Числовая окружность как найти отрицательную числу

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac{π}{2}, frac{π}{3}, frac{7π}{4}, 10π, -frac{29π}{6})) разбирается в этой статье.

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

                                                                  

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π): ( frac{π}{2}),(-frac{π}{2}),(frac{3π}{2}),(2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье).

Главное свойство числовой окружности

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео.

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь.

Что надо запомнить про числовую окружность:

Смотрите также: 
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t<0 или  t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Далее автор напоминает обучающимся, как находится длина окружности. А затем он выводит длину единичной окружности. Эти теоретические данные предлагается применить на практике. Для этого рассматривается пример, где требуется найти на окружности точку, соответствующую определенным значениям чисел. Решение примера сопровождается иллюстрацией в виде рисунка, а также необходимыми математическими записями.

Согласно условию второго примера, необходимо найти точки на числовой окружности. Здесь также все решение сопровождается комментариями, иллюстрациями и математической записью. Это способствует развитию и совершенствованию математической грамотности обучающихся. Аналогично построен и третий пример.

Далее автор отмечает те числа на окружности, которые встречаются чаще других. Здесь же он предлагает сделать два макета числовой окружности. Когда оба макета готовы, рассматривается следующий, четвертый пример, где требуется найти точку на числовой окружности, соответствующую числу 1. После этого примера формулируется утверждение, согласно которому можно найти точку M, соответствующей числу t.

Далее вводится замечание, согласно которому обучающие узнают, что числу «пи» соответствуют все числа, которые попадают в данную точку при проходе ею всю окружность. Эту информацию подкрепляет пятый пример. Его решение содержит логически правильные рассуждения и рисунки, иллюстрирующие ситуацию.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Ранее мы изучали функции, заданные аналитическими выражениями. И эти функции называли алгебраическими. Но в школьном курсе математики изучаются функции и других классов, не алгебраические. Начнем изучение тригонометрических функций.

Для того, чтобы ввести тригонометрические функции нам понадобится новая математическая модель – числовая окружность. Рассмотрим  единичную окружность. Окружность, радиус которой равен масштабному отрезку, без указания конкретных единиц измерения,  будем называть единичной. Радиус такой окружности считать равным 1.

Будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры СА и DВ( цэ а и дэ бэ).( смотри рисунок1 ).

Дугу АВ будем называть первой четвертью, дугу ВС – второй четвертью, дугу СD – третьей четвертью, а дугу DА – четвертой четвертью.

Рассмотрим  числовую окружность. Вообще, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее для этой цели пользоваться единичной окружностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А – правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t (тэ) точку окружности по следующему правилу:

1) Если t>0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

2) Если t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Числу t = 0 поставим в  соответствие  точку А.

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

Известно, что длина окружности L  (эль) вычисляется по формуле  L =2πR (эль равно два пи эр), где π≈3,14 , R – радиус окружности. Для единичной окружности R=1см, значит L =2π≈6,28 см (эль равно два пи примерно 6,28).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: , , , , , ,.(пи на два, пи, три пи на два, два пи, одиннадцать пи на два, семь пи, минус пять пи на два)

Решение. Первые шесть чисел положительны, поэтому для отыскания соответствующих им точек окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Длина каждой четверти единичной окружности равна . Значит, АВ =, то есть числу  соответствует точка В ( смотри рис. 1). АС = , то есть числу  соответствует точка С. АD = , то есть числу  соответствует точка D. А числу  соответствует снова точка А, потому что пройдя по окружности путь длиной  мы попали в начальную точку А.

Рассмотрим, где будет находится точка такое   Так как мы уже знаем, что длинна окружности , то приведем к виду   ( четыре пи плюс три пи на два). То есть, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать два раза целую окружность (путь длиной 4π) и дополнительно путь длиной  , который закончится в точке D.

 Что такое ? Это 3∙2π + π (три умноженное на два пи плюс пи). Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать три раза целую окружность и дополнительно путь длиной π, который закончится в точке С.

Чтобы найти на числовой окружности точку, соответствующую отрицательному числу , нужно из точки А пройти по окружности в отрицательном направлении (по часовой стрелке) путь длиной  , а это соответствует 2π +  .  Этот путь завершится в точке D.

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки , ,  (пи на шесть, пи на четыре, пи на три).

Решение. Разделив дугу АВ пополам, мы получим точку Е, которая соответствует  . А разделив дугу АВ на три равные части точками F и О, получим, что точка F соответствует , а точка T соответствует  

(смотри рис 2).

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки  ,  (минус тринадцать  пи на четыре, девятнадцать пи на шесть).

Решение. Отложив дугу АЕ (а эм) длиной  (пи на четыре) от точки А тринадцать раз в отрицательном направлении, получим точку Н (аш) – середину дуги ВС.

Отложив дугу АF длиной    (пи на шесть) от точки А девятнадцать  раз в положительном направлении, попадем в точку N (эн), которая принадлежит третьей четверти (дуге СD) и СN равно третьей части дуги СD (сэ дэ).

(смотри  рис примера 2).      

Чаще всего приходится искать на числовой окружности точки, которые соответствуют числам , , ,  ( пи на шесть, пи на четыре, пи на три, пи на два), а также те, которые кратны им, то есть , , ,   (семь пи на шесть, пять пи на четыре, четыре пи на три, одиннадцать пи на два). Поэтому  для того, чтобы быстро ориентироваться целесообразно  сделать два макета числовой окружности.

На первом макете каждая из четвертей числовой окружности будет разделена на две равные части и около каждой из полученных точек запишем их «имена»:

На втором макете каждая из четвертей разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек то же запишем их «имена»: 

Если двигаться по часовой стрелке, то получим для имеющихся на чертежах точек  те же «имена», только со значением минус. Для первого макета: 

Аналогично, если двигаться по второму макету  по часовой стрелке из точки О.

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам  1 (один).

Решение. Зная, что π≈3,14 (пи приблизительно равно три целые четырнадцать сотых) , ≈ 1,05( пи на три приблизительно равно одна целая пять сотых),  ≈ 0,79( пи на четыре приблизительно равно ноль целых семьдесят девять сотых). Значит, < 1 < ( один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Справедливо следующее утверждение: если точка М числовой окружности соответствуют числу  t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk (тэ плюс два пи ка), где ка – любое целое число и kϵZ (ка принадлежит зэт).

Используя это утверждение, можно сделать вывод, что точке   соответствуют все точки вида t =+ 2πk (тэ равно пи на три плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт), а  точке  (пять пи на четыре)  – точки вида t =   + 2πk (тэ равно пять пи на четыре плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт) и так далее.

ПРИМЕР 5.Найти на числовой окружности точку : а)   ; б) .

Решение. а) Имеем:    = =(6 + ) ∙ π = 6π +  =  + 3∙ 2π.( двадцать пи на три равно двадцать на три пи равно шесть плюс две трети, умноженное на пи равно шесть пи плюс два пи на три равно два пи на три плюс три умноженное на два пи).

Это значит, что числу  соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу  (это вторая четверть) ( смотри второй макет на рис 4).

б) Имеем:  = – ( 8 +  ) ∙ π =  + 2π ∙ ( – 4).( минус тридцать пять пи на четыре равно минус восемь плюс три четвертые, умноженное на пи равно минус три пи на четыре плюс два пи, умноженное на минус четыре). То есть числу   соответствует  на числовой окружности  та же точка, что и числу

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

• Через градусы
• Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

• Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
• Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
•  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
• Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

• ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
• ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

• ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
• ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

• ( y=sin alpha )
• ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

• Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
• Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
•  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
• Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

• ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
• ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Общие сведения

Для правильного решения тригонометрических задач следует изучить основные понятия, формулы, а также методы нахождения основных величин. Раздел математики, изучающий функции косинуса, синуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, называется тригонометрией. Окружность, которая используется для решения геометрических задач на плоскости, имеет единичный радиус.

Значения функций, которые можно по ней находить, называются тригонометрическими. Однако существует множество способов нахождения их значений, но в некоторых ситуациях при использовании формул приведения решение затянется на продолжительное время, а вычисления будут громоздкими. Чтобы этого избежать, нужно использовать тригонометрический круг со всеми значениями. С его помощью также можно определить, является ли функция четной или нечетной.

