Что такое катет как его найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Какую сторону треугольника нужно посчитать?

Гипотенузу

Катет

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Катет — это прилежащая прямому углу сторона треугольника.

Гипотенуза — это сторона треугольника противолежащая прямому углу. Гипотенуза является самой длинной стороной треугольника.

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

a
b
c

c^2 = a^2 + b^2

c — гипотенуза
a — катет
b — катет

Как посчитать сторону прямоугольного треугольника

Гипотенуза:

c = sqrt{a^2 + b^2}

Катеты:

a = sqrt{c^2 — b^2}

b = sqrt{c^2 — a^2}

Проверочные числа

Часто используют удобный приём магии чисел 3, 4, 5. Это ряд чисел попадает под теорему Пифагора.

Так, если взять треугольник с соотношением сторон 3 : 4 : 5

3
4
5

то этот треугольник будет прямоугольным. Доказывается это просто.

Если теорема Пифагора верна:

a^2 + b^2 = c^2

, то размеры такого треугольника подходят к теореме Пифагора:

3^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25

Значит треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным.

Что такое катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике – это основы геометрии

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы подробно поговорим, что такое КАТЕТ и ГИПОТЕНУЗА. Уверены, что еще со школы все знают, что так называют стороны прямоугольного треугольника. И именно с ними связана самая знаменитая теорема в мире – теорема Пифагора.

Но даже тем, у кого в школе по геометрии была твердая «пятерка», могут быть неизвестны некоторые интересные факты. А другим будет полезно освежить забытые знания.

Что такое катет

Катетом называют одну из сторон прямоугольного треугольника. А точнее, две стороны, которые образуют тот самый прямой угол.

На этом рисунке катеты обозначены точками АВ и АС.

Само слово имеет греческие корни. И в переводе «káthetos» означает «отвесный», «опущенный». Этот термин часто использовали в древнегреческой архитектуре. И кстати, в те времена так обозначали именно вертикальную линию, на которую ориентировались при строительстве.

А потому и катетом какое-то время называли только одну сторону прямоугольного треугольника, а именно ту, которая идет вертикально. В нашем случае это сторона АВ. А вот сторона АС называлась «основанием», что собственно выглядит вполне логично, так как именно на этом основание опирается весь треугольник.

Но после решили, что смотреть на фигуру можно под разными углами. А значит, чтобы не возникла путаница, обе стороны стали называть катетами.

Катеты бывают двух видов:

прилежащие к какому-то углу;
противолежащие от какого-то угла.

И все зависит от того, о каком конкретно угле идет речь. Например, рассмотрим этот рисунок. Если возьмем угол в точке В, то прилежащим катетом будет сторона ВС, а противолежащим – АС. А если мы рассматриваем угол в точке А, то прилежащим катетом становится сторона АС, а противолежащим – ВС.

Что такое гипотенуза

Гипотенуза – это последняя и самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она расположена напротив прямого угла и соединяет концы обоих катетов.

Слово «гипотенуза» также имеет греческие корни. И в переводе «upoteiuosa» означает «натянутая». Почему так? Ответ надо искать даже не в Древней Греции, а еще раньше – в Древнем Египте.

Египтяне были весьма искусны в строительстве. Ярким доказательством этого являются Пирамиды – единственное из чудес света, которое сохранилось до наших дней. А ведь они были возведены более 4,5 тысяч лет назад.

Одним из секретов пирамид является то, что у них точно соблюдены пропорции. И в частности все углы строго прямые.

Причем, оптических измерительных приборов, которые используют сейчас, в те времена не было. Поэтому египтяне придумали уникальную технологию:

Они не размечали сразу квадратное или прямоугольное основание, так как был серьезный риск, что противоположные стороны перекосятся. И получится в лучшем случае трапеция, а в худшем — совсем кривая фигура.
Решено было делить фундамент на два прямоугольных треугольника.
Чтобы получить точный прямой угол, использовали три веревки. Одна была разделена на три одинаковых отрезка, другая на 4, а третья на 5. Эти цифры в Древнем Египте считались священными, как и 12 – сумму, которую они давали. Но самое главное если три веревки соединить между собой в форме треугольника, то получится идеальный угол в 90 градусов.
А дальше они просто брали веревки, которые заранее размечены на 3,4 и 5 одинаковых делений. И с помощью колышков закрепляли их так, чтобы они были натянутыми. С помощью таких нехитрых манипуляций удавалось получить идеальный прямой угол.

Этот метод до сих пор называют «египетским треугольником». И он настолько точный, что его с легкостью можно использовать и в современном строительстве.

Кстати, необязательно брать конкретно цифры 3, 4 и 5. Главное, чтобы были соблюдены пропорции. Например, их можно умножить на 2 – получится тогда 6, 8 и 10. Или наоборот, поделить на 2 – выйдет 1,5, 2 и 2,5. И так можно менять как угодно. Если соблюдено основное условие, то угол всегда получится идеально прямым.

Ну, а если вернуться термину «гипотенуза», то теперь легко объяснить, почему эту линию называли «натянутой».

Свойства и признаки прямоугольных треугольников

Если у прямоугольного треугольника катеты имеют равную длину, то он называется равнобедренным. Соответственно, и острые углы у него будут равны.

Признаки равенства треугольников

Также по катетам, гипотенузе и углам можно доказать, что два треугольника равны между собой. Есть разные методы:

По двум катетам
По гипотенузе и одному из катетов
По острому углу и прилегающему к нему катету
По гипотенузе и острому углу

Свойства треугольников

С гипотенузой и катетами связаны и определенные свойства прямоугольных треугольников:

Если у треугольника острый угол равен 30 градусам, то длина противоположного к нему катета равна половине гипотенузы. Это правило действует и в обратном порядке – если катет вдвое меньше гипотенузы, то противоположный угол равен 30 градусам.
Если знать длину обоих катетов, то можно легко вычислить площадь треугольника. Для этого есть формула, в которой
S = (A * B) / 2

где S – площадь, А и В – длины катетов.
Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе, вычисляется по формуле
H = A * B / C

где А и В – длины катетов, С – длина гипотенузы.
Если вокруг прямоугольного треугольника описать окружность, то ее центр будет совпадать с серединой гипотенузы.

Тригонометрические функции

На значениях катетов и гипотенузы строится целый раздел математики, который называется тригонометрией.

В нем 4 основных функции:

Синус – отношение противоположного катета к гипотенузе;
Косинус – отношение прилегающего катета к гипотенузе;
Тангенс – отношение противоположного катета к прилегающему;
Котангенс – отношение прилегающего катета к противоположному.

Эти величины используются не только в геометрии. Они имеют большое значения для физики, архитектуре и астрономии. В частности, с их помощью контролируют движение космических спутников.

Теорема Пифагора

Эта теорема является самой известной в геометрии. И известна она была, кстати, еще задолго до рождения знаменитого греческого математика. Мы уже говорили, что древние египтяне с успехом пользовались треугольником со сторонами 3:4:5. Кстати, по таким же принципам строили и в Вавилоне, и в Китае. А это было за несколько тысяч лет до того, как Пифагор появился на свет.

Тогда почему же эта теорема названа его именем? Все просто – он математически доказал то, что другие до него просто использовали.

История Пифагора достаточно интересна. В 22 года он отправился в египетский Мемфис, где несколько лет изучал геометрию. Именно там он узнал про «магическое» соотношение сторон прямоугольного треугольника. А когда возвращался на родину, попал в плен к царю Вавилона. И находясь в Месопотамии, также активно изучал математику.

Все это и позволило ему в итоге озвучить и доказать свою теорему. Звучала она изначально так:

«Квадрат стороны, которая лежит напротив прямого угла, равен сумме квадратов сторон, которые к нему прилегают»

Ну в наше время ее формулируют еще проще:

«Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы»

Интересно, что документально доказательство теоремы Пифагор нигде не оставил. Или эти бумаги просто не дожили до наших дней. О том, что именно он это сделал, на страницах своих книг говорит другой известный математик – Евклид.

Кстати, сегодня существует более 400 различных доказательств теоремы Пифагора. По этому показателю она даже занесена в книгу рекордов Гиннесса.

Источник

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

В зависимости от видов углов, треугольники разделяют на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Но каким бы ни был тип фигуры, существует закономерность, что сумма всех углов всегда равна 180 градусам. Поэтому как минимум два угла должны быть острыми.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.

К основным свойствам фигуры относят следующее:

гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
два катета являются высотами треугольника;
середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.

Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.

Зная катеты, довольно просто вычислить угол. Нужно всего лишь запомнить, что соотношение сторон между собой равно тангенсу противолежащего угла и котангенсу, находящемуся рядом. При этом, зная любой из углов, найти второй можно простым вычитанием известного значения из девяноста. Высота же у прямоугольника равна косинусу прилежащего угла.

Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй — подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.

Теорема Пифагора и углы

Эта теорема занимает одно из центральных мест в математике. Алгебраическая формулировка её гласит, что в прямоугольнике квадрат длины гипотенузы по своему значению равен сумме квадратов двух прилегающих к ней сторон, то есть катетов. Например, если обозначить гипотенузу буквой c, а катеты а и b, то математически её можно записать в виде формулы: a²+b² = c².

Существует несколько доказательств этой теоремы. Самое простое из них — это использование подобия треугольников. В его основе лежат аксиомы. Пусть имеется геометрическая фигура ABC, у которой вершина C является прямой, то есть её угол равен 90 градусов. Если из точки С опустить высоту, а место пересечения с противолежащей стороной обозначить H, то получится два треугольника. Один будет состоять из вершин AHC, а другой BHC. Эти новые фигуры подобны ABC по двум углам. Следующие выражения будут верными:

BC/AB = HB/BC;
AC/AB = AH/AC.

Приведённые записи эквивалентны равенствам: BC²= AB * HB; AC² = AB * AH. Сложив первую и вторую формулу, получается: BC² + AC² = AB * (HB + AH) = AB². Что и следовало доказать.

Используя это фундаментальное правило и свойство, что катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, проводят множество расчётов, связанных с вычислением длин сторон. Для доказательства, что AC = BC/2, приводят следующие рассуждения.

Так как вершина B равна 30 градусам, то, согласно правилу, разворот С должен составлять C =30*2 = 60 градусов. К имеющемуся треугольнику можно приложить точно такую же фигуру, делая сторону AB центром симметрии. Тогда для многоугольника BCD будет справедливо, что B = D = 60º. Исходя из этого можно утверждать, что DC = BC. Но, так как AC = ½ DC, то соответственно AC = ½ BC.

Но не всегда известны все данные, необходимые для нахождения длины катета по приведённым теоремам. Поэтому для вычисления катетов используются и тригонометрические соотношения.

Тригонометрические формулы

Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника используют простые формулы. Для их применения нужно знать значение любой из сторон и величину разворота произвольной вершины. Существует четыре способа, позволяющих найти катет с использованием тригонометрических правил:

В основе лежит аксиома, что синус находится из отношения противолежащего катета к гипотенузе. Например, пусть известно что длина гипотенузы составляет 100 сантиметров, а вершина A имеет разворот равный 30 градусам. Используя тригонометрические таблицы, можно утверждать, что синус угла A составляет ½. Учитывая преобразованное выражение, находят катет: a = 100 / 2 =50 (см). Таким образом, синус острого угла численно равен отношению одного из катетов, деленного на гипотенузу: sin A = BC/AB.
Используется правило, что косинус в прямоугольнике представляет собой отношение прилежащего катета к прямому углу и гипотенузе: cosA = AC/AB. Например, пусть разворот вершины C равен 60 градусам, а гипотенуза равна 100 сантиметрам. Согласно тригонометрической таблице, угол в 60 градусов равен ½. Подставив это значение в формулу, можно найти значение катета: a=cos∠C*a; b=½*100=50 сантиметров.
Тангенс угла можно вычислить, разделив значение длины противолежащего катета к прилежащему. Математическая формула этого утверждения имеет вид: tg = BC/AC. Катет многоугольника может быть найден как b = tg * a. Например, известно, что у фигуры один из углов равен 45 градусов, а длина гипотенузы составляет 100 сантиметров. Так как тангенс 45 градусов равен единице, то ответом на задачу будет: a = 1*100 = 100 сантиметров.
Котангенс определяется из соотношения прилежащего катета к противолежащему. Фактически это величина, обратная тангенсу: ctg = AC/BC. Например, пусть разворот угла A составляет 30 градусов, а длина катета, находящегося напротив него, равняется 50 сантиметрам. Котангенс 30 градусов соответствует корню из трёх. Подставив в формулу известные данные, можно вычислить неизвестный катет: b =50√3 сантиметров.

Зная, как выглядят тригонометрические формулы и содержание двух теорем, вычислить значение катета можно будет в большинстве поставленных задач.

Типовые примеры

Для решения задач на нахождение катета не нужно обладать какими-то особенными знаниями. Нужно просто внимательно проанализировать условие. Например, пусть известно, что в прямоугольнике один катет длиннее другого на пять сантиметров. При этом площадь фигуры равняется 84 сантиметрам в квадрате. Необходимо определить длины сторон и периметр.

Так как в условии дана площадь, то при решении необходимо отталкиваться от неё. Известно, что площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: S = AC*CB/2. Это выражение является частным случаем общей формулы для нахождения площади любого треугольника, где: AC — это высота, а CB — основание. Если принять, что AC равно X, то, согласно условию, длина CB будет составлять x+5.

Исходя из этого, площадь треугольника будет равна: S = (x*(x+5))/2. Подставив вместо S заданное значение, можно получить квадратное уравнение: x2 + 5x — 84 = 0. Решать его лучше методом детерминанта. Корнями уравнения будут -12 и 7. Так как -12 не удовлетворяет условию задачи, то верным ответом будет семь.

Длина второго катета равняется семи сантиметрам. Первого: AC = 7−5 = 2 см. Зная оба катета, по теореме Пифагора можно найти гипотенузу: c = (22 + 72)½ = (4+49)½ = 531/2 = 7,3 см. Найдя длины всех сторон, можно без усилий найти периметр обыкновенным сложением: P = 2+7+7,3 = 16,3 см. Задача решена.

Довольно интересные, но в то же время простые задачи на нахождение сторон и углов при известной длине гипотенузы и значения разворота одной из вершин. Пусть имеется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза BC равняется пяти сантиметрам, а угол между ней и катетом составляет 60 градусов. Нужно определить все остальные стороны и углы.

Так как известна гипотенуза и острый угол, то, воспользовавшись тригонометрическими формулами, можно найти длины катетов: AC=BC*sin60 = 5*(3)^½/2; AB=BC*cos60 = 5/2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, так как один из них прямой, а второй задан и составляет 60 градусов, то третий находится путём вычитания C = 180 — (90 + 60) = 30.

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):

длины катетов a и b
длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

для катета:

длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Катет прямоугольного треугольника

Определение и формула катета прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Катетом прямоугольно треугольника называется сторона, прилежащая к прямому углу данного треугольника.

Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

На рисунке 1 изображен прямоугольный треугольник (
mathrm{ABC}
) с катетами (
mathrm{AB}
) и (
mathrm{AC}
).

Для катетов прямоугольного треугольника можно сформулировать следующие утверждения:

Каждый из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы:

Катет, лежащий против угла (
30^{circ}
) , равен половине гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора):
(
A C^{2}+A B^{2}=B C^{2}
)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В прямоугольном треугольнике (
mathrm{ABC}
) гипотенуза (
mathrm{BC=10 см}
), а катет (
mathrm{AB}
) на 2 см больше катета (
mathrm{AC}
). Найти неизвестные стороны треугольника.

Решение

Пусть длина катета (
mathrm{AC}
) равна (
mathrm{x}
) см, тогда длина катета (
mathrm{AB}
) равна (
mathrm{(x+2) см}
). Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения неизвестных сторон:

(
A C^{2}+A B^{2}=B C^{2}
)

(
x^{2}+(x+2)^{2}=10^{2}
)

(
2 x^{2}+4 x-96=0
)

откуда (
x_{1}=-8
) и (
x_{2}=6
) По условию задачи подходит только второе значение. Получаем, что (
mathrm{AC=6 см}
), а (
mathrm{AB=6+2=8 см}
).

Ответ

(
mathrm{AC=6 см}
), (
mathrm{AB=8} см
)

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике (
mathrm{ABC}
) с (
angle A=90^{circ}, A B=4
) см и (
mathrm{BC=8 см}
) найти величину угла (
mathrm{B}
).

Решение

Треугольник (
mathrm{ABC}
) – прямоугольный, поскольку (
angle A=90^{circ}
) Сторона (
mathrm{AB}
) – катет, сторона (
mathrm{BC}
) – гипотенуза. Как видно из условия, катет (
mathrm{AB}
) равен половине гипотенузы, а значит, он лежит против угла (
30^{circ}
) т.е. (
angle C=30^{circ}
) Тогда по теореме о сумме углов треугольника имеем, что

(
angle B=180^{circ}-90^{circ}-30^{circ}=60^{circ}
)

Ответ

(
angle B=60^{circ}
)

Источник

Теорема Пифагора

Как посчитать сторону прямоугольного треугольника

Проверочные числа

Похожие калькуляторы:

Что такое катет

Что такое гипотенуза

Свойства и признаки прямоугольных треугольников

Признаки равенства треугольников

Свойства треугольников

Тригонометрические функции

Теорема Пифагора

Понятия и определения

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора и углы

Тригонометрические формулы

Типовые примеры

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Формула

Пример

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти гипотенузу по двум углам

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Формула

Пример

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Формула

Пример

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Формула

Пример

См. также

Катет прямоугольного треугольника