Что такое минимум функции как найти

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции;
• область значений функции;
• нули функции;
• промежутки возрастания и убывания;
• точки максимума и минимума;
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Максимум и минимум функции

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Одним из этапов исследования функции является нахождение экстремумов заданной функции, другими словами, максимума и минимума функции.

Определение 1

Некоторая точка называется точкой минимума заданной функции $y=f(x)$, если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)ge f(x_{0} )$, $x_{0} $ — точка минимума.

Определение 2

Некоторая точка называется точкой максимума заданной функции $y=f(x)$, если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)le f(x_{0} )$, $x_{0} $ — точка максимума.

Точки экстремума показаны на рис.

Рисунок 1.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 1

Функция вида $y=ax^{2} +bx+c$ (парабола) имеет на области определения:

• минимум, если $a>0$;
• максимум, если $a

Экстремум параболы, рассматриваемой на всей области определения, совпадает с ее вершиной (рис.).

Рисунок 2.

Значения заданной функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом заданной функции.

Экстремумы функции делятся на:

• локальный экстремум;
• глобальный экстремум.

Определения 1 и 2 относятся к локальным экстремумам: локальный минимум и локальный максимум.

Наименьшее и наибольшее значения заданной функции на некотором промежутке являются глобальными экстремумами.

Примечание 1

Глобальные экстремумы могут достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума определяется следующей теоремой.

«Максимум и минимум функции» 👇

Теорема 1

Если заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум в некоторой точке $x_{0} $, то ее производная $f'(x)$ в данной точке либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия экстремума определяются следующими теоремами.

Теорема 2

Первое условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_{0} $;
2. $f'(x)$ при $x=x_{0} $ равна нулю или $f'(x)$ не существует;
3. производная $f'(x)$ при переходе через данную точку $x_{0} $ меняет знак.

Тогда в точке $x=x_{0} $ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем он является минимумом, если при переходе через точку $x_{0} $ производная меняет знак с «-» на «+»; является минимумом, если при переходе через точку $x_{0} $ производная меняет знак с «+» на «-».

Теорема 3

Второе условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_{0} $;
2. $f'(x)$ при $x=x_{0} $ равна нулю;
3. $f»(x)$ при $x=x_{0} $ не равна нулю.

Тогда в точке $x=x_{0} $ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем, если $f»(x)>0$ при $x=x_{0} $, то в данной точке заданная функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f»(x)

Примечание 2

Если $f'(x)$ при переходе через точку $x_{0} $ не меняет свой знак, то в данной точке экстремума нет.

Алгоритм исследования заданной функции на экстремум включает следующие этапы:

• нахождение производной $f'(x)$;
• нахождение критических и стационарных точек, т.е. точек, в которых производная не существует или равна нулю;
• исследовать знак $f'(x)$на промежутках с помощью числовой прямой;
• определение экстремумов;
• нахождение значения заданной функции в точках экстремума.

Пример 2

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=2x^{3} +12$.

Решение:

1. Найдем первую производную заданной функции: $y’=(2x^{3} +12)’=6x^{2} $.

2. Найдем критические и стационарные точки:

[y'(x)=0;, 6x^{2} =0;, , , x=0.]

1. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:

Рисунок 3.

1. Так как производная заданной функции не меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке нет ни максимума, ни минимума.

График заданной функции приведен на рис.

Рисунок 4.

Пример 3

Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: $y=2x^{2} +12x$.

Решение:

1. Найдем первую производную заданной функции: $y’=(2x^{2} +12x)’=4x+12$.

2. Найдем критические и стационарные точки:

[y'(x)=0;, 4x+12=0;, , , x=-3.]

1. Исследуем знак $f'(x)$ с помощью числовой прямой:

Рисунок 5.

1. $x=-3$ — точка минимума

2. $y(-3)=2cdot (-3)^{2} +12cdot (-3)=2cdot 9-36=18-36=-18$

График заданной функции приведен на рис.

Рисунок 6.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 17.02.2023

Точка

называется
точкой
максимума функции

,
если существует такая

-окрестность
точки

,
что для всех

из
этой окрестности выполняется неравенство

.

Аналогично
определяется точ­ка минимума функции:

— точ­ка
минимума
функции,
если

.
На рисунке 6.6

—
точ­ка минимума, а точка

—
точка максимума функции

.

Значение
функции веточке мак­симума (минимума)
называется максимумом
(минимумом)
функ­ции.
Максимум (минимум) функции называется
экстремумом
функ­ции.

Понятие
экстремума всегда связано с определенной
окрестностью точки из области определения
функции. Поэтому функция может иметь
экстремум лишь во
внутренних точках
области
определения. Рассмотрим условия
существования экстремума функции.

Теорема
6.8 (необходимое условие экстремума).
Если
диффе­ренцируемая функция

имеет экстремум в точке

,
то
ее производная в этой точке равна нулю:

.

Доказательство.
Пусть, для определенности,

— точка максимума. Значит, в окрестности
точки

выполняется неравенство

.
Но
тогда

,
если

,
и

,
если

.
По условию теоремы производная

существует.
Переходя к пределу, при

,
получим

,
если

,
и

,
если

.
Поэтому

.
Аналогично доказывается утверждение
теоремы 6.8,
если

— точка минимума функции

.

Геометрически
равенство

означает,
что в точке экстре­мума дифференцируемой
функции

касательная
к ее графику, параллельна оси

см.
рис. 6.6).

Отметим,
что обратная теорема неверна, т. е. если

,
то это не значит, что

— точка экстремума. Например, для функции

Рис. 6.6

ее
производная

равна
нулю при

,
но

не
точка экстремума (см. рис. 6.7).

Рис.
6.7

Существуют
функции, которые в точках экстремума
не имеют про­изводной. Например,
непрерывная функция

в
точке

про­изводной
не имеет, но точка

—
точка минимума (см. рис. 6.8).

Рис.
6.8

Таким
образом, непрерывная функция может
иметь экстремум лишь в точках, где
производная функции равна нулю или не
суще­ствует. Такие точки называются
критическими.

Теорема
6.9 (достаточное условие экстремума).
Если
непрерыв­ная функция

дифференцируема в некоторой

-окрестности
критической точки

и
при
переходе через нее (слева направо)
про­изводная

меняет
знак с
плюса на минус, то

есть
точка мак­симума; с минуса на плюс, то

— точка минимума.

Доказательство.
Рассмотрим

-окрестность
точки

.
Пусть
выполняются условия:

и

.
Тогда
функция

возрастает на интервале

,
а
на интервале

она
убывает. Отсюда следует, что значение

в
точке

является наибольшим на интервале

,
т.
е.

для всех

.
Это и
означает,
что

—
точка максимума функции.

Графическая
интерпретация доказательства теоремы
6.9 предста­влена на рисунке 6.9.

Аналогично
теорема 6.9 доказывается для случая,
когда

и

.

Рис.
6.9

Исследовать
функцию на экстремум означает найти
все ее экстремумы. Из теорем 6.8 и 6.9
вытекает следующее правило исследования
функции на экстремум:

1. найти
   критические точки функции

   ;

2. выбрать
   из них лишь те, которые являются
   внутренними точ­ками области
   определения функции;

3. исследовать
   знак производной

   слева
   и справа от каждой из выбранных
   критических точек;

4. в
   соответствии с теоремой 6.9 (достаточное
   условие экстрему­ма) выписать точки
   экстремума (если они есть) и вычислить
   значения функции в них.

Пример
6.9. Найти
экстремум функции

.

Решение:
Очевидно,

.
Находим

,
т.е.

.

Производная
не существует при

и
равна нулю при

.
Эти точки разбивают всю область
определения данной функции на три
интервала

,

,

.
Отметим на рисунке 6.10 знаки произ­водной
слева и справа от каждой из критических
точек.

Рис. 6.10

Следовательно,

—
точка максимума,

,
и

— точка минимума,

.

Иногда
бывает удобным использовать другой
достаточный признак, существования
экстремума, основанный на определении
знака второй производной.

Теорема
6.10. Если
в точке

первая производная функции

равна нулю (
),
а
вторая производная в точке

существует и отлична от нуля (
),
то
при

в
точке

функция имеет максимум и минимум — при

.

Доказательство.
Пусть для определенности

.
Так как

,

то

в достаточно малой окрестности точки

.
Если

,
то

;
если

,
то

.

Таким
образом, при переходе через точку

первая
производная меняет знак с минуса на
плюс. Следовательно, по теореме 6.9,

есть
точка минимума.

Аналогично
доказывается, что если

,
то в точке

функ­ция имеет максимум.

Рис.
6.11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #