Как определить длину волны де Бройля для электрона
Содержание:
- Волна де Бройля или волна амплитуды вероятности
- Природа волн де Бройля, фазовая и групповая скорость
- Какой формулой определяется длина волны
- Как определить длину волны де Бройля для электрона
Волна де Бройля или волна амплитуды вероятности
Волна де Бройля является волной вероятности или волной амплитуды вероятности, которая определяет плотность вероятности обнаружения объекта в конкретной точке конфигурационного пространства.
Согласно определения волн де Бройля, можно сделать вывод об их взаимодействии с какими-либо частицами и их волновой природе. Формулировка волн материи была введена в науку в 1924 году французским физиком-теоретиком Луи де Бройлем. Благодаря теории, свойство корпускулярно-волнового дуализма (или двойственности) было распространено на любые проявления материи, включая излучение и какие-либо частицы вещества.
В современной квантовой теории «волна материи» понимается несколько иначе. Однако название данного физического феномена, связанного с частицами вещества, включая водород, сформулировано в честь автора гипотезы.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В 1913 году Н. Бор предложил полуклассическую модель атома, в основе которой было два постулата:
- Момент импульса электрона в атоме строго определен. Величина в любом случае пропорциональна nh/2π, где n – какое-либо целое число, начиная с 1, а h – постоянная Планка, присутствие которой в формуле ясно свидетельствует о том, что момент импульса частицы квантован. Таким образом, атом включает комплекс разрешенных орбит, по которым только и может перемещаться электрон. Когда электрон расположен на этих орбитах, излучение (то есть потеря энергии) отсутствует.
- Атомный электрон излучает или поглощает энергию в процессе перехода с одной орбиты на другую в количестве, определяемом, как разность энергий на этих орбитах. В связи с тем, что промежуточные состояния между разрешенными орбитами отсутствуют, излучение строго квантуется. Показатель его частоты составляет (E1 – E2)/h, что является выводом из формулы Планка для энергии E = hν.
Таким образом, боровская модель атома не предусматривает излучение электрона на орбите, его нахождение между орбитами. Однако согласно простой рассматриваемой модели, движение электрона рассматривают с классической точки зрения, как вращение планеты вокруг Солнца.
В процессе поиска ответа на вопрос о поведении электрона Де Бройль предположил, что электрону в любом случае должна соответствовать определенная волна. Благодаря ей, частица «выбирает» исключительно такие орбиты, на которых данная волна укладывается целое число раз. В этом и заключался смысл целочисленного коэффициента в постулированной Бором формуле.
Гипотеза приводит к выводу, что электронная волна де Бройля не является электромагнитной, а волновые параметры должны быть характерны для любых материальных частиц, а не только для электронов в атоме. Ученому удалось получить важное соотношение, с помощью которого можно определить тип этих рассматриваемых волновых свойств. Формула расчета волны де Бройля:
(λ = h/p)
где λ – является длиной волны, p – определяет импульс частицы в уравнении.
Де Бройль объединил в одном соотношении корпускулярную и волновую характеристики материи: такие, как импульс и длина волны. Данные параметры связывает постоянная Планка, величина которой примерно составляет (6,626*10^{-27} эрг∙с) или (6,626*10^{-34} Дж∙с), задающая масштаб проявления волновых свойств вещества.
Природа волн де Бройля, фазовая и групповая скорость
Следует отметить, что волны де Бройля, называемые электронными волнами, не являются электромагнитными. В 1927 году американским физикам Дэвиссону и Джермеру удалось подтвердить гипотезу де Бройля. Ученые обнаружили дифракцию электронов на кристалле никеля. В процессе получилось определить дифракционные максимумы, которые соответствуют формуле Вульфа-Брэггов:
(2dsinj = nl)
Расчет брэгговской длины волны подтвердил ее соответствие формуле:
В дальнейшем гипотеза де Бройля была подтверждена опытным путем Л.С. Тартаковским и Г. Томсоном. Ученым удалось зафиксировать дифракционную картину, когда пучок быстрых электронов при Е≈ 50 кэВ проходит сквозь фольгу из разных металлов.
Чуть позже получилось обнаружить дифракцию нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. В дальнейшем были изобретены инновационные методики исследования вещества, включая нейтронографию и электронографию, сформировалось направление электронной оптики.
Макротела должны характеризоваться аналогичными свойствами. В случае, если m = 1кг, (l = 6,62*10^{-31} м) – невозможно обнаружить современными методами – поэтому макротела рассматриваются только в качестве корпускул.
