Ctg как найти сторону - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Как с помощью тангенса найти сторону треугольника. Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Сторону треугольника дозволено обнаружить не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого применяются тригонометрические функции – синус и косинус . Задачи с их применением встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.

Инструкция

1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?

2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением косинус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC

3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда знамениты две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.

4. Помимо теоремы синус ов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинус ов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех 3 разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, дозволено находить неведомые величины, применяя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .

Инструкция

1. Пускай построен треугольник?ABC и знамениты – сторона BC и углы?? и. Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике?ABC угол?? будет равен?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin. AB = 2 * R * sin. AC = 2 * R * sin. Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.

2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin. где R вычисляется по формулеR = BC/sin. R – радиус описанной около треугольника?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin. отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.

3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника?? и. то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – . = 180? – . = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам.

Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.

Прямоугольный треугольник

Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках. Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S — площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C) .

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h , где h — это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

Решение задач

Задача 1. Найти площадь треугольника ABC, если а) AB = 6*√8 см, АС = 4 см, угол А = 60 градусов б) BC = 3 см, AB = 18*√2 см, угол B= 45 градусов в) AC = 14 см, CB = 7 см, угол C= 48 градусов.

По доказанной выше теореме площадь S треугольника ABC равна:

а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 см^2.

б) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 см^2.

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ см^2.

Значение синуса угла считаем на калькуляторе либо используем значения из таблицы значений тригонометрических углов. Ответ:

в) приблизительно 36.41 см^2.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 60 см^2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚.

Положим S — площадь треугольника ABC. По теореме о площади треугольника имеем:

Подставим в неё имеющиеся у нас значения:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Отсюда выражаем длину стороны AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.

Игры с линейкой и карандашом

Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону — гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.

Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.

В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.

Найти синус для угла больше 90°

Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.

Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.

Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс — функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.

Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать .
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с . По косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем

Понравилось?

Нажмите на кнопку, если статья Вам понравилась, это поможет нам развивать проект. Спасибо!

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

источники:

http://school10-mgn.ru/kak-s-pomoshchyu-tangensa-naiti-storonu-treugolnika-teorema-pifagora.html

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

Источник

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы для катета, (b):

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c₁, c₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

L — высота = биссектриса = медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

a — сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Формула длины через катеты, (M):

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

Найти все стороны треугольника.
Найти все углы треугольника.
Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
Найти радиус (r) вписанной окружности.
Найти радиус (R) описанной окружности.
Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

В прямоугольном треугольнике всегда заданы три стороны, из которых две, именуемые катетами, образуют прямой угол в 90°, а третья сторона – гипотенуза, их соединяет. Все тригонометрические отношения в таком треугольнике строятся на делении одной стороны на другую, и так как катетов два, то используемый в формуле катет может быть либо противолежащим – находящимся напротив угла α, и не имеющий с ним общих точек, либо прилежащим – являющимся непосредственно стороной угла α, и выходящим из него. Так как отношением противолежащего катета к прилежащему является тангенс, то другим отношением катетов будет котангенс, где в числителе дроби находится прилежащий катет (как и в косинусе), а в знаменателе противолежащий
.

В отличие от тандема синус-косинус, которые оба отталкиваются от гипотенузы в знаменателе, тангенс и котангенс используют в формулах исключительно катеты в разном порядке. Таким образом, мы получаем не только два разных отношения, соответствующих всем законам тригонометрии, но и два отношения, являющихся обратными друг и другу и взаимно конвертируемыми
.

Свойства

Котангенс угла ctg(α) — есть отношение прилежащего катета b к противолежащему катету a.

Таблица котангенсов

Котангенс угла 0° градусов	∞	∞
Котангенс угла 30° градусов	√3	1.732
Котангенс угла 45° градусов	1	1.000
Котангенс угла 60° градусов	1/√3	0.577
Котангенс угла 90° градусов	0	0.000

Источник

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла alpha , называется противолежащим (по отношению к углу alpha ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла alpha , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.$

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin $displaystyle alpha = frac{a}{c}$	sin ${}^2 alpha +$ cos $displaystyle {}^2 alpha =1$	$alpha + beta = 90 ^{circ}$
cos $displaystyle alpha = frac{b}{c}$	1+tg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha}$	cos = sin
tg $displaystyle alpha = frac{a}{b}$	1+ctg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha}$	sin = cos
ctg $displaystyle alpha = frac{b}{a}$		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{circ}$ .
С одной стороны, $sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, $cos left( 90^{circ}-A right) = sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем $displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 ,$ то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: $1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }.$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, $1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{circ}$ до $90^{circ}$ .

	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}$
sin	0	$displaystyle frac{1}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$
cos		$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{1}{2}$	0
tg	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			−
ctg	−			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .$

Из этих равенств следует, что $displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,$ т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, $displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1},$ т. е. cos А = cos A_1, и $displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1},$ т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{circ}$ , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , AB=5 , $sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}$ .

Найдите .

Решение:

$sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.$

Отсюда

$BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.$

Найдем AC по теореме Пифагора.

$AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.$

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A $displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.$

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А $displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.$

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда $AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.$

cos⁡ А $displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;$

tg A $displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.$

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A= $displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .$

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A $displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17},$ $displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} ,$ $displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.$

По теореме Пифагора получим

$a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;$

$displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;$

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен AC = 4, tg A = $displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} .$ Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A $displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},$

$displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}},$ $displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},$

$AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.$

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = $displaystyle frac{1}{5} .$ Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = $displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} ,$ тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

$displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}},$ тогда $displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.$

(по двум углам), следовательно $displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} ,$ откуда

$displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.$

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A = $displaystyle frac{1}{6} .$

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = $displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6},$ тогда $displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} ,$ c = АВ = 18.

sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = cos⁡ B = $displaystyle frac{1}{6} .$

Рассмотрим BHC:

${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}$ = $displaystyle frac{1}{6} ,$ получим $displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},$

тогда BH = $displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2}$ = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BC = 3, cos A = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.$

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=$ sin В = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6},$

а для ВНС: sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}$ , откуда СН = $displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},$

По теореме Пифагора найдем ВН:

$BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=$

$=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

${CH}^2=AH cdot BH,$ тогда $AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.$

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ =

Рассмотрим BHC : ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.$

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= $sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,$

тогда ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28,$ а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = cos A = $displaystyle frac{b}{c}$ = $displaystyle frac{AC}{AB}$ =

тогда tg A = $displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB,$ который найдем из BHC:

$ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, tg A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= $displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.$

Для BHC: $ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3}$ , значит $displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3},$ СН = $displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.$

Для АHC: tg A= $displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ то $displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ AH = $displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$

Из СВН имеем cos В = $displaystyle frac{HB}{BC}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда ВС = $displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.$

В АВС имеем sinA = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда AВ = $displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

$HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=$

sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5},$ получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5},$ то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора ${AC}^2+{BC}^2= {AB}^2,$ получим ${(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2$
${25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,$

${16x}^2= {20}^2,$

$x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,$
х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит $displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB}$ или $displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,$

k = $displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} ,$ тогда $displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5},$ АС = $displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15$ ; $displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5},$ АВ = $displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.$

3-й способ.

${CH}^2=AH cdot HB$ (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда ${12}^2=AH cdot 16,$ АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)}$ =

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = $sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}$ =

cos C = $displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: sin А = $displaystyle frac{BC}{AC}$ = cos C = $displaystyle frac{3}{5}.$

Для АНВ: sin А = $displaystyle frac{BH}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ то $displaystyle frac{24}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ АВ = $displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.$

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.$

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = $displaystyle frac{7}{25}.$

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А = $displaystyle frac{CE}{AC},$

значит $displaystyle frac{7}{25}$ = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: $AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};$

$AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.$

Площадь прямоугольного треугольника равна S = $displaystyle frac{1}{2}ab,$

поэтому $S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.$

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, $angle AKC=angle ACB=90{}^circ$ ),

значит sin $angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.$

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=$

Тогда sin $angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.$

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = $displaystyle frac{12}{13}.$ Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = $displaystyle frac{1}{2}AB=36.$

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = $displaystyle frac{AH}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13},$ то есть $displaystyle frac{36}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13}$ АС = $displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.$

По теореме Пифагора ${AH}^2+{CH}^2={AC}^2,$ тогда

$CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=$

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ sin A = $displaystyle frac{11}{14},$ AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = $displaystyle frac{BC}{AB}=$ $displaystyle frac{11}{14},$ то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора $AC^2+{BC}^2={AB}^2;$

${(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;$

${(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;$

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${sin}^2A+{cos}^2A=1;$

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

По определению cos A = $displaystyle frac{AC}{AB},$ значит $displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

Так как АС=10 то $displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14},$ откуда АВ = $displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}}$ = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = $displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3},$ а катет ВО = $displaystyle frac{1}{2}BD =2.$

Поэтому tg $alpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}},$ откуда $alpha =30{}^circ .$

$angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .$

Ответ: ${60}^circ,$ ${120}^circ,$ ${60}^circ,$ ${120}^circ .$

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ или с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ угол А равен 30 ${}^circ,$ АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла ${30}^circ,$ имеем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ =

В BHC: $angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно, ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ BC = $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.$

По теореме Пифагора найдем НС:

$HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=$

$=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, АВ = 2, $angle A=30{}^circ .$ Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ${}^circ$ ),

$angle A=30{}^circ ,$ то $angle B=60{}^circ .$

Из ВСН: $angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно,

ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ ВС = $displaystyle frac{1}{2}.$

АН = АВ — НВ = 2 — $displaystyle frac{1}{2}$ = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Как с помощью тангенса найти сторону треугольника. Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Что такое прямоугольный треугольник

Находим катет прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Инструкция

Инструкция

Прямоугольный треугольник

Теоремы косинусов и синусов

Производные

Применение в математике

Решение задач

Игры с линейкой и карандашом

Найти синус для угла больше 90°

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Как находить синус по трём сторонам треугольника

II. Площадь треугольника через косинус

Понравилось?

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

4. Найти длину высоты треугольника

Как найти длину стороны треугольника?

Для прямоугольного треугольника: 1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

2) Найти гипотенузу по двум катетам

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

3) Найти боковые стороны по углу между ними

4) Найти боковые стороны по углу при основании

1) Найти сторону через площадь

2) Найти сторону через высоту

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

Свойства

Таблица котангенсов

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет