Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения
Содержание:
- Допустимые и недопустимые значения переменных
- Что такое ОДЗ
-
Как найти ОДЗ: примеры, решения
- Общие принципы нахождения области допустимых значений
- Примеры нахождения ОДЗ
- Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
-
Функции, для которых важна ОДЗ
- ОДЗ обратной зависимости
- ОДЗ степенной функции
- ОДЗ показательной функции
- ОДЗ логарифмической функции
- ОДЗ тригонометрических функций
Допустимые и недопустимые значения переменных
Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».
Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.
Например, для функции обратной пропорциональности (y=frac1x) допустимыми значениями для переменной x будут: 1; 2,7; -5, (sqrt{126}), — в общем, все действительные числа. При подстановке их на место x, функция принимает конкретное значение. Исключениями из этого перечня будут 0, (-infty )и (+infty), так как когда x принимает такие значения, функция не имеет смысла.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Что такое ОДЗ
Область допустимых значений (область определения) функции — совокупность всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. Для примера из предыдущего пункта, (y=frac1x), область допустимых значений будет иметь следующий вид: ((-infty;;0)cup(0;;+infty)). Это значит, что в область определения функции ( y=frac1x) входят все числа в промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.
У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — (cup) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.
Как найти ОДЗ: примеры, решения
Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.
Общие принципы нахождения области допустимых значений
- деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: (y=frac50;)
- извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: (y=sqrt{-11};)
- возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: (y=0^{-3};;y=0^0;;y=({-7}^{textstylefrac32});;y=({-6}^{-{textstylefrac17}});)
- нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры:( y=log_3left(-9right);;y=log_2left(0right);;y=log_{-4}left(64right);;y=log_1left(5right);)
- тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0.
Арксинус и арккосинус могут быть определены только в промежутке от -1 до 1 включительно — (lbrack-1;;1rbrack.)
Примеры нахождения ОДЗ
Пример №1. Найти область определения функции (y=sqrt{1-x^2})
Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: (1-x^2geq0Rightarrow1geq x^2Rightarrow x^2leq1)
Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:
(x^2leq1Rightarrowsqrt{x^2}leqsqrt1Rightarrowleft|xright|leq1)
Раскроем модуль согласно правилу:
(left|xright|leq1Rightarrow-1leq xleq1)
Из этого следует, что область допустимых значений функции (y=sqrt{1-x^2}) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: (xinlbrack-1;;1rbrack)
Пример №2. Найти ОДЗ функции (y=lgleft(xright))
(lgleft(xright)) является краткой формой записи десятичного логарифма (log_{10}left(xright)). Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции (y=lgleft(xright)) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до (+infty). Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: (xin(0;;+infty)).
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.
Функции, для которых важна ОДЗ
Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная (y=kcdot x+b) или квадратичная (y=acdot x^2+bcdot x+c) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.
ОДЗ обратной зависимости
Функция обратной пропорциональности (y=frac kx) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: (xin(-infty;;0)cup(0;;+infty).)
ОДЗ степенной функции
Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:
- при n>0 и (ninmathbb{Z}), то есть n — целое положительное число: ( xin(-infty;;+infty);)
- для n>0, причем n — дробное число: ( xinlbrack0;;+infty);)
- для n=0:( xin(-infty;0)cup(0;;+infty);)
- при n<0 и (ninmathbb{Z}: xin(-infty;;0)cup(0;;+infty);)
- для n<0, причем n — дробное число: (xin(0;;+infty).)
ОДЗ показательной функции
Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:
- для a>0: (xin(-infty;;+infty);)
- для a=0: (xin(0;;+infty);)
- для a<0: (xin(-infty;;+infty)), причем x должен быть целым числом.
ОДЗ логарифмической функции
Логарифмическая функция (y=log_aleft(xright)) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: (xin(0;;+infty).)
ОДЗ тригонометрических функций
Как уже упоминалось выше, для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса область допустимых значений включает в себя все действительные числа: (xin(-infty;;+infty)). Рассмотрим ОДЗ еще четырех тригонометрических функций:
- тангенс: (xin(-infty;;frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n)cup(frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
- котангенс: (xin(-infty;;mathrmpicdotmathrm n)cup(mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
- арксинус и арккосинус: (xinlbrack-1;;1rbrack.)
ОДЗ. Зачем, когда и как?
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Шамшурин А.В. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»
Гагарина Н.А. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся – 28. Справились – 14 %, опасность ОДЗ (учли) – 68 %, необязательность (учли) – 36 %.
Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
- Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
- Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ[4].
Глава 1
Что такое ОДЗ?
ОДЗ — это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
- Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю , ОДЗ:f(x)
- Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю , ОДЗ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
- Определите вид запрета.
- Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
- Исключить эти значения из множества действительных чисел R[6].
Решить уравнение: =
|
Без ОДЗ |
С ОДЗ |
|
= = х-9=1-х х+х=9+1 2х=10 х=5 Ответ: х=5 Оценка 2 |
= ОДЗ: => => Ответ: корней нет Оценка 5 |
Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак[7].
Дополнительные уравнения:
а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2 [5]
Глава 2
ОДЗ. Зачем? Когда? Как?
Область допустимых значений – есть решение
- ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
- + =2
ОДЗ: х 0
0, уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) + =5; б) + =23х-18; в) =0[6].
- В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
- +
ОДЗ: х=2, х=3
Проверка: х=2, + , 0<1, верно
Проверка: х=3, + , 0<1, верно.
Ответ: х=2, х=3[8].
- > ОДЗ: х=1,х=0
Проверка: х=0, > , 0>0, неверно
Проверка: х=1, > , 1>0, верно
Ответ: х=1.
- + =х ОДЗ: х=3
Проверка: + =3, 0=3, неверно.
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) = ; б) + =0; в) + =х -1[5]
Опасность ОДЗ
Заметим, тождественные преобразования могут:
- не влиять на ОДЗ;
- приводить к расширенному ОДЗ;
- приводить к сужению ОДЗ.
Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.
Давайте поясним каждый случай примером.
1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x2+11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
2) Возьмем уравнение x+ — =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).
3) Возьмем выражение . ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪[5, +∞). А теперь преобразуем исходное выражение к виду . ОДЗ переменной x для этого выражения определяет система линейных неравенств , решение которой дает множество [5, +∞). Таким образом, в результате проведенного преобразования произошло сужение ОДЗ с множества (−∞, 2]∪[5, +∞) до множества [5, +∞)[9].
Решим уравнение:
а) 3х+ = +15. Перенесём дробь
ОДЗ: х-5 0, х 5
3х+ — =15
х=5, 5 ОДЗ. Ответ: корней нет.
б) =0 х-х=0 =0. Снова ловушка!
ОДЗ: х-3 0, х 3. Ответ: х-любое число, кроме х=3.
в) , ОДЗ: х .
Сокращение дробей даёт =0, х=0. Ловушка! Ответ: корней нет[6].
Дополнительные примеры: а) =0, б) =0;
в) 214х+ = +642, г) + =92[5].
Вывод. Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения. Самый верный шаг – найдите сразу ОДЗ[2].
Необязательность ОДЗ
Решим уравнение:
а) — =2
=2+ , f(x)= — убывает, g(x)=2+ — возрастает
Значит, уравнение имеет не более одного корня. Решаем методом подбора: х=-1. Ответ: х=-1.
б) =13-х, f(x)= — возрастает, g(x)= 13-х – убывает, значит, уравнение имеет не более одного корня. Решаем методом подбора: х=11.
ОДЗ: х-7≥0 х≥7
Квадратный корень всегда неотрицателен, значит 13-х>0.
Ответ: х=11.
в) + =0
Так как система, достаточно решить одно из уравнений и проверить, подставив во второе.
х +3х-4=0 а+в+с=0 х =1, х = , значит х =-4
х=1: 1 +12 1 -11 1-2=0
х=-4: (-4) +12 (-4) -11 (-4)-2 0. Ответ: х=1.
