times a particular value appears in a specific data set. In other words, relative frequency is, in essence, how many times a given event occurs divided by the total number of outcomes. If you organize your data, calculating and presenting relative frequency can become a simple task.
-
1
Collect your data. Unless you are just completing a math homework assignment, calculating relative frequency generally implies that you have some form of data. Conduct your experiment or study and collect the data. Decide how precisely you wish to report your results.[1]
- For example, suppose you are collecting data on the ages of people who attend a particular movie. You could decide to collect and report the exact age of everyone who attends. But this is likely to give you 60 or 70 different results, being every number from about 10 through 70 or 80. You may instead wish to collect data in groups, like “Under 20,” “20-29,” “30-39,” “40-49,” “50-59,” and “60 plus.” This would be a more manageable set of six data groups.
- As another example, a doctor might collect body temperatures of patients on a given day. In this case, just collecting whole numbers, like 97, 98, 99, might not be precise enough. It might be necessary to report data in decimals in this case.
-
2
Sort the data. After you complete your study or experiment, you are likely to have a collection of data values that could look like 1, 2, 5, 4, 6, 4, 3, 7, 1, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 1. In this form, the data appear almost meaningless and difficult to use. It is more helpful to sort the data in order from lowest to highest. This would result in the list 1,1,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7.
- When you are sorting and rewriting your collection of data, be careful to include every point correctly. Count the data set to make sure you do not leave off any values.
Advertisement
-
3
Use a data table. You can summarize the results of your data collection by creating a simple data frequency table. This is a chart with three columns that you will use for your relative frequency calculations. Label the columns as follows:[2]
-
. This column will be filled with each value that appears in your data set. Do not repeat items. For example, if the value 4 appears several times in the list, just put under the column once.
-
, or . In statistics, the variable is conventionally used to represent the count of a particular value. You may also write , which is read as “n of x,” and means the count of each x-value. A final alternative is , which means the “frequency of x.” In this column, you will put the number of times that the value appears. For example, if the number 4 appears three times, you will place a 3 next to the number 4.
- Relative Frequency or . This final column is where you will record the relative frequency of each data item or grouping. The label , which is read “P of x,” could mean the probability of x or the percentage of x. The calculation of relative frequency appears below. This column will be used after you complete that calculation for each value of x.
-
Advertisement
-
1
Count your full data set. Relative frequency is a measure of the number of times a particular value results, as a fraction of the full set. In order to calculate relative frequency, you need to know how many data points you have in your full data set. The will become the denominator in the fraction that you use for calculating.[3]
- In the sample data set provided above, counting each item results in 16 total data points.
-
2
Count each result. You need to determine the number of times that each data point appears in your results. You may want to calculate the relative frequency of one particular item, or you may be summarizing the overall data for the full data set.[4]
- For example, in the data set provided above, consider the value . This value appears three times in the list.
- For example, in the data set provided above, consider the value
-
3
Divide each result by the total size of the set. This is the final calculation to determine the relative frequency of each item. You can set it up as a fraction or use a calculator or spreadsheet to perform the division.[5]
Advertisement
-
1
Present your results in a frequency table. The frequency table that you began above can be used to present the results in a format that is easy to review. As you perform each of the calculations, fill in the results in the corresponding places in the table. It is common to round your answers to two decimal places, although you will need to decide this for yourself based on the needs of your study. Because of rounding the end result may total something close to , but not exactly 1.0.[6]
- For example, using the data set above, the relative frequency table would appear as follows:
- x : n(x) : P(x)
- 1 : 3 : 0.19
- 2 : 1 : 0.06
- 3 : 2 : 0.13
- 4 : 3 : 0.19
- 5 : 4 : 0.25
- 6 : 2 : 0.13
- 7 : 1 : 0.06
- total : 16 : 1.01
-
2
Report items that do not appear. It may be just as meaningful to report items whose frequency is 0 as to report those items that do appear in your data set. Look at the kind of data you are collecting, and if you notice any gaps in your sorted data, you may need to report them as 0s.
- For example, the sample data set you have been working with includes all values from 1 to 7. But suppose that the number 3 never appeared. That could be important, and you would report the relative frequency of the value 3 as 0.
-
3
Show your results as percentages. You may wish to turn your decimal results into percentages. This is a common practice, as relative frequency is often used as a predictor of the percentage of times that some value will occur. To convert a decimal number to a percentage, simply shift the decimal point two spaces to the right, and add a percent symbol.[7]
- For example, the decimal result of 0.13 is equal to 13%.
