Частота вращения ротора как найти

Частота вращения ротора асинхронного двигателя

n₂
=n₁(1
— s)
= (f₁60/
p)(l
—
s).
(15.2)

Из
этого выражения следует, что частоту
вращения ротора асинхронного двигателя
можно регулировать изменением какой —
либо из трех величин: скольжения s,
частоты
тока в обмотке ста­тора f₁
или числа полюсов в обмотке статора 2р.

Регулирование
частоты вращения изменением скольжения
s
возможно
тремя способами: изменением подводимого
к обмотке статора напряжения, нарушением
симметрии этого напряжения и изменением
активного сопротивления обмотки ротора.

Регулировка
частоты вращения изменением скольжения
про­исходит только в нагруженном
двигателе. В режиме холостого хода
скольжение, а следовательно, и частота
вращения остаются практически неизменными.

Регулирование
частоты вращения изменением подводи­мого
напряжения. Возможность
этого способа регулирования подтверждается
графиками М = f(s),
построенными для разных значений U₁
(см. рис. 13.5). При неизменной нагрузке на
валу дви­гателя увеличение подводимого
к двигателю напряжения вызыва­ет рост
частоты вращения. Однако диапазон
регулирования часто­ты вращения
получается небольшим, что объясняется
узкой зоной устойчивой работы двигателя,
ограниченным значением критиче­ского
скольжения и недопустимостью значительного
превышения номинального значения
напряжения. Последнее объясняется тем,
что с превышением номинального напряжения
возникает опас­ность чрезмерного
перегрева двигателя, вызванного резким
увели­чением электрических и магнитных
потерь. В то же время с уменьшением
напряжения U₁
двигатель
утрачивает перегрузочную способность,
которая, как известно, пропорциональна
квадрату напряжения сети (см. § 13.2).

Подводимое
к двигателю напряжение изменяют либо
регули­ровочным автотрансформатором,
либо реакторами, включаемыми в разрыв
линейных проводов.

Узкий
диапазон регулирования и неэкономичность
(необхо­димость в дополнительных
устройствах) ограничивают область
применения этого способа регулирования
частоты вращения.

Регулирование
частоты вращения нарушением симметрии
подводимого напряжения. При
нарушении симметрии подводи­мой к
двигателю трехфазной системы напряжения
вращающееся поле статора становится
эллиптическим (см. § 9.4). При этом поле
приобретает обратную составляющую
(встречное поле), которая создает момент
М_обр,
направленный встречно вращающему
момен­ту М_пр.
В итоге результирующий электромагнитный
момент двига­теля уменьшается (М = М_пр
— М_обр).

Механические
характеристики двигателя при этом
способе регу­лирования располагаются
в зоне между характеристикой при
симмет­ричном напряжении (рис. 15.10, а,
кривая 1) и характеристикой при однофазном
питании дви­гателя (кривая 2) — пределом

несимметрии трехфазного
напряжения.

Для
регулировки не­симметрии подводимого
напряжения можно в цепь одной из фаз
включить однофазный регулировоч­ный
автотрансформатор (AT)
(рис. 15.10, б). При уменьшении напряжения
па выходе AT
несиммет­рия увеличивается и частота
вращения ротора уменьшается. Недостатками
этого способа регулирования являются
узкая зона

Рис.
15.10. Механические характеристики (а) и
схема включения (б) асинхронного двигателя
при регулировании частоты вращения
изменением симметрии трехфаз­ной
системы

регулирова­ния
и уменьшение КПД двигателя по мере
увеличения несимметрии напряжения.
Обычно этот способ регулирования частоты
вращения применяют лишь в двигателях
малой мощности.

Регулирование
частоты вращения изменением активного
сопротивления в цепи ротора. Этот
способ регулирования частоты вращения
возможен лишь в двигателях с фазным
ротором. Ме­ханические характеристики
асинхронного двигателя, построенные
для различных значений активного
сопротивления цепи ротора (см. рис.
13.6), показывают, что с увеличением
активного сопро­тивления ротора
возрастает скольжение, соответствующее
задан­ному нагрузочному моменту.
Частота вращения двигателя при этом
уменьшается. Зависимость скольжения
(частоты вращения) от активного
сопротивления цепи ротора выражается
формулой, полученной преобразованием
(13.13):

s
= m₁I^/2₂
r‘₂/
(ω₁
М).
(15.3)

Практически
изменение активного сопротивления цепи
ротора достигается включением в цепь
ротора регулировочного реостата (РР),
подобного пусковому реостату (ПР) (см.
рис. 15.2), но рассчитанного на длительный
режим работы. Электрические потери в
роторе пропорциональны скольжению (Р_э2
= sP_эм),
поэтому умень­шение частоты вращения
(увеличение скольжения) сопровождается
ростом электрических потерь в цепи
ротора и снижением КПД двигателя. Так,
если при неизменном нагрузочном моменте
на валу двигателя увеличить скольжение
от 0,02 до 0,5, что соответствует уменьшению
частоты вращения примерно вдвое, то
потери в цепи ротора составят почти
половину электромагнитной мощно­сти
двигателя. Это свидетельствует о
неэкономичности рассмат­риваемого
способа регулирования. К тому же
необходимо иметь в виду, что рост потерь
в роторе сопровождается ухудшением
усло­вий вентиляции из-за снижения
частоты вращения, что приводит к перегреву
двигателя (см. § 31.1).

Рассматриваемый
способ регулирования имеет еще и тот
недостаток, что участок меха­нической
характеристики, со­ответствующий
устойчивой ра­боте двигателя, при
введении в цепь ротора добавочного
со­противления становится более
пологим и колебания нагрузоч­ного
момента на валу двигате­ля сопровождаются
значитель­ными изменениями частоты
вращения ротора. Это иллюст­рирует
рис. 15.11, на котором видно, что если
нагрузочный момент двигателя изменится
на ΔМ_ст
= М^/_ст
– М^//_ст,
то измене­ние частоты
вращения при выведенном регулировочном
реостате ( r_д‘
= 0 ) составит Δn_2I,
а при введенном реостате — Δn_2II.

Рис.
15.11. Влияние сопротивления цепи ротора
на

колебания
частоты вращения при изменении нагрузки

В
послед­нем случае изменение частоты
вращения значительно больше.

Но
несмотря на указанные недостатки,
рассмотренный способ ре­гулирования
частоты вращения широко применяется в
асинхронных двигателях с фазным ротором.
В зависимости от конструкции
регули­ровочного реостата этот способ
регулирования частоты вращения может
быть плавным (при плавном изменении
сопротивления РР) или ступенчатым (при
ступенчатом изменении сопротивления
РР).

Способ
обеспечивает регулирование частоты
вращения в ши­роком диапазоне, но
только вниз от синхронной частоты
враще­ния. Вместе с тем он обеспечивает
двигателю улучшенные пуско­вые
свойства (см. § 15.1).

Регулирование
частоты вращения изменением частоты
тока в статоре. Этот
способ регулирования (частотное
регулирование) ос­нован на изменении
синхронной частоты вращения n₁
= f₁
60/ р
.

Для
осуществления этого способа регулирования
необходим источник питания двигателя
переменным током с регулируемой частотой.
В качестве таких источников могут
применяться элек­тромашинные, ионные
или полупроводниковые преобразователи
частоты (ПЧ). Чтобы регулировать частоту
вращения, достаточно изменить частоту
тока f₁.
Но с изменением частоты f₁
= ω₁p/
(2π) будет изменяться и максимальный
момент [см. (13.18)]. Поэтому для сохранения
неизменными перегрузочной способности,
коэффициента мощности и КПД двигателя
на требуемом уровне необходимо
одно­временно с изменением частоты
f₁
изменять и напряжение питания U₁.
Характер одновременного изменения f₁
и U₁
зависит от закона изме­нения момента
нагрузки и определяется уравнением

U^/₁
/U₁
= (f₁
^//f₁)
(15.4)

где
U₁
и М — напряжение и момент при частоте
f₁
; U’₁
и М’ -напряжение и момент при частоте f
‘₁.

Если
частота вращения двигателя регулируется
при условии постоянства момента нагрузки
( М = М’ = const),
то подводимое к двигателю напряжение
необходимо изменять пропорционально
изменению частоты тока:

U‘₁
= U₁
f
‘₁/f₁
(15.5)

При
этом мощность двигателя увеличивается
пропорциональ­но нарастанию частоты
вращения. Если же регулирование
произ­водится при условии постоянства
мощности двигателя ( Р_эм
= Мω₁
= const),
то подводимое напряжение следует
изменять в соответствии с законом

U‘₁
= U_1.
(15.6)

Частотное
регулирование двигателей позволяет
плавно изме­нять частоту вращения в
широком диапазоне (до 12:1). Однако источники
питания с регулируемой частотой тока
удорожают установку. Поэтому частотное
регулирование до последнего времени
применялось в основном для одновременного
регулирования группы двигателей,
работающих в одинаковых условиях
(напри­мер, рольганговых двигателей).
Но благодаря развитию силовой
полупроводниковой техники в последние
годы созданы устройства частотного
регулирования, технико-экономические
показатели которых оправдывают их
индивидуальное применение для
регули­рования частоты вращения
одиночных двигателей.

Использование
асинхронных двигателей, укомплектованных
такими устройствами для частотного
регулирования, наиболее целесообразно
в пожаро- и взрывоопасных средах
(химическая и нефтеперерабатывающая
промышленность), где применение
коллекторных двигателей (см. гл. 29)
недопустимо.

Регулирование
частоты вращения изменением числа
полюсов обмотки статора. Этот
способ регулирования частоты вращения
дает ступенчатую регулировку. Так, при
f₁
=50 Гц и р = 1÷5 пар полюсов можно получить
следующие синхронные частоты вращения:
3000, 1500, 1000, 750, 600 об/мин.

Изменять
число полюсов в обмотке статора можно
либо укладкой
на
статоре двух обмоток с разным числом
полюсов, либо укладкой на статоре одной
обмотки, конструкция которой позволяет
путем переключения катушечных групп
получать различное число полюсов.
Последний способ получил наибольшее
применение.

Принцип преобразования
четырехполюсной обмотки в двух­полюсную
(для одной фазы) показан на рис. 15.12: при
последова­тельном согласном соединении
двух катушек возбуждаемое ими магнитное
поле образует четыре полюса (рис. 15.12,
а); при по­следовательном
встречном (рис. 15.12, б) или параллельном
со­единениях (рис. 15.12, в) — два полюса.
Таким образом, принцип образования
полюсно переключаемой обмотки основан
на том, что
каждая фаза обмотки делится на части
(катушечные группы), из­меняя на разное
число
полюсов
схему
соединения которых получают разное
число полюсов.

Рис
15.12. Схемы включения обмотки

статора

Возможны
два режима работы асинхронных двигателей
с по­люсно переключаемыми обмотками:

режим
постоянного момента (рис. 15.13, а) — при
переключении двигателя с одной частоты
вращения на другую вращающий момент на
валу двигателя М₂
остается неизменным, а мощность Р₂
изменяется пропорционально частоте
вращения n₂:
Р₂
= 0,105 М₂
n₂
(15.7)

режим
постоянной мощности (рис. 15.13, б) — при
переключении двигателя с одной частоты
вращения на другую мощность P₂
остается примерно одинаковой, а момент
на валу M₂
изменяется соответственно изменению
частоты вращения n₂:

М₂
=
9,55 Р₂/
n₂.
(15.8)

Рис.
15.13. Схемы переключения числа полюсов
и механиче­ские характеристики в
режимах постоянного момента (а) и
постоянной скорости (б)

Если
на статоре расположить две полюсно
переключаемые обмотки, то получим
четырехскоростной двигатель. Однако
воз­можно применение и одной обмотки,
допускающей путем пере­ключения
катушечных групп получение до четырех
вариантов различных чисел полюсов.
Например, асинхронный двигатель ти­па
4А180М12/8/6/4 имеет на статоре обмотку,
допускающую пере­ключение на 12,8,6,4
полюса.

Регулирование
частоты вращения изменением числа
полюсов на статоре применяют исключительно
в асинхронных двигателях с короткозамкнутым
ротором, так как число полюсов в обмотке
этого ротора всегда равно числу полюсов
статора и для изменения частоты вращения
достаточно изменить число полюсов в
обмотке ротора. В случае же фазного
ротора пришлось бы и на роторе применить
полюсно переключаемую обмотку, что
привело бы к недопустимому усложнению
двигателя.

1. Понятие
   о несимметричных режимах. Работа при
   несимметричном напряжении

1. И
   несимметрия сопротивлений

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

При рассмотрении вопроса о получении переменного тока указывают, что за один оборот ротора индуктированная в проводниках обмотки генератора электродвижущая сила (ЭДС) имела один период. Если ротор генератора делает, например 5 об/сек, то ЭДС будет иметь 5 пер/сек или частота тока генератора будет равна 5 Гц. Следовательно, число оборотов в секунду ротора генератора численно равно частоте тока.

Частота тока f выражается следующим соотношением:

где n – число оборотов ротора в минуту.

Для получения от генератора стандартной частоты тока – 50 Гц ротор должен делать 3000 об/мин, то есть

Однако наши рассуждения были справедливы только для двухполюсного генератора, то есть для машины с одной парой полюсов p.

Если машина четырехполюсная, то есть число пар полюсов равно двум: p = 2 (рисунок 1), то один полный период изменения тока будет иметь место за пол-оборота ротора (1 – 5 положения проводника на чертеже). За второй полуоборот ротора ток будет иметь еще один период. Следовательно, за один оборот ротора четырехполюсной машины ток в проводнике имеет два периода. В шестиполюсной машине (p = 3) ток в проводнике за один оборот ротора будет иметь три периода.

Рисунок 1. Изменение переменного тока в проводнике ротора четырехполюсного генератора

Таким образом, для машин, имеющих p пар полюсов, частота тока при об/сек будет в p раз больше, чем для двухполюсной машины, то есть

Отсюда формула зависимости скорости вращения от частоты и числа пар полюсов будет иметь следующий вид:

Пример 1. Определить частоту переменного тока, получаемого от генератора с восемью полюсами (p = 4), скорость вращения ротора которого n = 750 об/мин. Подставляя в формулу для определения частоты тока значение p и n получим:

Пример 2. Определить скорость вращения ротора двадцатиполюсного генератора (p = 10), если частотомер показал частоту тока f = 25 Гц. Подставляя в формулу для определения числа оборотов ротора n значения p и f, получим:

Пример 3. Скорость вращения ротора асинхронного двигателя, составляет 250 об/мин. Определить число пар полюсов асинхронного двигателя, если частота тока питающей сети равна 50 Гц:

Следовательно, двигатель имеет 24 полюса.

Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560 с.

Главная / Техническая информация / Механические характеристики асинхронного двигателя

Механические характеристики асинхронного двигателя — зависимость частоты вращения ротора от нагрузки (вращающегося момента на валу).

Электромагнитный момент М, развиваемый асинхронным двигателем, можно определять двумя способами: через электромагнитную мощность Р_эм и через полную механическую мощность двигателя Р₂:

М=Р₂‘/ω,                (39)

где Р₂ —полная механическая мощность, Вт; ω=2πn/60 — механическая угловая скорость вращения ротора, 1/с; n — частота вращения ротора, об/мин.

Скорость ω связана с синхронной ω₁ соотношением

Подставляя выражение для ω и Р₂‘ по уравнению (36) в уравнение (39), получаем

       (40)

Выражение для момента через электромагнитную мощность имеет вид

М=Р_эм/ω₁,

Значение Р_эм находится по уравнению (35), после чего представляем

Таким образом мы получим тождественное выражение для момента. Поскольку независимой величиной является не ток, а приложенное напряжение, то для получения окончательного выражения момента подставим в (40) значение тока I₂‘ по уравнению (32):

        (41)

где М — момент, Н∙м; ω₁ — синхронная скорость, с-1; U₁ — напряжение, В; r₁, r₂‘, x₁, x₂‘ —сопротивления, Ом; s — скольжение, отн. ед.

Если необходимо иметь значение момента во внесистемных единицах — в килограммах силы-метрах, то полученный по (41) результат следует разделить на 9,81.

При эксплуатации часто необходимо определять момент по известной механической мощности Р₂ (кВт) и частоте вращения n (об/мин). В этом случае формула (39) имеет вид, Н/м,

        (42)

Отсюда мощность Р₂ связана с моментом и частотой вращения соотношением

      (43)

где М — момент, Н∙м; n — частота вращения, об/мин.

Если момент выражен в килограммах силы-метрах, то формулы (42), (43) преобразуются к виду

Зависимость между моментом и скольжением (41) при постоянном напряжении U₁ и частоте f₁ сети называется механической характеристикой. Естественная механическая характеристика асинхронного двигателя приведена на рис. 20. Там же приведена механическая характеристика M=f (n), часто встречающаяся на практике и полученная из характеристики M = φ(s) пересчетом (s=0 соответствует синхронной частоте вращения n₁, s =1-n=0 и т. д.).

Рис. 20. Естественная механическая характеристика асинхронного двигателя: a —M=f(s); б – n =f(М); А—генераторный режим; Б — режим двигателя; В — режим электромагнитного тормоза

Используя формулу (41), можно получить достаточно полное представление о механических характеристиках асинхронного двигателя. Обратим прежде всего внимание на то, что механический момент двигателя зависит от трех групп величин: во-первых, это величины, определяемые конструкцией двигателя, к их числу относятся r₁ и r’₂, x₁, х’₂; во-вторых, величины, характеризующие напряжение, подводимое к двигателю, — напряжение на его зажимах U и частота питающего напряжения f (так как ω₁ = 2πf); наконец, последняя величина, определяющая момент, развиваемый двигателем, зависит от режима его работы — это скольжение s.

Рассмотрим физические явления, обусловливающие такую форму механической характеристики. При частоте вращения ротора, равной синхронной, проводники ротора движутся с той же скоростью, что и вращающееся магнитное поле. Поэтому ЭДС, а следовательно, и ток в роторе равны нулю. Поэтому равен нулю и вращающий момент двигателя. При уменьшении частоты вращения ротора ниже синхронной проводники обмотки ротора начинают пересекать магнитное поле машины, в результате чего в обмотке ротора наводится ЭДС, пропорциональная скольжению ротора [см. формулу (14)]. При малых скольжениях (в пределах от s=0 до s=s_кр) ток ротора также изменяется почти пропорционально скольжению. К такому выводу можно прийти, рассматривая уравнение (25) или (32). Так, в уравнении (25) при малых значениях s можно пренебречь составляющей sx₂ в знаменателе по сравнению со значением r₂, а в (32) можно пренебречь всеми составляющими в знаменателе по сравнению со значением r’₂/s.

Таким образом, ток ротора в этом диапазоне скольжений практически определяется величиной ЭДС ротора, деленной на постоянное активное сопротивление r₂ [уравнение (25)].

Как видно из рис. 20, механическая характеристика в зоне малых скольжений s<s_кр линейна. В этой же области скольжений находится и номинальное скольжение s_ном=0,01—0,1 (большие значения номинального скольжения относятся к двигателям мощностью до 1 кВт).

По мере увеличения скольжения увеличивается частота токов в роторе и возрастает влияние на характеристику индуктивного сопротивления ротора. Изменение тока, определяемое в зоне малых скольжений в основном активным сопротивлением [см. формулу (25)], замедляется, и при некотором скольжении, называемом критическим s_кр, достигается максимальное значение момента. При дальнейшем увеличении скольжения (уменьшении частоты вращения ротора) момент будет уменьшаться.

Критическое скольжение находится по формуле

                  (44)

где знак плюс соответствует двигательному режиму работы, а минус — генераторному (как следует из рис. 20, генераторный режим соответствует области отрицательных скольжений).

Поскольку для двигателей мощностью более 1 кВт практически всегда r₁<<(х₁ + х’₂), то формулу для критического скольжения можно упростить:

                  (44а)

Теперь, подставляя значение s=s_кр в формулу (41), получим выражение для максимального момента

                  (45)

Взяв теперь отношение текущего значения момента к максимальному М/М_max при условии r₁≈0, получим

                (46)

Формула (46) оказывается весьма удобной, так как позволяет построить механическую характеристику двигателя M=f(s) при известных значениях максимального момента и соответствующего ему критического скольжения. Задавая текущее значение скольжения в диапазоне 0<s≤1, решают уравнение (46) относительно текущего момента М. Можно поступить иначе — строить механическую характеристику в относительных единицах, т. е. получать характеристику M/M_max=f (s).

Относительный максимальный момент определяет его перегрузочную способность, т. е. способность двигателя кратковременно выдерживать нагрузки, большие номинальной. В электрических машинах перегрузочная способность обозначает k_м и определяется как

k_м = M_max/M_ном        (47)

Важное значение имеет пусковой момент, который можно рассчитывать по общей формуле (41) при подстановке в нее s= 1:

          (48)

Относительное значение пускового момента k_п определяет способность двигателя разгоняться до рабочей частоты вращения с полной нагрузкой на валу и определяется как

k_п = M_п/M_ном

В ряде случаев вместо (46) удобнее пользоваться формулой, в которой текущий момент двигателя отнесен не к максимальному, а к номинальному моменту. В этом случае

         (49)

где s_кр, s_ном — значения критического и номинального скольжения двигателя; ρ=r₁/r’₂ (для двигателей серии 4А с высотой оси вращения 56—132 мм пользуются значением ρ≈1,32).

Если пренебречь величиной r₁ (т. е. положить ρ=0), то из (49) следует

                          (50)

Анализ выражения (41) для электромагнитного момента показывает, чт момент зависит от квадрата напряжения сети, что является недостатком асинхронных двигателей. Так, при снижении напряжения на 10 % момент уменьшается на 19%, а при снижении напряжения на 20 % уменьшение момента составляет 36%. На рис. 21 изображены механические характеристики двигателя при номинальном питающем напряжении (естественная характеристика) и при пониженном напряжении.

При уменьшении напряжения, питающего двигатель, который работает под нагрузкой, его вращающий момент снижается. В результате этого происходит снижение частоты вращения двигателя. Частота снижается (и соответственно увеличивается скольжение) до тех пор, пока вращающий момент двигателя не станет равным статическому моменту сопротивления Мс, обусловленному (приводом (соответствующие частоты вращения показаны точками на механических характеристиках рис. 21). При сильном уменьшении напряжения может случиться, что максимальный момент окажется меньше момента сопротивления Мс. В этом случае двигатель опрокидывается, т. е. его частота вращения уменьшается и в конце концов он останавливается. При заторможенном роторе по обмоткам двигателя протекают большие токи, и во избежание аварии сам двигатель должен быть отключен от сети (эти функции выполняет тепловая защита).

Рис. 21. Механические характеристики асинхронного двигателя при различных значениях питающего напряжения

Асинхронный генератор. Частота

Частота асинхронного генератора при холостом ходе и нагрузке

Разница между частотой вращения магнитного поля и ротора в асинхронных генераторах определяется коэффициентом s, называемым скольжением, который выражается соотношением:

s = (n — n_r )/n .

Здесь:
n — частота вращения магнитного поля.
n_r — частота вращения ротора.

Связь между угловой частотой вращения магнитного поля ω и угловой частотой вращения ротора ω_r асинхронной машины можно выразить следующим образом:

ω = ω_r /(1 — s) ,

что следует из определения скольжения.
В общем случае угловая частота вращения магнитного поля

ω = 2πn .

Так как частота генерируемых колебаний

f = pn ,

где р — число пар полюсов, то

ω = 2πf /p .

Аналогично угловая частота вращения ротора

ω_r = 2πn_r или ω_r = 2πf_r /p ,

где f_r = pn_r — электрическая частота вращения ротора.

Электрическая угловая частота вращения ротора

ω_r p = 2πf_r

В режиме автономного асинхронного генератора частота вращения магнитного поля, определяющая частоту генерируемых колебаний, зависит от частоты вращения ротора и от нагрузки, характеризуемой скольжением. Если нагрузка отсутствует, а включенная емкость и частота вращения ротора остаются постоянными, т.е. C = cоnst и ω_r = cоnst, то частоту генерируемых колебаний можно выразить через параметры колебательного контура, который образуется собственной индуктивностью статорной обмотки и емкостью конденсатора.

При отмеченных условиях уравнение электрического равновесия, выраженное через мгновенные значения напряжений на синхронном индуктивном сопротивлении X_L = ωL и на конденсаторе X_C = ωC, принимает вид:

u_L + u_C = 0 .

После подстановок:

u_L = Ldi/dt и di/dt = C d ²u/dt ²

где

i = C du_C /dt ,

и преобразований, уравнение примет вид

d ²u_C /dt ² + u_C /LC = 0

Примем, что напряжение на конденсаторе изменяется по синусоидальному закону:

u_C = U_C sinωt ,

тогда

d ²u_C /dt ² = -ω ²U_C sinωt ,

С учетом последних соотношений из дифференциального уравнения находим:

ω = 1/√LC ,

откуда

f = 1/2π√LC

Таким образом, частота генерируемых колебаний при холостом ходе автономного асинхронного генератора определяется из условия резонанса емкости конденсатора и собственной индуктивности обмотки статора.

Если принять, что при холостом ходе скольжение s = 0, то получим

ω ≈ ω_r

Тогда

f ≈ pn_r = f_r

Последнее выражение можно представить в виде

f_r ≈ 1/2π√LC

Следовательно, при холостом ходе асинхронного самовозбуждающегося генератора параметры колебательного контура автоматически
настраиваются на частоту, равную электрической частоте вращения ротора.

Изменение значения включенной емкости при ω_r = cоnst или частоты вращения ротора при С = cоnst не нарушает вышеописанных равенств, если генератор остается в области устойчивой работы. В первом случае мы имеем одну характеристику намагничивания машины, соответствующую данному значению частоты вращения и семейство вольтамперных характеристик возбуждающей емкости, причем каждая из характеристик составляет с положительным направлением оси абсцисс угол

α_k = arctg(1/ωC_k ) ,

где k = 1, 2, 3 …
Произведение собственных индуктивностей статорной обмотки и емкости конденсаторов остается практически постоянным, т.е.

L_kC_k = cоnst ,

так как вследствие нелинейности кривой намагничивания происходит соответствующее изменение индуктивности. Так с увеличением емкости ток холостого хода и степень насыщения магнитной цепи возрастают, а индуктивность уменьшается. Значение установившегося напряжения определяется точкой пересечения кривой намагничивания и вольтамперной характеристики конденсаторов.

Во втором случае, т.е. при переходе к новым значениям установившихся частот вращения с емкостью С = cоnst, мы имеем семейство кривых намагничивания и семейство вольтамперных характеристик возбуждающей емкости. Углы наклона последних к положительному направлению оси абсцисс находятся теперь по соотношению

α_k = arctg(1/ωC ) ,

Значение установившегося напряжения в каждом случае определяется точкой пересечения кривой намагничивания и вольтампер ной характеристики конденсаторов для данной угловой частоты ω_k .

Получим теперь выражение для частоты генерируемых колебаний при нагрузке, полагая, что емкость конденсаторов и частота вращения ротора не изменяются. Выполнив необходимые преобразования из вышеописанных формул, получим:

f = f_r /(1 — s ) ,

или

f = pn_r /(1 — s ) ,

Заметим, что частота вращения ротора в большинстве случаев выражается в об/мин а не в сек/мин, тогда запишем

f = pn_r /60(1 — s ) ,

Частота генерируемых колебаний при постоянной частоте вращения ротора и возрастающей нагрузке несколько уменьшается, так как на устойчивой части механической характеристики асинхронной машины скольжение пропорционально нагрузке.
С другой стороны, уменьшение частоты f при С = cоnst объясняется увеличением собственной индуктивности фазы статора вследствие возрастания коэффициента взаимоиндукции. Последнее вызывается размагничивающим действием тока ротора.

Продолжение следует.

Ещё статьи для ознакомления:
Синхронный и асинхронный генератор. Отличия.
Асинхронный генератор. Характеристики.
Дизель-генераторы.