Что такое стационарные точки как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти стационарные точки функции

Процесс исследования функции на наличие стационарных точек а также их нахождения является одним из важных элементов при построении графика функции. Найти стационарные точки функции можно, обладая определенным набором математических знаний.

Вам понадобится

— функция, которую необходимо исследовать на наличие стационарных точек;
— определение стационарных точек: стационарные точки функции — это точки (значения аргумента), в которых производная функции первого порядка обращается в нуль.

Инструкция

Используя таблицу производных и формулы дифференцирования функций, необходимо найти производную функции. Этот шаг является наиболее сложным и ответственным в ходе выполнения задачи. Если допустить ошибку на данном этапе, дальнейшие вычисления не будут иметь смысла.

Проверьте, зависит ли производная функции от аргумента. Если найденная производная не зависит от аргумента, то есть является числом (к примеру, f'(x) = 5), то в таком случае функция не имеет стационарных точек. Такое решение возможно, только если исследуемая функция является линейной функцией первого порядка (к примеру, f(x) = 5x+1). Если производная функции зависит от аргумента, то приступите к последнему этапу.

Составьте уравнение f'(x)= 0 и решите его. Уравнение может не иметь решений — в таком случае у функции стационарных точек не имеется. Если решения у уравнения есть, то именно эти найденные значения аргумента и будут являться стационарными точками функции. На данном этапе следует провести проверку решения уравнения методом подстановки аргумента.

Обратите внимание

При нахождении производной функции могут возникнуть трудности, если функция является сложной. В таком случае нужно использовать прием замены части функции промежуточным аргументом.

Полезный совет

Для выполнения данной задачи необходимо уделить особое внимание правилам дифференцирования.

Внимание и концентрация на задаче также помогут с ней справиться — перед выполнением задачи убедитесь в том, что вас ничто не будет отвлекать в процессе ее решения.
Знание стационарных точек функции значительно облегчает построение ее графика, так как именно в этих точках находится максимальное и минимальное значения функции.

Источники:

Производная функции — Википедия
Критическая точка (математика) — Википедия

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Стационарные точки функции.
Необходимое условие локального
экстремума функции
Первое достаточное условие локального
экстремума
Второе и третье достаточные условия
локального экстремума
Наименьшее и наибольшее
значения функции на сегменте
Выпуклые функции и точки перегиба

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

_{Определение 1}_.Пусть функция определена на _{.

Точка}_{называется стационарной точкой функции}_,

если_{дифференцирована в точке}_и_.

Теорема 1 (необходимое
условие локального экстремума функции).
Пусть функция определена на _{и имеет в точке}_{локальный экстремум. Тогда выполняется

одно из условий:}

функция _{не имеет в точке}_{производной;}
функция _{имеет в точке}_{производную и}_.

_{Таким образом, для того,

чтобы найти точки, которые являются

подозрительными на экстремум, надо

найти стационарные точки функции и

точки, в которых производная функции

не существует, но которые принадлежат

области определения функции.}

_Пример_{.

Пусть}_{.

Найти для нее точки, которые являются

подозрительными на экстремум. Для

решения поставленной задачи, в первую

очередь, найдем область определения

функции:}_{.

Найдем теперь производную функции:}

_{Точки, в которых производная

не существует:}_{.

Стационарные точки функции:}

_{Поскольку и}_,

и_{принадлежат области определения функции,

то они обе будут подозрительными на

экстремум. Но для того, чтобы сделать

вывод, будет ли там действительно

экстремум, надо применять достаточные

условия экстремума.}

2. Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема 1 (первое достаточное
условие локального экстремума).
Пусть функция определена на _{и дифференцирована на этом интервале

везде за исключением, возможно, точки}_{,

но в этой точке}_{функция}_{является

непрерывной}_{. Если

существуют такие правая и левая

полуокрестности точки}_{,

в каждой из которых}_{сохраняет определенный знак, то}

_{1) функция}_{имеет локальный экстремум в точке}_,

если_{принимает значения разных знаков в

соответствующих полуокрестностях;}

_{2) функция}_{не имеет локальный экстремум в точке}_{,

если справа и слева от точки}_{имеет одинаковый знак.}

_{Доказательство}_{.

1) Предположим, что в полуокрестности}_{производная}_{,

а в}_.

_{Таким образом в точке}_{функция}_{имеет локальный экстремум, а именно —

локальный максимум, что и нужно было

доказать.}

_{2) Предположим, что слева

и справа от точки}_{производная сохраняет свой знак,

например,}_{.

Тогда на}_и_{функция}_{строго монотонно возрастает, то есть:}

_{Таким образом экстремума

в точке}_{функция}_{не имеет, что и нужно было доказать.}

_{Замечание 1}_{.