- The decimal result of 0.06 is equal to 6%. (Don’t just skip over the 0.)
Advertisement
Add New Question
-
Question
What is frequency of the event?
It’s a measurement of how often the event occurs in a given time period.
-
Question
How can you calculate frequency from relative frequency?
The word «frequency» alone is not very clear. In statistics, there are absolute frequency (the number of times a data point appears), relative frequency (usually presented as a percentage), or cumulative frequency. Cumulative frequency begins at 0 and adds up the frequencies as you move through your list. If you are just asked for «frequency,» from the relative frequency, it probably means the absolute frequency. Take your relative frequency, and multiply it by the total number of items in the full data set, and you will have the absolute frequency.
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
Physically speaking, the relative frequency tells you the presence or occurrence of a particular event in a set of events.
-
If you add up the relative frequencies of all items in a data set, you should get a sum of 1. If you round off your values, the sum may not be exactly 1.0.
-
If your data set is too large for simple counting, you may need to use a software package like MS-Excel or MATLAB to avoid mistakes.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To stop face sweating, try applying an astringent containing tannic acid, like witch hazel, to your face twice a day using a cotton ball. Additionally, apply an antiperspirant spray to your scalp, temples, and upper forehead to temporarily block your sweat glands. Alternatively, try using a dry shampoo to manage scalp sweating by holding it 8 inches from your head, then spraying it in 2 inch sections of your hair at a time. After that, massage the dry shampoo into your scalp for even distribution. For more tips, like how to show your results as percentages, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 103,125 times.
Did this article help you?
Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к
основным понятиям теории вероятностей.
Относительной частотой события
называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу
фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота
события А определяется формулой
W (А) =
m / n,
где m — число появлений события, n — общее число испытаний.
Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты,
заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в
действительности; определение же относительной частоты предполагает, что
испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность
вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.
Пример
1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в
партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления
нестандартных деталей
W (А) = 3 / 80.
Пример
2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19
попаданий. Относительчая частота поражения цели
W (А) = 19 / 24.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях
производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то
относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит
в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем
меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого
постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность
появления события.
Таким образом, если опытным путем установлена относительная
частота, то полученное число можно принять за приближенное значение
вероятности.
Подробнее и точнее связь между относительной частотой и
вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство
устойчивости на примерах.
Пример
1. По данным шведской статистики, относительная частота рождения
девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены
в порядке следования месяцев, ничиная с января): 0,486; 0,489; 0.490; 0,471;
0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.
Относительная частота
колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение
вероятности рождения девочек.
Заметим, что
статистические данные различных стран дают примерно то же значение
относительной частоты.
Пример
2. Многократно npoводились oпыты бросания монеты, в которых
подсчитывали число появления «герба». Результаты нескольких опытов
приведены в таб.1.
Здесь относительные
частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше
число испытаний. Например, при4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при
24000 испытаний — лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления
«герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что
относительная частота колеблется около вероятности.
|
Число бросаний |
Число появлений «герба» |
Относительная частота |
|
4040 |
2048 |
0,5069 |
|
12000 |
6019 |
0,5016 |
|
24000 |
12012 |
0,5005 |
Элементы
математической статистики. Выборочный
метод
Генеральная
и выборочная совокупности. Статистические
распределения выборок. Кумулята и ее
свойства. Гистограмма и полигон
статистических распределений. Числовые
характеристики: выборочная средняя;
дисперсия выборки; среднеквадратическое
отклонение; мода и медиана для дискретных
и интервальных статистических
распределений выборки; эмпирические
начальные и центральные моменты,
асимметрия и эксцесс.
Установление
закономерностей, которым подчинены
массовые случайные явления, основано
на изучении статистических данных —
результатах наблюдений. Первая задача
математической статистики — указать
способы сбора и группировки (если данных
очень много) статистических сведений.
Вторая задача математической статистики
— разработать методы анализа статистических
данных в зависимости от цели исследования.
Изучение тех или иных явлений методами
математической статистики служит
средством решения многих вопросов,
выдвигаемых наукой и практикой (правильная
организация технологического процесса,
наиболее целесообразное планирование
и др.).
