Что называется перестановками как их найти

Чтобы работать с теорией вероятностей и статистикой, нужно знать принципы комбинаторики — науки о подсчёте количества всевозможных комбинаций элементов.

• Факториал, правила суммы и произведения
• Перестановка
• Размещение
• Сочетание
• Как использовать перестановки, размещения и сочетания в анализе данных
• Совет эксперта

Самые популярные факториалы

Рекуррентная формула факториала

В этой формуле для получения следующего элемента необходимо знать предыдущий.

Правило суммы — если объект A можно выбрать способами, а объект B можно выбрать способами, то объект «A или B» можно выбрать n + m способами.

Правило произведения — если объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то для пары «A и B» есть n ∙ m вариантов выбора.

Когда важно одно или другое — варианты выбора складываются, когда одно и другое — умножаются. Оба правила позволяют найти, сколько есть вариантов на выбор или, например, сколько есть способов различного расположения предметов.

Получить больше практики по расчёту количества комбинаций можно в модуле «Комбинаторика» тренажёра «Основы математики для цифровых профессий».

Пример. На странице интернет-магазина одежды размещены три футболки. Если поменять их расположение на странице, получится новая перестановка. Сколькими способами можно расположить футболки на странице?

Решение. Три футболки можно расположить на странице способами: P₃ = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3.

Пример. Чтобы выполнить ежедневный квест, игроку нужно принести магу корзину с четырьмя кристаллами разного цвета. Первой необходимо найти корзину, а кристаллы можно сложить в неё в произвольном порядке. Как найти число способов выполнить задание?

Решение. Для выполнения квеста нужно 5 предметов. Корзину всегда находят первой, поэтому её позиция зафиксирована. Порядок сбора 4 оставшихся предметов равен числу перестановок 4 элементов. Всего есть 4! = 24 способа выполнить задание.

В отличие от перестановки, у размещения два параметра: из скольких элементов выбирают (n) и сколько именно выбирают (k).

Порядок выбора элементов важен, когда:

● Выбирают несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей.
● В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, когда надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет.

Пример. Недалеко от пользователя есть 9 ресторанов. Из них надо выбрать 4, которые будут отображаться на главном экране. Сколько есть способов выбрать рестораны?

Решение. Порядок выбора важен, поэтому выбрать четыре ресторана поможет правило произведения: существует 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024 способа. Это как раз и есть количество размещений из 9 по 4.

Пример. Сколькими способами можно заполнить спортивный пьедестал из трёх мест, если есть 10 претендентов?

Решение. Выбрать упорядоченную тройку можно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 способами. По формуле для количества размещений это считается так:

Несколько частных значений для количества сочетаний:

Порядок выбора или расстановки не важен, когда:

● Выбирают несколько элементов одновременно. В учебниках по математике самый частый пример — мешок с шариками, откуда вытаскивают несколько шариков разом.
● Выбирают пару (тройку, группу) для взаимного или равноправного процесса. Например, двух человек для партии в шахматы, две команды для игры в хоккей, три бренда одежды для коллаборации, две точки для соединения отрезком, пять человек для хора.

Пример. Из 9 актёров выбирают четырёх для массовки. Порядок выбранных людей не важен. Сколько есть способов выбрать актёров?

Решение. Чтобы получить количество вариантов выбора 4 из 9 без учёта порядка, нужно

Это количество сочетаний из 9 по 4: сначала нашли количество способов выбрать 4 из 9, потом «склеили» все варианты с одним набором актёров, но разным порядком.

Пример. В сувенирном магазине продаются 6 видов кружек. Сколько есть способов выбрать 4 разные?

Решение. Общее количество перестановок для 6 элементов нужно разделить на (6 – 4)! и ещё на 4!, так как не нужно учитывать ни перестановки «невыбираемых» кружек, ни порядок среди выбираемых.

Поэтому для выбора 4 кружек из 6 есть

А если надо выбрать только 2 разные кружки?

Ответ получился такой же, потому что множители в знаменателе просто поменялись местами.

У этого есть и логическое обоснование: например, выбрать 4 кружки из 6 (и купить их) — это то же самое, что выбрать 2 кружки из 6 (и не купить их).

Аналогично получится, что

В общем виде это свойство выглядит так:

Его называют свойством симметрии для количества сочетаний.

Совет эксперта

Диана Миронидис
Выбирать приходится каждый день: сколько блюд получится сделать из продуктов в холодильнике, сколькими способами можно добраться до работы — ответы на все эти вопросы даёт комбинаторика. Это отличный фундамент для изучения анализа данных и тех областей математики, которые связаны с теорией вероятностей и статистикой. Например, чтобы работать с биномиальным распределением, нужно знать, что такое биномиальные коэффициенты и как их находить. А это как раз комбинаторные задачи.

Автор и методист курсов по математике

5

Лекции
по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция
20. Перестановки. Определение определителя.

Краткое содержание: перестановки
конечного множества, их количество,
инверсии, четность перестановки,
транспозиция и ее свойства, определитель,
член определителя и его знак. Свойства
определителя.

Глава
2. Определение определителя n-го
порядка.

п.1.
Перестановки.

Пусть М – множество
из

элементов:
.

Определение.
Перестановкой множества из n
элементов называется любой упорядоченный
набор из всех элементов этого множества,
среди которых нет одинаковых.

Пример. Упорядоченные
наборы:

(1, 2, 3, 4,
5), (5, 2, 1, 4, 3), (2, 5, 4, 1, 3)

являются
перестановками множества M,
а наборы

(3, 2, 1, 5),
(3, 2, 1, 4, 3), (3, 2, 6, 4, 5)

не являются
перестановками множества М.

Определение.
Перестановку

множества М называют начальной
перестановкой.

Теорема. (О количестве
перестановок.)

Существует ровно

перестановок множества из

элементов.

Доказательство.
Доказательство проводится методом
математической индукции.

1) База индукции.

Пусть
,
т.е.
.
Очевидно, что существует единственная
перестановка множества из одного
элемента: (1).

2) Индукционная
гипотеза.

Пусть существует
ровно

перестановок множества из
-го
элемента:
.
Добавим к каждой перестановке множества
А еще один элемент: n. Этот
элемент можно поставить на 1-е место или
2-е или … или n-е место.
Добавляя к каждой перестановке множества
А элемент n на k-е
место мы получаем, в соответствии с
индукционным предположением,

перестановок уже множества М. Проделав
это n раз при

мы получим всего

перестановок множества М, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение.
Говорят, что пара чисел (i,
j) образуют в перестановке
инверсию, если
,
но число i находится в
перестановке левее числа j.

Пример. В перестановке
(2, 5, 4, 1, 3) инверсию образуют пары чисел
(2, 1), (5, 4), (5, 1), (5, 3), (4, 1) и (4, 3).

Обозначения:

Произвольную
перестановку из

элементов обозначают так:
.
Здесь каждое число перестановки
обозначают буквой с нижним индексом.
Индекс показывает, в каком месте
перестановки стоит данное число.
Например, число
,
стоит в перестановке третьим по счету.

Число (количество)
всех инверсий в перестановке

мы будем обозначать
.
Так, например,
.

Определение.
Перестановка называется четной, если
число ее инверсий четно, и нечетной в
противном случае.

Пример. Перестановка
(2, 5, 4, 1, 3) четная, т.к.

– четное число, а перестановка

– нечетная, т.к.

.

Определение.
Транспозицией называется действие,
заключающееся в том, что в перестановке
два каких-либо числа меняют местами
друг с другом.

Обозначение:

Пример.
.

Теорема. Любая
транспозиция соседних элементов
перестановки меняет четность перестановки
на противоположную.

Доказательство.
Пусть дана перестановка
,
в которой мы выполним транспозицию (i
j) и получим перестановку
.
Сразу заметим, что все пары, которые
образовывали инверсию в старой
перестановке, образуют инверсию и в
новой, кроме возможно одной пары: (i,
j). Если эта пара давала
инверсию в старой перестановке, то в
новой уже нет и число инверсий уменьшается
на 1. Если же эта пара не образовывала
инверсию в старой перестановке, то в
новой образует инверсию и число инверсий
увеличивается на 1. В любом случае, число
инверсий изменяется на 1, а следовательно,
меняется четность перестановки.

Теорема доказана.

Теорема. Любая
транспозиция любых двух элементов
перестановки меняет четность перестановки
на противоположную.

Доказательство.
Пусть выполняется транспозицию (i
j) и пусть между элементами
i и j находится
m других элементов. Легко
видеть, что такую транспозицию можно
выполнить за

транспозицию соседних элементов, откуда
и следует теорема.

Теорема доказана.

Теорема. Любую
перестановку можно получить из начальной
перестановки последовательным выполнением
конечного числа транспозиций, причем
это количество транспозиций есть число
четное, если данная перестановка четна,
и нечетное в противном случае.

Доказательство.
Очевидно в свете следующего примера.

Пример.

.

Здесь, перестановка

приведена к начальной за

4 транспозиции и
она четная, т.к.
.

Замечание.
Понятно, что любую перестановку можно
привести к начальной и обратно с помощью
тех же самых транспозиций, выполненных
в обратном порядке.

Теорема. Количество
четных перестановок множества из

элементов равно количеству нечетных и
равно
.

Доказательство.
Каждая перестановка либо четная, либо
нечетная. Поэтому общее количество
четных перестановок неизменно. Так же
и количество нечетных перестановок
есть число фиксированное. Во всех
перестановках выполним одну и ту же
транспозицию, например, (1 2). Все четные
перестановки станут нечетными и наоборот,
все нечетные станут четными. Следовательно,
четных и нечетных перестановок одинаковое
количество.

Теорема доказана.

Замечание.
Предлагается следующая интерпретация
к предыдущей теореме.

Пусть на некоторой
вечеринке находится какое-то количество
людей, причем все женщины в шляпках, а
мужчины в масках. Допустим, что в некоторый
момент времени, каждый мужчина должен
отдать женщине свою маску и получить
от нее головной убор. Каково должно быть
соотношение мужчин и женщин, чтобы
каждый мужчина получил шляпку, а каждая
женщина – маску?

Ответ очевиден.

п.2.
Определение определителя
–
го порядка.

Пусть дана
квадратная матрица
–
го порядка:

.

Определение.
Произведение

элементов матрицы А, взятых по одному
из каждой строки и каждого столбца
называют членом определителя матрицы
А.

Обозначение:
.

Здесь первый
индекс обозначает номер строки, из
которой взят элемент, второй индекс
,
он в свою очередь имеет нижний индекс
,
обозначает номер столбца, из которой
взят элемент и набор вторых индексов
образует перестановку

множества
.

Т.к. число всех
перестановок множества

равно
,
то существует ровно

членов определителя.

Каждый член
определителя снабдим знаком плюс или
минус, в зависимости от четности или
нечетности перестановки вторых индексов.
Это можно сделать с помощью множителя
,
который равен 1, если перестановка

четная и тогда число инверсий

есть четное число и равен – 1, если
перестановка

нечетная и тогда число инверсий

есть нечетное число.

Определение.
Определителем (детерминантом)
–
го порядка или определителем (детерминантом)
квадратной матрицы
–
го порядка называют алгебраическую
сумму всех членов определителя данной
матрицы, взятых со своими знаками.

Обозначение:

,
(1)

где суммирование
ведется по всем перестановкам столбцов.

Пример. Вычислим
определитель 3 – го порядка:

.

Выпишем все члены
определителя, их ровно 6 штук. Для этого,
выпишем сначала все перестановки
множества из 3 элементов:

,
,
,
,
,

и определим их четность:

,
,
,
,
,
.

Теперь выписываем
члены определителя, причем первые
индексы (номера строк) образуют начальную
перестановку, а вторые индексы (номера
столбцов) образуют перестановку, одну
из 6 приведенных выше.

,
,
,
,
,
.

Теперь мы можем
записать определитель, как

алгебраическую
сумму всех членов определителей, взятых
со знаком плюс, если вторые индексы
сомножителей, входящих в член определителя,
образуют четную перестановку, и со
знаком минус в противном случае:

.

Замечание. Формула
(1) определяет отображение из множества
всех квадратных матриц n-го
порядка над полем K в
полеK. Это отображение
называется определителем или детерминантом
и обозначается

.

п.3.
Свойства определителей.

Теорема. (Правило
знаков.)

,
(2)

где

и суммирование происходит по всем членам
определителя.

Доказательство.
Для того, чтобы вычислить знак члена
определителя

нужно упорядочить сомножители так,
чтобы индексы строк образовали начальную
перестановку
.
Этого можно добиться транспозицией
сомножителей. Допустим, что нам
потребовалось для этого t
транспозиций и мы получили член
определителя в виде

и, по определению, его знак равен
.

С другой стороны,
первоначальные перестановки строк и
столбцов претерпели изменения:

,
.

Так как этот
переход произошел за t
транспозиций, то четность перестановки
строк не изменится, если t
четное число и изменится на противоположное,
если t нечетное число. Это
можно отобразить формулой:

.

Аналогично и для
перестановки столбцов

.

Отсюда следует,
что

,
ч.т.д.

Теорема доказана.

Теорема. (Определитель
транспонированной матрицы.)

Определитель
квадратной матрицы не меняется при
транспонировании, т.е.

.
(3)

Доказательство.
Пусть

(4)

– произвольный
член определителя матрицы А и

(5)

– его знак.

При транспонировании
матрицы элемент

переходит на место элемента
,
т.е. номер строки меняется местом с
номером столбца, поэтому произведение
(4) после транспонирования остается
членом определителя транспонированной
матрицы

и он в алгебраической сумме для
определителя матрицы

принимает вид

и его знак, как это
следует из формулы (5) остается прежним.
Таким образом, при транспонировании
матрицы А, каждый член определителя
матрицы А переходит в член определителя
матрицы
,
причем с тем же самым знаком, откуда и
следует равенство (3).

Теорема доказана.

Замечание.
Последняя теорема устанавливает
равноправие строк и столбцов определителя,
т.е. любое свойство определителя, которое
верно для его строк остается верным и
для его столбцов и наоборот.

Действительно,
если какое-то свойство верно для строк
любого определителя, то оно верно и для
строк матрицы А и для строк матрицы
,
которые являются столбцами матрицы А,
т.е это свойство верно и для столбцов
любого определителя.

Введем обозначения.

Пусть

– квадратная
матрица n-го порядка.

Обозначим через

– k-й столбец матрицы А,

.

Определитель
матрицы А будем также обозначать через

.

В такой форме
записи определитель можно рассматривать
как функцию от n переменных

,

где переменные
определены на множестве

– множестве столбцов высоты n.

Определение.
Функция от n переменных

называется линейная по k-му
аргументу, если выполняются следующие
два свойства:

1) для любых значений
k-й переменной
,
взятых из области определения k-й
переменной верно равенство

;

2) для любого скаляра

и для любого значения k-й
переменной
,
взятого из области определения k-й
переменной верно равенство

.

Определение.
Функция от нескольких переменных,
которая линейна по каждому своему
переменному, называется полилинейной.

Теорема. (Свойство
линейности определителя.)

Определитель
квадратной матрицы над полем K
является полилинейной функцией своих
столбцов, т.е.
:

1)
;

2)
,
.

Доказательство.
Пусть, для удобства записи,

и

.

Обозначим

,
,
.

Тогда

и

.

.

Аналогично
доказывается второе равенство.

Теорема доказана.

Определение. Два
столбца определителя называются
пропорциональными, если один из них
можно получить из другого умножением
на ненулевой скаляр:

,

где
.

Аналогично
определяется понятие пропорциональных
строк.

Определение. Пусть

– столбцы определителя (матрицы).
Линейной комбинацией столбцов называется
столбец равный

,

где
–
произвольные скаляры.

Аналогично
определяется понятие пропорциональных
строк и понятие линейной комбинации
строк.

Теорема. (Свойства
определителя.)

1. Определитель,
имеющий нулевой столбец (нулевую строку)
равен нулю.

2. Определитель
меняет знак при любой транспозиции его
столбцов (строк).

3. Определитель,
имеющий два равных столбца (две равные
строки), равен нулю.

4. Определитель,
имеющий два пропорциональных столбца
(строки), равен нулю.

5. Определитель не
меняет своего значения, если к какому-либо
его столбцу (строке) прибавить любую
линейную комбинацию других его столбцов
(строк).

Доказательство.
В силу равноправности строк и столбцов
любое свойство достаточно доказать или
для строк или для столбцов.

1) Пусть определитель
имеет нулевой столбец. Каждый член
определителя имеет точно один множитель
из нулевого столбца и поэтому равен
нулю. Следовательно, и определитель
равен нулю.

2) Докажем это
свойство для строк.

Пусть в определителе

переставили местами
i-ю и k-ю
строки:

,

где

.

Мы видим, что в
начальной перестановке строк

(1, …, i-1,
i, i+1, …, k-1,
k, k+1, …, n)

произошла
транспозиция (i k):

(1, …, i-1,
k, i+1, …, k-1,
i, k+1, …, n).

Первоначальная
перестановка является четной, а после
транспозиции (i k)
перестановка получается нечетной.

Следовательно,

.

Таким образом, при
такой перестановке строк каждый член
определителя меняет свой знак на
противоположный, откуда и следует первое
утверждение теоремы.

3) Пусть определитель
имеет два равных строки.

Переставим их
друг с другом. С одной стороны, определитель
изменил свой знак на противоположный,
а с другой стороны матрица осталась
прежней, в силу равенства переставляемых
строк, откуда следует, что

.

Если в поле K
верно неравенство
,
т.е. характеристика поля не равна 2, тогда
получаем:

и утверждение
доказано.

Пусть в определителе
равны строки с номерами i
и k,
,
и пусть характеристика поля равна 2,
т.е.
,
тогда

и все члены определителя имеют одинаковый
знак.

Каждый член
определителя содержит ровно один элемент
из i-й строки, например,

и ровно один элемент из k-й
строки, например,
,
причем,
.
Переставим в члене определителя

эти сомножители
друг с другом:

Так как

и
,
то последний член определителя равен

Таким образом,
получаем, что, с одной стороны, член
определителя не изменится (от перестановки
множителей произведение не меняется),
а с другой стороны это другой член
определителя, т.к. элементы из i-й
и k-й строк взяты из других
столбцов.

Получается, что
каждый член определителя встречается
в алгебраической сумме дважды. Но в поле
характеристики 2 сумма двух одинаковых
слагаемых равна нулю:

.

Тем самым и
определитель равен нулю, ч.т.д.

4) Пусть в определителе
пропорциональны столбцы с номерами j
и k. Это означает, что

для некоторого скаляра
.
Тогда по уже доказанным свойствам

,
ч.т.д.

5) Для простоты
записи, допустим, что к первому столбцу
определителя мы прибавили линейную
комбинацию других столбцов этого же
определителя. Используя доказанные
свойства, получаем:

.

Теорема доказана.

Определение. Пусть
дана система столбцов (строк)
.
Линейной комбинацией данной системы
называется выражение

,

где

скаляры из поля K, которые
называются коэффициентами этой линейной
комбинации.

Определение.
Система столбцов (строк) называется
линейно зависимой, если существует их
линейная комбинация равная нулевому
столбцу (нулевой строке), причем хотя
бы один из коэффициентов этой линейной
комбинации не равен 0:

.

В противном случае
данная система столбцов (строк) называется
линейно независимой.

Теорема. Если
система столбцов (строк) определителя
линейно зависимая, тогда определитель
равен нулю.