Если производная}_{при прохождении через точку}_{меняет знак с «+» на «-», то в точке}_{функция}_{имеет локальный максимум, а если знак

меняется с «-» на «+», то локальный

минимум.}

_{Замечание 2}_{.

Важным является условие непрерывности

функции}_{в точке}_{.

Если это условие не выполняется, то

теорема 1 может не иметь места.}

_Пример_{.

Рассматривается функция (рис.1):}

Эта функция определена на _{и непрерывна везде, кроме точки}_{,

где она имеет устранимый разрыв. При

прохождении через точку}_{меняет знак с «-» на «+», но локального

минимума в этой точке функция не имеет,

а имеет локальный максимум по определению.

Действительно, около точки}_{можно построить такую окрестность, что

для всех аргументов из этой окрестности

значения функции будут меньше, чем

значение}_{.

Теорема 1 не сработала потому, что в

точке}_{функция имела разрыв.}

_{Замечание 3}_{.

Первое достаточное условие локального

экстремума не может быть использовано,

когда производная функции}_{меняет свой знак в каждой левой и каждой

правой полуокрестности точки}_.

_Пример_{.

Рассматривается функция:}

_{Поскольку}_,

то_{,

а потому}_,

но_{.

Таким образом:}

_{т.е. в точке}_{функция}_{имеет локальный минимум по определению.

Посмотрим, сработает ли здесь первое

достаточное условие локального

экстремума.}

_Для_:

Для первого слагаемого правой
части полученной формулы имеем:

_{а потому в малой окрестности

точки}_{знак производной определяется знаком

второго слагаемого, то есть:}

_{а это означает, что в любой

окрестности точки}_{будет принимать как положительные, так

и отрицательные значения. Действительно,

рассмотрим произвольную окрестность

точки}_:_{.

Когда}

_то

_{(рис.2), а}_{меняет свой знак здесь бесконечно много

раз. Таким образом, нельзя использовать

в приведенном примере первое достаточное

условие локального экстремума.}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

найти экстремумы функции

f(x)=x2x−1

Производная этой функции —

f′(x)=xx−2(x−1)2

, значит, критические точки функции — это (x=0) и (x=2). Точка (x=1) не принадлежит области определения функции.

Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала:

−∞;0∪0;1∪1;2∪2;+∞

. Знак первого интервала положительный (например,

f′

((-1)=0.75)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

−∞;0	0;1	1;2	2;+∞
(+)	(-)	(-)	(+)

Значит, производная меняет знак только в точках (x=0) и (x=2).

В точке (x=0) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции (f(0)=0).

В точке (x=2) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции (f(2)=4).

Источник

Критические и стационарные точки функции в чем отличие

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точка x_о является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(x_о):

Упрощенная формулировка : если в точке x_о производная меняет знак с плюса на минус, то x_о является точкой максимума.

Точка х_о является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(x_о):

Упрощенная формулировка : если в точке x_о производная меняет знак с минуса на плюс, то x_о является точкой минимума.

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума:

Если x_о – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие экстремума:

Пусть x_о – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак плюс на минус, то x_о – точка максимума:

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак минус на плюс, то x_о – точка минимума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

Что такое стационарные и критические точки функции? Как их найти?

где х – аргумент функции, а у – сама функция. То есть мы задаем какое-либо значение аргумента х и вычисляем по уравнению (1) значение функции в этой точке. Принято рисовать график функции y = f(x). Рисуем оси координат х и у. Значение х откладываем по горизонтальной оси х. Эта ось называется осью абсцисс. По вертикали откладываем значение вычисленной функции у (эта ось называется осью ординат). На рисунке приведен график некоторой функции

Как мы видим при х = 3 и х = 8 функция у имеет максимумы. А при х = 5 функция имеет минимум. То есть функция y = f(x) может иметь как минимумы, так и максимумы. Итак

Точка максимума – значение х, при котором функция имеет максимум.

Точка минимума – значение х, при котором функция имеет минимум.

Обе эти точки называются общим словом – экстремум. То есть в точках экстремума функция имеет максимальное или минимальное значение.