Итак,
задача математической статистики
состоит в создании методов сбора и
обработки статистических данных для
получения научных и практических
выводов.
Генеральная
и выборочная совокупности
Пусть
требуется изучить совокупность однородных
объектов относительно некоторого
качественного или количественного
признака, характеризующего эти объекты.
Например, для партии деталей качественным
признаком может служить стандартность
детали, а количественным — контролируемый
размер детали. Иногда проводят сплошное
обследование, т. е. обследуют каждый из
объектов совокупности относительно
признака, которым интересуются. На
практике, однако, сплошное обследование
применяется сравнительно редко. Например,
если совокупность содержит большое
число объектов, то провести сплошное
обследование физически невозможно.
Если обследование объекта связано с
его уничтожением или требует больших
материальных затрат, то случайным
образом отбирают из всей совокупности
ограниченное число объектов и подвергают
их изучению.
Выборочной
совокупностью,
или просто выборкой,
называют совокупность случайно отобранных
объектов.
Генеральной
совокупностью называют
совокупность объектов, из которых
проводится выборка.
Объемом совокупности
(выборочной или генеральной) называют
число объектов этой совокупности.
Часто
генеральная совокупность содержит
конечное число объектов. Однако если
это число достаточно велико, то иногда
для упрощения вычислений или для
облегчения теоретических выводов,
допускают, что генеральная совокупность
состоит из бесчисленного множества
объектов. Такое допущение оправдывается
тем, что увеличение объема генеральной
совокупности (достаточно большого
объема) практически не сказывается на
результатах обработки данных выборки.
Статистические
распределения выборок
В
результате статистической обработки
материалов можно подсчитать число
единиц, обладающих конкретным значением
того или иного признака. Каждое отдельное
значение признака будем обозначать 
и
называть вариантой,
а абсолютное число, показывающее, сколько
раз встречается та или иная варианта,
— частотой и
обозначать 
.
Если
отдельные значения признака (варианты)
расположим в возрастающем или убывающем
порядке и относительно каждой варианты
укажем, как часто она встречается в
данной совокупности, то получим статистическое
распределение признака,
или вариационный
ряд.
Он характеризует изменение (варьирование)
какого-нибудь количественного признака.
Следовательно, вариационный ряд
представляет собой две строки (или
колонки). В одной из них приводятся
варианты, в другой — частоты.
Вариация
признака может быть дискретной и
непрерывной. Дискретной называетсявариация,
при которой отдельные значения признака
(варианты) отличаются друг от друга на
некоторую конечную величину (обычно
целое число); Например: количество детей
в семье; оценки, полученные студентами
на экзамене; размеры обуви, проданной
за день фирмой.
Непрерывной называется вариация,
при которой значения признака могут
отличаться одно от другого на сколь
угодно малую величину. Например: стоимость
реализованной продукции; уровень
рентабельности предприятия; процент
занятости трудоспособного населения;
депозитная ставка коммерческих банков.
При
непрерывной вариации распределение
признака называется интервальным.
Частоты относятся не к отдельному
значению признака, а ко всему интервалу.
Часто значением интервала принимают
его середину, т. е. центральное значение.
Нередко
вместо абсолютных значений частот
используют относительные. Для этого
можно использовать долю частоты того
или иного варианта (а также интервала)
в сумме всех частот. Такая величина
называется относительной
частотой и
обозначается 
.
Для получения относительных частот
необходимо соответствующую частоту
разделить на сумму всех частот:
где 
—
относительная частота варианты или
интервала соответственно первой, второй
и т. д.
Сумма
всех относительных частот равна единице:
Относительные
частоты можно выражать и в процентах
(тогда их сумма равна 100%).
В
интервальном вариационном ряду в каждом
интервале различают нижнюю и верхнюю
границы интервала:
нижняя граница интервала 
;
верхняя граница интервала 
величина
интервала 
.
Как правило, при построении интерваль-ных
вариационных рядов в каждый интервал
включаются варианты, числовые значения
которых больше нижней границы и меньше
или равны верхней границе. Интервальные
вариационные ряды бывают с одинаковыми
и неодинаковыми интервалами. В последнем
случае чаще всего встречаютсяпоследовательно
увеличивающиеся интервалы.
Для выбора оптимальной
величины интервала,
т. е. такой, при которой вариационный
ряд не будет громоздким и будут сохранены
особенности явления, можно рекомендовать
формулу
где 
—
число единиц в совокупности.
Так,
если в совокупности 200 единиц, наибольший
вариант равен 49,961, а наименьший — 49,918,
то
Следовательно,
в данном случае оптимальной величиной
интервала может служить 0,005.
Гистограмма
и полигон статистических распределений.
Кумулята
Для
наглядного представления вариационного
ряда большое значение имеют его
графические изображения. Графически
вариационный ряд может быть изображен
в виде полигона, гистограммы и кумуляты.
Полигон
распределения (дословно
— многоугольник распределения) строится
в прямоугольной системе координат.
Величина признака откладывается на оси
абсцисс, частоты или относительные
частоты — по оси ординат. Чаще всего
полигоны применяются для изображения
дискретных вариационных рядов, но их
можно применять также для интервальных
рядов. В этом случае на оси абсцисс
откладываются точки, соответствующие
серединам данных интервалов.
Гистограмма
распределения строится
аналогично полигону в прямоугольной
системе координат. В отличие от полигона
при построении гистограммы на оси
абсцисс выбирают не точки, а отрезки,
изображающие интервал, а вместо ординат,
соответствующих частотам или относительным
частотам отдельных вариант, строят
прямоугольники с высотой, пропорциональной
частотам или относительным частотам
интервала. В случае интервалов различной
длины гистограмма распределения
строится, не по частотам или относительным
частотам, а по плотности интервалов
(абсолютной или относительной). При этом
общая площадь гистограммы равна
численности совокупности, если построение
проводится по абсолютной плотности,
или единице, если гистограмма построена
по относительной плотности.
Если
соединить прямыми линиями середины
верхних сторон прямоугольников, то
получим полигоны распределения.
Разбивая
интервалы на несколько частей и исходя
из того, что вся — площадь гистограммы
должна остаться при этом неизменной,
можно получить мелкоступенчатую
гистограмму, которая при уменьшении
величины интервала будет приближаться
к плавной кривой, называемой кривой
распределения.
Кумулятивная
кривая (кривая
сумм — кумулята) получается при
изображении вариационного ряда с
накопленными частотами или относительными
частотами в прямоугольной системе
координат, Накопленная частота
определенной варианты получается
суммированием всех частот вариант,
предшествующих данной, с частотой этой
варианты. При построении кумуляты
дискретного признака по оси абсцисс
откладывают значения признака (варианты),
Ординатами служат вертикальные отрезки,
длина которых пропорциональна накопленной
частоте или относительной частоте той
или иной варианты. Соединением вершин
ординат прямыми линиями получаем ломаную
(кривую) кумуляту.
При
построении кумуляты интервального
вариационного ряда нижней границе
первого интервала соответствует частота,
равная нулю, а верхней — вся частота
интервала. Верхней границе второго
интервала соответствует накопленная
частота первых двух интервалов (т. е.
сумма частот этих интервалов) и т. д.
Верхней границе последнего (максимального)
интервала соответствует накопленная
частота, равная сумме всех частот.
Числовые
характеристики выборки
В
качестве одной из важнейших характеристик
вариационного ряда применяют среднюю
величину. Математическая статистика
различает несколько типов средних
величин: арифметическую, геометрическую,
гармоническую, квадратическую, кубическую
и др. Все перечисленные типы средних
могут быть рассчитаны для случаев, когда
каждая из вариант вариационного ряда
встречается только один раз (тогда
средняя называется простой, или
невзвешенной) и когда варианты или
интервалы повторяются. При этом число
повторений вариант или интервалов
называют частотой,
или статистическим
весом,
а среднюю, вычисленную с учетом
статистического веса, — взвешенной
средней.
Для
характеристики вариационного ряда один
из перечисленных типов средних выбирается
не произвольно, а в зависимости от
особенностей изучаемого явления и цели,
для которой среднее исчисляется.
Практически
при выборе того или иного типа средней
следует исходить из принципа осмысленности
результата при суммировании или при
взвешивании. Только тогда средняя
применена правильно, когда в результате
взвешивания или суммирования получаются
величины, имеющие реальный смысл.
Обычно
затруднения при выборе типа средней
возникают лишь в использовании средней
арифметической, или гармонической. Что
же касается геометрической и квадратической
средних, то их применение обусловлено
особыми случаями (см. далее).
Следует
иметь в виду, что средняя только в том
случае является обобщающей характеристикой,
если она применяется к однородной
совокупности. В’ случае использования
средней для неоднородных совокупностей
можно прийти к неверным выводам. Научной
основой статистического анализа является
метод статистических группировок, т.
е. расчленения совокупности на качественно
однородные группы.
Все
указанные типы средних величин можно
получить из формул степенной средней.
Если имеются варианты 
,
то среднюю из вариант можно рассчитать
по формуле простой невзвешенной степенной
средней порядка 
:
При
наличии соответствующих частот 
средняя
рассчитывается по формуле взвешенной
степенной средней:
Здесь 
—
степенная средняя; 
—
показатель степени, определяющий тип
средней; 
—
варианты, 
—
частоты или статистические веса
вариантов.
Средняя
арифметическая получается
из формулы степенной средней при
подстановке 
:
незвешенная 
;
взвешенная
Средняя
гармоническая получается
при подстановке в формулу степенной
средней значения 
:
незвешенная 
;
взвешенная
Средняя
гармоническая вычисляется тогда, когда
средняя предназначается для расчета
сумм слагаемых, обратно пропорциональных
величине данного признака, т. е. когда
суммированию подлежат не сами варианты,
а обратные им величины 
.
Средняя
квадратическая получается
из формулы степенной средней при
подстановке 
:
незвешенная 
;
взвешенная
Средняя
квадратическая используется только
тогда, когда варианты представляют
собой отклонения фактических величин
от их средней арифметической или от
заданной нормы.
Средняя
геометрическая получается
из формулы степенной средней при
предельном переходе 
:
незвешенная 
;
взвешенная
Вычисления
средней геометрической в значительной
мере упрощаются применением
логарифмирования:
незвешенная 
;
взвешенная
Таким
образом, логарифм средней геометрической
есть средняя арифметическая из логарифмов
вариантов. Средняя геометрическая
используется главным образом при
изучении динамики. Средние коэффициенты
и темпы роста рассчитывают по формулам
средней геометрической.
Если
вычислить различные типы средних для
одного и того же вариационного ряда, то
числовые их значения будут различаться.
При этом средние по своей величине
расположатся в определенном порядке.
Наименьшей из перечисленных средних
окажется средняя гармоническая, затем
геометрическая и т. д., наибольшей будет
средняя квадратическая. При этом порядок
возрастания средних определяется
показателем степени z в формуле степенной
средней. Так, при 
получаем
среднюю гармоническую, при 
—
геометрическую, при 
—
арифметическую, при 
—
квадратическую:
В
качестве характеристики вариационного
ряда используют медиану 
,
т. е. такое значение варьирующего
признака, которое приходится на середину
упорядоченного вариационного ряда.
Если в вариационном ряду 
случаев,
то значение признака у случая 
будет
медианным. Если в ряду четное
число 
случаев,
то медиана равна средней арифметической
из двух срединных значений. При нечетном
количестве вариантов медиана рассчитывается
по формуле
;
при чётном 
При
расчете медианы интервального
вариационного ряда сначала находят
интервал, содержащий медиану, путем
использования накопленных или
относительных частот. Медианному
интервалу соответствует первая из
накопленных или относительных частот,
превышающая половину всего объема
совокупности. Для нахождения медианы
при постоянстве плотности внутри
интервала, содержащего медиану, используют
формулу
где 
—
нижняя граница медианного интервала; 
—
величина медианного интервала; 
—
накопленная частота интервала,
предшествующего медианному; 
–частота
медианного интервала.
Медиану
можно определить также графически по
кумуляте. Для этого последнюю ординату,
пропорциональную сумме всех частот или
относительных частот, делят пополам.
Из полученной точки восстанавливают
перпендикуляр до пересечения с кумулятой.
Абсцисса точки пересечения — значение
медианы (см. рис. 29).
Медиана обладает
таким свойством: сумма абсолютных
величин отклонений вариантов от медианы
меньше, чем от любой другой величины (в
том числе и от средней арифметической):
Это
свойство медианы можно использовать
при проектировании расположения
трамвайных и троллейбусных остановок,
бензоколонок и т. д.
Модой 
называется
варианта, наиболее часто встречающаяся
в данном вариационном ряду. Для дискретного
ряда мода, являющаяся характеристикой
вариационного ряда, определяется по
частотам вариант и соответствует
варианте с наибольшей частотой. В случае
интервального распределения с равными
интервалами модальный интервал (т. е.
содержащий моду) определяется по
наибольшей частоте, а при неравных
интервалах — по наибольшей плотности.
Мода рассчитывается по формуле
где 
—
нижняя граница модального интервала; 
—
величина модального интервала; 
—
частота модального интервала; 
частота
интервала, предшествующего модальному; 
—
частота интервала, следующего за
модальным
Вариационные
ряды, в которых частоты вариант,
равноотстоящих от средней, равны между
собой, называются симметричными.
Особенность симметричных вариационных
рядов состоит в равенстве трех
характеристик — средней арифметической,
моды и медианы:
(это
необходимое условие симметричности
вариационного ряда, но не достаточное)
Вариационные
ряды, в которых расположение вариант
вокруг средней не одинаково, т. е. частоты
по обе стороны от средней изменяются
по-разному, называются асимметричными,
илискошенными.
Различают асимметрию — левостороннюю
и правостороннюю
Средние
величины, характеризуя вариационный
ряд одним числом, не учитывают вариацию
признака, между тем эта вариация
существует. Для измерения вариации
признака в математической статистике
применяют ряд способов.
Вариационный
размах 
,
или широта
распределения,
есть разность между наибольшим и
наименьшим значениями вариационного
ряда:
Вариационный
размах представляет собой величину
неустойчивую, чрезвычайно зависящую
от случайных обстоятельств; применяется
для приблизительной оценки вариации.
Среднее
линейное отклонение,
или простое
среднее отклонение (обозначается 
)
представляет собой среднюю арифметическую
из абсолютных значений отклонений
вариант от средней. В зависимости от
отсутствия или наличия частот вычисляют
среднее линейное отклонение невзвешенное
или взвешенное:
Средний
квадрат отклонения,
или дисперсия (обозначается 
)
наиболее часто применяется как мера
колеблемости признака. Дисперсии
невзвешенную и взвешенную вычисляют
по формулам
Таким
образом, дисперсия есть средняя
арифметическая из квадратов отклонений
вариант от их средней арифметической.
Квадратный
корень из дисперсии 
называется среднеквадратическим
отклонением.
Обобщающими
характеристиками вариационных рядов
являются моменты
распределения.
Характер распределения можно определить
с помощью небольшого количества моментов.
Средняя
из k-х степеней отклонений вариант 
от
некоторой постоянной величины 
называется моментом
k-го порядка:
При
расчете средних в качестве весов можно
использовать частоты, относительные
частоты или вероятности. При использовании
в качестве весов частот или относительных
частот моменты называются эмпирическими,
а при использовании вероятностей
— теоретическими.
Порядок момента определяется величиной 
.
Эмпирический момент k-го порядка находится
как отношение суммы произведений k-х
степеней отклонений вариант от постоянной
величины 
на
частоты к сумме частот:
В
зависимости от выбора постоянной
величины 
различают
следующие моменты.
1.
Если 
,
то моменты называются начальными,
обозначаются 
и
вычисляются по формуле
Тогда
при 
получаем
начальный момент нулевого порядка:
при 
получаем
начальный момент первого порядка:
при 
получаем
начальный момент второго порядка:
при 
получаем
начальный момент третьего порядка:
при 
получаем
начальный момент четвёртого порядка:
и
т. д. Практически используют моменты
первых четырёх порядков.
2.
Если 
не
равно нулю, а некоторой произвольной
величине 
(начало
отчёта), то моменты называются начальными
относительно 
,
обозначаются 
и
рассчитываются по формуле
3.
Если за постоянную величину 
взять
среднюю 
,
то моменты называютсяцентральными,
обозначаются 
и
вычисляются так
Тогда
при 
то
есть центральный момент нулевого
порядка, равный единице;
при
k=1
то
есть центральный момент первого порядка
равен нулю;
при
k=2
то
есть центральный момент первого порядка
равен дисперсии и служит мерой колеблемости
признака;
при
k=3
в
этом случае центральный момент третьего
порядка служит мерой асимметрии
распределения признака. Если распределение
симметрично, то 
;
при
k=4
получаем
центральный момент четвёртого порядка.
Коэффициентом
асимметрии 
называется
отношение центрального момента третьего
порядка к кубу среднеквадратического
отклонения:
Если
полигон вариационного ряда скошен, то
есть одна из его ветвей начиная от
вершины зримо короче другой, то такой
ряд называется асимметричным.