Доказательство.
Пусть система линейно зависимая и

,

где
.
Пусть, для определенности,
.
Тогда

,

План урока:

Комбинаторика и ее основные принципы

Перестановки

Перестановки с повторениями

Размещения

Сочетания

Комбинаторика и ее основные принципы

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Пример. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Ответ: 300

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Ответ: 15000

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Ответ: 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

Рассмотрим простейшую комбинаторную задачу. На полке расставляют по порядку книги. Их ставят вертикально друг за другом. Сколькими способами можно расставить на полке 2 книги? Очевидно, что двумя:

Либо синяя книжка будет первой слева, либо она будет находиться в конце полки, третьего варианта здесь нет. Здесь условно считается, что варианты, когда между книгами есть зазоры, идентичны вариантам без зазоров:

То есть нас интересует исключительно порядок, в котором стоят книги. Каждый из найденных вариантов называется перестановкой книг. Перестановкой называют любое конечное множество, для элементов которого указан порядок элементов.В комбинаторике перестановки являются одними из основных объектов изучения.

Например, если в забеге на 100 метров стартует 8 спортсменов, то они образуют множество участников забега. После финиша становится известно, кто занял 1-ое место, кто оказался вторым или третьим, а кто стал последним. Результат забега будет перестановкой, ведь он представляет собой список спортсменов с указанием их мест, то есть он определяет порядок между ними.

Вернемся к примеру с книгами. Обозначим количество возможных перестановок n элементов как Р_n. Две книжки можно расставить двумя разными способами, поэтому Р₂ = 2. Обозначим эти перестановки как АБ и БА. Сколько способов расстановки есть в случае трех книжек? Их все можно получить из вариантов с 2 книжками, добавляя между ними книгами ещё один том:

Видно, что между 2 книгами есть три позиции, на которые можно поставить 3-ий том. Общее количество вариантов равно произведению числа этих позиций и количества вариантов для 2 книг, то есть Р₃ = 3•Р₂ = 3•2 = 6:

Итак, мы имеем 6 перестановок для 3 книг:

ВАБ

АВБ

АБВ

ВБА

ВБА

БАВ

А сколько перестановок существует для 4 книг? Снова-таки, между тремя книгами 4-ый том можно поставить четырьмя способами:

То есть из перестановки трех книг АБВ можно получить 4 перестановки:

ГАБВ

АГБВ

АБГВ

АБВГ

Всего существует 6 перестановок для 3 книг (Р₃ = 6), и для каждой из них можно построить 4 перестановки из 4 книг. Получается, что общее количество перестановок 4 книг равно

Р₄ = 4Р₃ = 4•6 = 24.

Продолжая подобные рассуждения, можно убедиться, что количество перестановок 5 предметов в 5 раз больше, чем перестановок для 4 объектов:

Р₅ = 5Р₄

И вообще, если число перестановок n объектов равно Р_n, то количество перестановок (n + 1)объекта равно в (n + 1)раз больше:

Р_n+1 = (n + 1)Р_n

При этом отметим, что 1 книгу можно расставить на полке только одним способом:

То есть Р₁ = 1. Теперь выпишем значения чисел Р при разном количестве переставляемых предметов, используя формулуР_n+1 = (n + 1)Р_n

Р₁ = 1

Р₂ = 2•Р₁= 2•1 = 2

Р₃ = 3Р₂ = 3•2•1 = 6

Р₄ = 4Р₃ = 4•3•2•1 = 24

Р₅ = 5Р₄ = 5•4•3•2•1 = 120

Видно, что количество перестановок n объектов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В математике есть специальная функция для вычисления значения этого произведения. Она называется факториалом и обозначается восклицательным знаком.

Например, факториал 6 вычисляется так:

6! = 1•2•3•4•5•6 = 720

Мы убедились на примере с книгами, что количество перестановок из n различных объектов, которое обозначается как Р_n, равно n!.

Относительно факториала надо заметить несколько важных моментов. Во-первых, очевидно, что факториал единицы равен 1:

1! = 1

Во-вторых, иногда в комбинаторных задачах приходится вычислять факториал нуля. По ряду соображений эта величина также принимается равной единице

0! = 1

Объяснить это можно так. Факториал числа можно представить как произведение этого числа и факториала предыдущего числа, например:

5! = 1•2•3•4•5 = (1•2•3•4)•5 = 4!•5

7! = 1•2•3•4•5•6•7 = (1•2•3•4•5•6)•7 = 6!•7

В общем случае формула выглядит так:

n! = (n– 1)!•n

Из неё несложно получить, что

(n– 1)! = n!/n

Например: 5! = 4!•5

Подставив в эту формулу единицу, получим

(1 – 1)! = 1!/1

0! = 1/1

0! = 1

Пример. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Решение. Количество таких способов равно числу перестановок 4 различных объектов Р₄:

Р₄ = 4! = 1•2•3•4 = 24

Ответ: 24

Пример. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?

Решение. В данном случае расписание занятий – это порядок, в котором Вася в течение недели будет изучать иностранные языки, например:

Такое расписание можно описать последовательностью символов:

Ф, Ан, И, К, Я, Ар, П

Создавая расписание, Вася переставляет 7 языков, поэтому общее количество расписаний равно 7!:

Р₇ = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040

Ответ: 5040

Пример. Сколько пятизначных цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, причем каждую не более одного раза?

Решение. Общее количество перестановок 5 цифр составляет Р₅. Однако нельзя начинать запись числа с нуля. Так как, перестановка 12340 – это пятизначное число (двенадцать тысяч триста сорок), а перестановка 03241 – не является пятизначным числом.

Расстановок, начинающихся с нуля, ровно Р₄, поэтому общее количество допустимых цифр равно Р₅ – Р₄:

Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Ответ: 96

Пример. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг

Р₅ = 5! = 120

Ответ: 120

Пример. Необходимо расставить 7 книг на полке, но три из них принадлежат одному автору. Их надо поставить друг с другом, но они могут стоять в любом порядке. Сколько возможно перестановок книг.

Решение. Снова будем считать три книги как один трехтомник. Получается, что существует 5! = 120 вариантов. Однако каждому из них соответствует 3! = 6 расстановок книг внутри трехтомника, например:

В итоге на каждую из 120 расстановок приходится 6 вариантов расстановки трехтомника, а общее число расстановок равно, согласно правилу умножения, произведению этих чисел:

120•6 = 720

Ответ: 720

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

А1АБ и АА1Б

А1БА и АБА1

БА1А и БАА1

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

6:2 = 3

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Р₄/Р₃ = 4!/3! = 24/6 = 4

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

Р_n(n₁, n₂, n₃,… n_k)

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Ответ: 35

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

Ответ: 60

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Ответ: 95040

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Ответ: 151200

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Сочетания

Выбирая размещение, мы должны были выбрать из множества несколько объектов и упорядочить их. В частности, мы выбирали три команды из шести и указывали, какая из них будет первой, какая второй, а какая третьей. Поэтому размещения «Локомотив, Зенит, Краснодар» и «Локомотив, Краснодар, Зенит» отличались друг от друга.

Однако порою этот порядок не имеет значения. Так, существует известная лотерея, где предлагается угадать 7 чисел из 49, которые выпадут во время розыгрыша из барабана. При этом порядок их выпадения не играет никакой роли. Игрок, выбирая эти 7 чисел, с точки зрения математики формирует сочетание из 49 по 7.

Количество возможных сочетаний из n по k обозначается буквой С:

Для вычисления количеств сочетаний из n по k сначала найдем количество аналогичных размещений. Оно вычисляется по формуле:

Однако ясно, что, как и в случае с перестановками с повторениями, некоторые сочетания мы посчитали несколько раз. Вернемся к примеру с командами. Если мы выбрали команды Л (Локомотив) , З (Зенит) и К (Краснодар), то мы можем составить ровно 3! = 6 размещений из них:

ЛЗК

ЛКЗ

ЗЛК

ЗКЛ

КЛЗ

КЗЛ

Однако все они соответствуют только одному сочетании – ЛКЗ. Таким образом, считая количество размещений, мы посчитали каждое сочетание не один, а 3! раз. Поэтому для нахождения количества сочетаний в комбинаторике надо поделить число размещений на число перестановок k элементов:

Эта формула связывает важнейшие понятия комбинаторики – перестановки, сочетания и размещения. Подставим в неё формулы для размещений и перестановок и получим:

Пример. Сколько троек призеров турнира можно составить, выбирая три футбольные команды из шести?

Решение. Посчитаем число сочетаний из 6 по 3:

Ответ: 20

Пример. Сколько комбинаций чисел может составить игрок, играющий в лотереи «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49»?

Решение. В каждом из этих случаев игрок выбирает сочетание нескольких чисел. Посчитаем их число:

Ответ: 376992; 8145060; 85900584

Пример. На плоскости отмечены 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них? Сколько треугольников и четырехугольников можно построить с вершинами в этих точках?

Решение. Для того чтобы провести прямую, достаточно выбрать любые 2 точки из 8. Общее количество прямых будет равно числу сочетаний из 8 по 2:

Заметим принципиальную важность того условия, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Оно гарантирует, что при выборе двух различных точек мы будем получать различные прямые. Если бы, например, точки АВС лежали бы на одной прямой, то при выборе сочетаний АВ, ВС и АС мы получали бы одну и ту же прямую:

Это же условие гарантирует, что, выбрав любые 3 и 8 точек, мы сможем построить треугольник с вершинами в этих точках, а выбрав 4 точки, получим четырехугольник. Поэтому для подсчета количества треугольников и четырехугольников следует искать число сочетаний по 3 и 4:

Ответ: 28 прямых, 56 треугольников и 70 четырехугольников.

Пример. В одной урне находится 10 различных шаров с номерами от 0 до 9, а в другой – 8 различных шаров с первыми восемью буквами алфавита. По условиям лотереи ведущий вытаскивает из первой урны два шара с числами, а из второй – три шара с буквами. Для победы в лотерее надо угадать выпавшие шары. Сколько комбинаций шаров может выпасть в игре?

Решение. Посчитаем отдельно, сколькими способами можно выбрать 2 шара с цифрами из 10 и 3 шара с буквами из 8:

По правилу умножения мы должны перемножить эти числа, чтобы найти общее количество возможных вариантов:

56•45 = 2520

Ответ: 2520

Заметим, что выбирая, например, сочетание из 49 по 7, мы одновременно выбираем и сочетание из 49 по 49 – 7 = 42. Действительно, игрок, обводящий в кружок в лотерейном билете свои 7 счастливых чисел, одновременно и определяет остальные 42 числа, какие числа он НЕ считает счастливыми. Для наглядности запишем число сочетаний в обоих случаях:

Получили одну и ту же дробь, в которой отличается лишь последовательность множителей в знаменателе. Можно показать, что и в общем случае число сочетаний из n по k совпадает с количеством сочетаний из n по (n– k):

In mathematics, a permutation of a set is, loosely speaking, an arrangement of its members into a sequence or linear order, or if the set is already ordered, a rearrangement of its elements. The word «permutation» also refers to the act or process of changing the linear order of an ordered set.^[1]

Permutations differ from combinations, which are selections of some members of a set regardless of order. For example, written as tuples, there are six permutations of the set {1, 2, 3}, namely (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), and (3, 2, 1). These are all the possible orderings of this three-element set. Anagrams of words whose letters are different are also permutations: the letters are already ordered in the original word, and the anagram is a reordering of the letters. The study of permutations of finite sets is an important topic in the fields of combinatorics and group theory.

Permutations are used in almost every branch of mathematics and in many other fields of science. In computer science, they are used for analyzing sorting algorithms; in quantum physics, for describing states of particles; and in biology, for describing RNA sequences.

The number of permutations of n distinct objects is n factorial, usually written as n!, which means the product of all positive integers less than or equal to n.

Technically, a permutation of a set S is defined as a bijection from S to itself.^[2][3] That is, it is a function from S to S for which every element occurs exactly once as an image value. This is related to the rearrangement of the elements of S in which each element s is replaced by the corresponding f(s). For example, the permutation (3, 1, 2) mentioned above is described by the function defined as

.

The collection of all permutations of a set form a group called the symmetric group of the set. The group operation is the composition (performing two given rearrangements in succession), which results in another rearrangement. As properties of permutations do not depend on the nature of the set elements, it is often the permutations of the set that are considered for studying permutations.

In elementary combinatorics, the k-permutations, or partial permutations, are the ordered arrangements of k distinct elements selected from a set. When k is equal to the size of the set, these are the permutations of the set.

History[edit]

Permutations called hexagrams were used in China in the I Ching (Pinyin: Yi Jing) as early as 1000 BC.

In Greece, Plutarch wrote that Xenocrates of Chalcedon (396–314 BC) discovered the number of different syllables possible in the Greek language. This would have been the first attempt on record to solve a difficult problem in permutations and combinations.^[4]

Al-Khalil (717–786), an Arab mathematician and cryptographer, wrote the Book of Cryptographic Messages. It contains the first use of permutations and combinations, to list all possible Arabic words with and without vowels.^[5]

The rule to determine the number of permutations of n objects was known in Indian culture around 1150 AD. The Lilavati by the Indian mathematician Bhaskara II contains a passage that translates to:

The product of multiplication of the arithmetical series beginning and increasing by unity and continued to the number of places, will be the variations of number with specific figures.^[6]

In 1677, Fabian Stedman described factorials when explaining the number of permutations of bells in change ringing. Starting from two bells: «first, two must be admitted to be varied in two ways», which he illustrates by showing 1 2 and 2 1.^[7] He then explains that with three bells there are «three times two figures to be produced out of three» which again is illustrated. His explanation involves «cast away 3, and 1.2 will remain; cast away 2, and 1.3 will remain; cast away 1, and 2.3 will remain».^[8] He then moves on to four bells and repeats the casting away argument showing that there will be four different sets of three. Effectively, this is a recursive process. He continues with five bells using the «casting away» method and tabulates the resulting 120 combinations.^[9] At this point he gives up and remarks:

Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends the changes on all lesser numbers, … insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body;^[10]

Stedman widens the consideration of permutations; he goes on to consider the number of permutations of the letters of the alphabet and of horses from a stable of 20.^[11]

A first case in which seemingly unrelated mathematical questions were studied with the help of permutations occurred around 1770, when Joseph Louis Lagrange, in the study of polynomial equations, observed that properties of the permutations of the roots of an equation are related to the possibilities to solve it. This line of work ultimately resulted, through the work of Évariste Galois, in Galois theory, which gives a complete description of what is possible and impossible with respect to solving polynomial equations (in one unknown) by radicals. In modern mathematics, there are many similar situations in which understanding a problem requires studying certain permutations related to it.

Permutations played an important role in the cryptanalysis of the Enigma machine, a cipher device used by Nazi Germany during World War II. In particular, one important property of permutations, namely, that two permutations are conjugate exactly when they have the same cycle type, was used by cryptologist Marian Rejewski to break the German Enigma cipher in turn of years 1932-1933.^[12][13]

Permutations without repetitions[edit]

The simplest example of permutations is permutations without repetitions where we consider the number of possible ways of arranging n items into n places. The factorial has special application in defining the number of permutations in a set which does not include repetitions. The number n!, read «n factorial», is precisely the number of ways we can rearrange n things into a new order. For example, if we have three fruits: an orange, apple and pear, we can eat them in the order mentioned, or we can change them (for example, an apple, a pear then an orange). The exact number of permutations is then . The number gets extremely large as the number of items (n) goes up.

In a similar manner, the number of arrangements of k items from n objects is sometimes called a partial permutation or a k-permutation. It can be written as (which reads «n permute k»), and is equal to the number (also written as ).^[14][15]

Definition[edit]

In mathematics texts it is customary to denote permutations using lowercase Greek letters. Commonly, either and , or and are used.^[16]

Permutations can be defined as bijections from a set S onto itself. All permutations of a set with n elements form a symmetric group, denoted , where the group operation is function composition. Thus for two permutations, and in the group , the four group axioms hold:

1. Closure: If and are in then so is
2. Associativity: For any three permutations ,
3. Identity: There is an identity permutation, denoted and defined by for all . For any ,
4. Invertibility: For every permutation , there exists an inverse permutation , so that

In general, composition of two permutations is not commutative, that is,

As a bijection from a set to itself, a permutation is a function that performs a rearrangement of a set, and is not an arrangement itself. An older and more elementary viewpoint is that permutations are the arrangements themselves. To distinguish between these two, the identifiers active and passive are sometimes prefixed to the term permutation, whereas in older terminology substitutions and permutations are used.^[17]

A permutation can be decomposed into one or more disjoint cycles, that is, the orbits, which are found by repeatedly tracing the application of the permutation on some elements. For example, the permutation defined by has a 1-cycle, while the permutation defined by and has a 2-cycle (for details on the syntax, see § Cycle notation below). In general, a cycle of length k, that is, consisting of k elements, is called a k-cycle.

An element in a 1-cycle is called a fixed point of the permutation. A permutation with no fixed points is called a derangement. 2-cycles are called transpositions; such permutations merely exchange two elements, leaving the others fixed.

Notations[edit]

Since writing permutations elementwise, that is, as piecewise functions, is cumbersome, several notations have been invented to represent them more compactly. Cycle notation is a popular choice for many mathematicians due to its compactness and the fact that it makes a permutation’s structure transparent. It is the notation used in this article unless otherwise specified, but other notations are still widely used, especially in application areas.

Two-line notation[edit]

In Cauchy’s two-line notation,^[18] one lists the elements of S in the first row, and for each one its image below it in the second row. For instance, a particular permutation of the set S = {1, 2, 3, 4, 5} can be written as

this means that σ satisfies σ(1) = 2, σ(2) = 5, σ(3) = 4, σ(4) = 3, and σ(5) = 1. The elements of S may appear in any order in the first row. This permutation could also be written as:

or

One-line notation[edit]

If there is a «natural» order for the elements of S,^[a] say , then one uses this for the first row of the two-line notation:

Under this assumption, one may omit the first row and write the permutation in one-line notation as

,

that is, as an ordered arrangement of the elements of S.^[19][20] Care must be taken to distinguish one-line notation from the cycle notation described below. In mathematics literature, a common usage is to omit parentheses for one-line notation, while using them for cycle notation. The one-line notation is also called the word representation of a permutation.^[21] The example above would then be 2 5 4 3 1 since the natural order 1 2 3 4 5 would be assumed for the first row. (It is typical to use commas to separate these entries only if some have two or more digits.) This form is more compact, and is common in elementary combinatorics and computer science. It is especially useful in applications where the elements of S or the permutations are to be compared as larger or smaller.

Cycle notation[edit]

Cycle notation describes the effect of repeatedly applying the permutation on the elements of the set. It expresses the permutation as a product of cycles; since distinct cycles are disjoint, this is referred to as «decomposition into disjoint cycles».

To write down the permutation in cycle notation, one proceeds as follows:

1. Write an opening bracket then select an arbitrary element x of and write it down:
2. Then trace the orbit of x; that is, write down its values under successive applications of :
3. Repeat until the value returns to x and write down a closing parenthesis rather than x:
4. Now continue with an element y of S, not yet written down, and proceed in the same way:
5. Repeat until all elements of S are written in cycles.

So the permutation 2 5 4 3 1 (in one-line notation) could be written as (125)(34) in cycle notation.

While permutations in general do not commute, disjoint cycles do; for example,

In addition, each cycle can be written in different ways, by choosing different starting points; for example,

One may combine these equalities to write the disjoint cycles of a given permutation in many different ways.

1-cycles are often omitted from the cycle notation, provided that the context is clear; for any element x in S not appearing in any cycle, one implicitly assumes .^[22] The identity permutation, which consists only of 1-cycles, can be denoted by a single 1-cycle (x), by the number 1,^[b] or by id.^[23][24]

A convenient feature of cycle notation is that cycle notation of the inverse permutation is given by reversing the order of the elements in the permutation’s cycles. For example,

Canonical cycle notation[edit]

In some combinatorial contexts it is useful to fix a certain order for the elements in the cycles and of the (disjoint) cycles themselves. Miklós Bóna calls the following ordering choices the canonical cycle notation:

• in each cycle the largest element is listed first
• the cycles are sorted in increasing order of their first element

For example, (312)(54)(8)(976) is a permutation in canonical cycle notation.^[25] The canonical cycle notation does not omit one-cycles.