Нам еще потребуется знание, что такое производная функции. Если мы знаем саму функцию (1), то производная берется следующим образом

Смысл производной – тангенс угла наклона функции в данной точке х. Можно провести в любой точке функции касательную линию и угол между этой касательной и осью х и будет определять угол наклона. Но удобнее вычислять не сам угол наклона α, а тангенс этого угла tgα. Иными словами,

tgα = dy/dx = df(x)/dx (3)

Как видно из вышеприведенного рисунка в точках экстремума функции tgα = 0. То есть производная в этих точках равна нулю. Если нам известно уравнение функции (1), то приравнивая производную к нулю, получаем алгебраическое уравнение для вычисления точек максимума и минимума

А что такое критические и стационарные точки функции? Точки экстремума функции (то есть там, где функция имеет максимум или минимум) иногда называю еще и стационарными точками. Это на приведенном выше рисунке точки х = 3, 5 и 8. Иногда бывает, что функция у(х) имеет концы, то есть кривая функции не уходит на бесконечность ни влево ни вправо. Например, на вышеприведенном рисунке будем считать, что эта функция расположена между точками х = -1 и х = 10. Если бы в этих крайних точках функция имела бы минимум (или максимум), то есть экстремум (производная равна нулю), то эти точки не называются стационарными.

А вот внутренние точки функции, в которых функция непрерывна, но в этих точках производная не существует, называются критическими точками. Смотри рисунок ниже

В точке х = 0 эта функция имеет максимум, но в этой точке имеется и перелом функции. Острый максимум. Производная (наклон функции) слева от точки х = 0 положительная, а справа от этой точки производная отрицательная. Это критическая точка. А вот в точке х = 1 имеется минимум (производная равна нулю), но функция меняет знак без перелома (то есть постепенно). Это точка минимума и точка стационарная.

Исследование поведения функций с помощью производной

Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

Если на интервале (a, b) функция y = f (x) строго возрастает и в каждой точке x₀ интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

угол α наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

Если же на интервале (a, b) функция y = f (x) строго убывает и в каждой точке x₀ интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

угол α наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.

а). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

б). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

в). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

г). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Определение 1. Точку x₀ называют точкой максимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a для точек x которого выполнено неравенство

Таким образом, если x₀ – точка максимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x₀) больше всех остальных значений функции.

Определение 2. Точку x₀ называют точкой минимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a < x₀ < b , для точек x которого выполнено неравенство

Другими словами, если x₀ – точка минимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x₀) меньше всех остальных значений функции.

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции .

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

Определение 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

Определение 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, если точка x₀ является критической точкой функции, то точка x₀ либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке x₀ не существует.

Доказательство. Если в точке x₀ у функции y = f (x) не существует производная, то точка x₀ является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке x₀ у функции y = f (x) существует производная, то точка x₀ является стационарной, то есть f ‘ (x₀) = 0 .

Таким образом, в случае, когда точка x₀ является точкой максимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x₀) = 0 . Касательная к графику функции y = f (x) в точке A= (x₀; f (x₀)) параллельна оси Ox .

Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка x₀ является точкой минимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x₀) = 0 .

Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум .

Достаточные условия для существования экстремума функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

Утверждение 3. Рассмотрим функцию f (x) , непрерывную в интервале (a, b), содержащем точку x₀ , производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки x₀ .

а). Если для точек выполнено условие:

б). Если для точек выполнено условие:

Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак с «+» на «–» , то точка x₀ является точкой максимума функции. Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак с «–» на «+» , то точка x₀ является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

и разложим на множители правую часть формулы (3):

На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

Поскольку решением неравенства

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ возрастает на каждом из интервалов и .

С другой стороны, поскольку решением неравенства

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ убывает на интервале (– 2, 0) .

Так как решениями уравнения

Поскольку при переходе через точку x = – 2 производная функции y₁ меняет знак с «+» на «–» (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка x = – 2 является точкой максимума функции y₁ , при этом

При переходе через точку x = 0 производная функции y₁ меняет знак с «–» на «+» (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка x = 0 является точкой минимума функции y₁ , при этом

Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

В силу определения модуля, справедливо равенство

Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции y₁ = x 3 + 3x 2 (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции y = | x 3 + 3x 2 | (рис.11) .

В точке x = – 3 производная функции y = | x 3 + 3x 2 | не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции y = | x 3 + 3x 2 | существует.

Функция y = | x 3 + 3x 2 | возрастает на каждом из интервалов (– 3, – 2) и .

Функция y = | x 3 + 3x 2 | убывает на каждом из интервалов и (– 2, 0) .

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about stationary points of a real-valued differentiable function of one real variable. For the broader term, see Critical point (mathematics).

Not to be confused with a fixed point where x = f(x).

The stationary points are the red circles. In this graph, they are all relative maxima or relative minima. The blue squares are inflection points.

In mathematics, particularly in calculus, a stationary point of a differentiable function of one variable is a point on the graph of the function where the function’s derivative is zero.^[1]^[2]^[3] Informally, it is a point where the function «stops» increasing or decreasing (hence the name).