Углы и их классификация

Перед тем как понять основное назначение тригонометрических функций, следует обратить внимание на классификацию углов. Она является важной для вычисления тригонометрических выражений. Углы в математических дисциплинах делятся на следующие типы:

• Острые.
• Прямые.
• Тупые.
• Развернутые.
• Выпуклые.
• Полные.

К первому типу относятся углы любой размерности градусной единицы измерения, которая не превышает 90 (а<90). Если значение соответствует 90, то он является прямым (а=90). Угол считается тупым, при выполнении следующего условия: 90<a<180. Если градусная размерность угла соответствует 180, то он является развернутым (а = 180). Выпуклым считается угол, когда выполняется такое условие: 180 < a < 360. Следует отметить, что он является смежным с острым углом. В случае, когда значение градусной размерности соответствует 360 градусам, то он является полным (а=360).

Однако углы измеряются не только в градусах, но и в радианах. Для решения тригонометрических задач оптимальным выбором градусной меры является радиан. Для соотношения между двумя единицами измерения применяется простая формула: 180 (град) = ПИ (рад). Из соотношения можно вывести формулу для перевода градусов в радианы: Pрад = (а * ПИ) / 180. Переменная «а» — значение величины градусной меры заданного угла. Обратное соотношение принимает следующий вид: а = (Ррад * 180) / ПИ.

Для быстрого перевода единиц измерения применяют такие инструменты: радианная табличка, программное обеспечение и тригонометрическая окружность. Однако для начала следует обратить внимание на тригонометрические функции, которые присутствуют в задачах физико-математического уклона.

Информация о функциях

Тригонометрических функций всего четыре вида: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg). Существует столько же типов обратных функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg). Они получили широкое применение не только в математических задачах, но также используются в физике, электронике, электротехнике и других дисциплинах. Основной их особенностью считается возможность представления какого-либо закона.

Например, зависимость амплитуды напряжения переменного тока от времени описывается следующим законом: u = Um * cos (w*t) (графиком является косинусоида). Гармонические звуковые колебания также подчиняются определенному закону, в котором присутствует тригонометрическая функция. Кроме того, можно находить значения корня тригонометрического уравнения.

Синусом угла называется величина, равная отношению противолежащего катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе. Следовательно, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение величины противолежащего катета к прилежащему. Котангенс является обратной функцией тангенсу, т. е. отношение прилежащего к противолежащему.

Функции arcsin, arccos, arctg, arcctg применяются в том случае, когда нужно найти значение угла в градусах или радианах. Вычисления выполняются по специальным таблицам Брадиса или с помощью программ. Также можно использовать тригонометрическую окружность.

Тригонометрический круг

Чтобы воспользоваться тригонометрической окружностью для решения задач, нужны такие базовые знания: понятие о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе, системе координат и теореме Пифагора. Для построения единичной окружности используется декартовая система координат с двумя осями. Точка «О» — центр пересечения координатных осей, ОХ — ось абсцисс, ОУ — ординат.

Для решения задач различного типа применяется и теорема Пифагора. Она справедлива только для прямоугольного треугольника (один из углов — прямой). Ее формулировка следующая: квадрат гипотенузы в произвольном прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов. Следует также знать основные соотношения между функциями острых углов в заданном прямоугольном треугольнике:

• a + b = 180.
• cos(a) = sin(b).
• cos(b) = sin(a).
• tg(a) = ctg(b).
• tg(b) = ctg(a).
• tg(a) = 1 / ctg(a).
• tg(b) = 1 / ctg(b).

Существуют и другие тригонометрические тождества, но для работы с кругом этого перечня будет достаточно.

Построение «инструмента»

Построить окружность, которая ускорит процесс решения задач, довольно просто. Для этого потребуются бумага, карандаш, резинка и циркуль. Далее необходимо нарисовать любую немаленькую окружность. После этого отметить ее центр карандашом, поставив точку. Пусть она будет называться «О». Через эту точку следует провести две перпендикулярные прямые (угол пересечения равен 90 градусам). Обозначить их следующим образом: «х» (горизонтальная) и «у» (вертикальная).

Окружность является единичной, но не стоит рисовать ее такой, поскольку работать будет неудобно. Этот прием называется масштабированием. Он широко применяется практически во всех сферах человеческой деятельности. Например, инженеры не чертят двигатель космического корабля в натуральную величину, поскольку с таким «рисунком» будет неудобно и невозможно работать. Они используют его макет.

Окружность пересекается с осями декартовой системы координат в 4 точках со следующими координатами: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Области, которые делят декартовую систему координат на 4 части, называются четвертями. Их четыре:

• Первая состоит из положительных координат по х и у.
• Вторая имеет по х отрицательные и положительные по у.
• Третья — только отрицательные значения.
• Четвертая — положительные значения по х и отрицательные по у.

Исходя из этих особенностей, определяется числовой знак функции, позволяющий определить ее четность и нечетность. Кроме того, на ней следует отметить углы следующим образом: 0 и 2ПИ соответствует точке с координатами (1;0), ПИ/2 — (0;1), ПИ — (-1;0) и 3ПИ/2 — (0;-1).

Готовый макет

Для решения задач специалисты рекомендуют иметь рабочий и готовый макеты тригонометрических окружностей. Первый применяется для нахождения значений нестандартных углов (например, синуса 185 градусов). Тригонометрическим кругом (рис. 1) удобно пользоваться в том случае, когда значение угла является стандартным (90, 60 и т. д.).

Рисунок 1. Готовый макет тригонометрического круга синусов и косинусов.

Для нахождения необходимых значений объединяют две фигуры — единичную окружность и прямоугольный треугольник. Гипотенуза последнего равна 1 и соответствует радиусу окружности. Ось ОХ — косинусы, ОУ — синусы. С помощью этого «инструмента» определение синусов и косинусов становится намного проще. Для нахождения значения sin(30) необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

• Отметить угол на окружности и достроить его до прямоугольного треугольника.
• Если катет лежит напротив угла в 30 градусов, то он равен 0,5 от длины гипотенузы.
• sin(30) = 1 * 0,5 = 0,5.

Для нахождения косинуса необходимо использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает sin и cos: (sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1. Из равенства величина cos(30) = sqrt[1 — (sin(30))^2]= sqrt[1 — 0,5^2] = sqrt(3) / 2.

Однако после всех вычислений следует выбрать знак функции. В данном случае угол находится в первой четверти. Следовательно, функция имеет положительный знак. Для нахождения тангенса и котангенса можно воспользоваться следующими формулами: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a). Подставив значения синуса и косинуса, можно определить значение tg: tg(30) = 0,5 / (sqrt(3) / 2) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3. Тогда котангенс можно найти двумя способами:

• Через известный тангенс: ctg(30) = 1 / (1 / sqrt(3)) = sqrt(3).
• Использовать основное отношение: ctg(30) = (sqrt(3) / 2) / (1/2) = sqrt(3).

Вычислить значения синуса и косинуса для угла 60 градусов очень просто. Для этого нужно воспользоваться основными тождествами: sin(60) = сos(30) = sqrt(3) / 2, cos(60) = sin(30) = 1/2, tg(30) = ctg(60) = sqrt(3) / 3, tg(60) = ctg(30) = sqrt(3). Значения для 45 градусов определяются следующим образом:

• Прямоугольный треугольник с углом 45 градусов является равносторонним (катеты равны).
• (sin(45))^2 + (cos(45))^2 = 1.
• 2 * (sin(45))^2 = 1.
• sin(45) + cos(45) = sqrt(2) / 2.

Тангенс и котангенс равен 1. Если угол равен 90, то необходимо внимательно посмотреть на рисунок 1. Следовательно, sin(90) = 1, cos(90) = 0, tg(90) = 1 и ctg(90) не существует. Линия тангенса на окружности не отображается. В этом случае нужно пользоваться основными тригонометрическими тождествами.

Правила использования

Инструмент позволяет легко и быстро находить значения тригонометрических функций любых углов. Если при решении задачи требуется найти sin(270), то нужно выполнить простые действия:

• Пройти против часовой стрелки (положительное направление) 180 градусов, а затем еще 90.
• На оси синусов значение составляет -1 (точка лежит на оси).

Существуют задачи, в которых угол представлен отрицательным значением. Например, нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла (-7ПИ/6). В некоторых случаях заданное значение следует перевести в градусы: -7ПИ/6 = -210 (градусам). Если в условии отрицательный угол, то движение следует осуществлять по часовой стрелке от нулевого значения (пройти полкруга, а затем еще 30). Можно сделать вывод о том, что значение -210 соответствует 30. Следовательно, синус вычисляется следующим образом: sin(-210) = -(sin(ПИ + 30)) = — 1/2, cos(-210) = sqrt(3)/2, tg(-210) = sqrt(3)/3 и ctg(-210) = sqrt(3).

Пример случая, когда нет необходимости переводить радианы в градусы, является следующим: нужно вычислить значения тригонометрических функций угла 5ПИ/4. Необходимо расписать значение угла таким образом: 5ПИ/4 = ПИ + ПИ/4. Против часовой стрелки следует пройти половину круга (ПИ), а затем его четвертую часть (ПИ/4). Далее нужно спроецировать координаты точки на ось синусов и косинусов. Это соответствует значению sqrt(2)/2. Тангенс и котангенс заданного угла будут равны 1.

Встречаются задачи, в которых значение угла превышает 360 градусов. Например, требуется найти значения тригонометрических функций угла (-25ПИ/6). Для решения необходимо разложить угол следующим образом: (-25ПИ/6) = — (4ПИ + ПИ/6). Можно не делать обороты, поскольку 4ПИ соответствует двойному обороту и возврату в точку (-ПИ/6). Это объясняется периодом функций синуса и косинуса, который равен 2ПИ. Значения функций sin, сos, tg и ctg равны следующим значениям: — 1/2, sqrt(3)/2, sqrt(3)/3 и sqrt(3) соответственно.

Таким образом, тригонометрический круг позволяет оптимизировать вычисления в дисциплинах с физико-математическим уклоном, в которых используются тригонометрические функции. Не имеет смысла устанавливать дополнительное программное обеспечение, пользоваться таблицами, поскольку это занимает некоторое время. При помощи этого «универсального инструмента» можно найти значение любого угла.

Содержание:

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью.

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

Точки на окружности будем получать путем поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка (рис. 5) получена поворотом

Таким образом, при повороте точки вокруг начала координат на угол в заданном направлении получается точка единичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 6).

Пример №2

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол (рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Решение:

а) Так как поворот на соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки против часовой стрелки на (полный оборот). Точка совпадет с точкой (рис. 8, а).

б) Так как то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 8, б).

в) Так как то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Так как то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат по часовой стрелке на угол (рис. 9).

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности получим, что длина единичной окружности равна

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки соответствующие углам поворота (четверть окружности), (половина окружности), (три четверти окружности), (вся окружность).

Числа — это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как радиан соответствует то градусная мера угла в 1 радиан равна:

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Чтобы выразить радианную меру угла в градусной, число умножить на

Например,

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 13).

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка говорят, что в такой же четверти находится угол

Например, углы находятся в первой четверти, углы и находятся во второй четверти, углы находятся в третьей четверти, а угол находится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы соответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Так как то данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение.

а) Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 15, а).

б) Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол (см. рис. 15, а).

в) Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

г) Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

— единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку то, для того чтобы получить точку нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 16, а).

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение:

а) Так как то выполним один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 17, а).

б) Так как то выполним три полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат по часовой стрелке на угол (рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы для которых точка совпадает с точкой:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Так как, например, и т. п., то точки единичной окружности совпадают с точкой единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов для которых точки единичной окружности совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом,

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение:

а) Так как то выполним поворот точки вокруг начала координат на угол (рис. 19, а).

б) Поскольку то точка совпадает с точкой (рис. 19, б).