Эксцессом 
называется
уменьшенное на три единицы отношение
центрального момента четвёртого порядка
к четвёртой степени среднеквадратического
отклонения:
Кривые
распределения, у которых 
,
менее крутые, имеют более плоскую вершину
и называются плосковершинными.
Кривые распределения, у которых 
,
более крутые, имеют острую вершину и
называются островершинными.
НАШИ относительная частота это очень важно для анализа статистики, так как показывает, какой процент представляют эти данные по отношению ко всем полученным результатам. Он используется для анализа результатов, полученных в заданном наборе данных.
Для его расчета достаточно разделить абсолютную частоту на суммарные полученные данные, и преобразовать этот результат в процент, умножаем на 100. Для статистического анализа данных очень часто строят таблицу с частотами, и в нее всегда помещается относительная частота каждых данных.
Узнать больше: Что такое статистические меры центральной тенденции?
Сводка по относительной частоте
-
Это тип частоты, изучаемый в статистике.
-
Это процент, который представляют данные данные по отношению к целому.
-
Обычно его представляют в процентах.
-
Для его расчета мы делим абсолютную частоту на общее количество полученных результатов.
-
Абсолютная частота — это количество раз, когда были собраны одни и те же данные.
-
В дополнение к простой относительной частоте существует кумулятивная относительная частота, которая представляет собой накопление относительной частоты.
Не останавливайся сейчас… После рекламы есть еще 
Что такое относительная частота?
относительная частота процент, который часть данных представляет по отношению к целому. В повседневной жизни довольно часто встречаются ситуации, когда информация передается через проценты. Этот процент часто является относительной частотой, поскольку он позволяет нам сравнивать поведение одной части данных по отношению к другим.
Например, если мы говорим, что в ходе опроса можно было сделать вывод, что 87% бразильцев против гражданского оружия, это позволяет оценить полученный результат по отношению к целому. Есть и другие ситуации, в которых мы используем относительную частоту, которая по-прежнему очень важна в статистика и в принятии решений. В статистических исследованиях после сбора данных важно рассчитать относительную частоту, чтобы можно было провести анализ полученных результатов.
Как рассчитывается относительная частота?
Чтобы вычислить относительную частоту, вам нужно:
-
найти абсолютную частоту;
-
разделите его на общее количество собранных данных.
Важный: Абсолютная частота — это не что иное, как количество раз, когда были собраны одни и те же данные.
Типы относительной частоты
Существует два типа относительной частоты: простая и кумулятивная. Начнем с первого.
-
простая относительная частота
Вот как рассчитать простую относительную частоту на примере.
Пример:
В классе с 50 учениками учитель физкультуры посоветовал им, какой вид спорта будет их любимым. Полученные ответы регистрировались по их абсолютной частоте:
-
футбол → 20 учеников
-
волейбол → 12 учеников
-
сожжено → 8 студентов
-
гандбол → 6 учеников
-
другие → 4 ученика
Разрешение:
Всего было собрано 50 ответов, поэтому для расчета относительной частоты каждого из них мы разделим количество появлений каждого ответа на 50.
Относительная частота:
-
футбол → 20: 50 = 0,4
-
волейбол → 12: 50 = 0,24
-
сожжено → 8: 50 = 0,16
-
гандбол → 6: 50 = 0,12
-
другие → 4: 50 = 0,08
Относительная частота может быть выражена десятичным числом, но обычно выражается в процентах. Чтобы преобразовать найденные десятичные числа в проценты, просто умножьте на 100, так что мы имеем:
-
футбол → 20: 50 = 0,4 = 40%
-
волейбол → 12: 50 = 0,24 = 24%
-
сожжено → 8: 50 = 0,16 = 16%
-
гандбол → 6: 50 = 0,12 = 12%
-
другие → 4: 50 = 0,08 = 8%
Эти данные обычно представляются в виде таблицы, известной как таблица частот:
|
Спорт |
абсолютная частота (ВЕНТИЛЯТОР) |
относительная частота (фр.) |
Относительная частота (%) (ФР%) |
|
Футбольный |
20 |
0,4 |
40% |
|
Волейбол |
12 |
0,24 |
24% |
|
Сгорел |
8 |
0,16 |
16% |
|
Гандбол |
6 |
0,12 |
12% |
|
Другие |
4 |
0,08 |
8% |
|
Всего |
50 |
1 |
100% |
-
Накопленная относительная частота
Как следует из названия, кумулятивная относительная частота накопление относительной частоты. Для его расчета необходимо сначала вычислить относительную частоту, как и в предыдущем примере.
