Что такое выборочное среднее как его найти

Выборочное среднее

Выборочное
среднее
значение как статистический показатель
представляет
собой среднюю оценку изучаемого в
эксперименте психологического качества.

Эта
оценка характеризует степень его
развития
в целом у той группы испытуемых, которая
была подвергнута
психодиагностическому обследованию.
Сравнивая непосредственно средние
значения двух или нескольких выборок,
мы
можем судить об относительной степени
развития у людей, составляющих эти
выборки, оцениваемого качества.

Выборочное
среднее определяется при помощи следующей
формулы:

где

х_ср
—выборочная
средняя величина или среднее арифметическое
значение по выборке;

п —
количество
испытуемых в выборке
или частных психодиагностических
показателей, на основе которых
вычисляется средняя величина;

x_k
— частные
значения показателей
у отдельных испытуемых. Всего таких
показателей п,
поэтому
индекс k
данной
переменной принимает значения от 1 до
п;

∑ — принятый
в математике знак суммирования величин
тех
переменных, которые находятся справа
от этого знака.

Выражение

соответственно означает сумму всех х
с индексом k
от 1 до n.

Пример.
Допустим,
что в результате применения
психодиагностической
методики для оценки некоторого
психологического
свойства у десяти испытуемых мы получили
следующие частные
показатели степени развитости данного
свойства у отдельных
испытуемых: х₁=
5,
х₂
=
4, х₃
= 5,
х₄
= 6,
х₅
= 7,
х₆
= 3,
х₇
= 6,
х₈₌
2,
х₉=
8,
х₁₀
⁼
4. Следовательно, п
= 10,
а индекс k
меняет
свои значения от 1 до 10 в приведенной
выше формуле. Для данной выборки
среднее значение¹,
вычисленное по этой формуле, будет
равно:

¹
В дальнейшем, как это и принято в
математической статистике, с целью
сокращения
текста мы будем опускать слова «выборочное»
и «арифметическое» и просто говорить
о «среднем» или «среднем значении».

В
психодиагностике и в экспериментальных
психолого-педагогических исследованиях
среднее,
как правило, не вычисляется
с точностью, превышающей один, два знака
после запятой, т.е.
с большей, чем десятые или сотые доли
единицы.

В
психодиагностических обследованиях
большая точность расчетов не требуется
и не имеет смысла, если принять во
внимание приблизительность тех оценок,
которые в них получаются, и достаточность
таких оценок для производства сравнительно
точных расчетов.

Дисперсия

Дисперсия
как статистическая, величина характеризует,
насколько
частные значения отклоняются от средней
величины в данной
выборке.

Чем
больше дисперсия, тем больше отклонения
или разброс данных. Прежде чем представлять
формулу для расчетов
дисперсии, рассмотрим пример. Воспользуемся
теми первичными
данными, которые были приведены ранее
и на основе которых вычислялась в
предыдущем примере средняя величина.
Мы видим, что все они разные и отличаются
не только друг от
друга, но и от средней величины. Меру их
общего отличия от средней
величины и характеризует дисперсия. Ее
определяют для того,
чтобы можно было отличать друг от друга
величины, имеющие
одинаковую среднюю, но разный разброс.

Представим
себе другую, отличную от предыдущей
выборку первичных значений,
например такую: 5, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 4, 5, 5. Легко
убедиться в том, что ее средняя величина
также равна 5,0. Но в данной выборке
ее отдельные частные значения отличаются
от средней гораздо
меньше, чем в первой выборке. Выразим
степень этого отличия
при помощи дисперсии, которая определяется
по
следующей
формуле:

где

— выборочная
дисперсия, или просто дисперсия;

— выражение,
означающее, что для всех x_k
от
первого
до последнего в данной выборке необходимо
вычислить разности
между частными и средними значениями,
возвести эти разности
в квадрат и просуммировать;

п —
количество
испытуемых в выборке или первичных
значений,
по которым вычисляется дисперсия.

Заметим,
что во многих изданиях дисперсию принято
обозначать как D(x).

Определим
дисперсии для двух приведенных выше
выборок частных
значений, обозначив эти дисперсии
соответственно индексами
1 и 2:

Мы
видим, что дисперсия по второй выборке
(0,4) значительно меньше дисперсии по
первой выборке (3,0). Если бы не было
дисперсии,
то мы не в состоянии были бы различить
данные выборки.

Соседние файлы в папке МатМетоды в Психологии (литература)

• #
• #

  13.02.201616.87 Mб1468Наследов А.Д. IBM SPSS Statistics 20 профессиональный анализ данных.pdf

• #

Генеральная средняя

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда генеральная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная средняя вычисляется по формуле:

Выборочная средняя

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда выборочная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная средняя вычисляется по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной средних значений за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Примеры задач на нахождение средней выборки

1. выборочное среднее;
2. выборочную дисперсию;;
3. подправленную дисперсию;
4. выборочное среднее квадратичное отклонение;
5. подправленное среднее квадратичное отклонение;
6. размах выборки;
7. медиану;
8. моду;
9. квантильное отклонение;
10. коэффициент вариации;
11. коэффициент асимметрии;
12. эксцесс для выборки:

Выборка задана рядом 11, 9, 8, 7, 8, 11, 10, 9, 12, 7, 6, 11, 8, 7, 10, 9, 11, 8, 13, 8.

Решение:
Запишем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 13.
Далее записываем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Здесь n_x – количество элементов выборки которые меньше х. Используя таблицу и учитывая что объем выборки равен n = 20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.
Выборочное среднее вычисляем по формуле

Выборочную дисперсию находим по формуле


Выборочное среднее, что фигурирует в формуле дисперсии в квадрате найдено выше. Остается все подставить в формулу

Подправленную дисперсию вычисляем согласно формулы

Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

Подправленное среднее квадратичное отклонение вычисляем как корень из подправленной дисперсии

Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

Медиану находим по 2 формулам:
если число n — четное;
если число n — нечетное.
Здесь берем индексы в x_i согласно нумерации варианта в вариационном ряду.
В нашем случае n = 20, поэтому

Мода – это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

Квантильное отклонение находят по формуле

где – первый квантиль, – третий квантиль.
Квантили получаем при разбивке вариационного ряда на 4 равные части.
Для заданного статистического распределения квантильное отклонения примет значение

Коэффициент вариации равный процентному отношению подправленного среднего квадратичного к выборочному среднему

Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Подставляем в формулу коэффициента асимметрии

Эксцессом статистического распределения выборки называется число, которое вычисляют по формуле:

Здесь m₄ центральный эмпирический момент 4-го порядка. Находим момент

а далее эксцесс
Теперь Вы имеете все необходимые формулы чтобы найти числовые характеристики статистического распределения. Как найти моду, медиану и дисперсию должен знать каждый студент, который изучает теорию вероятностей.

Готовые решения по теории вероятностей

• Следующая статья — Построение уравнения прямой регрессии Y на X

3.1. Показатели центральной тенденции

Простейший пример такого показателя нам уже встречался – это среднее арифметическое значение. Но средней

дело не ограничивается, впрочем, обо всём по порядку:

3.1.1. Генеральная и выборочная средняя

Пусть исследуется некоторая генеральная совокупность объёма , а именно её числовая характеристика , не важно, дискретная или непрерывная.

Генеральной средней называют среднее арифметическое всех значений этой совокупности:

Если среди чисел  есть одинаковые (что

характерно для дискретного ряда), то формулу можно записать в более компактном

виде:
, где:
варианта  повторяется  раз;
варианта  –  раз;
варианта  –  раз;
…
варианта  –  раз.

Живой пример вычисления генеральной средней встретился в Примере 2, но чтобы не занудничать, я даже не буду

напоминать его содержание. Далее.

Как мы помним, обработка всей генеральной совокупности часто затруднена либо невозможна, и поэтому из неё организуют представительную выборку объема , и на основании исследования этой выборки делают вывод обо всей совокупности.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

и при наличии одинаковых вариант формула запишется компактнее:
 – как сумма произведений вариант  на соответствующие частоты , делённая на объём совокупности .

Выборочная средняя  позволяет достаточно

точно оценить истинное значение , при этом, чем

больше выборка, тем точнее будет эта оценка.

Практику начнём с дискретного вариационного ряда и знакомого условия:

Пример 8

По результатам выборочного исследования  рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4,

4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Это числа из Примера 4, но теперь нам требуется: вычислить выборочную среднюю, и, не отходя от станка, найти моду

и медиану.

Как решать задачу? Если нам даны первичные данные (конкретные варианты ), то их можно тупо просуммировать и разделить результат на объём

выборки:
 – средний квалификационный разряд рабочих

цеха.

Но здесь удобнее составить вариационный ряд:

и использовать «цивилизованную» формулу:

3.1.2. Мода

3. Основные показатели статистической совокупности

| Оглавление |



From Wikipedia, the free encyclopedia

The sample mean (or «empirical mean») and the sample covariance are statistics computed from a sample of data on one or more random variables.

The sample mean is the average value (or mean value) of a sample of numbers taken from a larger population of numbers, where «population» indicates not number of people but the entirety of relevant data, whether collected or not. A sample of 40 companies’ sales from the Fortune 500 might be used for convenience instead of looking at the population, all 500 companies’ sales. The sample mean is used as an estimator for the population mean, the average value in the entire population, where the estimate is more likely to be close to the population mean if the sample is large and representative. The reliability of the sample mean is estimated using the standard error, which in turn is calculated using the variance of the sample. If the sample is random, the standard error falls with the size of the sample and the sample mean’s distribution approaches the normal distribution as the sample size increases.

The term «sample mean» can also be used to refer to a vector of average values when the statistician is looking at the values of several variables in the sample, e.g. the sales, profits, and employees of a sample of Fortune 500 companies. In this case, there is not just a sample variance for each variable but a sample variance-covariance matrix (or simply covariance matrix) showing also the relationship between each pair of variables. This would be a 3×3 matrix when 3 variables are being considered. The sample covariance is useful in judging the reliability of the sample means as estimators and is also useful as an estimate of the population covariance matrix.

Due to their ease of calculation and other desirable characteristics, the sample mean and sample covariance are widely used in statistics to represent the location and dispersion of the distribution of values in the sample, and to estimate the values for the population.

Definition of the sample mean[edit]

The sample mean is the average of the values of a variable in a sample, which is the sum of those values divided by the number of values. Using mathematical notation, if a sample of N observations on variable X is taken from the population, the sample mean is:

Under this definition, if the sample (1, 4, 1) is taken from the population (1,1,3,4,0,2,1,0), then the sample mean is , as compared to the population mean of . Even if a sample is random, it is rarely perfectly representative, and other samples would have other sample means even if the samples were all from the same population. The sample (2, 1, 0), for example, would have a sample mean of 1.

If the statistician is interested in K variables rather than one, each observation having a value for each of those K variables, the overall sample mean consists of K sample means for individual variables. Let be the i^th independently drawn observation (i=1,…,N) on the j^th random variable (j=1,…,K). These observations can be arranged into N
column vectors, each with K entries, with the K×1 column vector giving the i-th observations of all variables being denoted (i=1,…,N).

The sample mean vector is a column vector whose j-th element is the average value of the N observations of the j^th variable:

Thus, the sample mean vector contains the average of the observations for each variable, and is written

Definition of sample covariance[edit]

The sample covariance matrix is a K-by-K matrix with entries

where is an estimate of the covariance between the j^th
variable and the k^th variable of the population underlying the data.
In terms of the observation vectors, the sample covariance is

Alternatively, arranging the observation vectors as the columns of a matrix, so that

,

which is a matrix of K rows and N columns.
Here, the sample covariance matrix can be computed as

,

where is an N by 1 vector of ones.
If the observations are arranged as rows instead of columns, so is now a 1×K row vector and is an N×K matrix whose column j is the vector of N observations on variable j, then applying transposes
in the appropriate places yields

Like covariance matrices for random vector, sample covariance matrices are positive semi-definite. To prove it, note that for any matrix the matrix is positive semi-definite. Furthermore, a covariance matrix is positive definite if and only if the rank of the vectors is K.

Unbiasedness[edit]

The sample mean and the sample covariance matrix are unbiased estimates of the mean and the covariance matrix of the random vector , a row vector whose j^th element (j = 1, …, K) is one of the random variables.^[1] The sample covariance matrix has in the denominator rather than due to a variant of Bessel’s correction: In short, the sample covariance relies on the difference between each observation and the sample mean, but the sample mean is slightly correlated with each observation since it is defined in terms of all observations. If the population mean is known, the analogous unbiased estimate

using the population mean, has in the denominator. This is an example of why in probability and statistics it is essential to distinguish between random variables (upper case letters) and realizations of the random variables (lower case letters).

The maximum likelihood estimate of the covariance

for the Gaussian distribution case has N in the denominator as well. The ratio of 1/N to 1/(N − 1) approaches 1 for large N, so the maximum likelihood estimate approximately equals the unbiased estimate when the sample is large.

Distribution of the sample mean[edit]

For each random variable, the sample mean is a good estimator of the population mean, where a «good» estimator is defined as being efficient and unbiased. Of course the estimator will likely not be the true value of the population mean since different samples drawn from the same distribution will give different sample means and hence different estimates of the true mean. Thus the sample mean is a random variable, not a constant, and consequently has its own distribution. For a random sample of N observations on the j^th random variable, the sample mean’s distribution itself has mean equal to the population mean and variance equal to , where is the population variance.

The arithmetic mean of a population, or population mean, is often denoted μ.^[2] The sample mean (the arithmetic mean of a sample of values drawn from the population) makes a good estimator of the population mean, as its expected value is equal to the population mean (that is, it is an unbiased estimator). The sample mean is a random variable, not a constant, since its calculated value will randomly differ depending on which members of the population are sampled, and consequently it will have its own distribution. For a random sample of n independent observations, the expected value of the sample mean is

and the variance of the sample mean is

If the samples are not independent, but correlated, then special care has to be taken in order to avoid the problem of pseudoreplication.

If the population is normally distributed, then the sample mean is normally distributed as follows:

If the population is not normally distributed, the sample mean is nonetheless approximately normally distributed if n is large and σ²/n < +∞. This is a consequence of the central limit theorem.

Weighted samples[edit]

In a weighted sample, each vector (each set of single observations on each of the K random variables) is assigned a weight . Without loss of generality, assume that the weights are normalized:

(If they are not, divide the weights by their sum).
Then the weighted mean vector is given by

and the elements of the weighted covariance matrix are
^[3]

If all weights are the same, , the weighted mean and covariance reduce to the (biased) sample mean and covariance mentioned above.

Criticism[edit]

The sample mean and sample covariance are not robust statistics, meaning that they are sensitive to outliers. As robustness is often a desired trait, particularly in real-world applications, robust alternatives may prove desirable, notably quantile-based statistics such as the sample median for location,^[4] and interquartile range (IQR) for dispersion. Other alternatives include trimming and Winsorising, as in the trimmed mean and the Winsorized mean.

See also[edit]

• Estimation of covariance matrices
• Scatter matrix
• Unbiased estimation of standard deviation

References[edit]