For a differentiable function of several real variables, a stationary point is a point on the surface of the graph where all its partial derivatives are zero (equivalently, the gradient is zero).

Stationary points are easy to visualize on the graph of a function of one variable: they correspond to the points on the graph where the tangent is horizontal (i.e., parallel to the x-axis). For a function of two variables, they correspond to the points on the graph where the tangent plane is parallel to the xy plane.

Turning points[edit]

A turning point is a point at which the derivative changes sign.^[2] A turning point may be either a relative maximum or a relative minimum (also known as local minimum and maximum). If the function is differentiable, then a turning point is a stationary point; however not all stationary points are turning points. If the function is twice differentiable, the stationary points that are not turning points are horizontal inflection points. For example, the function has a stationary point at x = 0, which is also an inflection point, but is not a turning point.^[3]

Classification[edit]

A graph in which local extrema and global extrema have been labeled.

Isolated stationary points of a $C^{1}$ real valued function are classified into four kinds, by the first derivative test:

a local minimum (minimal turning point or relative minimum) is one where the derivative of the function changes from negative to positive;
a local maximum (maximal turning point or relative maximum) is one where the derivative of the function changes from positive to negative;

Saddle points (stationary points that are neither local maxima nor minima: they are inflection points. The left is a «rising point of inflection» (derivative is positive on both sides of the red point); the right is a «falling point of inflection» (derivative is negative on both sides of the red point).

a rising point of inflection (or inflexion) is one where the derivative of the function is positive on both sides of the stationary point; such a point marks a change in concavity;
a falling point of inflection (or inflexion) is one where the derivative of the function is negative on both sides of the stationary point; such a point marks a change in concavity.

The first two options are collectively known as «local extrema». Similarly a point that is either a global (or absolute) maximum or a global (or absolute) minimum is called a global (or absolute) extremum. The last two options—stationary points that are not local extremum—are known as saddle points.

By Fermat’s theorem, global extrema must occur (for a $C^{1}$ function) on the boundary or at stationary points.

Curve sketching[edit]

Determining the position and nature of stationary points aids in curve sketching of differentiable functions. Solving the equation f’(x) = 0 returns the x-coordinates of all stationary points; the y-coordinates are trivially the function values at those x-coordinates.
The specific nature of a stationary point at x can in some cases be determined by examining the second derivative f»(x):

If f»(x) < 0, the stationary point at x is concave down; a maximal extremum.
If f»(x) > 0, the stationary point at x is concave up; a minimal extremum.
If f»(x) = 0, the nature of the stationary point must be determined by way of other means, often by noting a sign change around that point.

A more straightforward way of determining the nature of a stationary point is by examining the function values between the stationary points (if the function is defined and continuous between them).

A simple example of a point of inflection is the function f(x) = x³. There is a clear change of concavity about the point x = 0, and we can prove this by means of calculus. The second derivative of f is the everywhere-continuous 6x, and at x = 0, f′′ = 0, and the sign changes about this point. So x = 0 is a point of inflection.

More generally, the stationary points of a real valued function $fcolon mathbb{R}^{n} to mathbb{R}$ are those
points x₀ where the derivative in every direction equals zero, or equivalently, the gradient is zero.

Example[edit]

For the function f(x) = x⁴ we have f’(0) = 0 and f»(0) = 0. Even though f»(0) = 0, this point is not a point of inflection. The reason is that the sign of f’(x) changes from negative to positive.

For the function f(x) = sin(x) we have f’(0) ≠ 0 and f»(0) = 0. But this is not a stationary point, rather it is a point of inflection. This is because the concavity changes from concave downwards to concave upwards and the sign of f’(x) does not change; it stays positive.

For the function f(x) = x³ we have f’(0) = 0 and f»(0) = 0. This is both a stationary point and a point of inflection. This is because the concavity changes from concave downwards to concave upwards and the sign of f’(x) does not change; it stays positive.

References[edit]

^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 236. ISBN 0-07-010813-7.
^ ^a ^b Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), «12 B Stationary Points and Turning Points», Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, p. 318, ISBN 9781107679573
^ ^a ^b «Turning points and stationary points». TCS FREE high school mathematics ‘How-to Library’. Retrieved 30 October 2011.

External links[edit]

Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot

Источник

Как найти стационарные точки функции

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

2. Первое достаточное условие локального экстремума

Критические и стационарные точки функции в чем отличие

Что такое стационарные и критические точки функции? Как их найти?

Исследование поведения функций с помощью производной

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.Теорема Ферма

Достаточные условия для существования экстремума функции

Пример исследования поведения функции

Turning points[edit]

Classification[edit]

Curve sketching[edit]

Example[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма