Деление целых чисел отличается от деления натуральных чисел, только тем что у целых чисел нужно у частного посчитать знак. Как посчитать знак частного целых чисел? Рассмотрим подробно в теме.
Термины и понятия частного целых чисел.
Чтобы выполнить деление целых чисел нужно вспомнить термины и понятия. В делении есть: делимое, делитель и частное целых чисел.
Делимое – это то целое число, которое делят. Делитель – это целое число, на которое делят. Частное – это результат деления целых чисел.
Можно сказать “Деление целых чисел” или “Частное целых чисел” смысл этих фраз один и тот же, то есть нужно поделить одно целое число на другое и получить ответ.
Деление берет свое начало из умножения. Рассмотрим пример:
3∙4=12
У нас есть два множителя 3 и 4. Но допустим нам известно, что есть один множитель 3 и результат умножения множителей их произведение 12. Как найти второй множитель? На помощь приходит деление.
12:3=4
Правило деления целых чисел.
Определение:
Частное двух целых чисел равно частному их модулей, со знаком плюс в результате, если числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.
Важно учитывать знак частного целых чисел. Кратко правила деления целых чисел:
Плюс на плюс дает плюс.
“+ : + = +”
Минус на минус дает плюс.
“– : – =+”
Минус на плюс дает минус.
“– : + = –”
Плюс на минус дает минус.
“+ : – = –”
А теперь рассмотрим подробно каждый пункт правила деления целых чисел.
Деление целых положительных чисел.
Вспомним, что целые положительные числа это тоже самое, что натуральные числа. Мы пользуемся теми же правила, что и при делении натуральных чисел. Знак частного от деления целых положительных чисел всегда плюс. Иными словами, при делении двух целых чисел “плюс на плюс дает плюс”.
Пример:
Выполните деление 306 на 3.
Решение:
Оба числа имеют знак “+”, поэтому ответ будет со знаком “+”.
306:3=102
Ответ: 102.
Пример:
Разделите делимое 220286 на делитель 589.
Решение:
Делимое 220286 и делитель 589 имеет знак плюс, поэтому частное тоже будет иметь знак плюс.
220286:589=374
Ответ: 374
Деление целых отрицательных чисел.
Правило деления двух отрицательных чисел.
Пусть у нас будут два отрицательных целых числа a и b. Нам нужно найти их модули и выполнить деление.
a:b=|a|:|b|
Результат деления или частное двух отрицательных целых чисел будет со знаком “+” или “минус на минус дает плюс”.
Рассмотрим пример:
Найдите частное -900:(-12).
Решение:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Ответ: -900:(-12)=75
Пример:
Выполните деление одного целого отрицательного числа -504 на второе отрицательное число -14.
Решение:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Записать выражение можно короче:
-504:(-14)=34
Деление целых чисел с разными знаками. Правило и примеры.
Правило:
При выполнении деления целых чисел с разными знаками, частное будет равно отрицательному числу.
Не важно положительное целое число делим на отрицательное целое число или отрицательное целое число делим на положительное целое число, результат деления всегда будет равен отрицательному числу.
Минус на плюс дает минус.
Плюс на минус дает минус.
Пример:
Найдите частное двух целых чисел с разными знаками -2436:42.
Решение:
-2436:42=-58
Пример:
Вычислите деление 4716:(-524).
Решение:
4716:(-524)=-9
Нуль деленный на целое число. Правило.
Правило:
При деление нуля на целое число ответ будет равен нулю.
Пример:
Выполните деление 0:558.
Решение:
0:558=0
Пример:
Разделите нуль на целое отрицательное число -4009.
Решение:
0:(-4009)=0
Правило:
На нуль делить нельзя.
Нельзя 0 разделить на 0.
Проверка частного деления целых чисел.
Как говорилось ранее деление и умножение тесно связаны. Поэтому чтобы проверить результат деления двух целых чисел, нужно выполнить умножение делителя и частного в результате должно получиться делимое.
Проверка результата деления краткая формула:
Делитель ∙ Частное = Делимое
Рассмотрим пример:
Выполните деление и сделайте проверку 1888:(-32).
Решение:
Обращаем внимание на знаки целых чисел. Число 1888 положительное и имеет знак “+”. Число (-32) отрицательное и имеет знак “–”. Поэтому при делении двух целых чисел с разными знаками ответ будет отрицательное число.
1888:(-32)=-59
А теперь выполним проверку найденного ответа:
1888 – делимое,
-32 – делитель,
-59 – частное,
Делитель умножаем на частное.
-32∙(-59)=1888
Вопросы по теме:
Что такое частное чисел?
Ответ: частное чисел – это результат деления деления двух чисел.
Как найти частное?
Ответ: нужно одно число поделить на другое, то есть делимое поделить на делитель и получим частное.
Чему равно частное от деления целых чисел?
Ответ: если целые числа делятся без остатка, то их частное равно целому числу. Иначе будет дробное число.
Что такое делимое и делитель?
Ответ: число которое делят называют делимым, а число на которое делят называют делителем.
Пример:
Найдите частное суммы и разности чисел 48 и 16.
Решение:
Находим сумму чисел 48 и 16.
48+16=64
Находим разность чисел 48 и 16.
48-16=32
Находим частное.
64:32=2
Ответ: 2.
Памятка по математике
Название и правила нахождения компонентов при сложении, вычитании, умножении и делении
5 + 2 = 7
первое слагаемое второе слагаемое сумма
(Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое)
8 — 3 = 5
уменьшаемое вычитаемое разность
(Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.)
4 x 6 = 24
первый множитель второй множитель произведение
(Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель)
21 : 3 = 7
делимое делитель частное
(Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное,
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное)
План урока:
Таблица умножения с числами 6, 7, 8, 9
Делимое. Делитель
Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число
Решение задач с понятиями «масса» и «количество»
Здравствуйте, дорогие ребята. У нас в гостях крохотные человечки. Герои мультипликационного фильма Фиксики обитают внутри разнообразных технических устройств, приводят их в порядок в случае поломки. Мастера в любом деле добиваются успеха. Сегодня на уроке они расскажут много интересного.
Привет, друзья, сейчас мы отправимся в страну точных наук.
Встало солнышко давно,
Заглянуло к вам в окно,
На урок торопит вас –
Математика сейчас.
Меня зовут Симка. Мне девять лет. Я лучшая ученица в классе, самая смышленая и активная, прихожу на выручку друзьям. Ребята приготовьтесь решать примеры и задачи, учить и узнавать секреты математики.
С какой целью на уроке математики мы решаем примеры и задачи?
Правильно. Задачи нам необходимы для развития логики и мышления, а примеры – для того, чтобы быть математически грамотными людьми. Все это можно делать очень увлекательно.
Давайте начнем наше путешествие с рисунков. Возьмите тетрадь в клеточку, линейку и карандаш.
Таблица умножения с числами 6, 7, 8, 9
Чтобы таблицу умножения и деления запомнить быстро, надо ее представить, например, нарисовать.
Таблица умножения на 6
Представьте, что такое 3 умножить на 6. Это взять три клеточки шесть раз. Нарисуйте прямоугольник шириной три клеточки, длиной— 6. Нужно узнать, сколько всего клеточек получится. Здесь все сразу визуально видно: вот шесть столбиков по три клетки. А дальше, чтобы посчитать количество всех клеточек, надо сложить шесть троек.
Изобразите 6×3. Для этого нам нужно три раза взять по шесть клеточек. Обратите внимание, что фигура получается такая же, а разница только в том, как она разделена на клетки. Количество клеток не меняется, мы просто считаем по-разному. Именно поэтому от перестановки мест множителей произведение не меняется.
А теперь нарисуйте таблицу умножения на 6.
Запишите примеры столбиками:
Таблица умножения на 7
Один из самых простых способов ‒ это посчитать на пальцах.
Например, надо 8 x 7. Для этого:
1. На одной руке распрямите столько пальцев, насколько первый множитель больше 5, остальные пальцы подогните: 8 – 5 = 3.
Три пальца распрямите, два согните.
2. На второй руке также выполнить для второго множителя: 7 – 5 = 2.
Два пальца распрямить, а три согнуть.
3. Для результата взять столько десятков, сколько прямых пальцев на обеих руках вместе:
3 + 2 = 5.
4. Количество единиц равно произведению согнутых пальцев:
2 x 3= 6.
Значит, 8 x 7 = 56
Способ можно применять для умножения 6, 7, 8, 9.
Сколько будет 7 умножить на 8 или 8 умножить на 7, легко представить, если большой прямоугольник разбить пополам.
Запишите примеры в столбики:
Таблица умножения на 8
Запишите в столбик примеры.
Таблица умножения на 9
Вы уже догадались, что таблица умножения 9 и умножения на 9 похожи результатами, только множители меняются местами.
А теперь открою вам первый секрет — значения произведений на 9 зеркальны:
Второй секрет:
После знака равно первые цифры от 0 до 9 расставлены по порядку сверху вниз, а вторые цифры от 0 до 9 ‒ снизу наверх.
Третий секрет.
Если сложить количество десятков и единиц в каждом произведении, то получится 9.
Четвертый секрет.
Правило для табличных случаев умножения только на 9. Положите две ладошки перед собой. Отсчитайте слева направо палец, порядковый номер которого равен второму множителю, и согните его. Чтобы умножить, например, семь на девять, согните седьмой палец на руках, как на рисунке. Число десятков находится слева от согнутого пальца, а единиц — справа.
7 x 9 = 63.
А какой палец загнёте при умножении 8 на 9? Правильно — восьмой. Проверьте себя: 8 x 9 = 7
Рассмотрите плакат. На нем показаны все случаи умножения на девять.
Пятый секрет.
Чтобы легче умножить любое число на девять, округлите 9 до 10. Выполните действие умножения, из полученного результата отнимите первый множитель.
Например, чтобы 8 x 9, сначала умножим 8 на 10, получим 80, а затем отнимем 8 и получим 72.
Рассмотрите примеры:
Делимое, делитель
Я — Папус, мастер на все руки. Мой талант проявляется в трудных ситуациях. Всегда готов к подвигу. Усердие, память помогают справляться с заданиями.
Запомните простые правила, которые расскажу.
Компоненты при делении называются так: делимое, делитель, частное.
Число, которое делят, — делимое,
насколько делят — делителем,
то, что получается в результате — частное.
Посмотрите на карточку:
У натуральных чисел может быть два или больше делителей.
Делители числа 42 – натуральные делители 1,2,3,6,7,14,21,42. Самый маленький делитель — 1, наибольший делитель — 42.
Вычислим делимое по делителю и частному
Задание 1. По этому правилу определите делимое в уравнении
В : 8 = 9
в = 9 x 8
в = 72
Проверка:
72 : 8 = 9
9 = 9
Ответ: в = 72. Делимое равно 72
Задание 2. Делитель 7. Частное 8. Запишите, чему равно делимое.
Проверьте себя: 8 x 7=56
Как узнать, чему равен делитель?
Задание 3. Запишите и решите уравнение. Делимое 6. Частное 3.
6 : к = 3
к = 6 : 3
к = 2
Проверка:
6 : 2 = 3
3 = 3
Ответ: к = 2
Заполните таблицу. Связь между компонентами деления
Молодцы, вы хорошо потрудились. Пойдем дальше – будем догонять друзей и по пути немного отдохнем.
Физкультминутка
Чтобы отдохнуть, встанем на зарядку.
Начинаем выполнять все по порядку:
Выпрямились, потянулись,
Руки в стороны, нагнулись,
До носочков дотянулись.
Разогнулись, приседаем и встаем,
Прыгаем на левой ножке,
Скачем-скачем по дорожке.
Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число
Я — Нолик, младший брат Симки. У меня меньше знаний и опыта, чем у сестры, поэтому не всегда угадываю последствия экспериментов. Часто попадаю в непростые ситуации, но спасают друзья. С вами поделюсь тайной математического нуля и единицы.
Сядьте ровно, потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Я уверен, что вы справитесь отлично.
Умножение 0, умножение числа на 0
От 0 можно ожидать разные фокусы. Посмотрите, какой нуль коварный: когда его прибавляют, он не изменяет другое слагаемое, а когда умножают, превращает множитель в 0.
Для умножения числа на 0 применяют переместительный закон умножения:
4 ⋅ 0 = 0 ⋅ 4 = 0.
Запомните правило:
Интересно, что получится, если 0 делить?
Деление нуля на число
0 конфет разделим между нами двоими, ничего не получим или 0. Можно ничего раздавать и на десять, и на сто друзей, все равно будет нуль.
0 : 9 = 0
Проверим:
0 ⋅ 9 = 0
Деление числа на 0
Разделите девять на нуль. Сколько получится?
9 : 0 = ?
Делимое девять должно получиться, если делитель 0 и частное перемножить. Но при умножении на нуль получим не девять, а нуль.
Пример не имеет решения.
Умножение и деление на 1
Решите данное уравнение X ∙ 1 = 48.
Какой множитель надо взять один раз, чтобы получилось 48?
48 умножить на 1, результат будет равен 48.
Значит, умножая на единицу, берешь множитель один раз и в результате выходить столько же.
X = 48.
Чтобы поделить на 1, надо все отдать одному. Например, 48 солдатиков подарить лучшему другу.
X = 48 : 1.
X = 48
Получаем, что при делении на 1 делимое остается прежним.
Запишем решение:
Запомните простое правило, что при умножении и делении на один, число не меняется.
Ученик на контрольной работе решал примеры. Сыграйте роль учителя, проверьте задание.
Ученик допустил четыре ошибки. Он забыл правило умножения на 0 и 0. Таблицу умножения на 1 учить не надо. Число, которое умножают или делят на один, не меняется.
Проверьте себя:
Ребята, вы хорошо потрудились. Раскрываю небольшой секрет, который должен знать каждый.
При умножении на числа, оканчивающиеся 0, дописывайте нулики к значению произведения. Если множитель 10, то в результате допишите один 0, а если умножаете на сто, то два.
А сейчас встречайте Масю, маму Нолика и Симки.
Дорогие друзья, рада всех видеть. Как все мамы, я занимаюсь заготовкой урожая, поэтому знаю много об овощах, фруктах и ягодах. Мой жизнерадостный уравновешенный характер помогает соблюдать чистоту и порядок, а высокая квалификация позволяет решать задачи.
Решение задач с понятиями «масса» и «количество»
Мои ребята любят печеную картошку. А знаете ли вы, что в Россию картофель завез Петр Первый ещё в 17 веке.
В картофеле много витамина В6, витамина С, калия, фосфора и других полезных микроэлементов. Он богат клетчаткой и полезен для пищеварения и сосудов. Но жаренная на масле картошка вредит сосудам и сердцу. Лучше употреблять ее вареной или печеной без жира.
На рынке купили картофель в сетках. Давайте опишем покупку с помощью математики.
Нам понадобится величина. Это такое свойство предметов, которое можно измерить и результат записать с помощью числа. Величина, характеризующая вес тела, называется масса.
В качестве единицы массы часто используют килограмм. В 1799 году ученые придумали такую мерку для измерения веса.
Чему равна масса одной сетки?
10кг
Назовите количество сеток.
3
Задача 1. Определите массу всей покупки.
Как узнать, сколько всего килограммов картофеля купили? 10 ∙ 3 = 30 кг
Задача 2. Для консервирования купили шесть коробок помидоров весом 54 килограмма. Определите массу одной коробки.
Рассуждаем так: 54 кг – это масса всех коробок, таких коробок – 6.
Решение задачи.
Массу одной коробки узнаем действием деления.
54 : 6 = 9(кг)
Ответ: 9 кг весит одна коробка.
Задача 3.
В одну банку входит 8 кг варенья. Сколько нужно банок, чтобы разлить в них поровну 56 кг варенья?
Рассуждаем так: разливаем всю массу варенья по 8кг на банку действием деления.
Решение.
56 : 8 = 7(б.)
Ответ: нужно 7 банок.
Запомните правила, как решаются задачи на массу и количество.
Задача 4.
В подвал на хранение разложили 36 кг слив в 4 ящика. Сколько яблок в 6, а груш в 7 таких ящиках, если масса каждого ящика с фруктами одинаковая?
Что нужно сделать?
Найти массу
Как представить краткую запись?
В виде таблицы
Начертите столбцы, занесите условие и вопрос задачи построчно.
Что надо знать, чтобы найти массу 6 ящиков? 7 ящиков?
Массу одного ящика
36 : 4 = 9(кг)
Каким действием узнаете массу 6 ящиков? 7 ящиков?
9 ∙ 6 = 54(кг)
9 ∙ 7 = 63(кг)
Решите задачу, какая масса ящиков с яблоками и грушами выражением.
36 : 4 ∙ 6 = 54
36 : 4 ∙ 7 = 63
Ответ: в 6 ящиках 54 кг яблок, в 7 ящиках 63 кг груш.
Это интересно: Зимой малиновое варенье становится не только лакомством, но ещё и крайне эффективным лекарством. Оно содержит витамин С, понижает температуру и укрепляет иммунитет.
Повторим, как решать задачи с величинами цена, количество, стоимость
Задача 5.
Прочитайте условие.
Мама купила 7 кг варенья и 8 кг свежих ягод по одинаковой цене. За варенье она заплатила 700 рублей. Сколько стоили ягоды?
Что поможет ответить на вопрос задачи?
Правильно, таблица.
Решение:
- Стоимость разделим на количество, получим цену.
700 : 7 = 100 (руб.) – цена 1 кг варения
- Ответим на вопрос задачи. Цену умножим на количество, получим стоимость.
100 ∙ 8 = 800 (руб.) – стоимость ягод.
Ответ: 800 рублей.
Вы, ребята, молодцы. Есть у нас условный знак – нужно пальцы сделать так.
Только это тайна.
Урок наш подходит к концу и нам нужно подвести его итог:
Продолжите фразу:
сегодня я научился
было интересно
было трудно
Все хорошо потрудились. Спасибо.
В материалах урока использованы кадры из м/с «Фиксики», 2010
Деление чисел
- Делимое, делитель и частное
- Проверка деления
Деление — это арифметическое действие, с помощью которого можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом.
Деление можно представить, как неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 6 разделить на 2 — значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 6:
1) 6 — 2 = 4,
2) 4 — 2 = 2,
3) 2 — 2 = 0.
Повторив вычитание 2 из 6, мы узнали, что 2 содержится в 6 три раза. Это можно проверить сложив три раза по 2 или умножив 2 на 3:
2 + 2 + 2 = 2 · 3 = 6.
Для записи деления используется знак :
(двоеточие), который ставится между числами. Например:
6 : 2.
Эта запись означает, что 6 надо разделить на 2. Справа от записи деления ставится знак =
(равно), после которого записывается полученный результат:
6 : 2 = 3.
Задача. В магазин привезли 9 морковок. Продавщица связала их в пучки по 3 морковки в каждом пучке. Сколько получилось пучков?
Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько раз по 3 содержится в числе 9. Для этого разделим 9 на 3. Получим 3.
Решение можно записать так:
9 : 3 = 3.
Ответ: 3 пучка.
Пример. Решить примеры на деление с помощью схем.
Решение:
1) 4 : 2 = 2;
2) 12 : 4 = 3, 12: 3 = 4.
Делимое, делитель и частное
Делимое — это число, которое делят. Делитель — это число, на которое делят. Например, в записи:
12 : 3,
12 — это делимое, 3 — делитель. Делитель показывает на сколько равных частей нужно разделить делимое.
Частное — это число, которое получается в результате деления. Например, в записи:
12 : 3 = 4,
4 — это частное. При этом сама запись 12 : 3 тоже называется частным.
Эта запись читается так: частное двенадцати и трёх равняется четырём
или двенадцать разделить на три равно четырём
.
Проверка деления
Рассмотрим выражение:
28 : 4 = 7,
где 28 — это делимое, 4 — это делитель, а 7 — частное. Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление, можно:
- Умножить частное на делитель:
7 · 4 = 28,
или умножить делитель на частное:
4 · 7 = 28,
если получится делимое, то деление было выполнено верно.
- Разделить делимое на частное, если получится делитель, то деление было выполнено верно:
28 : 7 = 4.
КОМПОНЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Названия компонентов при сложении:
1 слагаемое, 2 слагаемое, сумма.
Суммой называют не только результат,
но и само выражение .
2 + 3 = 5
2 — первое слагаемое
3 — второе слагаемое
5 — сумма
2 + 3 — сумма
Чтобы
найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Названия компонентов при вычитании:
уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Разностью называют не только
результат действия, но и само выражение.
8 — 3 = 5
8 — уменьшаемое
3 — вычитаемое
5 — разность
8 — 3 — разность
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Названия компонентов при умножении:
множитель, множитель, произведение.
Произведением называют не
только результат действия, но и само выражение.
8 х 3 = 24
8 — множитель
3 — множитель
24 — произведение
8 х 3 — произведение
Чтобы
найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
(24:8=3)
Названия компонентов при делении:
делимое, делитель, частное.
Частным называют не только
результат действия, но и само выражение.
8 : 2 = 4
8 — делимое
2 — делитель
4 — частное
8 : 4 — частное
Чтобы
найти делимое, надо частное умножить на делитель (4х2=8)
Чтобы
найти делитель, надо делимое разделить на частное (8:4=2)