В том случае, когда частица с массой m перемещается со скоростью v, фазовая скорость волн де Бройля будет определяться по формуле:
Исходя из того, что c > v, фазовая скорость волн де Бройля превышает скорость света в вакууме. Можно отметить, что фазовая скорость Vф может быть больше и может быть меньше с, в отличие от групповой скорости. Формула групповой скорости:
Таким образом, групповая скорость волн де Бройля соответствует скорости движения частицы. В случае фотона она будет равна:
В результате, значение групповой скорости равно скорости света.
Волны де Бройля подвержены дисперсии. Если подставить выражение:
в формулу:
получим следующее равенство:
(Vф= f(λ))
Примечание
Так как присутствует дисперсия, волны де Бройля невозможно представить, как волновой пакет. В противном случае, он мгновенно «расплывется», то есть исчезнет, в течение 10-26 с.
Какой формулой определяется длина волны
Количественные соотношения, которые связывают корпускулярные и волновые способности частиц, аналогичны свойствам фотонов:
Гипотеза де Бройля основана на универсальном характере данного равенства, что справедливо в условиях любых волновых процессов. Какой-либо частице, которая обладает импульсом р, соответствует волна. Ее длину можно определить с помощью формулы де Бройля:
p =mv— является импульсом частицы, h – определяется, как постоянная Планка.
Как определить длину волны де Бройля для электрона
Рассчитать длину волны де Бройля для электрона можно на конкретном примере. Предположим, то требуется определить длину волны де Бройля λ для электрона, кинетическая энергия которого составляет:
- W1 = 10 кэВ;
- W2 = 1 МэВ.
В первую очередь стоит записать исходные данные:
(m_{e}=9,1*10^{-31} кг)
(W1 = 10 кэВ = 10*10^{3}*1,6*10^{-19} = 1,6*10^{-15}Дж)
(W2 = 1 МэВ = 10*10^{6}*1,6*10^{-19}= 1,6*10^{-13} Дж)
Требуется найти λ.
Решение:
Формула волны де Бройля:
Так как известна кинетическая энергия электронов, можно рассчитать их скорость:
Далее можно определить длину волны де Бройля:
В том случае, когда скорость v частиц соизмерима со скоростью света с, длину волны де Бройля можно рассчитать по формуле:
In English
Длина волны де
Бройля
Из
проекта Викизнание
Длина волны де Бройля — длина волны, которая
проявляется у всех частиц в квантовой механике согласно корпускулярно-волновому
дуализму, и определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданной
точке конфигурационного пространства. Длина волны де Бройля обратно
пропорциональна импульсу частицы.
Оглавление
- 1 Определение
- 2 Вывод
формулы для длины волны де Бройля - 2.1 Волны внутри частиц
- 2.2
Электроны в атомах - 2.3 Другие
модели - 3 Ссылки
- 4 Внешние
ссылки
Определение
В 1924 году французский физик Луи де Бройль предположил, что для частиц
справедливы те же самые соотношения, что и для фотона: [1]
где 
и 
– энергия и импульс фотона, 
и 
– частота и длина
волны фотона, 
– постоянная
Планка, 
– скорость света.
Отсюда следует определение длины волны де Бройля через постоянную
Планка и релятивистский импульс частицы:
В отличие от фотонов, которые всегда движутся с одной и той же скоростью,
равной скорости света, у частиц согласно специальной теории относительности
импульсы зависят от массы 
и от скорости движения 
по формуле
Вывод формулы для длины волны де Бройля
Существует несколько объяснений тому, что в экспериментах с частицами
проявляется длина волны де Бройля. Однако не все эти объяснения могут быть
представлены в математической форме, либо они не дают физического механизма,
обосновывающего формулу (1).
Волны внутри частиц
При возбуждении одних частиц другими в ходе эксперимента, или при
столкновениях частиц с измерительными приборами, в частицах могут возникать
внутренние стоячие волны. Это могут быть электромагнитные волны либо волны,
связанные с сильным взаимодействием частиц, с сильной гравитацией в гравитационной модели сильного
взаимодействия, и т.д. С помощью преобразований Лоренца можно пересчитать
длину волны этих внутренних колебаний в длину волны, которую обнаруживает
внешний наблюдатель, проводящий эксперимент с движущимися частицами. Расчёт
даёт формулу для длины волны де Бройля, [2] [3] [4]
а также скорость распространения волны де Бройля:
где 
– период колебаний
волны де Бройля.
Таким образом, выявляются основные черты, связанные с корпускулярно-волновым
дуализмом – если энергия внутренних стоячих волн в частицах достигает энергии
покоя этих частиц, то длина волны де Бройля вычисляется так же, как у фотонов
при соответствующем импульсе. Если же энергия 
возбуждения частиц меньше энергии покоя 
, то
длина волны получается по формуле:
где 
– импульс той
массы-энергии, которая связана с внутренними стоячими волнами, и движется
вместе с частицей со скоростью .
Очевидно, что в экспериментах в основном проявляется длина волны де Бройля
(1), как граничная и наименьшая величина для длины волны (2). В то же время
эксперименты со множеством частиц могут не дать
однозначного значения для длины волны 
по формуле (2) – если энергии возбуждения
частиц не контролируются и различаются у разных частиц, то разброс значений
будет слишком велик. Чем выше
энергии взаимодействий и энергии возбуждения частиц, тем ближе они будут к
энергии покоя и тем ближе будет длина волны 
к 
.
Лёгкие частицы наподобие электронов быстрее
приобретают скорость порядка скорости света, становятся релятивистскими и уже
при малых энергиях демонстрируют квантовые и волновые свойства.
Кроме длины волны де Бройля, преобразования Лоренца дают ещё одну длину волны
и её период:
Эта длина волны испытывает лоренцевское сокращение по сравнению с длиной
волны 
в сопутствующей
частице системе отсчёта. Кроме этого, эта волна имеет скорость своего
распространения, равную скорости движения частицы. В предельном случае, когда
энергия возбуждения частиц равна энергии покоя, 
,
для длины волны имеем:
Полученная длина волны есть не что иное, как комптоновская длина волны в
эффекте Комптона, с поправкой на фактор Лоренца.
В представленной картине появление волны де Бройля и корпускулярно-волновой
дуализм трактуются как чисто релятивистский эффект, возникающий как следствие
лоренцевского преобразования стоячей волны, движущейся вместе с частицей. При
этом, поскольку длина волны де Бройля ведёт себя подобно длине волны фотона с
соответствующим импульсом, что объединяет частицы и волны, волны де Бройля
считаются волнами вероятности, связанными с волновой функцией. В квантовой
механике принимается, что квадрат амплитуды волновой функции в данной точке в
координатном представлении задаёт плотность вероятности обнаружения частицы в
этой точке.
У частиц электромагнитный потенциал спадает обратно пропорционально квадрату
расстояния от частицы до точки наблюдения, потенциал сильного взаимодействия в гравитационной модели сильного
взаимодействия ведёт себя аналогично. При возникновении внутренних
колебаний в частице колеблется и потенциал поля вокруг частицы, и следовательно, амплитуда волны де Бройля быстро растёт при
приближении к частице. Это как раз соответствует тому, что частица с большей
вероятностью находится там, где больше амплитуда её волновой функции. Это верно
для чистого состояния, например, для одной частицы. Если же имеется смешанное
состояние, когда в учёт берутся волновые функции нескольких взаимодействующих
частиц, трактовка, связывающая волновые функции и вероятности становится не
такой точной. В этом случае волновая функция скорее будет отражать амплитуду
суммарной волны де Бройля, связанную с амплитудой суммарного волнового поля
потенциалов частиц.
Преобразования Лоренца для определения длины
волны де Бройля были использованы также в статье. [5]
Объяснение волны де Бройля через стоячие волны
внутри частиц описывается также в статье. [6] В отличие
от этого, в статье [7] предполагается, что внутри частицы имеется круговая электромагнитная
волна. Согласно заключению в статье, [8] за пределами движущейся частицы должна
быть волна де Бройля с амплитудной модуляцией.
Электроны
в атомах
Движение электронов в атомах происходит путём их вращения
вокруг атомных ядер. В субстанциональной модели электроны представляют собой облака в
форме дисков. Это является результатом действия четырёх приблизительно
одинаковых по величине сил, возникающих:
1) от
притяжения электрона к ядру за счёт сильной гравитации и кулоновского притяжения зарядов
электрона и ядра, 2) от отталкивания заряженного вещества электрона самого от
себя, 3) от убегания вещества электрона от ядра за счёт вращения, что
учитывается центростремительной силой.
В атоме
водорода электрон в состоянии с минимальной энергией может быть моделирован
вращающимся диском, внутренний край которого имеет радиус 
,
а внешний край – радиус 
,
где 
есть боровский
радиус. [3]
Если предположить, что на орбите электрона в атоме укладывается
длин волн де Бройля, то при круговой
орбите с радиусом 
для
длины окружности и момента импульса электрона 
будет следующее:
Это соответствует постулату Боровской модели атома, по которому момент
импульса в атоме водорода квантуется и пропорционален номеру орбиты и постоянной Планка.
Однако энергия возбуждений в веществе электронов в атомах
на стационарных орбитах как правило не равна энергии
покоя самих электронов, и потому пространственное квантование волны де Бройля
вдоль орбиты в форме (3) следует объяснять другим способом. В частности было
показано, что на стационарных орбитах в распредёлённом по пространству веществе
электрона осуществляется равенство потока кинетической энергии вещества и суммы
потоков энергии от электромагнитного поля и поля сильной гравитации. [3]
В этом случае потоки энергии полей не тормозят и не
раскручивают вещество электрона. Это даёт равновесные круговые и эллиптические
орбиты электрона в атоме. При этом оказывается, что моменты импульса квантуются
пропорционально постоянной Планка, что в первом приближении приводит к
соотношению (3).
Кроме этого, при переходах с одной орбиты на другую, более
близкую к ядру, электроны излучают фотоны, которые уносят из атома энергию 
и момент импульса 
.
Для фотона корпускулярно-волновой дуализм сводится к прямой связи между этими
величинами, а их отношение 
равно средней угловой частоте волны фотона
и одновременно средней угловой скорости электрона 
,
излучающего при соответствующих условиях фотон в атоме при своём вращении. Если
полагать, что у каждого фотона 
, где 
есть постоянная Дирака, то тогда для
энергии фотона имеем: 
.
В таком случае при атомных переходах момент импульса электрона также меняется
на ,
и должна быть справедлива формула (3) для квантования момента импульса в атоме
водорода.
При переходе электрона из одного стационарного состояния в
другое в его веществе меняются кольцевой поток кинетической энергии
и внутренние потоки полей, а также их импульсы и энергии. Синхронно с этим
меняется энергия электрона в поле ядра, излучается энергия фотона,
увеличивается импульс электрона и уменьшается длина волны де Бройля в (3).
Таким образом, излучение фотона как кванта электромагнитного поля из атома
сопровождается изменением энергии потоков поля в веществе электрона, оба
процесса связаны с энергиями полей и с изменением момента импульса электрона,
пропорционального .
Из
соотношения (3) кажется, что на электронной орбите можно расположить длин волн де Бройля. Но при этом
энергия возбуждения электрона не достигает энергии его покоя, как это требуется
для описания длины волны де Бройля при поступательном движении частиц. Вместо
этого возникает связь между моментами импульса и потоками энергии в веществе
электрона в стационарных состояниях, и связь при изменении этих моментов
импульса и потоков при излучении фотонов.
Другие модели
Ссылки
1. L. de Broglie, Recherches
sur la théorie des quanta
(Researches on the quantum theory), Thesis (Paris), 1924; L. de Broglie, Ann.
Phys. (Paris)
3, 22 (1925).
2. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до
метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377
назв. ISBN 5-8131-0012-1.
3. Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная вложенность
материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
4. Fedosin S.G. The radius of
the proton in the self-consistent model. Hadronic
Journal, 2012, Vol. 35, No. 4, P. 349 – 363; статья на русском языке: Радиус протона в самосогласованной модели.
5. Masanori Sato and Hiroki Sato. Interpretation of De Broglie Waves: At What Time Does a
Massive Particle Obtain the Properties of a Wave? Physics Essays. 2012, Vol.
25, P. 150-156.
6. J. X. Zheng-Johansson and Per-Ivar Johansson. Developing de Broglie Wave . Progress in physics, 2006, Vol. 4, P.32-35.
7. Malik
Mohammad Asif. de Broglie wave and electromagnetic travelling wave model of electron and
other charged particles. Physics
Essays. 2014, Vol. 27, P. 146-164.
8. J. Domínguez-Montes and E. L. Eisman,
Representative model of particle–wave duality and
entanglement based on De Broglie’s interpretation. Physics Essays 2012, Vol. 25, P. 215-220.
Внешние ссылки
|
Часть I. |
|||||
Элементы квантовой механики |
Элементы |
||||
|
квантовой |
|||||
|
механики |
|||||
1.Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества. Некоторые свойства волн де Бройля. Вероятностный смысл волн де Бройля.
2.Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
3.Волновая функция и уравнение Шредингера.
4.Уравнение Шредингера для свободной частицы.
5.Электрон в потенциальном ящике. Квантование энергии.
6.Линейный гармонический осциллятор. Нулевая энергия, которая не равна нулю.
7.Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер: туннельный эффект.
1 +7
1.Корпускулярно-волновой дуализм
□В начале XX века стало ясно, что свет обладает двойственной
(дуалистической) природой:
■При распространении света в
Картина дифракции электронов на
поликристаллическом образце при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b). В случае (b) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку
пространстве проявляются его волновые свойства (интерференция, дифракция, поляризация),
■При взаимодействии с веществом –
корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона). Корпускула — частица
■Эта двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового дуализма.
■Позже двойственная природа была открыта у электронов и других элементарных частиц.
Классическая физика не может дать наглядной модели сочетания волновых и корпускулярных свойств у микрообъектов.
Движением микрообъектов управляют не законы классической механики Ньютона, а2
законы квантовой механики.
+4
Гипотеза де Бройля
□Квантовые свойства света все более отчетливо проявляются с уменьшением длины волны λ, а при увеличении длины волны основную роль играют волновые свойства.
□Корпускулярные свойства обусловлены тем, что свет испускается фотонами,
имеющими:
|
1) энергию |
2) импульс |
3) массу |
||
где h=6,63∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка.
□Луи де Бройль в 1924 г. высказал гипотезу о том, что поскольку свет обладает двойственной природой, то и материальная частица должна обладать волновыми свойствами.
□Эта идея и получила название корпускулярно-волнового дуализма (в узком смысле).
□Каждой частице, обладающей импульсом р, должна соответствовать длина волны λ, связанная с импульсом р тем же соотношением, что и для фотона:
|
формула де Бройля |
|||
|
3 |
|||
|
+3 |
длина волны де Бройля:
Длина волны де Бройля λ
Если частица массой m0 движется со скоростью υ << c, то длина волны де Бройля:
1892-1987
□ Если частица имеет кинетическую энергию Wк , то ее импульс р через энергию выражается как:
□Вывод: длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса и скорость частиц.
■Так, для пылинки массой m=10–3 г: v=1 м/с, λ~10–28 м.
■При таких условиях волновые свойства проявиться не могут.
□А вот для микрочастиц с массой m~10–27 кг длина волны де Бройля оказывает сравнимой с расстоянием между атомами в твердых телах λ~10–10 м, которое можно измерить современной аппаратурой.
□Вывод 2: волновые свойства заметно проявляются:
■для микрочастиц, которые обладают малой массой m, или
■в случае, если длина волны де Бройля λ становится соизмеримой с размерами
области пространства, в которой может двигаться частица.
4
+4
Соседние файлы в предмете Физика
- #
- #
- #
- #
- #
- #
1. Основной физической идеей квантовой теории является идея о том, что корпускулярно-волновая двойственность свойств характерна не только для фотонов, частиц электромагнитного поля, но и для всех частиц вещества: электронов, протонов, нейтронов, атомов, молекул и т.д.
В 1924 году де Бройль писал: «Каждое движущееся тело сопровождается волной, и разделение движения тела и распространения волны является невозможным». Идея де Бройля о волновых свойствах частиц вещества блестяще подтвердилась экспериментально.
Длина волны де Бройля задаётся формулой:
,
где h и 
— постоянные Планка, р — импульс частицы (тела).
2. При решении задач необходимо учитывать, является ли частица релятивистской или классической. Импульс частицы:
а) в классическом (нерелятивистском) случае:
б) в релятивистском случае:
,
где m0 — масса покоя, с — скорость света в вакууме.
3. Критерий того, является ли движущаяся частица (тело) релятивистской, или нет, задаётся соотношением:
если 
, или 
— частица классическая, 
, 
соответственно кинетическая энергия и энергия покоя, если 
, или 
— частица релятивистская.
4. Импульс частицы связан с кинетической энергией:
а) в нерелятивистском случае:
;
б) в релятивистском случае:
,
где 
— энергия покоя.
5. Если заряженная частица с зарядом q ускоряется в электрическом поле, пройдя разность потенциалов U, то волна де Бройля такой частицы задаётся соотношением:
а) в классическом случае:
;
б) в релятивистском случае:
.
6. Характеристиками волны являются её групповая 
и фазовая 
скорости. Эти понятия можно использовать и для волн де Бройля.
где ω, λ — частота и длина волны де Бройля, W, P, v — энергия, импульс и скорость частицы, 
— волновое число.
7. Пользуясь основным соотношением между энергией и импульсом частицы, фазовую скорость можно выразить следующим образом:
,
что говорит о дисперсии волн де Бройля (явление дисперсии характерно для волновых процессов).
8. Экспериментальным подтверждением существования волн де Бройля являются результаты опытов по дифракции движущихся частиц (в том числе, атомов, молекул). Для объяснения дифракционной картины используется формула Вульфа — Брэггов:
,
где k = 1,2,3,… — порядок спектра, d — межплоскостное расстояние (постоянная кристаллической решётки), θ — угол скольжения (угол между направлением движения частицы и поверхностью кристалла).