Дерево случайного опыта как найти вероятность события - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Дерево вероятностей

В этой статье я покажу вам очень простой способ решения некоторых задач по теории вероятностей.
Рассмотрим задачу. Трое друзей Вася, Петя и Слава купили торт, и решили его съесть. Они разделили торт на три равных части. Внезапно появился четвертый друг Коля, и друзья решили отрезать ему по кусочку от своей доли. Вася отрезал 1/3 от своего куска, Петя 1/4, а Слава – половину. Какую часть всего торта получил в итоге Коля?

Изобразим ситуацию, описанную в задаче в виде такой схемы:

Сначала торт разрезали на три равные части, и каждому из трех друзей досталось по 1/3 торта.

Дерево вероятностей

Затем пришел Коля и каждый мальчик отрезал ему соответствующую часть своего куска:

Дерево вероятностей

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. То есть Вася отдает Коле часть торта, Петя — часть торта, а Слава часть торта.

В итоге Коля получит часть тортa.

Когда мы ищем вероятность события, мы ищем, какую часть благоприятные исходы составляют от общего числа исходов. Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития событий часто используют схему «дерева вероятностей», аналогичную приведенной выше.

Решим еще одну задачу.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Изобразим ситуацию в виде дерева вероятностей:

Все стекла делятся на те, которые выпускает первая фабрика и на те, которые выпускает вторая:

Дерево вероятностей

Стекла, которые выпускает каждая фабрика делятся на бракованные и пригодные. Из стекол, которые выпускает первая фабрика 4% бракованных, и из тех, которые выпускает вторая – 1% бракованных:

Дерево вероятностей

Нас интересуют бракованные стекла, которые выпускаются первой или второй фабрикой. Найдем, какую часть эти стекла составляют от всех стекол:

Ответ: 0,019

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать

Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 140 человек из 43 регионов

Сейчас обучается 75 человек из 34 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Теория вероятностей в заданиях ЕГЭ.
Дерево вероятностей
2 слайд

Задания домашней контрольной работы, вызвавшие затруднения
1. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 этих стекол, вторая – 65 . Первая фабрика выпускает 3 бракованных стекол, а вторая – 5 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
3. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода.
3 слайд

Задания домашней контрольной работы, вызвавшие затруднения
4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 85% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 65% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
5. Семья с детьми совершает прогулку по дорожкам парка. На каждой развилке они наудачу выбирают следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к киоску с мороженым А, другие к киоску с игрушками В, третьи к пруду с лебедями С. Найдите вероятность того, что семья выйдет к пруду с лебедями.
6. В коробке лежат 3 красных и 7 черных шаров. Найдите вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными.
7. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
4 слайд

Дерево вероятностей
Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития событий часто используют схему «дерево вероятностей»
6 слайд

2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,019
7 слайд

3. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода.

Ответ: 0,756
8 слайд

4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 65 % яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 85% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Ответ: 0,25
9 слайд

5. Семья с детьми совершает прогулку по дорожкам парка. На каждой развилке они наудачу выбирают следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к киоску с мороженым А, другие к киоску с игрушками В, третьи к пруду с лебедями С. Найдите вероятность того, что семья выйдет к пруду с лебедями.

Ответ: 0,35
10 слайд

6. В коробке лежат 3 красных и 7 черных шаров. Найдите вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными.
Вероятность вынуть два определенных шара одновременно равна вероятности вынуть эти два шара последовательно без возвращения их в коробку.
11 слайд

7. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.
Обе двухрублевые монеты окажутся в одном кармане, если Петя переложил в другой карман три монеты по рублю, или две монеты по 2 рубля и одну монету по 1 рублю.
12 слайд

7. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.
13 слайд

РЕФЛЕКСИЯ
Я знаю…

Я умею…

У меня вызывает трудность…
14 слайд

Домашняя работа
Выполнить контрольную работу №6073717 на сайте http://reshuege.ru/

Краткое описание документа:

Одним из важных разделов ЕГЭ по математике является решение комбинаторных задач путем организованного перебора возможных вариантов, с использованием правила умножения, нахождение вероятности случайных событий.

Урок «Теория вероятностей в заданиях ЕГЭ. Дерево вероятностей» является вторым в разделе «Теория вероятностей», организованном при повторении и обобщении знаний при подготовке к ЕГЭ в 11классе. Урок построен с использованием приёмов информационно-коммуникационных технологий, а также беседы.

Презентация составлена с использованием компьютерной программы Microsoft PowerPoint, что позволяет ярко представить материал с необходимой информацией. Использование презентации сокращает время обучения, и облегчает усвоение материала.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 264 580 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

28.03.2015
1604
0

Рейтинг:
5 из 5

28.03.2015
3031
0

28.03.2015
747
0

Рейтинг:
4 из 5

28.03.2015
3180
36

28.03.2015
1025
1

27.03.2015
1326
5

27.03.2015
1407
2

Источник

Я обещала разобрать задачи по теории вероятностей из итоговой диагностики 8 класса.
https://klarissa45.livejournal.com/406026.html
Диагностика проходила за компьютерами, учитывались только ответы

В одном из вариантов задача была такой
В группе туристов 51 человек. Среди них Алексей и Иван.
Туристы в случайном порядке рассаживаются в красный, синий и зелёный автобусы.
а) Какова вероятность, что Алексей и Иван окажутся в одном автобусе?
б) Какова вероятность, что в красном автобусе не окажутся ни Алексей, ни Иван?

А в другом варианте были два профессора со своими докладами

На конференции запланировано 16 докладов, в том числе доклад профессора А и доклад профессора Б
Конференция проходит с понедельника по четверг, оргкомитете распределяет докладчиков случайным образом
по 4 доклада в день.
а) Какова вероятность, что доклад профессора А и доклад профессора Б будут назначены на один день?
б) Какова вероятность, что доклад профессора А и доклад профессора Б не будут запланированы на понедельник?

Скажем прямо-это задачи ЕГЭ.
Хотя там тоже можно загнуть ещё более сложную задачу
[Spoiler (click to open)] Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 20 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Но одновременно это и задачи курса теории вероятностей Математической вертикали.
Чтобы решить эти задачи, надо уметь строить деревья.
Хотя на первый вопрос задачи можно ответить и без дерева.

«Пусть Алексей занял место в каком-то автобусе. Тогда в этом месте осталось 17-1=16 мест, на которые претендуют 51-1=50 человек. Вероятность равна 16/50 или 0,32»

« Пусть профессор А уже выступает в определенный день, тогда у профессора Б есть возможность стать одним из 3 выступающих в этот день. Но таких претендентов 15. А значит вероятность равна 3/15 или 0,2»

Или с помощью дерева

Задание а)
Первый уровень — уровень Алексея ( мы его первым сажаем в автобус), а второй уровень — уровень Ильи, потом мы его сажаем.

Задания а) и б)

Крестиками зачеркнуты ветки дерева, которые нам не нужны.
То есть первый мальчик в красном автобусе или второй мальчик в красном

А теперь теория, это статья И.Р. Высоцкого из журнала «Математика»

https://ptlab.mccme.ru/sites/ptlab.mccme.ru/files/ob_uslovnoy_veroyatnosti.pdf

В другой статье И.Р.Высоцкий пишет: «Дерево позволяет рассматривать составной эксперимент как бы по частям. Иногда удобно мысленно расположить случайные события во времени, хотя нужно помнить, что эта очередность условная. Событие А можно рассматривать при условии, что событие В произошло. Точно так же можно считать, что случилось событие А, и тогда ставить вопрос о вероятности события В. Эти условные вероятности удобно надписывать около соответствующих ребер дерева. Это наглядно, и этому легко научиться. Даже при небольшом навыке деревья становятся излюбленным способом решения многих задач.»

Источник

Probability

Andrew F. Siegel, Michael R. Wagner, in Practical Business Statistics (Eighth Edition), 2022

Summary

To understand random, unpredictable real-world situations, we begin by narrowing down the possibilities and carefully setting up an exact framework for the study of probability. A random experiment is any well-defined procedure that produces an observable outcome that could not be perfectly predicted in advance. Each random experiment has a sample space, which is a list of all possible outcomes of the random experiment, prepared in advance without knowing what will happen when the experiment is run. Each time a random experiment is run, it produces exactly one outcome, the result of the random experiment, describing and summarizing the observable consequences. An event either happens or does not happen each time the random experiment is run; formally, an event is any collection of outcomes specified in advance before the random experiment is run. There may be more than one event of interest for a given situation.

Associated with every event is a number between 0 and 1, called its probability, which expresses how likely it is that the event will happen each time the random experiment is run. If you run a random experiment many times, the relative frequency of an event is the proportion of times the event occurs out of the number of times the experiment is run. The law of large numbers says that the relative frequency (a random number) will be close to the probability (an exact, fixed number) if the experiment is run many times. Thus, a relative frequency based on past data may be used as an approximation to a probability value. A theoretical probability is computed using an exact formula based on a mathematical theory or model such as the equally likely rule; that is, if all outcomes are equally likely, then

Probabilityofanevent=NumberofoutcomesintheeventTotalnumberofpossibleoutcomes

A subjective probability is anyone’s opinion (use an expert, if possible) of what the probability is for an event. The methods of Bayesian analysis in statistics involve the use of subjective probabilities in a formal, mathematical way. A non-Bayesian analysis is called a frequentist analysis and does not use subjective probabilities in its computations, although it is not totally objective, because opinions will have some effect on the choice of data and model (the mathematical framework).

A Venn diagram is a picture that represents the universe of all possible outcomes (the sample space) as a rectangle with events indicated inside, often as circles or ovals, as in Fig. 6.6.1. The complement of an event is another event that happens only when the first event does not happen. The complement rule is

Fig. 6.6.1. Venn diagrams provide an effective display of the meanings of the operations not, and, and or, which define events in terms of other events.

Probabilityof»notA»=1−ProbabilityofA

The intersection of two events is an event that occurs whenever one event and the other event both happen as a result of a single run of the random experiment.

Two events that cannot both happen at once are said to be mutually exclusive events. The rules for two mutually exclusive events are

Probabilityof»AandB»=0Probabilityof»AorB»=ProbabilityofA+ProbabilityofB

The union of two events is an event that occurs whenever one event or the other event happens (or both events happen) as a result of a single run of the random experiment. Based on the knowledge of any three of the four probabilities (for A, B, “A and B,” and “A or B”), the remaining probability can be found using one of the following formulas:

Probabilityof»AorB»=ProbabilityofA+ProbabilityofB−Probabilityof»AandB»Probabilityof»AandB»=ProbabilityofA+ProbabilityofB−Probabilityof»AorB»

When you revise the probability of an event to reflect information that another event has occurred, the result is the conditional probability of that event given the other event. Ordinary (unrevised) probabilities are called unconditional probabilities. Conditional probabilities are found as follows (and are left undefined if the given information has probability zero):

Conditional probability of A given B

=Probabilityof»AandB»ProbabilityofB

For two mutually exclusive events, the conditional probability is always zero (unless it is undefined for technical reasons).

Two events are said to be independent events if information about one event does not change your assessment of the probability of the other event. If information about one event does change your assessment of the probability of the other, we say that the events are dependent events. Use any one of the following formulas to find out if two events are independent. Events A and B are independent if any one of these formulas is true:

ProbabilityofA=ConditionalprobabilityofAgivenBProbabilityofB=ConditionalprobabilityofBgivenAProbabilityof»AandB»=ProbabilityofA×ProbabilityofB

The third formula may be used to find the probability of “A and B” for two events that are known to be independent but gives wrong answers for dependent events. Two independent events cannot be mutually exclusive unless one of the events has probability zero.

A probability tree is a picture indicating probabilities and some conditional probabilities for combinations of two or more events. One of the easiest ways to solve a probability problem is to construct the probability tree and then read the answer. All probabilities and conditional probabilities may be found by adding up numbers from the tree or by applying the formula for a conditional probability. Here are the four rules used to construct and validate probability trees:

1.: Probabilities are listed at each endpoint and circled. These add up to 1 (or 100%) at each level of the tree.
2.: The circled probability at a branch point is the sum of the circled probabilities at the ends of all branches coming out from it to the right.
3.: Conditional probabilities are listed along each branch (except perhaps for the first level) and add up to 1 (or 100%) for each group of branches coming out from a single point.
4.: The circled probability at a branch point times the conditional probability along a branch gives the circled probability at the end of the branch (on the right).

The joint probability table for two events lists probabilities for the events, their complements, and combinations using and. Conditional probabilities can then be found by using the formula for a conditional probability.

Read full chapter

URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200254000063

Probability

Gary Smith, in Essential Statistics, Regression, and Econometrics (Second Edition), 2015

A Chimp Named Sarah

A flipped coin always has two sides. A rolled die always has six sides. In other cases, the number of possible outcomes changes as we move through a probability tree.

Consider, for example, studies of a chimpanzee named Sarah. In one experiment, Sarah was shown a series of plastic symbols of varying color, size, and shape that formed a question. To answer the question correctly, Sarah had to arrange the appropriate symbols in correct order. In a very simple version, Sarah might be given three symbols—which we label A, B, and C—to arrange in correct order (for example, “bread in bowl”). How many possible ways are there to arrange these three symbols?

As shown in Figure 4.3, the first symbol has three possibilities: A, B, or C. Given the choice of the first symbol, there are only two possibilities for the second symbol. For example, if A is selected as the first symbol, the second symbol must be either B or C. Given the choice of the first two symbols, there is only one remaining possibility for the third symbol. If A and B are the first two symbols, then C must be the third symbol.

Figure 4.3. Probability tree for Sarah’s choices [3].

Thus, the probability tree in Figure 4.3 has three initial branches, followed by two branches and then one final branch. In all, there are 3(2)(1) = 6 possible outcomes. The probability that a random arrangement of three symbols will be in the correct order is 1/6.

In more complicated problems, a probability tree would be very messy but, by remembering how a probability tree is constructed, we can determine the number of possible outcomes without actually drawing a tree. For instance, in one of Sarah’s experiments, she had to choose four out of eight symbols and arrange these four symbols in the correct order. Visualizing a probability tree, there are eight possible choices for the first symbol and, for each of these choices, there are seven possible choices for the second symbol. For any choice of the first two symbols, there remain six possibilities for the third symbol and then five possibilities for the fourth symbol. Thus, the total number of possible outcomes is 8(7)(6)(5) = 1680. The probability that four randomly selected and arranged symbols will be correct is 1/1680 = 0.0006. Sarah’s ability to do this task provided convincing evidence that she was making informed decisions and not just choosing symbols randomly.

Read full chapter

URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128034590000042

Probability and statistics

Mary Attenborough, in Mathematics for Electrical Engineering and Computing, 2003

Example 21.9

What is the probability that the first throw of a die will be a 5 and the second throw will be a 5 or 6?

Solution A is the set of those outcomes with the first throw a 5 and B is the set of those outcomes with the second throw a 5 or 6. We can use a probability tree in the following way. After the first throw of the die either A is true or not, that is, we have only two possibilities, A or A’. After that, we are interested in whether B happens or not. Again we either get B or B’. We get the probability tree as in Figure 21.13.

Figure 21.13. A probability tree showing conditional probabilities.

Here, p(B|A) means the probability of B given A, similarly p(B|A′) means the probability of B given (not A). We can fill in the probabilities using our knowledge of the fair die. The probability of A is 1/6. The second throw of the die is unaffected by the throw first throw of the die; therefore

p(B)=p(throwing a 5 or a 6 on one throw of the die)=26=13.

Working out the other probabilities gives the probability tree in Figure 21.14.

Figure 21.14. The probability for Example 21.9.

The probability that the first throw of a die will be a 5 and the second throw will be a 5 or 6 is p(B∩A), given from the tree in Figure 21.14 as

26×13=118.

Notice that the probability we have calculated is the intersection of the two events A and B, that is, we calculated the probability that both occurred. When multiplying the probabilities on the branches of the probability tree we are using the following:

p(A ∩ B)=p(A)p(B|A).

Furthermore, because of independence we have used the fact that p(B|A) = p(B). That is, the probability of B does no depend on whether A has happened or not: B is independent of A. We, therefore, have the following important results.

Read full chapter

URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780750658553500474

Random Variables

Andrew F. Siegel, Michael R. Wagner, in Practical Business Statistics (Eighth Edition), 2022

Definition of Binomial Distribution and Proportion

Focus attention on a particular event. Each time the random experiment is run, either the event happens or it does not. These two possible outcomes give us the bi in binomial. A random variable X, defined as the number of occurrences of a particular event out of n trials, has a binomial distribution if:

1.: For each of the n trials, the event always has the same probability π of happening.
2.: The trials are independent of one another.

The independence requirement rules out “peeking,” as in the case of the distribution of people who order the special at a restaurant. If some people order the special because they see other customers obviously enjoying the rich, delicious combination of special aromatic ingredients and say, “WOW! I’ll have that too!” the number who order the special would not follow a binomial distribution. Choices have to be made independently in order to get a binomial distribution.

The binomial proportion p is the binomial random variable X expressed as a fraction of n:

Binomial Proportion

p=Xn=NumberofoccurencesNumberoftrials

(Note that π is a fixed number, the probability of occurrence, whereas p is a random quantity based on the data.) For example, if you interviewed n = 600 shoppers and found that X = 38 plan to buy your product, then the binomial proportion would be

p=Xn=38600=0.063,or6.3%

The binomial proportion p is also called a binomial fraction. You may have recognized it as a relative frequency, which was defined in Chapter 6.

Example

How Many Orders Are Placed? The Hard Way to Compute

This example shows the hard way to analyze a binomial random variable. Although it is rarely necessary to draw the probability tree, because it is usually quite large, seeing it once will help you understand what is really going on with the binomial distribution. Furthermore, when the shortcut computations are presented (the easy way), you will appreciate the time they save!

Suppose you are interested in the next n = 3 telephone calls to the catalog order desk, and you know from experience (or are willing to assume⁴) that π = 0.6, so that 60% of calls will result in an order (the others are primarily calls for information or are misdirected). What can we say about the number of calls that will result in an order? Certainly, this number will be either 0, 1, 2, or 3 calls. Because a call is more likely to result in an order than not, we should expect the probability of getting three orders to be larger than the probability of getting none at all. But how can we find these probabilities? The probability tree provides a complete analysis, as shown in Fig. 7.2.1A, indicating the result of each of the three phone calls.

Fig. 7.2.1. (A) The probability tree for three successive telephone calls, each of which either does or does not result in an order being placed. There are eight combinations (the circles at the far right). In particular, there are three ways in which exactly two calls could result in an order: the second, third, and fifth circles from the top, giving a probability of 3 × 0.144 = 0.432. (B) The binomial probability distribution of the number of calls that result in an order being placed.

Note that the conditional probabilities along the branches are always 0.60 and 0.40 (the individual probabilities for each call) because we assume orders occur independently and do not influence each other. The number of orders is listed at the far right in Fig. 7.2.1A; for example, the second number from the top, 2, reports the fact that the first and second (but not the third) callers placed an order, resulting in two orders placed. Note that there are three ways in which two orders could be placed. To construct the probability distribution of the number of orders placed, you could add up the probabilities for the different ways that each number could happen:

Number of Callers Who Ordered, X	Percentage Who Ordered, p = X/n	Probability
0	0.0	0.064
1	33.3	0.288 (= 0.096 + 0.096 + 0.096)
2	66.7	0.432 (= 0.144 + 0.144 + 0.144)
3	100.0	0.216

This probability distribution is displayed in Fig. 7.2.1B.

Now that you have the probability distribution, you can find all of the probabilities by adding the appropriate ones. For example, the probability of at least two orders is 0.432 + 0.216 = 0.648. You can also use the formulas for the mean and standard deviation from Section 7.1 to find the mean value (1.80 orders) and the standard deviation (0.849 orders). However, this would be too much work! There is a much quicker formula for finding the mean, standard deviation, and probabilities. Although it was possible to compute directly in this small example, you will not usually be so lucky. For example, had you considered 10 successive calls instead of 3, there would have been 1024 probabilities at the right of the probability tree instead of the eight in Fig. 7.2.1.

Think of this example as a way of seeing the underlying situation and all combinations and then simplifying to a probability distribution of the number of occurrences. Conceptually, this is the right way to view the situation. Now let us learn the easy way to compute the answers.

Read full chapter

URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200254000075

Towards an Interdisciplinary Perspective on the Life Course

Gilbert Ritschard, Michel Oris, in Advances in Life Course Research, 2005

Classically, the quality of a tree is evaluated in terms of its classification predictive quality, which is measured by the correct classification rate of the tree. Recall that the classification is done by assigning to each case the most frequent value in its leaf. For our tree, the correct classification rate is 57.6%. This corresponds to a 42.4% error rate. At the root node, before introducing any predictor, the correct classification rate is 44.4%, which gives an error rate of 55.6%. Our tree allows thus a 24% (= (55.6-42.4)/55.6) reduction of the error rate. These figures are, nevertheless, irrelevant in our case, since we are not using the tree for classification purposes. We do not consider the classification results. The descriptive knowledge considered follows directly from the distributions inside the nodes. Hence, we consider the tree as a probability tree rather than a classification tree. In Ritschard and Zighed (2003), we have proposed indicators that better suit this descriptive point of view. We can, for instance, measure with a likelihood-ratio χ² (G2) the divergence between the distributions predicted by the tree (those in the leaves) and those of the finest partition that our four predictors may generate.⁹ We get 312.5 for 300 degrees of freedom, and its p-value is 29.8% indicating apparently a good fit. Note that though the four predictors define theoretically 576 different profiles, only the 163 actually observed are taken into account. When these profiles are cross tabulated with the three statuses, we get 489 cells. For 572 data, this gives an average of a bit more than one per cell, which is insufficient to ensure the χ² distribution of G². Hence, we should not attach here too much confidence to the p-value (Table 6).

Table 6. Goodness-of-Fit of the Tree and Subtrees

Tree	G²	Df	sig	BIC	AIC	Pseudo R²
Independent	482.3	324	0.000	2319.6	812.3	0
Level 1	408.2	318	0.000	1493.9	750.2	0.14
Level 2	356.0	310	0.037	1492.5	714.0	0.23
Level 3	327.6	304	0.168	1502.2	697.6	0.28
Fitted	312.5	300	0.298	1512.5	690.5	0.30
Saturated	0	0	1	3104.7	978.0	1

Read full article

URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1040260805100112

Источник

Решение задач с помощью дерева вероятностей.
RAR / 5.92 Мб
Муниципальное общеобразовательное учреждение

Верхнедонская гимназия

Ст. Казанская

Ростовская область

Мастер-класс

«Решение задач с помощью дерева вероятностей»

Подготовила

учитель математики

Полиёва Е.И.

Ст. Казанская

Цели:

познакомить с понятием графа, вероятностного дерева;

рассмотреть методы решения задач с помощью графа, дерева вероятностей;

рассмотреть формы и методы закрепления знаний, умений и навыков

Оборудование:

интерактивная доска SmartBoard;

мультимедийный проектор;

персональный компьютер (ПК) учителя

презентация «Решение задач с помощью дерева вероятностей»

раздаточный материал (распечатать каждому ученику)

тренажер

самостоятельная работа

Слайд 1.

Задача №4 профильного уровня и задача №10 базового уровня – это задания по теории вероятности. Сегодня мы с вами рассмотрим задачи, для решения которых удобно использовать дерево вероятностей – это простой способ решения некоторых задач.

Слайд 2.

Рассмотрим две задачи на извлечение шаров из урны.

Задачу №1, мы с вами решали, когда рассматривала классическое определение вероятности.

А вот для того, чтобы решить задачу №2, надо построить дерево вероятностей (граф)

Слайд 3.

Прежде, чем рассмотреть решение задач, введем ряд определений и понятий.

Дерево вероятностей графически представляет последовательность возможных выводов, решений и результатов, т.е. мы пытаемся представить ход бедующих событий.

Круг – событие

Ветвь (направленная линия) – исход, информация вероятности появления

Слайд 4.

В некоторых задачах дерево построено прямо в условии. В других задачах это дерево надо построить

Слайд 5. Задача №1

Рассмотрим задачи, в которых дерево уже построено.

Схема дорожек – это граф, а именно дерево, ребра – дорожки (маршрут).

Напишем около каждого ребра вероятность: (записать с помощью стиуса на интерактивной доске)

— Из точки А ведут две дорожки, поэтому вероятность того, что Павел Иванович выберет дорожку АВ или дорожку АС равна .

— Из точки В – четыре дорожки – вероятность из точки С – три дорожки – вероятность .

-В точку G попадет, если он пройдет дорожку АВ (И) дорожку BG. Вероятность находится умножением вероятностей вдоль дорожек.

-Результат

Слайд 6. Задача №2

В болото ведут три маршрута.

Напишем на ребрах вдоль маршрутов соответствующие вероятности.

Надо найти вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов. (ИЛИ – ИЛИ) — вероятности соответствующих конечных вершин складываются.

Ответ.

Слайд 7. Задача №3

Нарисуем маршрут перемещения мышки (маршрут рисуется на интерактивной доске с помощью стиуса).

Расставим на перекрестах стрелки в направлениях, по которым мышка может двигаться.

Подпишем вероятности выбора пути.

Вероятность найдем умножением вероятностей перемещения мышки до Выхода В.

Ответ. 0,0625

Слайд 8. Задача №4

Изобразим ситуацию в виде дерева вероятностей.

Все стекла делятся на:

—выпускаются первой фабрикой (обозначим I)

-выпускаются второй фабрикой (обозначим II)

Фабрики выпускают:

-бракованные (обозначим Б)

-пригодные (не бракованные)(обозначим неБ)

Нас интересуют бракованные стекла, которые выпускает первая ИЛИ вторая фабрика

Ответ. 0,025

Слайд 9. Задача №5

Предложить решить ученику с объяснениями у доски.

Слайд 10-16. Решение задачи на извлечение шаров из урны.

Решение задач. Тренажер. (приложение распечатать и выполнять на этих же листочках).

Данный материал предназначен для отработки умений и навыков по теме «Решение задач с помощью дерева вероятностей». Тренажер можно использовать и на уроке, и на дополнительных заданиях по подготовке к ЕГЭ.

Задачи №1- №5 решаются совместно с учителем, №6 — №10 – самостоятельно с последующей проверкой.

Контроль усвоения материала. Самостоятельная работа.

Источник