Richard P. Stanley calls the same choice of representation the «standard representation» of a permutation,^[26] and Martin Aigner uses the term «standard form» for the same notion.^[21] Sergey Kitaev also uses the «standard form» terminology, but reverses both choices; that is, each cycle lists its least element first and the cycles are sorted in decreasing order of their least, that is, first elements.^[27]

Composition of permutations[edit]

There are two ways to denote the composition of two permutations. is the function that maps any element x of the set to . The rightmost permutation is applied to the argument first,^[28]
because of the way the function application is written.

Since function composition is associative, so is the composition operation on permutations: . Therefore, products of more than two permutations are usually written without adding parentheses to express grouping; they are also usually written without a dot or other sign to indicate composition.

Some authors prefer the leftmost factor acting first,^[29][30][31]
but to that end permutations must be written to the right of their argument, often as an exponent, where σ acting on x is written x^σ; then the product is defined by x^σ·π = (x^σ)^π. However this gives a different rule for multiplying permutations; this article uses the definition where the rightmost permutation is applied first.

Other uses of the term permutation[edit]

The concept of a permutation as an ordered arrangement admits several generalizations that are not permutations, but have been called permutations in the literature.

k-permutations of n[edit]

A weaker meaning of the term permutation, sometimes used in elementary combinatorics texts, designates those ordered arrangements in which no element occurs more than once, but without the requirement of using all the elements from a given set. These are not permutations except in special cases, but are natural generalizations of the ordered arrangement concept. Indeed, this use often involves considering arrangements of a fixed length k of elements taken from a given set of size n, in other words, these k-permutations of n are the different ordered arrangements of a k-element subset of an n-set (sometimes called variations or arrangements in older literature^[c]). These objects are also known as partial permutations or as sequences without repetition, terms that avoid confusion with the other, more common, meaning of «permutation». The number of such -permutations of is denoted variously by such symbols as , , , , or , and its value is given by the product^[32]

,

which is 0 when k > n, and otherwise is equal to

The product is well defined without the assumption that is a non-negative integer, and is of importance outside combinatorics as well; it is known as the Pochhammer symbol or as the -th falling factorial power of .

This usage of the term permutation is closely related to the term combination. A k-element combination of an n-set S is a k element subset of S, the elements of which are not ordered. By taking all the k element subsets of S and ordering each of them in all possible ways, we obtain all the k-permutations of S. The number of k-combinations of an n-set, C(n,k), is therefore related to the number of k-permutations of n by:

These numbers are also known as binomial coefficients and are denoted by .

Permutations with repetition[edit]

Ordered arrangements of k elements of a set S, where repetition is allowed, are called k-tuples. They have sometimes been referred to as permutations with repetition, although they are not permutations in general. They are also called words over the alphabet S in some contexts. If the set S has n elements, the number of k-tuples over S is
There is no restriction on how often an element can appear in an k-tuple, but if restrictions are placed on how often an element can appear, this formula is no longer valid.

Permutations of multisets[edit]

If M is a finite multiset, then a multiset permutation is an ordered arrangement of elements of M in which each element appears a number of times equal exactly to its multiplicity in M. An anagram of a word having some repeated letters is an example of a multiset permutation.^[d] If the multiplicities of the elements of M (taken in some order) are , , …, and their sum (that is, the size of M) is n, then the number of multiset permutations of M is given by the multinomial coefficient,^[33]

For example, the number of distinct anagrams of the word MISSISSIPPI is:^[34]

.

A k-permutation of a multiset M is a sequence of length k of elements of M in which each element appears a number of times less than or equal to its multiplicity in M (an element’s repetition number).

Circular permutations[edit]

Permutations, when considered as arrangements, are sometimes referred to as linearly ordered arrangements. In these arrangements there is a first element, a second element, and so on. If, however, the objects are arranged in a circular manner this distinguished ordering no longer exists, that is, there is no «first element» in the arrangement, any element can be considered as the start of the arrangement. The arrangements of objects in a circular manner are called circular permutations.^[35][e] These can be formally defined as equivalence classes of ordinary permutations of the objects, for the equivalence relation generated by moving the final element of the linear arrangement to its front.

Two circular permutations are equivalent if one can be rotated into the other (that is, cycled without changing the relative positions of the elements). The following four circular permutations on four letters are considered to be the same.

     1           4           2           3
   4   3       2   1       3   4       1   2
     2           3           1           4

The circular arrangements are to be read counter-clockwise, so the following two are not equivalent since no rotation can bring one to the other.

     1          1
   4   3      3   4
     2          2

The number of circular permutations of a set S with n elements is (n – 1)!.

Properties[edit]

The number of permutations of n distinct objects is n!.

The number of n-permutations with k disjoint cycles is the signless Stirling number of the first kind, denoted by c(n, k).^[36]

Cycle type[edit]

The cycles (including the fixed points) of a permutation of a set with n elements partition that set; so the lengths of these cycles form an integer partition of n, which is called the cycle type (or sometimes cycle structure or cycle shape) of . There is a «1» in the cycle type for every fixed point of , a «2» for every transposition, and so on. The cycle type of is

This may also be written in a more compact form as [1¹2²3¹].
More precisely, the general form is , where are the numbers of cycles of respective length. The number of permutations of a given cycle type is^[37]

.

Conjugating permutations[edit]

In general, composing permutations written in cycle notation follows no easily described pattern – the cycles of the composition can be different from those being composed. However the cycle type is preserved in the special case of conjugating a permutation by another permutation , which means forming the product . Here, is the conjugate of by and its cycle notation can be obtained by taking the cycle notation for and applying to all the entries in it.^[38] It follows that two permutations are conjugate exactly when they have the same cycle type.

Permutation order[edit]

The order of a permutation is the smallest positive integer m so that . It is the least common multiple of its cycles lengths. For example, the order of is .

Parity of a permutation[edit]

Every permutation of a finite set can be expressed as the product of transpositions.^[39]
Although many such expressions for a given permutation may exist, either they all contain an even number of transpositions or they all contain an odd number of transpositions. Thus all permutations can be classified as even or odd depending on this number.

This result can be extended so as to assign a sign, written , to each permutation. if is even and if is odd. Then for two permutations and

It follows that

Matrix representation[edit]

A permutation matrix is an n × n matrix that has exactly one entry 1 in each column and in each row, and all other entries are 0. There are several different conventions that one can use to assign a permutation matrix to a permutation of {1, 2, …, n}. One natural approach is to associate to the permutation σ the matrix whose (i, j) entry is 1 if i = σ(j) and is 0 otherwise. This convention has two attractive properties: first, the product of matrices and of permutations is in the same order, that is, for all permutations σ and π. Second, if represents the standard column vector (the vector with ith entry equal to 1 and all other entries equal to 0), then .

For example, with this convention, the matrix associated to the permutation is and the matrix associated to the permutation is . Then the composition of permutations is , and the corresponding matrix product is

It is also common in the literature to find the inverse convention, where a permutation σ is associated to the matrix whose (i, j) entry is 1 if j = σ(i) and is 0 otherwise. In this convention, permutation matrices multiply in the opposite order from permutations, that is, for all permutations σ and π. In this correspondence, permutation matrices act by permuting indices of standard row vectors : one has .

The Cayley table on the right shows these matrices for permutations of 3 elements.

Permutations of totally ordered sets[edit]

In some applications, the elements of the set being permuted will be compared with each other. This requires that the set S has a total order so that any two elements can be compared. The set {1, 2, …, n} is totally ordered by the usual «≤» relation and so it is the most frequently used set in these applications, but in general, any totally ordered set will do. In these applications, the ordered arrangement view of a permutation is needed to talk about the positions in a permutation.

There are a number of properties that are directly related to the total ordering of S.

Ascents, descents, runs and exceedances[edit]

An ascent of a permutation σ of n is any position i < n where the following value is bigger than the current one. That is, if σ = σ₁σ₂…σ_n, then i is an ascent if σ_i < σ_i+1.

For example, the permutation 3452167 has ascents (at positions) 1, 2, 5, and 6.

Similarly, a descent is a position i < n with σ_i > σ_i+1, so every i with either is an ascent or is a descent of σ.

An ascending run of a permutation is a nonempty increasing contiguous subsequence of the permutation that cannot be extended at either end; it corresponds to a maximal sequence of successive ascents (the latter may be empty: between two successive descents there is still an ascending run of length 1). By contrast an increasing subsequence of a permutation is not necessarily contiguous: it is an increasing sequence of elements obtained from the permutation by omitting the values at some positions.
For example, the permutation 2453167 has the ascending runs 245, 3, and 167, while it has an increasing subsequence 2367.

If a permutation has k − 1 descents, then it must be the union of k ascending runs.^[40]

The number of permutations of n with k ascents is (by definition) the Eulerian number ; this is also the number of permutations of n with k descents. Some authors however define the Eulerian number as the number of permutations with k ascending runs, which corresponds to k − 1 descents.^[41]

An exceedance of a permutation σ₁σ₂…σ_n is an index j such that σ_j > j. If the inequality is not strict (that is, σ_j ≥ j), then j is called a weak exceedance. The number of n-permutations with k exceedances coincides with the number of n-permutations with k descents.^[42]

Foata’s transition lemma[edit]

There is a relationship between the one-line notation and the canonical cycle notation. Consider the permutation in canonical cycle notation; if we simply remove the parentheses, we obtain the permutation in one-line notation. Foata’s transition lemma establishes the nature of this correspondence as a bijection on the set of n-permutations (to itself).^[43] Richard P. Stanley calls this correspondence the fundamental bijection.^[26]

Let be the parentheses-erasing transformation which returns in one-line notation when given in canonical cycle notation. As stated, operates by simply removing all parentheses. The operation of the inverse transformation, , which returns in canonical cycle notation when given in one-line notation, is a bit less intuitive. Given the one-line notation , the first cycle of in canonical cycle notation must start with . As long as the subsequent elements are smaller than , we are in the same cycle of . The second cycle of starts at the smallest index such that . In other words, is larger than everything else to its left, so it is called a left-to-right maximum. Every cycle in the canonical cycle notation starts with a left-to-right maximum.^[43]

For example, in the permutation , 5 is the first element larger than the starting element 3, so the first cycle of must be . Then 8 is the next element larger than 5, so the second cycle is . Since 9 is larger than 8, is a cycle by itself. Finally, 9 is larger than all the remaining elements to its right, so the last cycle is . Concatenating these 4 cycles gives in canonical cycle notation.

The following table shows both and for the six permutations of . The bold side of each equality shows the permutation using its designated notation (one-line notation for and canonical cycle notation for ) while the non-bold side shows the same permutation in the other notation. Comparing the bold side of each column of the table shows the parenthesis removing/restoring operation of Foata’s bijection, while comparing the same side of each column (for example, the LHS) shows which permutations are mapped to themselves by the bijection (first 3 rows) and which are not (last 3 rows).

As a first corollary, the number of n-permutations with exactly k left-to-right maxima is also equal to the signless Stirling number of the first kind, . Furthermore, Foata’s mapping takes an n-permutation with k-weak exceedances to an n-permutations with k − 1 ascents.^[43] For example, (2)(31) = 321 has two weak exceedances (at index 1 and 2), whereas f(321) = 231 has one ascent (at index 1; that is, from 2 to 3).

Inversions[edit]

An inversion of a permutation σ is a pair (i, j) of positions where the entries of a permutation are in the opposite order: and .^[45] So a descent is just an inversion at two adjacent positions. For example, the permutation σ = 23154 has three inversions: (1, 3), (2, 3), and (4, 5), for the pairs of entries (2, 1), (3, 1), and (5, 4).

Sometimes an inversion is defined as the pair of values (σ_i,σ_j) whose order is reversed; this makes no difference for the number of inversions, and this pair (reversed) is also an inversion in the above sense for the inverse permutation σ⁻¹. The number of inversions is an important measure for the degree to which the entries of a permutation are out of order; it is the same for σ and for σ⁻¹. To bring a permutation with k inversions into order (that is, transform it into the identity permutation), by successively applying (right-multiplication by) adjacent transpositions, is always possible and requires a sequence of k such operations. Moreover, any reasonable choice for the adjacent transpositions will work: it suffices to choose at each step a transposition of i and i + 1 where i is a descent of the permutation as modified so far (so that the transposition will remove this particular descent, although it might create other descents). This is so because applying such a transposition reduces the number of inversions by 1; as long as this number is not zero, the permutation is not the identity, so it has at least one descent. Bubble sort and insertion sort can be interpreted as particular instances of this procedure to put a sequence into order. Incidentally this procedure proves that any permutation σ can be written as a product of adjacent transpositions; for this one may simply reverse any sequence of such transpositions that transforms σ into the identity. In fact, by enumerating all sequences of adjacent transpositions that would transform σ into the identity, one obtains (after reversal) a complete list of all expressions of minimal length writing σ as a product of adjacent transpositions.

The number of permutations of n with k inversions is expressed by a Mahonian number,^[46] it is the coefficient of X^k in the expansion of the product

which is also known (with q substituted for X) as the q-factorial [n]_q! . The expansion of the product appears in Necklace (combinatorics).

Let such that and .
In this case, say the weight of the inversion is .
Kobayashi (2011) proved the enumeration formula

where denotes Bruhat order in the symmetric groups. This graded partial order often appears in the context of Coxeter groups.

Permutations in computing[edit]

Numbering permutations[edit]

One way to represent permutations of n things is by an integer N with 0 ≤ N < n!, provided convenient methods are given to convert between the number and the representation of a permutation as an ordered arrangement (sequence). This gives the most compact representation of arbitrary permutations, and in computing is particularly attractive when n is small enough that N can be held in a machine word; for 32-bit words this means n ≤ 12, and for 64-bit words this means n ≤ 20. The conversion can be done via the intermediate form of a sequence of numbers d_n, d_n−1, …, d₂, d₁, where d_i is a non-negative integer less than i (one may omit d₁, as it is always 0, but its presence makes the subsequent conversion to a permutation easier to describe). The first step then is to simply express N in the factorial number system, which is just a particular mixed radix representation, where, for numbers less than n!, the bases (place values or multiplication factors) for successive digits are (n − 1)!, (n − 2)!, …, 2!, 1!. The second step interprets this sequence as a Lehmer code or (almost equivalently) as an inversion table.

Rothe diagram for

σi i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Lehmer code
1	×	×	×	×	×	•				d9 = 5
2	×	×	•							d8 = 2
3	×	×		×	×		×	•		d7 = 5
4	•									d6 = 0
5		×		•						d5 = 1
6		×			×		×		•	d4 = 3
7		×			×		•			d3 = 2
8		•								d2 = 0
9					•					d1 = 0
Inversion table	3	6	1	2	4	0	2	0	0

In the Lehmer code for a permutation σ, the number d_n represents the choice made for the first term σ₁, the number d_n−1 represents the choice made for the second term
σ₂ among the remaining n − 1 elements of the set, and so forth. More precisely, each d_n+1−i gives the number of remaining elements strictly less than the term σ_i. Since those remaining elements are bound to turn up as some later term σ_j, the digit d_n+1−i counts the inversions (i,j) involving i as smaller index (the number of values j for which i < j and σ_i > σ_j). The inversion table for σ is quite similar, but here d_n+1−k counts the number of inversions (i,j) where k = σ_j occurs as the smaller of the two values appearing in inverted order.^[47] Both encodings can be visualized by an n by n Rothe diagram^[48] (named after Heinrich August Rothe) in which dots at (i,σ_i) mark the entries of the permutation, and a cross at (i,σ_j) marks the inversion (i,j); by the definition of inversions a cross appears in any square that comes both before the dot (j,σ_j) in its column, and before the dot (i,σ_i) in its row. The Lehmer code lists the numbers of crosses in successive rows, while the inversion table lists the numbers of crosses in successive columns; it is just the Lehmer code for the inverse permutation, and vice versa.

To effectively convert a Lehmer code d_n, d_n−1, …, d₂, d₁ into a permutation of an ordered set S, one can start with a list of the elements of S in increasing order, and for i increasing from 1 to n set σ_i to the element in the list that is preceded by d_n+1−i other ones, and remove that element from the list. To convert an inversion table d_n, d_n−1, …, d₂, d₁ into the corresponding permutation, one can traverse the numbers from d₁ to d_n while inserting the elements of S from largest to smallest into an initially empty sequence; at the step using the number d from the inversion table, the element from S inserted into the sequence at the point where it is preceded by d elements already present. Alternatively one could process the numbers from the inversion table and the elements of S both in the opposite order, starting with a row of n empty slots, and at each step place the element from S into the empty slot that is preceded by d other empty slots.

Converting successive natural numbers to the factorial number system produces those sequences in lexicographic order (as is the case with any mixed radix number system), and further converting them to permutations preserves the lexicographic ordering, provided the Lehmer code interpretation is used (using inversion tables, one gets a different ordering, where one starts by comparing permutations by the place of their entries 1 rather than by the value of their first entries). The sum of the numbers in the factorial number system representation gives the number of inversions of the permutation, and the parity of that sum gives the signature of the permutation. Moreover, the positions of the zeroes in the inversion table give the values of left-to-right maxima of the permutation (in the example 6, 8, 9) while the positions of the zeroes in the Lehmer code are the positions of the right-to-left minima (in the example positions the 4, 8, 9 of the values 1, 2, 5); this allows computing the distribution of such extrema among all permutations. A permutation with Lehmer code d_n, d_n−1, …, d₂, d₁ has an ascent n − i if and only if d_i ≥ d_i+1.

Algorithms to generate permutations[edit]

In computing it may be required to generate permutations of a given sequence of values. The methods best adapted to do this depend on whether one wants some randomly chosen permutations, or all permutations, and in the latter case if a specific ordering is required. Another question is whether possible equality among entries in the given sequence is to be taken into account; if so, one should only generate distinct multiset permutations of the sequence.

An obvious way to generate permutations of n is to generate values for the Lehmer code (possibly using the factorial number system representation of integers up to n!), and convert those into the corresponding permutations. However, the latter step, while straightforward, is hard to implement efficiently, because it requires n operations each of selection from a sequence and deletion from it, at an arbitrary position; of the obvious representations of the sequence as an array or a linked list, both require (for different reasons) about n²/4 operations to perform the conversion. With n likely to be rather small (especially if generation of all permutations is needed) that is not too much of a problem, but it turns out that both for random and for systematic generation there are simple alternatives that do considerably better. For this reason it does not seem useful, although certainly possible, to employ a special data structure that would allow performing the conversion from Lehmer code to permutation in O(n log n) time.

Random generation of permutations[edit]

For generating random permutations of a given sequence of n values, it makes no difference whether one applies a randomly selected permutation of n to the sequence, or chooses a random element from the set of distinct (multiset) permutations of the sequence. This is because, even though in case of repeated values there can be many distinct permutations of n that result in the same permuted sequence, the number of such permutations is the same for each possible result. Unlike for systematic generation, which becomes unfeasible for large n due to the growth of the number n!, there is no reason to assume that n will be small for random generation.

The basic idea to generate a random permutation is to generate at random one of the n! sequences of integers d₁,d₂,…,d_n satisfying 0 ≤ d_i < i (since d₁ is always zero it may be omitted) and to convert it to a permutation through a bijective correspondence. For the latter correspondence one could interpret the (reverse) sequence as a Lehmer code, and this gives a generation method first published in 1938 by Ronald Fisher and Frank Yates.^[49]
While at the time computer implementation was not an issue, this method suffers from the difficulty sketched above to convert from Lehmer code to permutation efficiently. This can be remedied by using a different bijective correspondence: after using d_i to select an element among i remaining elements of the sequence (for decreasing values of i), rather than removing the element and compacting the sequence by shifting down further elements one place, one swaps the element with the final remaining element. Thus the elements remaining for selection form a consecutive range at each point in time, even though they may not occur in the same order as they did in the original sequence. The mapping from sequence of integers to permutations is somewhat complicated, but it can be seen to produce each permutation in exactly one way, by an immediate induction. When the selected element happens to be the final remaining element, the swap operation can be omitted. This does not occur sufficiently often to warrant testing for the condition, but the final element must be included among the candidates of the selection, to guarantee that all permutations can be generated.

The resulting algorithm for generating a random permutation of a[0], a[1], ..., a[n − 1] can be described as follows in pseudocode:

for i from n downto 2 do
    di ← random element of { 0, ..., i − 1 }
    swap a[di] and a[i − 1]

This can be combined with the initialization of the array a[i] = i as follows

for i from 0 to n−1 do
    di+1 ← random element of { 0, ..., i }
    a[i] ← a[di+1]
    a[di+1] ← i

If d_i+1 = i, the first assignment will copy an uninitialized value, but the second will overwrite it with the correct value i.

However, Fisher-Yates is not the fastest algorithm for generating a permutation, because Fisher-Yates is essentially a sequential algorithm and «divide and conquer» procedures can achieve the same result in parallel.^[50]

Generation in lexicographic order[edit]

There are many ways to systematically generate all permutations of a given sequence.^[51]
One classic, simple, and flexible algorithm is based upon finding the next permutation in lexicographic ordering, if it exists. It can handle repeated values, for which case it generates each distinct multiset permutation once. Even for ordinary permutations it is significantly more efficient than generating values for the Lehmer code in lexicographic order (possibly using the factorial number system) and converting those to permutations. It begins by sorting the sequence in (weakly) increasing order (which gives its lexicographically minimal permutation), and then repeats advancing to the next permutation as long as one is found. The method goes back to Narayana Pandita in 14th century India, and has been rediscovered frequently.^[52]

The following algorithm generates the next permutation lexicographically after a given permutation. It changes the given permutation in-place.

1. Find the largest index k such that a[k] < a[k + 1]. If no such index exists, the permutation is the last permutation.
2. Find the largest index l greater than k such that a[k] < a[l].
3. Swap the value of a[k] with that of a[l].
4. Reverse the sequence from a[k + 1] up to and including the final element a[n].

For example, given the sequence [1, 2, 3, 4] (which is in increasing order), and given that the index is zero-based, the steps are as follows:

1. Index k = 2, because 3 is placed at an index that satisfies condition of being the largest index that is still less than a[k + 1] which is 4.
2. Index l = 3, because 4 is the only value in the sequence that is greater than 3 in order to satisfy the condition a[k] < a[l].
3. The values of a[2] and a[3] are swapped to form the new sequence [1, 2, 4, 3].
4. The sequence after k-index a[2] to the final element is reversed. Because only one value lies after this index (the 3), the sequence remains unchanged in this instance. Thus the lexicographic successor of the initial state is permuted: [1, 2, 4, 3].

Following this algorithm, the next lexicographic permutation will be [1, 3, 2, 4], and the 24th permutation will be [4, 3, 2, 1] at which point a[k] < a[k + 1] does not exist, indicating that this is the last permutation.

This method uses about 3 comparisons and 1.5 swaps per permutation, amortized over the whole sequence, not counting the initial sort.^[53]

Generation with minimal changes[edit]

An alternative to the above algorithm, the Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm, generates an ordering on all the permutations of a given sequence with the property that any two consecutive permutations in its output differ by swapping two adjacent values. This ordering on the permutations was known to 17th-century English bell ringers, among whom it was known as «plain changes». One advantage of this method is that the small amount of change from one permutation to the next allows the method to be implemented in constant time per permutation. The same can also easily generate the subset of even permutations, again in constant time per permutation, by skipping every other output permutation.^[52]

An alternative to Steinhaus–Johnson–Trotter is Heap’s algorithm,^[54] said by Robert Sedgewick in 1977 to be the fastest algorithm of generating permutations in applications.^[51]

The following figure shows the output of all three aforementioned algorithms for generating all permutations of length , and of six additional algorithms described in the literature.

1. Lexicographic ordering;
2. Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm;
3. Heap’s algorithm;
4. Ehrlich’s star-transposition algorithm:^[52] in each step, the first entry of the permutation is exchanged with a later entry;
5. Zaks’ prefix reversal algorithm:^[56] in each step, a prefix of the current permutation is reversed to obtain the next permutation;
6. Sawada-Williams’ algorithm:^[57] each permutation differs from the previous one either by a cyclic left-shift by one position, or an exchange of the first two entries;
7. Corbett’s algorithm:^[58] each permutation differs from the previous one by a cyclic left-shift of some prefix by one position;
8. Single-track ordering:^[59] each column is a cyclic shift of the other columns;
9. Single-track Gray code:^[59] each column is a cyclic shift of the other columns, plus any two consecutive permutations differ only in one or two transpositions.

Meandric permutations[edit]

Meandric systems give rise to meandric permutations, a special subset of alternate permutations. An alternate permutation of the set {1, 2, …, 2n} is a cyclic permutation (with no fixed points) such that the digits in the cyclic notation form alternate between odd and even integers. Meandric permutations are useful in the analysis of RNA secondary structure. Not all alternate permutations are meandric. A modification of Heap’s algorithm has been used to generate all alternate permutations of order n (that is, of length 2n) without generating all (2n)! permutations.^{[60][unreliable source?]} Generation of these alternate permutations is needed before they are analyzed to determine if they are meandric or not.

The algorithm is recursive. The following table exhibits a step in the procedure. In the previous step, all alternate permutations of length 5 have been generated. Three copies of each of these have a «6» added to the right end, and then a different transposition involving this last entry and a previous entry in an even position is applied (including the identity; that is, no transposition).

Previous sets	Transposition of digits	Alternate permutations
1-2-3-4-5-6		1-2-3-4-5-6
4, 6	1-2-3-6-5-4
2, 6	1-6-3-4-5-2
1-2-5-4-3-6		1-2-5-4-3-6
4, 6	1-2-5-6-3-4
2, 6	1-6-5-4-3-2
1-4-3-2-5-6		1-4-3-2-5-6
2, 6	1-4-3-6-5-2
4, 6	1-6-3-2-5-4
1-4-5-2-3-6		1-4-5-2-3-6
2, 6	1-4-5-6-3-2
4, 6	1-6-5-2-3-4

Applications[edit]

Permutations are used in the interleaver component of the error detection and correction algorithms, such as turbo codes, for example 3GPP Long Term Evolution mobile telecommunication standard uses these ideas (see 3GPP technical specification 36.212^[61]).
Such applications raise the question of fast generation of permutations satisfying certain desirable properties. One of the methods is based on the permutation polynomials. Also as a base for optimal hashing in Unique Permutation Hashing.^[62]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

• Bogart, Kenneth P. (1990), Introductory Combinatorics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 978-0-15-541576-8
• Bóna, Miklós (2004), Combinatorics of Permutations, Chapman Hall-CRC, ISBN 978-1-58488-434-7
• Bona, Miklos (2012), Combinatorics of Permutations (2nd ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-5051-0
• Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (5th ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-602040-0
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45761-3
• Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Introduction to the theory of Groups of Finite Order, Dover, ISBN 978-0-486-60300-1
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Gerstein, Larry J. (1987), Discrete Mathematics and Algebraic Structures, W.H. Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-1804-8
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, MacMillan
• Humphreys, J. F. (1996), A course in group theory, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853459-4
• Knuth, Donald (1973), Sorting and Searching, The Art of Computer Programming, vol. 3 This book mentions the Lehmer code (without using that name) as a variant C₁,…,C_n of inversion tables in exercise 5.1.1–7 (p. 19), together with two other variants.
• Knuth, Donald (2005), Generating All Tuples and Permutations, The Art of Computer Programming, vol. 4, Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-85393-3 Fascicle 2, first printing.
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646
• Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-087868-7
• Stedman, Fabian (1677), Campanalogia, London The publisher is given as «W.S.» who may have been William Smith, possibly acting as agent for the Society of College Youths, to which society the «Dedicatory» is addressed. In quotations the original long «S» has been replaced by a modern short «s».
• Webster’s Seventh New Collegiate Dictionary, Springfield: G. & C. Merriam Company, 1969

Further reading[edit]

• Biggs, Norman L. (2002), Discrete Mathematics (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850717-8
• Foata, Dominique; Schutzenberger, Marcel-Paul (1970), Théorie Géométrique des Polynômes Eulériens, Lecture Notes in Mathematics, vol. 138, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-04927-2. The link is to a freely available retyped (LaTeX’ed) and revised version of the text originally published by Springer-Verlag.
• Knuth, Donald (1998), Sorting and Searching, The Art of Computer Programming, vol. 3 (Second ed.), Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5. Section 5.1: Combinatorial Properties of Permutations, pp. 11–72.
• Sedgewick, Robert (1977). «Permutation generation methods». ACM Computing Surveys. 9 (2): 137–164. doi:10.1145/356689.356692. S2CID 12139332.
• Masato, Kobayashi (2011). «Enumeration of bigrassmannian permutations below a permutation in Bruhat order». Order. 1: 131–137.

External links[edit]

• «Permutation», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются способы выбора и размещения элементов некоторого конечного множества на основании определенных условий. Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называются соединениями. Если все элементы полученного множества разные, получаем соединения без повторений, а если элементы повторяются — соединения с повторениями.

Содержание:

В комбинаторике перестановка — это упорядоченный набор без повторений чисел.

Перестановки:

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n данных элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой — на втором, …, какой — на n-м.

Формула числа перестановок

Пример:

Количество различных шестизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторяя эти цифры в одном числе, равно

Размещения:

Размещением из n элементов по k называется любое упорядоченное множество из k элементов, состоящее из элементов данного n-элементного множества.

Формулы для нахождения количества соединений с повторениями обязательны только для классов физико-математического профиля.

Формула числа размещений

Пример:

Количество различных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться, равно

Сочетания:

Сочетанием без повторений из n элементов по k называется любое k-элементное подмножество данного n-элементного множества.

Формула числа сочетаний

(по определению считают, что

Пример:

Из 25 учащихся одного класса можно выделить пятерых для дежурства по школе способами, то есть способами.

Некоторые свойства числа сочетаний без повторений

(в частности, )

Схема поиска плана решения простейших комбинаторных задач:

Выбор правила:

Правило суммы

Если элемент А можно выбрать т способами, а элемент В — n способами (при этом выбор элемента А исключает одновременный выбор элемента В), то А или В можно выбрать m + n способами.

Правило произведения

Если элемент А можно выбрать m способами, а после этого элемент В — n способами, то А и В можно выбрать способами.

Объяснение и обоснование:

Понятие соединения. Правило суммы и произведения:

При решении многих практических задач приходится выбирать из определенной совокупности объектов элементы, имеющие те или иные свойства, размещать их в определенном порядке и т. д. Поскольку в этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, то такие задачи называют комбинаторными. Раздел математики, в котором рассматриваются методы решения комбинаторных задач, называется комбинаторикой. В комбинаторике рассматривается выбор и размещение элементов некоторого конечного множества на основании определенных условий.

Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называют соединениями. Если все элементы полученного множества разные, получаем размещения без повторений, а если элементы могут повторяться — размещения с повторениями. В этом параграфе мы рассмотрим соединения без повторений.

Решение многих комбинаторных задач базируется на двух основных правилах — правиле суммы и правиле произведения.

Правило суммы. Если на тарелке лежат 5 груш и 4 яблока, то выбрать один фрукт (грушу или яблоко) можно 9 способами (5 + 4 = 9). В общем виде справедливо такое утверждение:

• если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В — n способами (при этом выбор элемента А исключает одновременный выбор элемента В), то А или В можно выбрать m + n способами.

Уточним содержание этого правила, используя понятие множеств и операций над ними.

Пусть множество А состоит из m элементов, а множество В -из n элементов. Если множества А и В не пересекаются (то есть ), то множество А В состоит изэлементов.

Правило произведения. Если в киоске продают ручки 5 видов и тетради 4 видов, то выбрать набор из ручки и тетради (то есть пару — ручка и тетрадь) можно 5æ4 = 20 способами (поскольку с каждой из 5 ручек можно взять любую из 4 тетрадей). В общем виде имеет место такое утверждение:

• если элемент А можно выбрать m способами, а после этого элемент В — n способами, то А и В можно выбрать способами.

Это утверждение означает, что если для каждого из m элементов А можно взять в пару любой из n элементов В, то количество пар равно произведению .

В терминах множеств полученный результат можно сформулировать следующим образом. Если множество А состоит из т элементов, а множество В — из n элементов, то множество всех упорядоченных пар* (а; b), где первый элемент принадлежит множеству А (а ∈ А), а второй  множеству В (b ∈ В), состоит из элементов.

Повторяя приведенные рассуждения несколько раз (или, более строго, используя метод математической индукции), получаем, что правила суммы и произведения можно применять при выборе произвольного конечного количества элементов.

Упорядоченные множества:

При решении комбинаторных задач приходится рассматривать не только множества, в которых элементы можно записывать в любом порядке, но и так называемые упорядоченные множества. Для упорядоченных множеств существенным является порядок следования их элементов, то есть то, какой элемент записан на первом месте, какой на втором и т. д. В частности, если одни и те же элементы записать в разном порядке, то мы получим различные упорядоченные множества. Чтобы различить записи упорядоченного и неупорядоченного множеств, элементы упорядоченного множества часто записывают в круглых скобках, например (1; 2; 3) ≠ (1; 3; 2).

Рассматривая упорядоченные множества, следует учитывать, что одно и то же множество можно упорядочить по-разному. Например, множество из трех чисел {–5; 1; 3} можно упорядочить по возрастанию: (–5; 1; 3), по убыванию: (3; 1; –5), по возрастанию абсолютной величины числа: (1; 3; –5) и т. д.

* Множество всех упорядоченных пар (а; b), где первый элемент принадлежит множеству А (а ∈ А), а второй — множеству В (b ∈ В), называют декартовым произведением множеств А и В и обозначают А × В. Отметим, что декартово произведение В × А также состоит из m*n элементов.

Заметим следующее: для того чтобы задать конечное упорядоченное множество из n элементов, достаточно указать, какой элемент находится на первом месте, какой на втором, …, какой на n-м.

Размещения:

Размещением из n элементов по k называется любое упорядоченное множество из k элементов, состоящее из элементов заданного n-элементного множества.

Например, из множества, содержащего три цифры {1; 5; 7}, можно составить следующие размещения из двух элементов без повторений:

(1; 5), (1; 7), (5; 7), (5; 1), (7; 1), (7; 5).

Количество размещений из n элементов по k обозначается (читается: «А из n по k», A — первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»). Как видим,

Выясним, сколько всего можно составить размещений из n элементов по k без повторений. Составление размещения представим себе как последовательное заполнение k мест, которые будем изображать в виде клеточек (рис. 21.1). На первое место можем выбрать один из n элементов данного множества (то есть элемент для первой клеточки можно выбрать n способами).

Если элементы нельзя повторять, то на второе место можно выбрать только один элемент из оставшихся, то есть из n – 1 элементов. Теперь уже два элемента использованы и на третье место можно выбрать только один из n – 2 элементов и т. д. На k-е место можно выбрать только один из n – (k –1) = n – k +1 элементов (см. рис. 21.1).

Поскольку требуется выбрать элементы и на первое место, и на второе, …, и на k-е, то используем правило произведения и получим следующую формулу числа размещений из n элементов по k:

Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше). Аналогично можно обосновать формулу для нахождения числа размещений с повторениями. При решении простейших комбинаторных задач важно правильно выбрать формулу, по которой будут проводиться вычисления. Для этого нужно выяснить следующее:

1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Если, например, порядок следования элементов учитывается и из n данных элементов в соединении используется только k элементов, то по определению это — размещение из n элементов по k.

После определения вида соединения следует также выяснить, могут ли элементы в соединении повторяться, то есть выяснить, какую формулу необходимо использовать — для количества соединений без повторений или с повторениями.

Примеры решения задач:

Пример:

На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 × 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение:

Количество способов выбрать из 12 спортсменок четырех для участия в эстафете равно количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), то есть

Комментарий:

Для выбора формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку для спортсменок важно, в каком порядке они будут бежать, то порядок при выборе элементов учитывается. В полученное соединение входят не все 12 заданных элементов. Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 12 элементов по 4 (без повторений, поскольку каждая спортсменка может бежать только на одном этапе эстафеты).

Пример:

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются.

Решение:

Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть

Комментарий:

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок следования цифр учитывается и не все элементы выбираются (только 3 из заданных семи). Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 7 элементов по 3 (без повторений).

Пример:

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, если цифры в числе не повторяются.

Комментарий:

Выбор формулы проводится таким же образом, как и в задаче 2. Следует учесть, что если число, составленное из трех цифр, начинается цифрой 0, то оно не считается трехзначным. Следовательно, для ответа на вопрос задачи можно сначала из заданных 7 цифр записать все числа, состоящие из 3 цифр (см. задачу 2). Затем из количества полученных чисел вычесть количество чисел, составленных из трех цифр, но начинающихся цифрой 0. В последнем случае мы фактически будем из всех цифр без нуля (их 6) составлять двузначные числа. Тогда их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2 (см. решение).

Можно выполнить также непосредственное вычисление, последовательно заполняя три места в трехзначном числе и используя правило произведения. В этом случае для наглядности удобно изображать соответствующие разряды в трехзначном числе в виде клеточек, например так:

Решение:

Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр (среди которых нет цифры 0), если цифры в числе не повторяются, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть

Но среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 необходимо исключить те размещения, в которых первым элементом является цифра 0. Их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2, то есть Следовательно, искомое количество трехзначных чисел равно

Пример:

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: x ∈ N, . Тогда получаем:

На ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям:

(x – 2) (x – 3) = 6,

x2 – 5x = 0,

x (x – 5) = 0.

Тогда x = 0 или x = 5. В ОДЗ входит только x = 5.

Ответ: 5.

Комментарий:

Уравнения, в запись которых входят выражения, обозначающие количество соответствующих соединений из x элементов, считаются определенными только при натуральных значениях переменной x. Чтобы выражение имело смысл, следует выбирать натуральные значения (в этом случае также существует и, конечно, Ax 2 ≠ 0). Для преобразования уравнения используем формулы:

Объяснение и обоснование:

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n заданных элементов.

Напомним, что упорядоченное множество — это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой на втором, …, какой на n-м.

Например, переставляя цифры в числе 236 (в котором множество цифр {2; 3; 6} уже упорядоченное), можно составить такие перестановки без повторений: (2; 3; 6), (2; 6; 3), (3; 2; 6), (3; 6; 2), (6; 2; 3), (6; 3; 2) — всего 6 перестановок* .

Количество перестановок без повторений из n элементов обозначается (P — первая буква французского слова permutation — перестановка). Как видим, = 6.

Фактически перестановки без повторений из n элементов являются размещениями из n элементов по n без повторений, поэтому Произведение обозначается n!. Поэтому полученная формула числа перестановок без повторений из n элементов может быть записана следующим образом:

*Отметим, что каждая из перестановок определяет трехзначное число, составленное из цифр 2, 3, 6 таким образом, что цифры в числе не повторяются.

Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше).

С помощью факториалов формулу для числа размещений без повторений

(1)

запишем в другом виде. Для этого умножим и разделим выражение в формуле (1) на произведение тогда

Следовательно, формула числа размещений без повторений из n элементов по k может быть записана так:

(2)

Для того чтобы этой формулой можно было пользоваться при всех значениях k, в частности при k = n – 1 и k = n, договорились считать, что

1! = 1 и 0! = 1.

Например, по формуле (2)

Обратим внимание, что в тех случаях, когда значение n! оказывается очень большим, ответы оставляют записанными с помощью факториалов. Например,

Примеры решения задач:

Для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно выяснить следующее:

1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Если, например, порядок следования элементов учитывается и все n заданных элементов используются в соединении, то по определению это перестановки из n элементов.

Пример:

Найдите, сколькими способами можно восемь учащихся построить в колонну по одному.

Решение:

Количество способов равно числу перестановок из 8 элементов, то есть

Комментарий:

Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов учитывается и все 8 заданных элементов выбираются, то искомые соединения — это перестановки из 8 элементов без повторений. Их количество можно вычислить по формуле

Пример:

Найдите количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 3, 7, 9 (цифры в числе не повторяются).

Решение:

Из четырех цифр 0, 3, 7, 9, не повторяя заданные цифры, можно получить перестановок. Перестановки, начинающиеся с цифры 0, не являются записью четырехзначного числа — их количество . Тогда искомое количество четырехзначных чисел равно

Комментарий:

Поскольку порядок следования элементов учитывается и для получения четырехзначного числа надо использовать все элементы, то искомые соединения — это перестановки из 4 элементов. Их количество — . При этом необходимо учесть, что в четырехзначном числе на первом месте не может стоять цифра 0. Таких чисел будет столько, сколько раз мы сможем выполнить перестановки из 3 оставшихся цифр, то есть

Пример:

Имеется десять книг, из которых четыре — учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение:

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 10, а 7 книг. Это можно сделать способами. В каждом из полученных наборов книг можно выполнить еще перестановок учебников. По правилу умножения искомое количество способов равно

Комментарий:

Задачу можно решать в два этапа. На первом будем условно считать все учебники одной книгой.

Тогда получим 7 книг (6 не учебников + 1 условная книга — учебник). Порядок следования элементов учитывается и используются все элементы (поставить на полку необходимо все книги). Следовательно, соответствующие соединения — это перестановки из 7 элементов. Их количество — .

На втором этапе решения будем переставлять между собой только учебники. Это можно сделать способами. Поскольку нам надо переставить и учебники, и другие книги, то используем правило произведения.

Объяснение и обоснование:

1. Сочетания без повторений:

Сочетанием без повторений из n элементов по k называется любое k-элементное подмножество заданного n-элементного множества.

Например, из множества {a, b, c, d} можно составить следующие сочетания без повторений из трех элементов: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}.

Количество сочетаний без повторений из n элементов по k элементов обозначается символом (читается: «число сочетаний из п по k» или «це из п по k», С — первая буква французского слова combinaison — сочетание). Как видим,

Выясним, сколько всего можно составить сочетаний без повторений из n элементов по k. Для этого используем известные нам формулы числа размещений и перестановок. Составление размещения без повторений из n элементов по k проведем в два этапа. Сначала выберем k разных элементов из заданного n-элементного множества, не учитывая порядок выбора этих элементов (то есть выберем kэлементное подмножество из n-элементного множества — сочетание без повторений из n-элементов по k). По нашему обозначению это можно сделать способами. После этого полученное множество из k разных элементов упорядочим. Его можно упорядочить способами. Получим размещения без повторений из n элементов по k. Следовательно, количество размещений без повторений из n элементов по k в k! раз больше числа сочетаний без повторений из n элементов по k, то естьОтсюда Учитывая, что по формуле (2) , получаем:

(3)

Например, что совпадает со значением, полученным выше.

Используя формулу (3), можно легко обосновать свойство 1 числа сочетаний без повторений, приведенное в табл. 28.

1) Поскольку то

(4)

Для того чтобы формулу (4) можно было использовать и при k = n, договорились считать, что Тогда

Заметим, что формулу (4) можно получить без вычислений с помощью достаточно простых комбинаторных рассуждений.

Когда мы выбираем k предметов из n, то n – k предметов мы оставляем. Если же, напротив, выбранные предметы оставим, а другие n – k -выберем, то получим способ выбора n – k предметов из n. Мы получили взаимно-однозначное соответствие способов выбора k и n – k предметов из n. Значит, количество одних и других способов одинаково. Но количество одних — , а других , поэтому .

Если в формуле (3) сократить числитель и знаменатель на (n – k)!, то получим формулу, по которой удобно вычислять при малых значениях k:

(5)

Например,

2. Вычисление числа сочетаний без повторений с помощью треугольника Паскаля:

Для вычисления числа сочетаний без повторений можно применять формулу (3): , а можно последовательно вычислять соответствующие значения, пользуясь следующим свойством:

(6)

Для обоснования равенства (6) можно записать сумму, используя формулу (3), и после приведения полученных дробей к общему знаменателю получить формулу для правой части равенства (6) (проделайте это самостоятельно). Также формулу (6) можно получить без вычислений с помощью комбинаторных рассуждений.

— это количество способов выбрать k +1 предмет из n + 1. Подсчитаем это количество, зафиксировав один предмет (назовем его «фиксированным»). Если мы не берем фиксированный предмет, то нам нужно выбрать k +1 предмет из n тех, что остались, а если мы его берем, то нужно выбрать из n тех, что остались, еще k предметов. Первое можно сделать способами, второеспособами. Всего как раз способов, следовательно,

Это равенство позволяет последовательно вычислять значения с помощью специальной таблицы, которая называется треугольником Паскаля. Если считать, что , то он будет иметь вид, представленный в табл. 29.

Каждая строка этой таблицы начинается с единицы и заканчивается единицей

Если какая-либо строка уже заполнена, например третья, то в четвертой строке надо записать на первом месте единицу. На втором месте запишем число, равное сумме двух чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее (поскольку по формуле (6) На третьем месте запишем число, равное сумме двух следующих чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее , и т. д. (а на последнем месте снова запишем единицу).

Примеры решения задач:

Обратим внимание, что, как и раньше, для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно ответить на вопросы:

1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Чтобы выяснить, является ли заданное соединение сочетанием, достаточно ответить только на первый вопрос (см. схему в табл. 28). Если порядок следования элементов не учитывается, то по определению это сочетание из n элементов по k элементов.

Пример:

Из 12 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение:

Количество способов выбрать из 12 туристов трех дежурных равно количеству сочетаний из 12 элементов по 3 (без повторений), то есть

Комментарий:

Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов не учитывается (для дежурных неважно, в каком порядке их выберут), то соответствующее соединение является сочетанием из 12 элементов по 3 (без повторений). Для вычисления можно использовать формулы (3) или (5), в данном случае применяем формулу (3):

Пример:

Из вазы с фруктами, в которой лежат 10 разных яблок и 5 разных груш, требуется выбрать 2 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Решение:

Выбрать 2 яблока из 10 можно способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать способами. Тогда по правилу произведения выбор требуемых фруктов можно выполнить способами. Получаем

Комментарий:

Сначала отдельно выберем 2 яблока из 10 и 3 груши из 5.

Поскольку при выборе яблок или груш порядок следования элементов не учитывается, то соответствующие соединения — сочетания без повторений.

Учитывая, что требуется выбрать 2 яблока и 3 груши, используем правило произведения и перемножим полученные возможности выбора яблок и груш

Бином Ньютона:

Поскольку (при x ≠ 0 и a ≠ 0), то формулу бинома Ньютона можно записать еще и так:

Общий член разложения степени бинома имеет вид

(где ). Коэффициенты называют биномиальными коэффициентaми.

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых) в разложении n-й степени бинома равно n + 1.
2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой (поскольку )
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна
4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
5. Для вычисления биномиальных коэффициентов можно воспользоваться треугольником Паскаля, в котором вычисления коэффициентов основываются на формуле

Объяснение и обоснование:

Бином Ньютона:

Двучлен вида a + x также называют биномом. Из курса алгебры известно, что:

Можно заметить, что коэффициенты разложения степени бинома при n = 1, 2, 3 совпадают с числами в соответствующей строке треугольника Паскаля. Оказывается, что это свойство выполняется для любого натурального n, то есть справедлива формула

(7)

Формулу (7) называют биномом Ньютона. Правая часть этого равенства называется разложением степени бинома, а числа (при k = 0, 1, 2, …, n) называют биномиальными коэффициентами.

Общий член разложения степени бинома имеет вид

Обосновать формулу (7) можно, например, с помощью метода математической индукции. (Проведите такое обоснование самостоятельно.)

Приведем также комбинаторные рассуждения для обоснования формулы бинома Ньютона.

По определению степени с натуральным показателем (всего n скобок). Раскрывая скобки, получаем в каждом слагаемом произведение n букв, каждая из которых — а или х. Если, например, в каком-либо слагаемом количество букв x равно k, то количество букв а в нем — n – k, то есть каждое слагаемое имеет вид при некотором k от 0 до n. Покажем, что для каждого такого k число слагаемых anравно , откуда после приведения подобных членов и получаем формулу бинома. Произведение получаем, взяв букву x из k скобок и букву а из n – k тех скобок, которые остались. Разные такие слагаемые получим путем разного выбора первых k скобок, а k скобок из n можно выбрать именно способами. Следовательно, общий член разложения бинома действительно имеет вид где k = 0, 1, 2, …, n.

Именно из-за бинома Ньютона числа часто называют биномиальными коэффициентами.

Записывая степень двучлена по формуле бинома Ньютона для небольших значений n, биномиальные коэффициенты можно вычислять с помощью треугольника Паскаля (см. табл. 30).

Например,

Так как , формулу бинома Ньютона можно записать в виде:

(8)

Если в формуле бинома Ньютона (8) заменить x на (–x), то получим формулу возведения в степень разности a – x:

Например, (знаки членов разложения чередуются!).

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых) в разложении n-й степени бинома равно n + 1, поскольку разложение содержит все степени x от 0 до n (и других слагаемых не содержит).
2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой, поскольку
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна

Для обоснования полагаем в равенстве (7) значения a = x = 1 и получаем:

Например,

4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Для обоснования возьмем в равенстве (7) значения a = 1, x = –1:

Тогда

Примеры решения задач:

Пример:

По формуле бинома Ньютона найдите разложение степени.

Комментарий:

Для нахождения коэффициентов разложения можно использовать треугольник Паскаля (табл. 30) или вычислять их по общей формуле. По треугольнику Паскаля коэффициенты равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Учитывая, что при возведении разности в степень знаки членов разложения чередуются, получаем:

Для упрощения записи ответа можно избавиться от иррациональности в знаменателях полученных выражений (см. решение) или сначала учесть, что ОДЗ данного выражения: x > 0. Тогда то есть данное выражение можно записать так: и возвести в степень последнее выражение.

Решение:

Пример:

В разложении степени найдите член, содержащий

Решение:

ОДЗ: b > 0. Тогда

.

Общий член разложения:

По условию член разложения должен содержать , следовательно, Отсюда k = 6.

Тогда член разложения, содержащий , равен

Комментарий:

На ОДЗ (b > 0) каждое слагаемое в данном двучлене можно записать как степень с дробным показателем. Это позволит проще записать общий член разложения степени

(где k = 0, 1, 2, …, n), выяснить, какой из членов разложения содержит и записать его. Чтобы упростить запись общего члена разложения, запишем:

Всё о комбинаторике

Пусть имеется несколько множеств элементов:

Вопрос: сколькими способами можно составить новое множество взяв из каждого исходного множества по одному элементу? Ответ на этот вопрос дают следующие рассуждения.

Элемент из первого множества можно выбрать способами, элемент из второго – s способами, элемент с можно выбрать способами и т. д. Пару элементов можно составить • s способами. Это следует из табл. 1.1, в которой перечислены все способы такого выбора.

Способы выбора трех элементов аbc перечислены в табл. 1.2.

В этой таблице строк и •s столбцов. Поэтому искомое число способов выбора трех элементов аbc равно •s •. Продолжая рассуждать подобным образом, получим следующее утверждение.

Основной комбинаторный принцип. Если некоторый первый выбор можно сделать способами, для каждого первого выбора некоторый второй можно сделать s способами, для каждой пары первых двух – третий выбор можно сделать способами и т.д., то число способов для последовательности таких выборов равно •s •….

Комбинаторные формулы в прикладных задачах теории вероятностей обычно связывают с выбором элементов («выборкой объема ») из совокупности, состоящей из  элементов (элементов «генеральной совокупности»). Различают два способа выбора:

• а)    повторный выбор, при котором выбранный элемент возвращается в генеральную совокупность и может быть выбран вновь;
• б)    бесповторный выбор, при котором выбранный элемент в совокупность не возвращается и выборка не содержит повторяющихся элементов.

При повторном выборе каждый по порядку элемент может быть выбран  способами. Согласно комбинаторному принципу, такую выборку можно сделать способами. Например, повторную выборку объема 2 из трех элементов можно сделать 3² =9 способами:  

В случае бесповторной выборки первый элемент можно выбрать способами, для второго остается возможность выбора, третий элемент можно выбрать способами и т.д. Элемент выборки с номером можно выбрать способом. Согласно комбинаторному принципу, общее число бесповторных выборок объема равно

Число называют числом размещений из элементов по .

Например, существует размещений из трех элементов по два:  Отметим, что и в первом случае и во втором выборки отличаются либо составом элементов, либо порядком выбора элементов.

Выделим особо случай, когда один за другим выбраны все элементов. В этом случае выборки имеют один и тот же состав (все элементов) и отличаются только порядком выбора элементов. Поэтому число

называют числом перестановок из  элементов.

Например, пять человек могут встать в очередь способами. Три элемента можно переставить способами:

Подсчитаем количество бесповторных выборок объема , которые отличаются друг от друга только составом элементов. Пусть X — число таких выборок. Для каждого набора из  элементов можно выбрать порядок их расположения способами. Тогда равно числу способов выбрать различных элементов и выбрать порядок их расположения, т.е. равно числу размещений из элементов по :

Это число называют числом сочетаний из элементов по и обозначают через  Если в формуле (1.2) умножить числитель и знаменатель на , то

Например, сочетаний из четырех элементов по два существует . Это 

Так как из элементов выбрать элементов можно единственным образом, то  откуда следует, что 

Величины называют биномиальными коэффициентами. Название связано с формулой бинома Ньютона

Из формулы (1.3) следует, что

Биномиальные коэффициенты образуют так называемый треугольник Паскаля, который имеет вид:

В -й строке треугольника Паскаля располагаются коэффициенты, соответствующие представлению по формуле (1.3). Треугольником удобно пользоваться для нахождения значений . Это значение находится на пересечении -й строки и -го наклонного ряда. Например,

Биномиальные коэффициенты обладают свойством симметрии:

Это наглядно демонстрирует треугольник Паскаля. Равенство (1.4) подтверждает тот очевидный факт, что выбор элементов из n равносилен выбору тех – элементов из , которые следует удалить, чтобы остались элементов.

При повторном выборе из элементов число выборок объема , которые отличаются только составом равно  Еще раз подчеркнем, что речь идет о выборках, которые отличаются хотя бы одним элементом, а порядок выбора этих элементов во внимание не принимается. Число таких выборок можно подсчитать следующим образом. Между элементами поставим разграничительные знаки, например, нули: Таких знаков (нулей) понадобится . На месте каждого элемента поставим столько единиц, сколько раз предполагается выбрать этот элемент. Например, комбинация   означает, что элемент выбран четыре раза, элемент выбран один раз, элемент не выбран, …, элемент выбран два раза. Заметим, что в такой записи число единиц равно объему выборки . Для перебора всех возможных комбинаций нужно из мест выбрать место и поставить на них нули, а на остальных местах разместить единицы. Это можно сделать способами.

Совокупность из элементов разделить на групп по элементов соответственно можно способами. Порядок элементов внутри каждой из этих групп не имеет значения.

Пусть – множества, число элементов в каждом из которых равно соответственно Составить множество B из элементов множества А₁, элементов множества А₂, …, элементов множества А_k, можно, согласно основному комбинаторному принципу, способами.

Для безошибочного выбора комбинаторной формулы достаточно последовательно ответить на вопросы в следующей схеме:

Например, число словарей, необходимых для непосредственного перевода с одного на другой, для пяти языков определяется из следующих рассуждений. Для составления словаря выбираем из пяти языков (= 5) любые два (=2). Выбор бесповторный, причем при выборе важен и состав выбора и порядок выбора. Поэтому искомое число словарей равно

Комбинаторные задачи с решением

Комбинаторика — раздел математики, занимающийся вопросом выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными условиями.

Рассмотрим примеры задач комбинаторики.

Пример №1

Сколькими способами можно выбрать путь из начала координат 0(0,0) в точку В(6,4), если каждый шаг равен единице, но его можно совершать только вправо или вверх? Сколько таких путей проходит через точку А(2,3)?

Решение. Весь путь занимает 10 шагов (четыре вверх и шесть вправо). Для планирования пути следует решить, какие именно по счету четыре шага следует сделать вверх, а остальные шесть — вправо. Выбор бесповторный и нас интересует только состав выбора. Поэтому в описанных условиях всего путей из точки О в точку В будет

Рассуждая подобным образом легко видеть, что путей из точки О в точку А существует а путь из точки А в точку В можно выбрать способами. По комбинаторному принципу всего путей через точку А существует 10 • 5 = 50.

Ответ. 210; 50.

Пример №2

Сколькими способами можно выбрать путь из начала координат 0(0,0) в точку если каждый шаг равен 1, но его можно совершать только вправо или вверх? Сколько таких путей проходит через точку (См. пример 1.1 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 1.1.

Пример №3

В городе с идеальной прямоугольной планировкой (сеть улиц в этом городе изображена на рис. 1.1) из пункта А выходят человек. Половина из них идет по направлению половина — по направлению Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется так, что половина ее идет по направлению половина — по направлению Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Требуется перечислить перекрестки, на которых окажутся люди после прохождения N улиц (отрезков на рис. 1.1), и сколько людей окажется на каждом из этих перекрестков.

Решение. Каждый человек пройдет N улиц и окажется на одном из перекрестков Координаты перекрестков указаны в предположении, что точка А служит началом координат.

На каждом перекрестке для каждого человека производится выбор из двух возможностей: идти в направлении или в направлении Поэтому всего возможных путей будет . Из этого следует, что каждый путь пройдет только один человек.

В пункте окажется столько человек, сколько различных путей ведет в этот пункт из точки А . Чтобы попасть в пункт необходимо из N улиц выбрать бесповторным способом к улиц в направлении . Это можно сделать  способами.

Ответ.

Пример №4

Сколькими способами можно одинаковых предметов распределить между лицами так, чтобы каждый получил не менее одного предмета?

Решение. Поставим эти предметы в ряд. Между ними будет промежуток. В любые из этих промежутков поставим разделяющие перегородки. Тогда все предметы разделятся на непустых частей. Первую часть передадим первому лицу, вторую — второму и т.д. Выбрать же промежуток из промежутка можно способами. Заметим, что вообще предметов распределить между лицами можно способами.

Ответ.

Пример 1.4.

Сколькими способами можно распределить 6 яблок, 8 груш и 10 слив между тремя детьми? Сколькими способами это можно сделать так, чтобы каждый ребенок получил по меньшей мере одно яблоко, одну сливу и одну грушу?

Решение. Яблоки в соответствии с формулой (1.5) можно распределить способами, груши — , а сливы способами. По комбинаторному принципу всего способов  Если необходимо, чтобы каждый ребенок получил по меньшей мере одно яблоко, одну грушу и одну сливу, то в соответствии с формулой предыдущего примера имеем способов.

Ответ. 83160; 7560.

Пример №5

Сколько цифр в первой тысяче не содержат в своей записи цифры 5?

Решение. Для записи любой из цифр 000, 001, 002, …, 999 необходимо трижды выбрать повторным способом одну из десяти цифр, поэтому и получается всего чисел. Если цифру 5 исключить, то выбор можно производить только из девяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Поэтому всего получится чисел в первой тысяче, в записи которых нет цифры 5.

Ответ. 729.

Пример №6

Сколько шестизначных чисел содержат в записи ровно три различных цифры?

Решение. Заметим, что всего шестизначных чисел имеется , так как первая цифра может быть любой (исключая нуль), а остальные пять могут быть выбраны способами.

Выбрать три ненулевых цифры можно способами. Из выбранных трех цифр можно составить шестизначных чисел, из двух — , а из одной — шестизначное число. По формуле (1.7) получаем, что существует шестизначных чисел, в записи которых есть только три заданные цифры. Поэтому общее число шестизначных чисел, в записи которых имеются три отличные от нуля цифры, равно

Учтем теперь возможность использования нуля. К нулю нужно добавить две цифры, что можно сделать способами. Если, например, были выбраны цифры 0, 2, 5, то первой цифрой должна быть 2 или 5. К этой первой цифре в соответствии с формулой (1.7) можно добавить комбинаций остальных пяти цифр. Тогда всего шестизначных чисел, состоящих из 0, 2, 5 будет Всего же шестизначных чисел, записанных тремя цифрами, среди которых встречается нуль, ровно Всего чисел, удовлетворяющих условиям задачи, имеется

Ответ. 58320.

Пример №7

В саду есть цветы десяти наименований (розы, флоксы, ромашки и т. д.).

а)    Сколькими способами можно составить букет из пяти цветков (не принимая во внимание совместимость растений и художественные соображения)?

б)    Сколькими способами можно составить букет из пяти различных цветков?

в)    Сколькими способами можно составить букет из пяти цветков так, чтобы в букете непременно было хотя бы по одному цветку двух определенных наименований

Решение. а) Если запрета на повторение цветков нет, то мы имеем дело с повторным выбором и нас интересует только состав. Поэтому по формуле (1.5) получаем способа.

б)    Если цветы должны быть разными, то способ выбора бесповторный и букет можно составить способами.

в)    Отберем по одному цветку каждого из двух названных наименований. Три остальных цветка можно выбрать из 10 возможных способами.

Ответ. а) 2002; б) 504; в) 220.

Пример №8

Имеется яблок, груш и персиков. Сколькими способами можно их разложить по двум корзинам? Сколькими способами можно это сделать, если в каждой корзине должно быть хотя бы по одному фрукту всех названных видов (полагаем, что фруктов каждого наименования два или больше)?

Решение. Ясно, что яблоки можно разложить способом (в первую корзину можно не положить яблок совсем, положить одно яблоко, два яблока, …, все яблоки). Те же рассуждения в отношении груш и персиков дают соответственно комбинаций. По комбинаторному принципу всего будет способов.

При ответе на второй вопрос учтем, что следует по одному яблоку сразу положить в каждую из корзин, а остальные яблока раскладывать произвольным образом (в первую корзину либо не добавляем яблок, либо добавляем одно, либо –– два, …, либо – все  яблока). Все это можно сделать способами. Те же рассуждения насчет других фруктов и комбинаторный принцип дают следующий результат:

Ответ.

Пример №9

Требуется найти число натуральных делителей натурального числа .

Решение. Разложим на простые множители:

где – различные простые числа. (Например, )

Заметим, что при разделении числа на любые два множителя и простые сомножители распределятся между и . Если сомножитель ,  в число  входит то разложение (1.8) примет вид:

Так что разложение на два сомножителя сводится к разделению каждого из чисел на две части, а это можно сделать способами.

Ответ. .

Пример №10

Сколькими способами легкоатлет, собираясь на тренировку, может выбрать себе пару спортивной обуви, имея 5 пар кроссовок и 2 нары кед?

Очевидно, что выбрать одну из имеющихся пар обуви, кроссовки или кеды, можно 5 + 2 = 7 способами.

Обобщая, приходим к комбинаторному правилу сложения:

Это правило справедливо также для трех и более элементов.

Пример №11

В меню школьной столовой предлагается на выбор 4 вида пирожков и 3 вида сока. Сколько разных вариантов выбора завтрака, состоящего из одного пирожка и одного стакана сока, имеется у учащегося этой школы?

Пирожок можно выбрать 4 способами и к каждому пирожку выбрать сок 3 способами (рис. 76). Следовательно, учащийся имеет вариантов выбора завтрака.

Обобщая, приходим к комбинаторному правилу умножения:

Это правило справедливо также для трех и более элементов.

Пример №12

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если в числе: 1) цифры не повторяются; 2) цифры могут повторяться?

Решение:

1) Первую цифру можем выбрать 4 способами (рис.77). Так как после выбора первой цифры их останется три (ведь цифры в нашем случае повторяться не могут), то вторую цифру можем выбрать 3 способами.И наконец, третью цифру можем выбрать из оставшихся двух — то есть 2 способами. Следовательно, количество искомых трехзначных у чисел будет равно .

2) Применим комбинаторное правило умножения. Так как цифры в числе могут повторяться, то каждую из цифр искомого числа можно выбрать 4 способами (рис. 78), и тогда таких чисел будет .

Ответ. 1) 24 числа; 2) 64 числа.

Отметим, что решить подобные задачи без применения комбинаторного правила умножения можно только путем перебора всех возможных вариантов чисел, удовлетворяющих условию задачи. Но такой способ решения является слишком долгим и громоздким.

Пример №13

Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

Четное пятизначное число можно получить, если последней его цифрой будет 6 или 8. Чисел, у которых последней является цифра 6, будет (рис. 79),

а тех, у которых последней является цифра 8, — также 24. По комбинаторному правилу сложения всего четных чисел будет .

Ответ. 48.

Пример №14

Азбука племени АБАБ содержит всего две буквы — «а» и «б». Сколько слов в языке этого племени состоит: 1) из двух букв; 2) из трех букв?

Решение:

1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова); 2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов).

Заметим, что найденное количество слов соответствует комбинаторному правилу умножения. Так как на каждое место есть два «претендента» — «а» и «б», то слов, состоящих из двух букв, будет , а из трех букв — .

Пример №15

В футбольной команде из 11 игроков надо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Капитаном можно выбрать любого из 11 игроков, а его заместителем — любого из 10 оставшихся игроков. Таким образом (по правилу умножения), имеем разных способов.

Пример №16

В Стране Чудес 10 городов и каждые два из них соединяет авиалиния. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение. Так как каждая авиалиния соединяет два города, то одним из них может быть любой из 10 городов, а другим — любой из 9 оставшихся. Следовательно, количество авиалиний равно . Но при этом каждую из авиалиний мы учли дважды. Поэтому всего их будет .

Комбинаторные задачи неразрывно связаны с задачами теории вероятностей, еще одного раздела математики.

В ХIII-ХII в. до н. э. встречаются упоминания о вопросах, близких к комбинаторным. Некоторые комбинаторные задачи решали и в Древней Греции. В частности, Аристоксен из Тарента (IV в. до н. э.), ученик Аристотеля, перечислил различные комбинации длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. А Папп Александрийский в IV в. н. э. рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов, допуская их повторения. Некоторые элементы комбинаторики были известны и в Индии во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, известные нам как коэффициенты формулы бинома Ньютона. Позднее, в VIII в. н. э., арабы нашли и саму эту формулу, и ее коэффициенты, которые сейчас вычисляют с помощью комбинаторных формул или «треугольника Паскаля».

Свой нынешний вид упомянутые комбинаторные формулы приобрели благодаря средневековому ученому Леви бен Гершону (XIV в.) и французскому математику П. Эригону (XVII в.).

В III в. н. э. сирийский философ Порфирий для классификации понятий составил специальную схему, получившую название «древо Порфирия». Сейчас подобные деревья используются для решения определенных задач комбинаторики в разнообразных областях знаний. Некоторые ранее неизвестные комбинаторные задачи рассмотрел Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в своей знаменитой «Книге абака» (1202 г.), в частности, о нахождении наименьшего набора различных гирь, позволяющего взвесить груз с любой целочисленной массой, не превышающей заданного числа. Со времен греческих математиков были известны две последовательности, каждый член которых получали по определенному правилу из предыдущих, — арифметическая и геометрическая прогрессии. А Фибоначчи впервые в одной из задач выразил член последовательности через два предыдущих, используя формулу, которую назвали рекуррентной. В дальнейшем метод рекуррентных формул стал одним из мощнейших для решения комбинаторных задач.

Как ни странно, развитию комбинаторики в значительной степени способствовали азартные игры, которые были очень популярны в XVI в. В частности, вопросами определения разнообразных комбинаций в игре в кости в то время занимались такие известные итальянские математики, как Д. Кардано, H. Тарталья и др. А наиболее полно изучил этот вопрос в XVII в. Галилео Галилей.

Современные комбинаторные задачи высокого уровня сложности связаны с объектами в других отраслях математики: определителями, конечными геометриями, группами, математической логикой и т. п.

Правила суммы и произведения

Вспомните, что в математике любые совокупности называют множествами. Объекты, входящие в множества, называют его элементами. Множества обозначают большими латинскими буквами, а их элементы записывают в фигурных скобках. Считают, что все элементы множества различны.

Например, 

Множества бывают конечными и бесконечными. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым и обозначают символом 

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если  — часть множества  то его называют подмножеством множества  и записывают  Наглядно это изображают с помощью диаграммы Эйлера (рис. 135, а). В частности, для числовых множеств правильные такие соотношения: 

Случается, что множества  имеют общие элементы. Если множество  содержит все общие элементы множеств  и только их, то множество  называют пересечением множеств  Записывают это так: Диаграммой Эйлера пересечение изображают, как показано на рисунке 135, б. Множество, содержащее каждый элемент каждого из множеств  и только эти

элементы, называется объединением множеств  Если  — объединение множеств   то пишут  (рис. 135, в).

Разницей множеств  называют множество, состоящее из всех элементов множества  не принадлежащих множеству  Его обозначают Например, если 

Говоря «множество», «подмножество», порядок их элементов не учитывают. Говорят, что они не упорядочены. Рассматривают и упорядоченные множества. Так называют множества с фиксированным порядком элементов. Их обозначают не фигурными, а круглыми скобками. Например, из элементов множества  можно образовать 6 трёхэлементных упорядоченных множеств: 

Как множества, все они равны, как упорядоченные множества — разные.

Существуют задачи, в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой.

Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач.

Пример №17

В городе  есть два университета — политехнический и экономический. Абитуриенту нравятся три факультета в политехническом университете и два — в экономическом. Сколько возможностей имеет студент для поступления в университет?

Решение:

Обозначим буквой  множество факультетов, которые выбрал абитуриент в политехническом университете, а буквой  — в экономическом:  Поскольку эти множества не имеют общих элементов, то в делом абитуриент имеет  возможностей для поступления в университет.

Описанную ситуацию можно обобщить в виде утверждения, которое называется правилом суммы.

 Если элемент некоторого множества  можно выбрать  способами, а элемент множества  способами, то элемент из множества  или из множества  можно выбрать  способами.

Правило суммы распространяется и на большее количество множеств.

Пример №18

Планируя летний отдых, семья определилась с местами его проведения: в Одессе — 1, в Евпатории — 3, в Ялте — 2, в Феодосии — 2. Сколько возможностей выбора летнего отдыха имеет семья?

Решение:

Поскольку все базы отдыха разные, то для решения задачи достаточно найти сумму элементов всех множеств, о которых говорится: Следовательно, семья может выбирать отдых из 8 возможных.

Пример №19

От пункта  до пункта  ведут три тропинки, а от  — две. Сколько маршрутов можно проложить от пункта  до пункта 

Решение:

Чтобы пройти от пункта  до пункта  надо выбрать одну из трёх тропинок: 1, 2 или 3 (рис. 136). После этого следует выбрать одну из двух других троп: 4 или 5. Всего от пункта  до пункта  ведут 6 маршрутов, потому что  Все эти маршруты можно обозначить с помощью пар:

Обобщим описанную ситуацию.

 Если первый компонент пары можно выбрать  способами, а . второй —  способами, то такую пару можно выбрать  способами.

Это — правило произведения, его часто называют основным правилом комбинаторики. Обратите внимание: речь идёт об упорядоченных парах, составленных из различных компонентов.

Правило произведения распространяется и на упорядоченные тройки, четвёрки и любые другие упорядоченные конечные множества. В частности, если первый компонент упорядоченной тройки можно выбрать  способами, второй —  способами, третий —  способами, то такую упорядоченную тройку можно выбрать  способами. Например, если столовая на обед приготовила 2 первых блюда — борщ (б) и суп (с ), 3 вторых — котлеты (к), вареники (в), голубцы (г) и 2 десертных — пирожные (п) и мороженое (м), то всего из трёх блюд столовая может предложить 12 различных наборов, поскольку 

Описанной ситуации соответствует диаграмма, изображённая на рисунке 137. Такие диаграммы называют деревьями.

Пример №20

Сколько разных поездов можно составить из 6 вагонов, если каждый из вагонов можно поставить на любом месте?

Решение:

Первым можно поставить любой из б вагонов. Имеем 6 выборов. Второй вагон можно выбрать из оставшихся 5 вагонов. Поэтому, согласно правилу умножения, два первых вагона можно выбрать  способами. Третий вагон можно выбрать из 4 вагонов, которые остались. Поэтому три первых вагона можно выбрать  способами. Продолжая подобные рассуждения, приходим к ответу: всего можно составить  различных поездов.

Обратите внимание на решение последней задачи. Оно свелось к вычислению произведения всех натуральных чисел от 1 до 6. В комбинаторике подобные произведения вычисляют часто.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до  называют  факториалом и обозначают 

Например:

Условились считать, что 

Языком теории множеств правила суммы и произведения можно сформулировать следующим образом.

Если пересечение множеств  пустое, то количество элементов в их объединении  равно сумме количества элементов множеств

Если множества  имеют общие элементы, то 

Если множества  конечны, то количество возможных пар  равно произведению количества элементов множеств  

Пример №21

В розыгрыше на первенство города по баскетболу принимают участие команды из 12 школ. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места?

Решение:

Первое место может получить одна из 12 команд. После того, как определён обладатель первого места, второе место может получить одна из 11 команд. Следовательно, общее количество способов, которыми можно распределить первое и второе места, равно

Ответ. 132.

Пример №22

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1, 2, 3, 4, 5, если ни одна цифра не повторяется?

Решение:

Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5. Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5-ю способами, третья — 4-мя, четвёртая — 3-мя. Согласно правилу умножения общее число способов равно:

 Ответ. 300.

Пример №23

Упростите выражение 

Решение:

 

Размещения и перестановки

Задача:

Сколькими способами собрание из 20 человек может избрать председателя и секретаря?

Решение:

Председателя можно выбрать 20-ю способами, секретаря — из остальных 19 человек — 19-ю способами. По правилу произведения председателя и секретаря собрания могут выбрать  способами.

Обобщим задачу. Сколько упорядоченных —элементных подмножеств можно составить из  различных элементов? На первое место можно поставить любой из данных  элементов. На второе место — любой из остальных  элементов и т. д. На последнее  место можно поставить любой из остальных  элементов. Из правила произведения следует, что из данных  элементов можно получить   -элементных упорядоченных подмножеств.

Например, из 4 элементов  упорядоченных двухэлементных подмножеств можно образовать всего 

Упорядоченое -элементное подмножество элементного множества называют размещением из  элементов  Их число обозначают 

Из предыдущих рассуждений следует, что  и что для любых натуральных 

В правой части этого равенства  множителей. Поэтому результат можно сформулировать в виде такого утверждения.

Число размещений из  элементов по  равно произведению последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых 

Примеры:

 

Пример №24

Сколькими способами можно составить дневное расписание из пяти разных уроков, если класс изучает 10 различных предметов?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 5-элементных подмножествах некоторого множества, состоящего из 10 элементов.

Это размещения. 

Ответ. 30 240 способами.

Число размещений из  элементов по  можно вычислять и по другой формуле:  (проверьте самостоятельно).

 Размещение  элементов по  называют перестановками из  элементов. Их число обозначают 

Например, из трёх элементов  можно образовать 6 различных перестановок:  Следовательно, 

Подставив в формулу числа размещений  получим, что 

Число перестановок из  элементов равно ! 

Примеры:

 

Пример №25

Сколькими способами можно составить список из 10 фамилий?

Решение:

 

Ответ. 3 628 800 способами.

Некоторые комбинаторные задачи сводятся к решению уравнений, в которых переменная указывает на количество элементов в некотором множестве или подмножестве. Рассмотрим несколько таких уравнений.

Пример №26

Решите уравнение 

Решение:

Пользуясь формулой размещений, данное уравнение можно заменить таким:

По условию задачи  — натуральное число, поэтому  — посторонний корень. Следовательно, 

Пример №27

Решите уравнение 

Решение:

Запишем выражения  через произведения.

Имеем:

Поскольку по смыслу задачи  Поэтому последнее уравнение можно сократить на произведение  Тогда  Но уравнение  удовлетворяет только одно значение: 

Пример №28

Команда из трёх человек выступает в соревнованиях по художественной гимнастике, в которых принимают участие ещё 27 спортсменок. Сколькими способами могут распределиться места между членами команды, при условии, что на этих соревнованиях ни одно место не делится?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 3-элементных подмножествах множества, состоящего из 30 элементов. Это — размещения. 

Пример №29

Сколькими способами можно разместить на полке 5 дисков?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 5-элементных множествах. Искомое количество способов равно 

Ответ. 120 способами.

Пример №30

Изображённое на рисунке 140 кольцо раскрашено в 7 цветов. Сколько существует таких колец, раскрашенных теми же цветами только в других последовательностях? 

Решение:

Зафиксируем одну какую-нибудь часть кольца, окрашенную одним цветом, б других частей можно раскрасить  способами.

Ответ. 720 колец.

Пример №31

Сколько можно составить различных неправильных дробей, числителями и знаменателями которых есть числа 3,5, 7,9,11,13?

Решение:

Способ 1. Дробей, у которых числитель не равен знаменателю, можно составить  то есть  Из этих дробей только половина — неправильных, то есть — 15.

Неправильными являются также дроби, у которых числитель равен знаменателю. Таких дробей в нашем случае 6. Итак, всего можно составить  (дробь).

Способ 2. Если знаменатель неправильной дроби 3, то его числителями могут быть все 6 данных чисел. Если знаменатель 5, то числителями неправильной дроби могут быть 5 чисел (5, 7, 9, 11, 13) и т.д. Наконец, если знаменатель — число 13, то существует только 1 неправильная дробь, со знаменателем 13. Всего таких неправильных дробей существует 

Ответ. 21 дробь.

Комбинации и бином ньютона

Пусть дано множество из трёх элементов:  Его двухэлементных подмножеств (не упорядоченных) существует всего три: Говорят, что существует 3 комбинации из трёх элементов по два. Пишут: 

 Комбинацией из  элементов по  называют любое элементное подмножество элементного множества.

Число комбинаций из  элементов по  обозначают  В отличие от размещений, комбинации — подмножества неупорядоченные.

Сравните:  При тех же значениях  значение  меньше   Можно также указать, во сколько раз меньше. Каждую элементную комбинацию можно упорядочить  способами. В результате из одной комбинации получают  размещений (упорядоченных подмножеств) из тех же элементов. Итак,

число элементных комбинаций в  раз меньше числа размещений из тех же  элементов.

То есть,  отсюда

Пример №32

Вычислите: 

Решение:

Обратите внимание!  Полагают также, что  для любого 

Пример №33

Сколькими способами из 25 учеников можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Решение:

Здесь  порядок учеников не имеет значения.

Ответ. 300-ми способами.

Докажем, что для натуральных значений  правильно тождество 

Доказательство. Пусть дано  различных элементов:  Всего из них можно образовать  различных  элементных комбинаций. Это количество комбинаций вычислим другим способом. Из данных  элементов, кроме последнего  можно образовать  комбинаций. Остальные элементные комбинации из всех данных элементов можно образовать, если к каждой комбинации из первых элементов по  дописать элемент  Таких комбинаций 

Следовательно,  А это и требовалось доказать.

Такое комбинаторное тождество можно доказать также, воспользовавшись формулой числа комбинаций.

С комбинациями тесно связана формула бинома Ньютона. Вспомните формулу квадрата двучлена:

 Умножив  получим формулы:

Эти три формулы можно записать и так:

Оказывается, для каждого натурального значения  правильна и общая формула:

Это тождество называют формулой бинома Ньютона. а её правую часть разложением бинома Ньютона. Бином — латинское название двучлена. Пользуясь этой формулой, возведём, например, двучлен  в пятую степень. Поскольку 

Доказать формулу бинома Ньютона можно методом математической индукции.

Доказательство. Предположим, что формула  верна для некоторого натурального показателя степени  Покажем, что тогда она верна и для следующего за ним значения 

Выражения в скобках преобразованы согласно формулы

Следовательно, если формула бинома Ньютона верна для  то она правильна и для  Для  она правильна, так как  Поэтому на основе аксиомы математической индукции можно утверждать, что формула верна для любого натурального показателя 

Вычислять коэффициенты разложения бинома Ньютона можно не по формуле числа комбинаций, а пользуясь числовым треугольником Паскаля — своеобразным способом вычисления коэффициентов разложения бинома Ньютона 

Треугольник Паскаля можно продолжать как угодно далеко. Это следует из тождества  Его крайние числа — единицы, а каждое другое равно сумме двух ближайших к нему чисел сверху.

Например, прибавляя числа шестой строки (для  получим числа следующей строки (для  Следовательно,  Общий член разложения бинома  можно определить по формуле 

Например:

Пример №34

В турнире по шашкам приняли участие 5 девушек и 7 юношей. Каждый участник сыграл один раз с каждым другим. Сколько партий было: а) между девушками; б) между юношами; в) между юношами и девушками?

Решение:

а) Речь идёт о 2-элементных подмножествах (неупорядоченных) множества, состоящего из 5 элементов. Это — комбинации.  

б) Аналогично 

в) Воспользуемся правилом умножения. Поскольку каждой из 5 девушек предстоит сыграть с каждым из 7 юношей, возможных случаев 

Пример №35

Для дежурства в столовой приглашают 3-х учеников из 7 класса и 2-х учеников из 10 класса. Сколькими способами это можно сделать, если в 7 классе учится 24 ученика, а в 10 классе — 18.

Решение:

Речь идёт о неупорядоченных подмножествах двух разных множеств. Это — комбинации.

По правилу произведения имеем  способов выбрать учащихся для дежурства.

Пример №36

Сколько разных делителей имеет число 1001?

Решение:

Разложим заданное число на простые множители:  Если число  — делитель числа 1001, то оно должно быть одним из чисел 7, 11,13 (три случая) или любым их произведением. Различных произведений может быть  Делителем данного числа есть ещё единица. Следовательно, число 1001 имеет  делителей.

Пример №37

Докажите, что выпуклый угольник имеет  диагоналей.

Решение:

Отрезков, концами которых являются  вершин данного -угольника, существует  Среди них есть и  сторон данного -угольника. Поэтому диагоналей он имеет 

Пример №38

Докажите тождество

Сделайте обобщение.

Решение:

 

Все члены разложения бинома Ньютона  такие же, как и члены разложения бинома  только их члены с чётными номерами отрицательные.

Пример №39

Найдите номер члена разложения  который не содержит 

Решение:

Воспользуемся формулой общего члена разложения бинома. Имеем:

По условию задачи  то есть  Отсюда  Следовательно, не содержит  шестой член разложения бинома.

Элементы комбинаторики

Решение многих задач теории вероятностей требует знания элементов комбинаторики, основными понятиями которой являются перестановки, размещения и сочетания.

Определение: Перестановки — это комбинации из одних и тех же элементов, отличающиеся только порядком элементов.

Пример:

Даны три числа 1, 2, 3. Определить количество комбинаций из этих элементов, отличающиеся только порядком элементов.

Решение:

Комбинации из данных элементов, отличающиеся только порядком элементов: 123; 132; 213; 231; 321; 312. Всего таких комбинаций Если дано n элементов, то число перестановок O2. Размещения — это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их расположением.

Пример:

Даны три числа 1, 2, 3. Определить количество размещений из этих элементов по два, отличающиеся составом или порядком элементов.

Решение:

Комбинации из данных элементов по два, отличающиеся составом или порядком элементов: 12; 21; 23; 32; 13; 31. Всего таких комбинаций 6. Если дано n элементов, то число размещений по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их расположением:

Определение: Сочетания — это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример:

Даны три числа 1, 2, 3. Определить количество размещений из этих элементов по два, отличающиеся хотя бы одним элементом.

Решение:

Комбинации из данных элементов по два, отличающиеся хотя бы одним элементом: 12; 23; 13. Всего таких комбинаций 3. Если дано n элементов, то число сочетаний по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом:

Пример:

Пусть в урне находится n прономерованных шаров. Определить количество способов, которыми можно извлечь из урны эти шары один за другим.

Решение:

Число способов равно числу различных комбинаций из п элементов, отличающихся только порядком элементов, т.е. числу перестановок:

Пример:

Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди выбранных карт окажется один туз.

Решение:

Событие А состоит в том, что среди выбранных карт окажется один туз. Это сложное событие состоит из двух событий: выбирается один туз из четырех, а две другие карты выбираются из оставшихся 32 карт. Следовательно, число случаев, благоприятствующих появлению события A, равно Всего возможных равновероятных исходов, образующих полную группу определяется числом сочетаний из 36 карт по 3 карты, т.е. Таким образом, вероятность события А равна

Арифметика случайных событий

Будем считать, что все события, которые могут произойти в рамках данного эксперимента, располагаются внутри квадрата G, тогда невозможные события располагаются вне квадрата G (Рис. 2):

Рис. 2. Квадрат возможных событий.

Таким образом, достоверное событие определяется внутренней частью квадрата, а невозможное — областью вне квадрата.

Определение: Суммой двух случайных событий А и В называется третье случайное событие С, которое состоит в том, что произойдет (или не произойдет) или событие А, или событие В : С = А + В (Рис. 3).

Определение: Суммой n случайных событий называется случайное событие С, которое реализуется в данном опыте, если произойдет (или не произойдет) или одно событий , или любая их совокупность:

Рис. 3. Сумма случайных событий

Замечание: Если в словесном описании сложного события присутствует разделительный союз “или” между элементарными событиями, то речь идет о сумме этих элементарных событий.

Замечание: Суммой события А и ему противоположного события является достоверное событие т.е. Следовательно, противоположное событие можно записать в виде

Определение: Произведением двух случайных событий А и В называется третье случайное событие С, которое состоит в том, что произойдет (или не произойдет) и событие А, и событие В : (Рис. 4).

Рис. 4. Произведение случайных событий.

Определение: Произведением n случайных событий называется случайное событие С, которое реализуется в данном опыте, если произойдет (или не произойдет) совместная реализация событий

Замечание: Если в словесном описании сложного события присутствует соединительный союз “и” между элементарными событиями, то речь идет о произведении этих элементарных событий.

Пример №40

Пусть имеются передатчик и приемник. Приемник удален от передатчика недостаточно большое расстояние, при котором он может при определенных условиях не принять один из сигналов, переданных передатчиком. Пусть передатчик послал три сигнала. Определить следующие сложные события:

• а) приемник принят только второй сигнал (событие А );
• б) приемник принял только один сигнал (событие В);
• в) приемник принял не менее двух сигналов (2 или 3 сигнала — событие С);
• г) приемник не принял ни одного сигнала (событие D);
• д) приемник принял хотя бы один сигнал (событие E).

Решение:

Обозначим через элементарное событие, состоящее в том, что приемник принял сигнал i.

Сложное событие А состоит в том, что приемник не принял первый сигнал и принял второй сигнал, и не принял третий сигнал. Так как между элементарными событиями стоит соединительный союз “и”, то речь идет о их произведении, т.е.

Сложное событие В состоит в том, что приемник принял или первый сигнал, или принял второй сигнал, или принял третий сигнал. Так как между элементарными событиями стоит разделительный союз “или”, то речь идет о сумме сложных событии, т.е.

Рассуждая аналогично, получим выражения для остальных событий: Сложное событие Е содержит в своем словесном описании слова “хотя бы один”, следовательно, оно противоположно событию, содержащему в своем словесном описании слова “ни один”, т.е. событию D:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Доказательство: Пусть в данном опыте имеется n равновозможных, элементарных, несовместных событий и пусть в m случаях наступает событие А, а в l случаях-событие В. Тогда появлению события А + В благоприятствует m+l исходов. Поэтому

Следствие: Если имеется N событий, то

Следствие: Если события () образуют полную группу, то

Доказательство: Так как события образуют полную группу равно возможных, элементарных, несовместных событий, то их сумма есть достоверное событие а вероятность достоверного события равна 1.

Следствие: Вероятность суммы противоположных событий равна 1.

Доказательство: В силу того, что события А и ему противоположное событие образуют полную группу несовместных событий, то по следствию вероятность их суммы равна 1.

Замечание: Если сложное событие состоит из суммы элементарных событий, то перед применением теоремы надо определить совместны или несовместны элементарные события.

Пример:

Пусть в урне находится 5 белых шаров, 3 — красных и 4 — зеленых. Из урны наудачу вынули шар. Какова вероятность того, что данный шар цветной?

Решение:

Событие, состоящее в том, что из урны извлечен красный шар, обозначим через А. Событие, состоящее в том, что из урны извлечен зеленый шар, обозначим через В. Тогда извлечение цветного шара есть событие С. Так как события А и В несовместны, т.е. событие С состоит в том, что из урны извлечен или событие А , или событие В, то С = А + В. Используя теорему о сложении вероятностей несовместных событий, получим:

Зависимые и независимые события. Условная и безусловная вероятности

Определение: Случайные события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события называются зависимыми.

Замечание: В этом определении речь идет не о причинно-следственной связи между событиями, а о вероятностной (появление одного из них не влияет на вероятность появления другого события), которая является более общей зависимостью между событиями.

Пример №41

В хранилище находится 10 исправных и 5 неисправных приборов, причем неизвестно, какие из них исправные, а какие — нет. Обозначим событием А — из хранилища взят исправный прибор, а В — взят неисправный прибор. Пусть вначале взят неисправный прибор. Определить вероятности указанных событий с возвращением неисправного прибора на склад и без возвращения неисправного прибора в хранилище.

Решение:

Если неисправный прибор возвращается в хранилище, то события А и В независимы и их вероятности равны Во втором случае, когда неисправный прибор не возвращается на склад, общее количество приборов в хранилище изменилось и стало равным 14, причем неисправных приборов будет храниться 4. Следовательно, произошедшее событие В изменило вероятности события А и В: т.е. при такой организации эксперимента события А и В являются зависимыми.

Определение: Вероятность случайного события называется безусловной, если при ее вычислении на комплекс условий, в которых рассматривается это случайное событие, не накладывается никаких дополнительных ограничений. Безусловная вероятность обозначается

Определение: Вероятность случайного события называется условной, если она вычисляется при условии, что произошло другое случайное событие. Условная вероятность обозначается

Теорема умножения вероятностей

Т.2. Вероятность совместного появления двух случайных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Доказательство: Пусть событие А состоит в том, что брошенная точка наугад в квадрат G попадает в область А, которая имеет площадь Событие В состоит в том, что брошенная наугад в квадрат G точка попадает в область В с площадью Пусть весь квадрат имеет площадь S, а область совместного наступления событий имеет площадь (Рис. 5). Тогда вероятность события А равна а события В —

Рис. 5. Совместное наступление зависимых и независимых случайных событий.

Вероятность совместного наступления событий .Условные вероятности того, что произойдут указанные события, определяются по формулам: Таким образом, можно записать, что вероятность совместного наступления событий равна:

Замечание: Если события А и В независимы, то т.е. безусловная и условная вероятности равны между собой.

В связи с вышеприведенным замечанием теорема об умножении вероятностей независимых случайных событий имеет вид:

ТЗ. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Замечание: Независимость случайных событий всегда взаимная. Если то по теореме откуда следует, что

Следствие: Методом математической индукции теоремы легко обобщается на произведение N зависимых событий:

а теорема — для независимых событий:

Замечание: Если сложное событие представляется в виде произведения элементарных событий, то при вычислении вероятности такого события надо определить, зависимы или независимы эти элементарные события.

Что такое комбинаторика

Понятие множества и его элементов:

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий. Каждый объект, принадлежащий множеству А, называется элементом этого множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Подмножество

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В,

и записывают так: Используется также запись если множество А или является подмножеством множества В, или равно множеству В.

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и В называют их общую часть, то есть множество С всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В

Объединение множеств

Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (А или В)

Разность множеств

Разностью множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В

Дополнение множества

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U, то разность U А называется дополнением множества А. Другими словами, дополнением множества А называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А (но принадлежащих универсальному множеству).

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д.

В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М) записывается с помощью специального значка следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так:

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.

Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = {7} и М = {1; 2; 3} — конечные потому, что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = {-1; 0; 1} (множество задано перечислением элементов), В — множество четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: — четное целое число} или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: — характеристическое свойство. Например,

Равенство множеств

Пусть А — множество цифр трехзначного числа 312, то есть А = {3; 1; 2}, а В — множество натуральных чисел, меньших четырех, то есть В = {1; 2; 3}. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: А = В.

Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, {1; 2; 2} = {1; 2}, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество А является подмножеством множества В или равно множеству В. Например, можно записать, что .

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В; 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество Таким образом,

два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

А = В означает то же, что

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера-Венна). Например, рисунок 118 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 119-отношения между множествами

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: находить их пересечение, объединение, разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов.

Пересечением множеств А и В называют их общую часть, то есть множество С всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В.

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 120 приведена иллюстрация и символическая запись определения пересечения множеств).

Например, если А = {2; 3; 4}, В = {0; 2; 4; 6}, то

Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (А или В).

Объединение множеств обозначают знаком U (на рисунке 121 приведена иллюстрация и символическая запись определения объединения множеств).

Например, для множеств А и В из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через М, то М U Q = R. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком . На рисунке 122 приведена иллюстрация и символическая запись определения разности множеств.

Например, если А = {1; 2; 3}, В = {2; 3; 4; 5}, то АВ = {1}, а В А = {4; 5}. Если В — подмножество А, то разность А В называют дополнением множества В до множества А (рис. 123).

Например, если обозначить множество иррациональных чисел через М, то R Q = М: множество М иррациональных чисел дополняет множество Q рациональных чисел до множества R всех действительных чисел.

Все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества U. Его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника (рис. 124). Разность U А называется дополнением множества А.

Дополнением множества А называется множество, состоящее из всехэлементов, не принадлежащих множеству А (но принадлежащих универсальному множеству U).

Дополнение множества А обозначается (можно читать: «А с чертой»). Например, если U = R и А = [0; 1], то Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 125).

Комбинаторика и Бином Ньютона

Элементы комбинаторики:

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются способы выбора и размещения элементов некоторого конечного множества на основании некоторых условий. Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называются  Соединения с повторениямими.

Если все элементы полученного множества разные — получаем соединения без повторений, а если в полученном множестве элементы повторяются, то получаем соединения с повторениями*.

Перестановки:

Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество из элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой — на втором,…, какой — на п-м.

*Формулы для нахождения количества соединений с повторениями являются обязательными только для классов физико-математического профиля. Формула числа перестановок (читается: «Эн факториал»)

Пример:

Количество различных шестизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторяя эти цифры в одном числе, равно

Размещения:

Размещением из элементов по называется любое упорядоченное множество из элементов, состоящее из элементов -элементного множества Формула числа размещений

Пример:

Количество различных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1,2,3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться, равно

Сочетания:

Сочетанием без повторений из элементов по называется любое -элементное подмножество -элементного множества Формула числа сочетаний

(по определению считают, что )

Пример:

Из класса, состоящего из 25 учащихся, можно выделить 5 учащихся для дежурства по школе способами, то есть способами. Некоторые свойства числа сочетаний без повторений

Схема решения комбинаторных задач

Выбор правила:

Правило суммы

Если элемент А можно выбрать способами, а элемент В — способами, то А или В можно выбрать способами.

Правило произведения

Если элемент А можно выбрать способами, а после этого элемент В — способами, то А и В можно выбрать способами. Выбор формулы

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

• Нет

Все ли элементы входят в соединение?

• Перестановки
• Размещения
• Сочетания

без повторений с повторениями без повторений с повторениями без повторений с повторениями

Объяснение и обоснование:

Понятие соединения

При решении многих практических задач приходится выбирать из определенной совокупности объектов элементы, имеющие те или иные свойства, размещать эти элементы в определенном порядке и т. д. Поскольку в этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, то такие задачи называют комбинаторными. Раздел математики, в котором рассматриваются методы решения комбинаторных задач, называется комбинаторикой. В комбинаторике рассматривается выбор и размещение элементов некоторого конечного множества на основании определенных условий.

Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называют соединениями. Если все элементы полученного множества разные — получаем размещения без повторений, а если в полученном множестве элементы могут повторяться, то получаем размещения с повторениями. Рассматриваются соединения без повторений, а соединения с повторениями.

Решение многих комбинаторных задач базируется на двух основных правилах — правиле суммы и правиле произведения.

Правило суммы

Если на тарелке лежит 5 груш и 4 яблока, то выбрать один фрукт (то есть грушу или яблоко) можно 9 способами (5 + 4 = 9). В общем виде имеет место такое утверждение:

Правило произведения

Если в киоске продают ручки 5 видов и тетради 4 видов, то выбрать набор из ручки и тетради (то есть пару — ручка и тетрадь) можно 5 • 4 = 20 способами (поскольку с каждой из 5 ручек можно взять любую из 4 тетрадей). В общем виде имеет место такое утверждение:

• если элемент А можно выбрать m способами, а после этого элемент В — способами, то А и В можно выбрать m • п способами.

Это утверждение означает, что если для каждого из т элементов А можно взять в пару любой из элементов В, то количество пар равно произведению

Повторяя приведенные рассуждения несколько раз (или, иначе говоря, используя метод математической индукции), получаем, что правила суммы и произведения можно применять при выборе произвольного конечного количества элементов.

Следовательно, если приходится выбирать или первый элемент, или второй, или третий и т. д. элемент, количества способов выбора каждого еле-мента складывают, а когда приходится выбирать набор, в который входят и первый, и второй, и третий, и т. д. элементы, количества способов выбора каждого элемента перемножают.

Упорядоченные множества

При решении комбинаторных задач приходится рассматривать не только множества, в которых элементы можно записывать в любом порядке, но и так называемые упорядоченные множества. Для упорядоченных множеств существенным является порядок следования их элементов, то есть то, какой элемент записан на первом месте, какой на втором и т. д. В частности, если одни и те же элементы записать в разном порядке, то мы получим различные упорядоченные множества. Чтобы различить записи упорядоченного и неупорядоченного множеств, элементы упорядоченного множества часто записывают в круглых скобках, например

Рассматривая упорядоченные множества, следует учитывать, что упорядоченность не является свойством самого неупорядоченного множества (из которого мы получили упорядоченное), поскольку одно и то же множество можно по-разному упорядочить. Например, множество из трех чисел {-5; 1; 3} можно упорядочить по возрастанию: (-5; 1; 3), по убыванию: (3; 1; — 5), по возрастанию абсолютной величины числа: (1; 3; -5) и т. д.

Будем понимать, что для того чтобы задать конечное упорядоченное множество из п элементов, достаточно указать, какой элемент находится на первом месте, какой на втором, …, какой на п-м.

Размещения

Размещением из элементов по называется любое упорядоченное множество из элементов, состоящее из элементов -элементного множества.

Например, из множества, содержащего три цифры {1; 5; 7}, можно составить следующие размещения из двух элементов без повторений: (1;5),(1;7),(5; 7), (5; 1), (7; 1), (7; 5).

Количество размещений из элементов по обозначается (читается: «А из по », А — первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»). Как видим,

 Выясним, сколько всего можно составить размещений из элементов по без повторений. Составление размещения представим себе как последовательное заполнение мест, которые мы будем изображать в виде клеточек (рис. 126). На первое место мы можем выбрать один из п элементов заданного множества (то есть элемент для первой клеточки можно выбрать способами).

Если элементы нельзя повторять, то на второе место можно выбрать только один элемент из оставшихся, то есть из — 1 элементов. Теперь уже два элемента использованы и на третье место можно выбрать только один из — 2 элементов и т. д. На -e место можно выбрать только один из элементов.

Поскольку требуется выбрать элементы и на первое место, и на второе, …, и на-e, то используем правило произведения, получим следующую формулу числа размещений из элементов по

Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше). Аналогично можно обосновать формулу для нахождения числа размещений с повторениями.

При решении простейших комбинаторных задач важно правильно выбрать формулу, по которой будут проводиться вычисления. Для этого достаточно выяснить следующее:

• — Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
• — Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Если, например, порядок следования элементов учитывается и из заданных элементов в соединении используется только элементов, то по определению — это размещение из элементов по .

Заметим, что после определения вида соединения следует также выяснить, могут ли элементы в соединении повторяться, то есть выяснить, какую формулу необходимо использовать — для количества соединений без повторений или с повторениями.

Примеры решения задач:

Пример №42

На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 х 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение:

Количество способов выбрать из 12 спортсменок четырех для участия в эстафете равно количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), то есть

Комментарий:

Для выбора формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку для спортсменок важно, в каком порядке они будут бежать, то порядок при выборе элементов учитывается. В полученное соединение входят не все 12 заданных элементов. Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 12 элементов по 4 (без повторений, поскольку каждая спортсменка может бежать только на одном этапе эстафеты).

Пример №43

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются.

Решение:

Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть

Комментарий:

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок следования цифр учитывается и не все элементы выбираются (только 3 из заданных семи). Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 7 элементов по 3 (без повторений).

Пример №44

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, если цифры в числе не повторяются.

Комментарий:

Выбор формулы проводится таким же образом, как и в задаче 2. Следует учесть, что если число, составленное из трех цифр, начинается цифрой О, то оно не считается трехзначным. Следовательно, для ответов на вопросы задачи можно сначала из заданных 7 цифр записать все числа, состоящие из 3 цифр (см. пример 2), а затем из количества полученных чисел вычесть количество чисел, составленных из трех цифр, но начинающих цифрой 0. В последнем случае мы фактически будем из всех цифр без нуля (их 6) составлять двузначные числа. Тогда их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2 (см. решение).

Также можно выполнить непосредственное вычисление, последовательно заполняя три места в трехзначном числе и используя правило произведения. В этом случае удобно сделать рассуждения наглядными, изображая соответствующие разряды в трехзначном числе в виде клеточек, например, так:

• 6 возможностей
• 6 возможностей
• 5 возможностей

Решение:

Количество трехзначных чисел, которые можно составить из семи цифр (среди которых нет цифры 0), если цифры в числе не повторяются, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть

Но среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 необходимо исключить те размещения, в которых первым элементом является цифра 0. Их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2, то есть Следовательно, искомое количество трехзначных чисел равно

Пример №45

Решите уравнение

Решение:

Тогда получаем На ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям:

Комментарий:

Уравнения, в запись которых входят выражения, обозначающие количество соответствующих соединений из х элементов, считаются определенными только при натуральных значениях переменной х. В данном случае, чтобы выражение имело смысл необходимо выбирать натуральные значения (в этом случае также существует и, конечно, Для преобразования уравнения используем соответствующие формулы:

Перестановки

Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество из элементов

Напомним, что упорядоченное множество — это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой на втором,…, какой на

Например, переставляя цифры в числе 236 (там множество цифр {2; 3; 6} уже упорядоченное), можно составить такие перестановки без повторений: (2; 3; 6), (2; 6; 3), (3; 2; 6), (3; 6; 2), (6; 2; 3), (6; 3; 2) — всего 6 перестановок*.

Количество перестановок без повторений из элементов обозначается (Р — первая буква французского слова permutation — перестановка). Как видим,

Фактически перестановки без повторений из элементов являются размещениями из элементов по без повторений, поэтому Произведение 1 • 2 • 3 •… • обозначается

!. Поэтому полученная формула числа перестановок без повторений из элементов может быть записана так:

*Отметим, что каждая такая перестановка определяет трехзначное число, составленное из цифр 2,3,6 так, что цифры в числе не повторяются.

Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше).

С помощью факториалов формулу для числа размещений без повторений

можно записать в другом виде. Для этого умножим и разделим выражение в формуле (1) на произведение Получаем

Следовательно, формула числа размещений без повторений из элементов по может быть записана так:

Для того чтобы этой формулой можно было пользоваться при всех значениях в частности, при договорились считать, что

Например, по формуле (2)

Обратим внимание, что в тех случаях, когда значение ! оказывается очень большим, ответы оставляют записанными с помощью факториалов.

Например,

Примеры решения задач:

Напомним, что для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно выяснить следующее:

• — Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
• — Все ли заданные элементы входят в полученное соединение? Если, например, порядок следования элементов учитывается и все п заданных элементов используются в соединении, то по определению это перестановки из п элементов.

Пример №46

Найдите, сколькими способами можно восемь учащихся построить в колонну по одному.

Решение:

Количество способов равно числу перестановок из 8 элементов. То есть

Комментарий:

Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов учитывается и все 8 заданных элементов выбираются, то соответствующие соединения — это перестановки из 8 элементов без повторений. Их количество можно вычислить по формуле.

Пример №47

Найдите количество разных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 3, 7, 9 (цифры в числе не повторяются).

Решение:

Из четырех цифр 0, 3, 7, 9, не повторяя заданные цифры, можно получить перестановок. Перестановки, начинающиеся с цифры 0, не являются записью четырехзначного числа — их количество . Тогда искомое количество четырехзначных чисел равно

Комментарий:

Поскольку порядок следования элементов учитывается и для получения четырехзначного числа надо использовать все элементы, то искомые соединения — это перестановки из 4 элементов. Их количество — . При этом необходимо учесть, что в четырехзначном числе на первом месте не может стоять цифра 0. Таких чисел будет столько, сколько раз мы сможем выполнить перестановки из 3 оставшихся цифр, то есть .

Пример №48

Есть десять книг, из которых четыре — учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение:

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 10, а 7 книг. Это можно сделать способами. В каждом из полученных наборов книг можно выполнить еще перестановок учебников. По правилу умножения искомое количество способов равно

Комментарий:

Задачу можно решать в два этапа. На первом этапе условно будем считать все учебники за 1 книгу. Тогда получим 7 книг (6 не учебников + 1 условная книга — учебник). Порядок следования элементов учитывается и используются все элементы (поставить на полку необходимо все книги). Следовательно, соответствующие соединения — это перестановки из 7 элементов. Их количество — .

На втором этапе решения будем переставлять между собой только учебники. Это можно сделать способами. Поскольку нам надо переставить и учебники, и другие книги, то используем правило произведения.

Сочетания без повторений

Сочетанием без повторений из элементов по называется любое -элементное подмножество -элементного множества.

Например, из множества } можно составить следующие сочетания без повторений из трех элементов:

Количество сочетаний без повторений из п элементов по к элементов обозначается символом (читается: «Число сочетаний из » или «це из », С — первая буква французского слова combinaison — сочетание). Как видим,

Выясним, сколько всего можно составить сочетаний без повторений из элементов по . Для этого используем известные нам формулы числа размещений и перестановок.

Составление размещения без повторений из элементов по проведем в два этапа. Сначала выберем разных элементов из заданного -элементного множества, не учитывая порядок выбора этих элементов (то есть выберем -элементное подмножество из -элементного множества — сочетание без повторений из -элементов по ). По нашему обозначению это можно сделать способами. После этого полученное множество из к разных элементов упорядочим. Его можно упорядочить способами. Получим размещения без повторений из элементов по . Следовательно, количество размещений без повторений из элементов по в раз больше числа сочетаний без повторений из элементов по . То есть Отсюда Учитывая, что по формуле (2) , получаем

Например, совпадает со значением, полученным выше.

Используя формулу (3), можно легко обосновать свойство 1 числа сочетаний без повторений, приведенное в таблице 21.

1) Поскольку

Для того чтобы формулу (4) можно было использовать и при , договорились считать, что. Тогда по формуле (4) .

Если в формуле (3) сократить числитель и знаменатель на, то получим формулу, по которой удобно вычислять при малых значениях :

Например,

Вычисление числа сочетаний без повторений с помощью треугольника Паскаля

Для вычисления числа сочетаний без повторений можно применять формулу (3): , а можно последовательно вычислять соответствующие значения, пользуясь таким свойством:

Для обоснования равенства (6) найдем сумму учитывая, что

, следовательно,

Это равенство позволяет последовательно вычислять значения с помощью специальной таблицы, которая называется треугольником Паскаля. Если считать, что , то таблица будет иметь следующий вид (табл. 23).

Каждая строка этой таблицы начинается с единицы и заканчивается единицей .

Если какая-либо строка уже заполнена, например, третья, то в четвертой строке надо записать на первом месте единицу. На втором месте запишем число, равное сумме двух чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее (поскольку по формуле (6).

На третьем месте запишем число, равное сумме двух следующих чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее, и т. д. (а на последнем месте снова запишем единицу).

Примеры решения задач:

Обратим внимание, что, как и раньше, для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно ответить на вопросы:

1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Для выяснения того, что заданное соединение является сочетанием, достаточно ответить только на первый вопрос. Если порядок следования элементов не учитывается, то по определению это сочетания из элементов по элементов.

Пример №49

Из 12 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение:

Количество способов выбрать из 12 туристов трех дежурных равно количеству сочетаний из 12 элементов по 3 (без повторений), то есть

Комментарий:

Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов не учитывается (для дежурных неважно, в каком порядке их выберут), то соответствующее соединение является сочетанием из 12 элементов по 3 (без повторений). Для вычисления можно использовать формулы (3) или (5), в данном случае применяем формулу (3):

Пример №50

Из вазы с фруктами, в которой лежит 10 разных яблок и 5 разных груш, требуется выбрать 2 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Решение:

Выбрать 2 яблока из 10 можно способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать способами. Тогда по правилу произведения выбор требуемых фруктов можно выполнить способами. Получаем

Комментарий:

Сначала отдельно выберем 2 яблока из 10 и 3 груши из 5. Поскольку при выборе яблок или груш порядок следования элементов не учитывается, то соответствующие соединения — сочетания без повторений.

Учитывая, что требуется выбрать 2 яблока и 3 груши, используем правило произведения и перемножим полученные возможности выбора яблок() и груш ().

Бином Ньютона

Бином Ньютона:

Поскольку то формулу бинома Ньютона можно записать еще и так:

Общий член разложения степени бинома имеет вид

Коэффициенты называют биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых в разложении степени бинома) равно
2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой (поскольку
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна
4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
5. Для вычисления биномиальных коэффициентов можно воспользоваться треугольником Паскаля, в котором вычисления коэффициентов основываются на формуле

Треугольник Паскаля

Степень:

Коэффициенты разложения:

Ориентир:

В каждом ряду по краям стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, находящихся над ним справа и слева Например,

Объяснение и обоснование Бинома Ньютона

Двучлен вида а + х также называют биномом. Из курса алгебры известно, что:

Можно заметить, что коэффициенты разложения степени бинома при совпадают с числами в соответствующей строке треугольника Паскаля. Оказывается, что это свойство выполняется для любого натурального то есть справедлива формула:

Формулу (7) называют биномом Ньютона. Правая часть этого равенства называется разложением степени бинома называют биномиальными коэффициентами. Общий член разложения степени бинома имеет вид

Обосновать формулу (7) можно, например, следующим образом.

Если раскрыть скобки в выражении то есть умножить бином а + х сам на себя раз, то получим многочлен степени относительно переменной х. Тогда результат можно записать так:

Чтобы найти значение подставим в обе части равенства (8) вместо х значение 0. Получаем можем записать:

Чтобы найти сначала возьмем производную от обеих частей равенства (8):

затем, подставив в обе части полученного равенства (9) х = 0, получим: Учитывая, чтоможем записать: Аналогично, чтобы найти возьмем производную от обеих частей равенства (9):

и, подставив х = 0 в равенство (10), получим Тогда Другие коэффициенты находят аналогично. Если продифференцировать раз равенство (8), то получим:

Подставляя в последнее равенство х = 0, имеем

Ориентир:

В каждом ряду по краям стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, находящихся над ним справа и слева

Умножим обе части равенства (11) на и найдем коэффициент

. Подставляя найденные значения

1, 2, …,) в равенство (8), получаем равенство (7).

Записывая степень двучлена по формуле бинома Ньютона для небольших значений п, биномиальные коэффициенты можно вычислять по треугольнику Паскаля (табл. 25, см. также табл. 24).

Например,

Так как формулу бинома Ньютона можно записать в виде:

а учитывая, что, еще и так:

Если в формуле бинома Ньютона (12) заменить х на (-х), то получим формулу возведения в степень разности а — х:

. Например, ( (знаки членов разложения чередуются!).

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых) в разложении -й степени бинома равно + 1, поскольку разложение содержит все степени х от 0 до (и других слагаемых не содержит).

2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой, поскольку

3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2″.

Для обоснования полагаем в равенстве (13) (или в равенстве (7)) значения а = х = 1 и получаем

Например,

4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах,

Для обоснования возьмем в равенстве (13) значения а =1, х = —1. Получаем

Тогда

Примеры решения задач:

Пример №51

По формуле бинома Ньютона найдите разложение степени

Комментарий:

Для нахождения коэффициентов разложения можно использовать треугольник Паскаля или вычислять их по общей формуле. По треугольнику Паскаля коэффициенты равны: 1, 6, 15, 20, 15, б, 1. Учитывая, что при возведении в степень разности знаки членов разложения чередуются, получаем

Для упрощения записи ответа можно избавиться от иррациональности в знаменателях полученных выражений (см. решение) или сначала учесть, что ОДЗ заданного выражения: х > 0, и тогда То есть заданное выражение можно записать так: и возвести в степень последнее выражение.

Решение:

Пример №52

В разложении степени найти член, содержащий

Решение:

► ОДЗ: > 0. Тогда

Общий член разложения:

По условию член разложения должен содержать, следовательно,

. Отсюда

Тогда член разложения, содержащий , равен

Комментарий:

На ОДЗ (b > 0) каждое слагаемое в заданном двучлене можно записать как степень с дробным показателем. Это позволит проще записать общий член разложения степени: (где = 0, 1, 2, …, ), выяснить, какой из членов разложения содержит , и записать его.

Чтобы упростить запись общего члена разложения, удобно отметить, что

Зачем нужна комбинаторика

Для решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики -раздела математики, изучающего методы решения комбинаторных задач — т.е. задач, связанных с подсчетом числа различных комбинаций.

Пусть — элементы конечного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило суммы

Если элемент может быть выбран способами, элемент / способами, …, элемент способами, то выбор одного из элементов может быть осуществлен пспособами.

Пример №53

В группе 30 студентов. Известно, что 5 из них на экзамене по математике получили оценку «отлично», 10 — оценку «хорошо», остальные -«удовлетворительно». Сколько существует способов выбрать одного студента, получившего на экзамене оценку «отлично» или «хорошо»?

Решение:

Студент, получивший оценку «отлично» может быть выбранспособами, оценку «хорошо» — способами. По правилу суммы существует способов выбора одного студента, получившего на экзамене оценку «отлично» или «хорошо».

Правило произведения

Если элемент может быть выбран способами, после этого элемент может быть выбран способами после каждого такого выбора элемент может быть выбран способами, то выбор всех элементов в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Пример №54

В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение:

Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, его заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно = = 24360 способов. ◄

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов (0 ≤ m ≤n). Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по 2 элемента – ab, bc, cd, ba и т.д., по 3 элемента – abc, cbd, cba и т.д.

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m находится по формуле где n! равно произведению n первых чисел натурального ряда, т.е. n! = 1·2·…·n.

Пример №55

Сколько можно записать двузначных чисел, используя без повторения цифры от 1 до 5?

Решение:

В данном случае двузначное число является комбинацией из пяти цифр по две цифры. Поскольку числа отличаются как составом входящих в них цифр, так и порядком их расположения, то в данном случае двузначные числа являются размещениями из пяти цифр по две. Число таких размещений

Если комбинации из n элементов по m отличаются только с о с т а в о м элементов (порядок их расположения не имеет значения), то такие комбинации называют сочетаниями из n элементов по m.

Число сочетаний из n элементов по m находится по формуле

Пример №56

Необходимо выбрать в подарок две из пяти имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

Из смысла задачи следует, что порядок выбора книг не имеет значения. Здесь важен только их состав. Поэтому в данном случае комбинации книг представляют собой сочетания из 5 книг по 2. Число таких комбинаций Если в размещениях из n элементов по m некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения называют размещениями с повторениями из n элементов по m. Число размещений с повторениями равно

Пример №57

Сколько можно записать трехзначных чисел, которые не содержат цифр 0 и 5?

Решение:

В данном случае трехзначное число является комбинацией из восьми цифр (0 и 5 не учитываются) по три цифры. При этом некоторые из цифр (или все) могут повторяться. Поэтому в данном случае трехзначные числа является размещениями с повторениями из восьми цифр по три. Число таких размещений с повторениями Если в сочетаниях из n элементов по m некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m. Число сочетаний с повторениями равно где определяется по формуле (1.6).

Пример №58

В почтовом отделении продаются открытки восьми видов. Сколькими способами можно купить в нем три открытки?

Решение:

Учитывая, что порядок выбора открыток не имеет значения, а важен только их состав, причем некоторые из открыток (или все) могут оказаться одинаковыми, искомое число способов находим по формуле числа сочетаний с повторениями Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения элементов, то такие комбинации называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов находится по формуле

Пример №59

Порядок выступления 5 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение:

Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 5 элементов. Их число равно Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент – раз, k-й элемент – раз, причем, то такие перестановки называют перестановками с повторениями из n элементов. Число перестановок с повторениями равно

Пример №60

Сколько можно составить шестизначных чисел, состоящих из цифр 3, 5, 7, в которых цифра 3 повторяется 3 раза, цифра 5 – 2 раза, цифра 7 – 1 раз?

Решение:

Каждое шестизначное число отличается от другого порядком следования цифр (причем а их сумма равна 6), т.е. является перестановкой с повторениями из 6 элементов. Их число равно