С данными, организованными в таблице частот:
-
сначала вставляем в частотную таблицу еще один столбец;
-
затем копируем первую полученную относительную частоту;
-
мы выполняем в этом новом столбце и позже, чтобы найти другие накопленные частоты, сумму относительной частоты строки с накопленной частотой предыдущей строки.
|
Спорт |
абсолютная частота (ВЕНТИЛЯТОР) |
относительная частота (фр.) |
относительная частота накопленный |
|
Футбольный |
20 |
0,4 |
0,4 |
|
Волейбол |
12 |
0,24 |
0,4 + 0,24 = 0,64 |
|
Сгорел |
8 |
0,16 |
0,64 + 0,16 = 0,80 |
|
Гандбол |
6 |
0,12 |
0,80 + 0,12 = 0,92 |
|
Другие |
4 |
0,08 |
0,92 + 0,08 = 1 |
|
Всего |
50 |
1 |
Тогда мы можем отобразить таблицу частот следующим образом:
|
Спорт |
абсолютная частота (ВЕНТИЛЯТОР) |
относительная частота (фр.) |
относительная частота накопленный |
|
Футбольный |
20 |
0,4 |
0,4 |
|
Волейбол |
12 |
0,24 |
0,64 |
|
Сгорел |
8 |
0,16 |
0,80 |
|
Гандбол |
6 |
0,12 |
0,92 |
|
Другие |
4 |
0,08 |
1,00 |
|
Всего |
50 |
1 |
Эта кумулятивная относительная частота также может быть выражена в процентах:
|
Спорт |
Частота абсолютный (ВЕНТИЛЯТОР) |
Частота родственник (фр.) |
Частота родственник накопленный |
Частота родственник % (ФР%) |
Частота родственник накопленный % |
|
Футбольный |
20 |
0,4 |
0,4 |
40% |
40% |
|
Волейбол |
12 |
0,24 |
0,64 |
24% |
64% |
|
Сгорел |
8 |
0,16 |
0,80 |
16% |
80% |
|
Гандбол |
6 |
0,12 |
0,92 |
12% |
92% |
|
Другие |
4 |
0,08 |
1,00 |
8% |
100% |
|
Всего |
50 |
1 |
100% |
В чем разница между абсолютной частотой и относительной частотой?
Мы видим, что абсолютная частота сама по себе не дает нам столько информации, сколько относительная частота, потому что:
-
Абсолютная частота — это количество раз, когда один и тот же ответ появлялся для данного набора.
-
Относительная частота показывает отношение этих данных ко всем собранным данным.
Важный: Стоит отметить, что оба важны, и что можно рассчитать относительную частоту только тогда, когда мы знаем абсолютную частоту набора данных.
Читайте также: Меры разброса — амплитуда и девиация
Решенные упражнения на относительную частоту
Вопрос 1
(EsSA) Определите альтернативу, которая представляет абсолютную частоту (fi) элемента (xi), относительная частота (fr) которого равна 25%, а общее количество элементов (N) в выборке равно 72.
А) 18
Б) 36
В) 9
Г) 54
Д) 45
Разрешение:
Альтернатива А
Поскольку относительная частота составляет 25%, мы знаем, что
фи: 72 = 25%
фи: 72 = 0,25
фи = 0,25 ⋅ 72
фи = 18
вопрос 2
(Cesgranrio) В таблице ниже показана абсолютная частота диапазонов месячной заработной платы 20 сотрудников небольшой компании.
|
Диапазон заработной платы (BRL) |
Количество |
|
Менее 1000,00 |
6 |
|
Больше или равно 1000,00 и меньше 2000,00 |
7 |
|
Больше или равно 2000,00 и меньше 3000,00 |
5 |
|
Больше или равно 3000,00 |
2 |
|
Всего |
20 |
Относительная частота сотрудников, зарабатывающих менее 2000 реалов в месяц, составляет:
А) 0,07
Б) 0,13
В) 0,35
Г) 0,65
Д) 0,70
Разрешение:
Альтернатива D
Всего 6 + 7 = 13 сотрудников, которые зарабатывают менее 2000 реалов. Вычисляя относительную частоту, имеем:
13: 20 = 0,65