Что такое декремент затухания как его найти

Уже указывалось, что быстрота убывания
амплитуды затухающих колебаний
характеризуется коэффициентом затухания
 , который
зависит от параметров системы. На
практике затухание колебаний удобнее
характеризоватьдекрементом затухания ,
представляющимсобой отношение
двух последовательных амплитуд,
разделенных периодом колебаний Т(см.
рис.2) :

Натуральный логарифм этого отношения,
называемый логарифмическим декрементомзатухания 
, весьма просто связан с коэффициентом
затухания и периодом:

или = 
T . (12)

Удобство использования логарифмического
декремента затухания 
для характеристики затухающих
колебаний заключается в простоте его
экспериментального определения. Если
затухающие колебания зарегистрированы
в виде соответствующего графика
(см.рис.2), то необходимо в любых единицах
измерить две амплитуды колебаний,
разделенные интервалом времени, равным
периоду, и найти натуральный логарифм
их отношения. Определив таким образом
величину и зная периодТ, легко найти и
коэффициент затухания.

3. Вынужденные колебания

3.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Рассмотрим теперь случай, когда в
системе наряду с силами упругости и
трения присутствует некоторая внешняя
сила, препятствующая затуханию колебаний.
Предположим, что эта вынуждающая сила
F_в действует
периодически с круговой частотой_в
и зависит от времени по
закону :F_в = F_оsin_в t
, гдеF_о — амплитуда
вынуждающей силы.

Для этого случая дифференциальное
уравнение (второй закон Ньютона) имеет
вид:

(13)

Сохраняя обозначения к / m=
₀² ,r / m =
2, и обозначивF₀ /m = f₀
приведем уравнение (13) к виду:

sin_в t (14)

Решение этого уравнения представляет
некоторую функцию, которая графически
представлена на рис. 3. Это решение
состоит из двух частей. Одна из них
соответствует неустановившемуся режиму
колебаний, когда их амплитуда зависит
от времени. Вторая часть описывает
установившийся режим колебаний.

В установившемся режиме вынужденных
колебаний смещение х подчиняется
гармоническому закону и происходит с
частотой, равной частоте действия
вынуждающей силы:

х = Аsin(
_в t + _o)
. (15)

Установившаяся амплитуда А вынужденных колебаний, зависит от
параметров системы (частоты собственных
колебаний ₀и коэффициента затухания)
и от характеристик вынуждающей силы
(f₀ и_в):А = f (₀
, , f₀
, _в).
Строгое рассмотрение приводит к следующим
выражением для значенийА и₀, входящих в формулу (15):

(16)

(17)

Из рассматриваемой формулы (16) следует,
что амплитуда достигает максимального
значения А_mах
при определенном соотношении между
величинами₀
, _в
и .

Минимум знаменателя в формуле (16)
достигается при условии:

 _в=_рез
(18)

То есть, амплитуда вынужденных колебаний
максимальна, если частота действия
вынуждающей силы определяется формулой
(18). Явление резкого возрастания
амплитуды вынужденных колебаний при
частоте действия вынуждающей силы,
определяемой формулой (16), называется
резонансом.

Если бы затухание в системе отсутствовало
( = 0),то
резонанс наступал бы при условии(₀
=  _в)
и при этом амплитуда достигала бы
бесконечно большого значения.

Соседние файлы в предмете Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Рассмотрим две важные характеристики колебательных систем в механике и теории электричества и магнетизма: коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Мы остановимся на так называемых затухающих колебаниях – таких колебаниях, амплитуда которых со временем уменьшается из-за потери энергии.

Чаще всего затухание происходит из-за трения — об воздух или поверхность, любую жидкую или газообразную среду, в которую помещено тело. Тело, проплывая в газе или жидкости или скользя по поверхности, передает этой среде внутреннюю энергию из за трения. Собственная суммарная кинетическая и потенциальная энергия при этом уменьшается. Соответственно уменьшается и скорость, а с ней — амплитуда.

Затухающие колебания можно поделить на свободные затухающие колебания и колебания, происходящие под действием внешних сил.

Как определить коэффициент затухания свободных затухающих механических колебаний

Это уравнение имеет решение:

x(t)=A0e−βtcos⁡(ωt+φ)x(t)=A_0e^{-beta t}cos(omega t+varphi)

A0A_0 — амплитуда,

ωomega— циклическая частота,

φvarphi — начальная фаза,

βbeta — коэффициент затухания.

ω=ω02−β2omega=sqrt{omega_0^2-beta^2}

ω02=kmomega_0^2=frac{k}{m}

ω0omega_0 — собственная частота.

Коэффициент затухания βbeta – это величина, обратная времени, за которое амплитуда колебания уменьшилась в ee раз, где ee — основание натуральных логарифмов.

β=1NTbeta=frac{1}{NT}

NN — число колебаний после которых амплитуда уменьшилась в ee раз,

TT — период колебаний,

T=2πωT=frac{2pi}{omega}

Логарифмический декремент затухания свободных затухающих колебаний маятника

Маятник трется об воздух. И, казалось бы, как понять, какую он энергию отдает воздуху? Наверное, тут не обойтись без температуры, давления, плотности газообразной среды, и это долго, сложно, нудно… Может, и так. Но все это укладывается в коэффициент затухания ββ.

Определить логарифмический декремент затухания можно двумя способами — с помощью замеров амплитуды и с коэффициентом затухания. Для первого нужно лишь замерить две последовательные амплитуды. Тогда формула проста:

λ=ln⁡A0e−βtA0e−β(t+T)lambda=lnfrac{A_0e^{-beta t}}{A_0e^{-beta (t+T)}}

Если же известен коэффициент затухания, амплитуда не нужна. Логарифмический декремент затухания будет равен его произведению на период колебаний:

λ=βTlambda=βT

Логарифмический декремент затухания электрического колебательного контура

Колебания в электрическом контуре возникают при отсутствии активного сопротивления в цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор. Ток колеблется туда-сюда. Затухание этих колебаний удивительно похоже на затухание механических колебаний, потому, проведя несколько опытов, ученые пришли к выводу, что у электрического контура есть свой коэффициент затухания, и, соответственно, формула такая же, как для механических колебаний:

λ=βTlambda=βT

Коэффициент затухания вынужденных механических колебаний

Конечно, в вынужденных колебаниях тоже существует затухание. Разница свободных и вынужденных колебаний в существовании добавочной силы, которая возвращает амплитуду к ее начальному значению, не давая маятнику остановиться, т.е. нивелирует работу силы трения.
Уравнение движения такой системы:

md2xdt2=−kx−rv+Fmfrac{d^2x}{dt^2}=-kx-rv+F.

Здесь все величины те же самые, что и в свободных колебаниях, но появляется внешняя сила FF:

F=mF0cos⁡(ωt)F=mF_0cos(omega t).

F0F_0 имеет размерность силы, деленной на массу.

В случае затухающих вынужденных колебаний коэффициентом затухания снова является величина βbeta.

Тест по теме «Коэффициент и логарифмический декремент затухания»

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ

Полезное