Вывод: нахождение ОДЗ не всегда является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно — и всё это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. Но я согласен с тем, что на уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере[3].
Нестандартные уравнения
1)|х+4|=2х-10 ОДЗ: 2х-10 0, х 5
|
х+4=2х-10 |
-х-4=2х-10 |
|
х-2х=-10-4 -х=-14 х=14 |
-х-2х=4-10 -3х=-6 х=2, 2 ОДЗ |
Ответ: х=14.
2) — =23х-18 ОДЗ:
Так как полученная система решений не имеет, то область решений не имеет, таким образом, область определения уравнения не содержит ни одного корня, значит, данное уравнение не имеет корней[8].
3) + = — ОДЗ: х
— = =
+ =
f(x)= + — возрастает , g(x)= — убывает
(так как если h(x) возрастает, то — убывает).
Уравнение имеет не более одного корня. Метод подбора. Ответ: х=2[4].
4) + + + =2
ОДЗ: х=2,х=0. Подставляем числа 2 и 0 в уравнение.
+ + + =2, 2=2
+ + + .
Ответ: х=2[4].
Глава 3
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
Было дано 10 уравнений, 2 неравенства. Количество учащихся – 28. Справились — 14 %, опасность ОДЗ(учли) – 68 %, необязательность (учли)-36%.
|
ОДЗ -решение |
Опасность ОДЗ |
Необязательность ОДЗ |
Нестандартные уравнения и неравенства |
|
|
Иррациональные уравнения |
61% |
68% |
82% |
43% |
|
Дробные уравнения |
69% |
89% |
86% |
50% |
|
Неравенства |
50% |
89% |
82% |
64% |
|
Уравнения, содержащие модуль |
86% |
96% |
43% |
61% |
Заключение
Тема работы раскрыта. Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ – раскрыта. В исследовательской работе рассмотрены уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для выпускников хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Задачи, поставленные в работе, решены. Разобраны стандартные и нестандартные уравнения и неравенства. Проведена практическая работа по теме «ОДЗ. Когда? Зачем и как?» И подведены итоги. Полученные читателями, знания и навыки помогут им решить вопрос- искать ОДЗ или не надо?[10]
Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.
Овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ[4].
Литература
М.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966.
- Газета «Математика» №17. 2002.
- Г.И. Глейзер «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982.
- Л.О. Денищева и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» — М.: «Интеллект-центр», 2009.
- [Электронный ресурс]/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
- Область допустимых значений – есть решение [Электронный ресурс]/Режим доступа: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html
- ОДЗ – область допустимых значений, как найти ОДЗ [Электронный ресурс]/Режим доступа: cleverstudents.ru›expressions/odz.html
- Область допустимых значений: теория и практика [Электронный ресурс]/Режим доступа: pandia.ru›text/78/083/13650.php
- Что такое ОДЗ [Электронный ресурс]/ Режим доступа: www.cleverstudents.ru›odz.html
- Что такое ОДЗ и как его искать — объяснение и пример. Электронный ресурс]/ Режим доступа: cos-cos.ru›math/82/
Приложение 1
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
= 0 |
|
|
9х+ = + 27 |
≤ + |
|
+ = –1 |
|
|
│х+14│= 2 – 2х |
= |
|
8х + = – 32 |
|
|
≥ + |
+ = 1 |
|
= 0 |
│3-х│=1 – 3х |
Приложение 2
Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Ответ: корней нет |
ОДЗ: х 5 Ответ: х-любое число, кроме х=5 |
|
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет |
≤+ ОДЗ:→ ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5. |
|
+=-1 у= –убывает, у= –возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6. |
ОДЗ: → →х≥5 → Ответ:х≥5, х≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ Ответ:-4 |
= – убывает, –возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет. |
|
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2 |
8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет. |
|
≥+ ОДЗ:→ х=7, х=1. Ответ: решений нет |
+=1 — возрастает, — убывает Ответ: х=2. |
|
=0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15. |
│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1. |
Просмотров работы: 7840
Область допустимых значений (ОДЗ) – это все значения переменной, при которых не нарушаются правила математики.
Например:
— если в выражении (frac{x}{x-1}) значение переменной будет равно 1, нарушается правило: на ноль делить нельзя. Поэтому здесь (x) не может быть единицей и ОДЗ записывается так: (xneq1);
— если в выражении (sqrt{x-2}) значение переменной равно (0), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь (x) не может быть (0), а также (1, -3, -52,7) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: (xgeq2);
— а вот в выражение (4x+1) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь — вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.
Как найти ОДЗ?
Если переменная (икс) в уравнении или неравенстве стоит в знаменателе, логарифме, под корнем, в тангенсе или котангенсе ОДЗ записать нужно.
В квадратных и линейных уравнениях
(неравенствах) ОДЗ писать не нужно. В иррациональных, дробно-рациональных, логарифмических, а также тригонометрических
с тангенсом
и котангенсом
— ОДЗ обязательно. В уравнениях с синусом и косинусом — если нет знаменателей или других «отягощающих» функций — ОДЗ не записывают.
Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.
Пример: Решить уравнение (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3})
Решение:
| Без ОДЗ: | С ОДЗ: | |
| (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3}) | (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3}) | |
|
ОДЗ: (x+3≠0) (⇔) (x≠-3) |
||
| (x^2-x=12) | (x^2-x=12) | |
| (x^2-x-12=0) | (x^2-x-12=0) | |
| (D=(-1)^2-4·1·(-12)=49) | (D=(-1)^2-4·1·(-12)=49) | |
| (x_1=)(frac{-(-1) + sqrt{49}}{2·1})(=4) | (x_2=)(frac{-(-1) + sqrt{49}}{2·1}) (=4) | |
| (x_1=)(frac{-(-1) — sqrt{49}}{2·1})(=-3) | (x_2=)(frac{-(-1) — sqrt{49}}{2·1})(=-3) — не подходит под ОДЗ | |
| Ответ: (4; -3) | Ответ: (4) |
Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.
(frac{(-3)^2-(-3)}{(-3)+3})(=)(frac{12}{(-3)+3})
(frac{12}{0})(=)(frac{12}{0})
Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения — не существуют. Таким образом, «(-3)» – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.
Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!
Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.
Пример: Найдите область определения выражения (sqrt{5-2x}+)(frac{1}{sqrt{14+5x-x^{2}}})
Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу. Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым — больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?
| (begin{cases}5-2xgeq0\14+5x-x^{2} > 0end{cases}) |
Дело за малым, нужно решить систему неравенств. |
| (begin{cases}-2xgeq-5\x^{2}-5x-14 < 0end{cases}) |
Поделим первое неравенство на (-2). |
| (begin{cases}xleq2,5\(x-7)(x+2) < 0end{cases}) |
Отметим все корни первого неравенства на числовой оси. |
|
Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса. |
Ответ: ((-2;2,5])
Скачать статью
ОДЗ (Область допустимых значений) — подробнее
Давай разберем пример, наглядно показывающий, что такое ОДЗ:
Решим уравнение ( displaystyle sqrt{2x+3}=x).
Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения».
Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:
( displaystyle 2x+3={{x}^{2}}text{ }Leftrightarrow text{ }{{x}^{2}}-2{x}-3=0).
Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл, что это такое, – посмотри тему «Квадратные уравнения»).
Получаем корни:
( displaystyle left[ begin{array}{l}x=3\x=-1end{array} right.)
Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:
( displaystyle x=3:text{ }sqrt{2cdot 3+3}=3text{ }Leftrightarrow text{ }sqrt{9}=3) – все верно.
( displaystyle x=-1:text{ }sqrt{2cdot left( -1 right)+3}=-1text{ }Leftrightarrow text{ }sqrt{1}=-1) – неверно! А все почему?
Да потому, что мы не учли ОДЗ!
По определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным.
Значит, глядя на уравнение ( displaystyle sqrt{2x+3}=x) мы должны сразу же написать:
( displaystyle left{ begin{array}{l}xge 0;\2x+3ge 0.end{array} right.)
Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что ( displaystyle 2x+3={{x}^{2}}), а значит – автоматически неотрицательно.
Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:
( displaystyle xge 0).
Тогда сразу становится ясно, что корень ( displaystyle x=-1) не подходит. И остается единственный ответ ( displaystyle x=3).
Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они со своими ОДЗ в удобной табличке.
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Область допустимых значений (ОДЗ) — важное математическое понятие, которое нужно учитывать при решении выражений с переменными, поскольку на практике часто можно столкнуться с выражениями, значения которых вычислить невозможно (например, $1:a$ при $a=0$). Поэтому существует термин «выражение, имеющее смысл при заданных значениях переменных». Он означает, что при данных значениях переменных выражение можно вычислить. Напротив, выражение не имеет смысла, если на данном множестве переменных нельзя найти его значение.
Определение 1
Область допустимых значений — множество переменных, при которых выражение имеет смысл. Значения переменных, при которых выражение теряет смысл, называют недопустимыми.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Когда выражение содержит две, три, и большее число переменных, можно говорить о парах, тройках и т.п. допустимых значений. Рассмотрим, например, выражение
$frac{1}{x — y + z}$
со значениями $x=0$, $y=1$, $z=2$. Здесь мы имеем дело с тройкой переменных, которую можно обозначить как $(0, 1, 2)$. Эта совокупность является допустимой, поскольку в данном случае можно найти значение выражения:
$frac{1}{0 — 1 + 2} = 1$
Тройка же (1, 2, 1) недопустима, поскольку при подстановке значений в выражение в знаменателе окажется ноль.
Для выражения $frac{6}{x — 4}$ ОДЗ можно выразить как $(−∞, 4)∪(4, +∞)$, т.е. объединение числовых открытых множеств от отрицательной бесконечности до $4$ и от $4$ до бесконечности. Иными словами, как множество всех действительных чисел за исключением числа $4$.
ОДЗ можно определить не только через множества, но и через уравнения и неравенства, например $frac{z}{x — y}$, где ОДЗ $x neq y$ при произвольном $z$.
Следует иметь в виду, что термины «ОДЗ» и «область определения» не совпадают по смыслу. Область определения относится к функциям, а область допустимых значений — к выражениям с переменными. Однако при этом справедливо утверждение: область допустимых значений переменной $x$ для выражения $f(x)$ совпадает с областью определения функции $y=f(x)$.
«Область допустимых значений» 👇
ОДЗ для элементарных выражений (умножение, деление, возведение в степень, логарифмы, тригонометрические операции) хорошо изучены. Так, выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (например, квадратного), должно быть неотрицательным, поскольку не существует действительных чисел, которые при возведении в четную степень давали бы отрицательное число.
Замечание 1
Изучением корней четной степени из отрицательных чисел занимается особый раздет математики — теория комплексных чисел.
Пример 1
Как найти ОДЗ переменных для выражения $x^3 + 2xy − 4$?.
Возвести в куб можно любое число, равно как выполнить другие встречающиеся в данном примере арифметические операции (умножение, сложение, вычитание). Следовательно, можно вычислить значение данного выражения при любых значениях $x$ и $y$. Иными словами, выражение $x^3 + 2xy − 4$ имеет смысл при любых значениях его переменных. ОДЗ для него представляет собой множество пар $(x, y)$, где как $x$, так и $y$ могут быть любым числом.
Ответ:
$(x, y)$, где $x$ – любое, $y$ — любое.
Пример 2
Найти ОДЗ переменной x для выражения $frac{1}{3} — frac{x + 1}{0} $.
В знаменателе одной из дробей, входящих в состав данного выражения, присутствует ноль, следовательно, ни одно значение переменной $x$ не позволит составить имеющее смысл выражение. Следовательно, данное выражение не определено ни при каких значениях переменной $x$.
Ответ:
Пустое множество ($∅$).
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме