Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A subset B$.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
$$P(A+B)=P(A)+P(B).$$
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
$$Pleft(sum_{i=1}^{n}A_i right)=sum_{i=1}^{n} P(A_i).$$
Если случайные события $A_1, A_2, …, A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство
$P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(Acdot B).$$
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
$$P(Acdot B)=P(A)cdot P(B).$$
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.
Примеры решений задач с событиями
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, 
;
— вынули черный шар из первого ящика, 
;
В – белый шар из второго ящика, 
;
— черный шар из второго ящика, 
.
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий 
или 
. По теореме об умножении вероятностей
, 
.
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.
Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Решение.
Пусть А – попадание первого стрелка, 
;
В – попадание второго стрелка, 
.
Тогда 
— промах первого, 
;
— промах второго, 
.
Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание, 
б) – двойной промах, 
.
в) А+В – хотя бы одно попадание,
.
г) 
– одно попадание,
.
См. обучающую статью «решение задач о стрелках»
Пример. Решить задачу, применяя теоремы сложения и умножения. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,4, второй — 0,6, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены: а) ни один станок не потребует внимания мастера, б) ровно 1 станок потребует внимания мастера.
Решение.
Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение смены), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,4$, $p_2=0,6$, $p_3=0,3$. Тогда $q_1=0,6$, $q_2=0,4$, $q_3=0,7$.
Найдем вероятность события $X$=(Ни один станок не потребует внимания в течение смены):
$$
P(X)=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2} cdot overline{A_3}right)= q_1 cdot q_2 cdot q_3 =
0,6cdot 0,4 cdot 0,7 = 0,168.
$$
Найдем вероятность события $Z$= (Ровно один станок потребует внимания в течение смены):
$$
P(Z)= \ = P(A_1) cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot Pleft(overline{A_3} right) + Pleft(overline{A_1}right) cdot P(A_2) cdot Pleft(overline{A_3} right) + Pleft(overline{A_1} right) cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot P(A_3)=\
= p_1 cdot q_2 cdot q_3 + q_1 cdot p_2 cdot q_3 + q_1 cdot q_2 cdot p_3 =\ =
0,4cdot 0,4 cdot 0,7+0,6cdot 0,6 cdot 0,7+0,6cdot 0,4 cdot 0,3 = 0,436.
$$
См. обучающую статью «решение задач о станках»
Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
Решение.
А – формула содержится в первом справочнике;
В – формула содержится во втором справочнике;
С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
1. 
2. 
.
3. 
Вероятность наступления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?
Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, …, A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
$$
P(A)=1-Pleft(overline{A_1}right)cdot Pleft(overline{A_2}right)cdot … cdot Pleft(overline{A_n}right)= 1-q_1 cdot q_2 cdot … cdot q_n.
$$
Если события $A_1, A_2, …, A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:
$$
P(A)=1-(1-p)^n=1-q^n.
$$
Примеры решений на эту тему
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события 
(попадание первого орудия), 
(попадание второго орудия) и 
(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:
, 
, 
Искомая вероятность 
.
Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: 
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна 
Искомая вероятность 
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула 
.
Приняв во внимание, что, по условию, 
(следовательно, 
), получим
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:
Итак, 
, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
См. обучающую статью «решение задач с хотя бы один…»
На чтение 16 мин Просмотров 127к. Опубликовано 25 мая, 2018
Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.
Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда
Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1
Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.
Содержание
- Вероятность нескольких событий
- Задачи и решения задач на вероятность
- Вероятность нескольких событий
- Дополняющая вероятность
Вероятность нескольких событий
Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:
1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.
2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.
Задачи и решения задач на вероятность
Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.
Решение:
Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.
Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.
Вероятность тогда: 
Ответ: 0,8.
Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?
Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.
Вероятность что первый дежурный мальчик:
Вероятность что второй дежурный мальчик:
Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:
Ответ: 0,2.
Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.
Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.
Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.
Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.
Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.
Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.
Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.
Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).
Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.
Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.
Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.
Задача 10.
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.
Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?
Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.
Задача 11.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.
Задача 12. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.
Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.
Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.
Вероятность нескольких событий
Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
| Игра №1 | Игра №2 | Вероятность данного варианта |
| 3 | 1 | 0,4 · 0,2 = 0,08 |
| 1 | 3 | 0,2 · 0,4 = 0,08 |
| 3 | 3 | 0,4 · 0,4 = 0,16 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Решение:
Тип вопроса: уменьшение групп.
Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение:
Способ №1
Тип задачи: уменьшение групп.
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.
Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют в несколько вариантов:
Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Решение:
Тип задачи: уменьшение групп.
Способ №1
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:
Орёл ― решка ― орёл;
Орёл ― орёл ― решка;
Решка ― орёл ― орёл;
Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.
Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):
… США, КАН, КИТ …
… США, КИТ, КАН …
… КИТ, США, КАН …
… КАН, США, КИТ …
… КАН, КИТ, США …
… КИТ, КАН, США …
США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:
≈ 0,33.
Дополняющая вероятность
Задача 1.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.
Решение:
Существуют 2 варианта, которые нам подходят:
Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;
Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.
Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.
Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение:
Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).
Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.
Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.
Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.
Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.
Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.
Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.
Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):
| 11 апреля | 12 апреля | 13 апреля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,9 | X – 0,9 | O – 0,1 | 0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081 |
| X – 0,9 | O – 0,1 | O – 0,9 | 0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | O – 0,9 | O – 0,9 | 0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | X – 0,1 | O – 0,1 | 0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):
| 4 июля | 5 июля | 6 июля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,8 | X – 0,8 | O – 0,2 | 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128 |
| X – 0,8 | O – 0,2 | O – 0,8 | 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | O − 0,8 | O − 0,8 | 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | X – 0,2 | O – 0,2 | 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
Анализ данных • 14 декабря 2022 • 5 мин чтения
Совместные и несовместные события в анализе данных
Аналитики применяют теорию вероятностей, чтобы предсказать развитие бизнеса. Результат расчётов зависит от того, как взаимодействуют события между собой. Расскажем, какие виды событий есть и как посчитать их вероятность.
- Термины, которые используются в статье
- Противоположные события
- Несовместные события
- Совместные события
- Алгебра событий
- Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных
- Совет эксперта
Термины, которые используются в статье
Пространство исходов — это множество всех исходов. Оно описывает все возможные варианты того, что может случиться в результате эксперимента. Обозначается буквой омега Ω.
Событие — это подмножество Ω, удовлетворяющее определённым условиям.
Например, «число очков на кубике чётное» — это событие.
Вероятность произвольного случайного события всегда принимает значения от 0 до 1, где 0 — событие невозможно, а 1 — событие точно произойдёт.
Анализ больших данных: зачем он нужен и кто им занимается
Противоположные события
Событие A̅ противоположно событию A, если состоит из тех исходов Ω, которых нет в A.
Из определения противоположных событий следуют два свойства:
● события А и A̅ и образуют всё пространство исходов,
● события А и A̅ не могут произойти одновременно.
Из двух событий А и A̅ наступить может только одно. При этом исходов в каждом событии может быть несколько.
Примеры:
● А = «на кубике выпало кратное 3 число» = {3, 6} и противоположное A̅ = «на кубике выпало не кратное 3 число» = {1, 2, 4, 5}
● A = «в задании с 5 попытками игрок сделал меньше 3 попыток» = {0, 1, 2, 3} и противоположное «в задании с 5 попытками игрок сделал больше 3 попыток = {4, 5}.
Противоположные события — частный случай несовместных событий.
Несовместные события
Несовместные события похожи на противоположные — они тоже не могут произойти одновременно. Появление одного события исключает появление всех остальных, несовместных с ним. Но есть и важное отличие: несовместных событий может быть сколько угодно, не только два.
Пример. Оплатить покупку в онлайн-магазине можно несколькими способами: картой на сайте, наличными при получении, в рассрочку от магазина или в кредит от банка. Все способы доступны, но пользователь должен выбрать только один из них.
Для набора событий А1, А2, … Аn это условие записывают так:
Аi ∩ Аj = Ø для всех
Пример. В некотором ресторане есть только четыре блюда дня: овощная грилата, суп из шампиньонов, салат по-мексикански и сэндвич с тунцом. И каждый день можно выбрать лишь одно из них. Исследователь, который постоянно заказывает еду из этого ресторана, хочет предсказать блюдо дня на завтра. На основе исторических данных он выяснил, что частота появления грилаты составляет ≈ 34%, супа ≈ 12%, салата ≈ 7%, а сэндвича ≈ 47%
На языке теории вероятностей это выглядит так:
● пространство исходов Ω = {грилата, суп, салат, сэндвич} ;
● P(грилата) = 0.34, Р(суп) = 0.12, Р(салат) = 0.07, Р(сэндвич) = 0.47.
В этом примере события образуют полную группу — набор несовместных событий, которые в объединении дают всё пространство исходов Ω.
Совместные события
События А и B называют совместными, если A ∩ B ≠ Ø .
Пример. Производитель корма провёл онлайн-опрос, чтобы узнать, какие питомцы живут у покупателей. Варианты ответа: собака, кошка, хомяк. У 65% есть собаки, 81% с кошками и 15% c хомячками. При этом у 52% респондентов есть и кошка, и собака, а у 9% — хомяк с собакой.
Совместные события, как и несовместные, необязательно дают в объединении всё пространство исходов Ω. В наборе из нескольких событий часть могут быть совместными друг другу, часть — несовместными.
Разные типы событий на диаграммах Эйлера.
Алгебра событий
Правило суммы для противоположных событий: вероятность объединения противоположных событий равна сумме их вероятностей, которая, в свою очередь, равна 1.
P(A) = 1 — P(A̅).
Правило суммы для несовместных событий: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Правило суммы для совместных событий: чтобы найти вероятность объединения двух совместных событий, нужно из суммы их вероятностей вычесть вероятность их пересечения.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)
Формула включений-исключений для трёх событий:
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) +P(C) — P(A ∩ B) — P(A ∩ C) — P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ С)
Как использовать совместные и несовместные события в анализе данных
Пример. Поисковый сервис с равной вероятностью размещает рекламный баннер клиента слева от поисковой выдачи, справа или внутри неё. Нужно изучить, как работают алгоритмы. Чему равна вероятность, что из пяти поисковых запросов хотя бы в одном аналитик увидит рекламу слева от поисковой выдачи?
Решение. «Хотя бы один» — маркер того, что проще искать вероятность через обратное событие. Посчитаем вероятность противоположного события:
Тогда вероятность искомого события находится по формуле для противоположных событий:
Пример. Компания предлагает пользователям индивидуальную и семейную подписку на кино и музыку. Известно, что какая-либо подписка есть у клиентов. Сколько клиентов компании не имеют никакой подписки?
Решение. Всех клиентов компании можно поделить на три группы:
● A — есть индивидуальная подписка;
● B — есть семейная подписка;
● C — нет подписки.
В совокупности они образуют полную группу событий. Тогда P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Известно, что клиентов с подпиской 60%, то есть P(A ∪ B) = 0.6 = P(A) + P(B).
Подставляя в формулу выше, получаем P(C) = 0.4 = 40% клиентов без подписки.
Пример. Аналитик изучает источники трафика. В таблице данные по новым пользователям.
Источник трафика для каждой записи только один. context означает, что пользователь пришёл из контекстной рекламы; email — из рассылки на почту; источники None, other и undef не дают подробностей.
На основе этой таблицы аналитик прогнозирует вероятность источника, из которого придёт новый пользователь. Например, доля источника context равна
Это значение и принимают за вероятность. Какая вероятность того, что новый пользователь придёт из источников без подробностей (None, other и undef)?
Решение. Источник трафика может быть только один, поэтому события «пользователь пришёл из данного источника» несовместны. Вероятности можно сложить:
Эти задачи — примеры того, как аналитики применяют теорию вероятностей в своей работе.
В математике главное — практика. Поэтому знание правил лучше закреплять решением задач. Сделать это можно в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий». В нём более 1000 задач с автоматической проверкой и подробными решениями.
Повторите математику, чтобы решать рабочие задачи
Вспомните проценты, алгебру и другие темы посложнее в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий».
Совет эксперта
Евгений Григоренко
Учёные придумали рассматривать события, чтобы связать реальность с математикой и строго описать понятие вероятности. На самом деле событие — это математическое обозначение любого возможного явления, для которого интересно оценивать шансы. А/B-тесты не будут преградой, если тренироваться на простых задачах.
Автор курса по математике
Как пересечение и объединение множеств используются в анализе данных
Чем занимается аналитик данных, почему он всем так нужен и как освоить эту профессию
Суммой двух событий A и B называется событие C=A+B, состоящее в появлении или события A, или события B, или обоих вместе. Ключевое слово «или» («либо»).
Произведением двух событий A и B называется событие C=AB, состоящее в совместном выполнении события A и события B. Ключевое слово «и».
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно.
Теорема сложения.
для несовместных событий;
для совместных событий.
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.
Условной вероятностью 
называют вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B уже наступило.
Теорема умножения.
для независимых событий;
для зависимых событий.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.26. В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6 черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное изделие а) либо белое, либо черное; б) либо красное, либо куб.
РЕШЕНИЕ: а) Рассмотрим события:
A — изделие белое; 
, так как всего изделий 20, а белых шесть.
B — изделие черное, 
.
Событие C — изделие либо белое, либо черное можно представить как сумму событий A и B. Следовательно, 
.
События A и B несовместны, так как вынутое изделие не может быть одновременно и белым и черным. Тогда 
.
б) Введем события
D — изделие красное; 
;
E — изделие куб; 
;
F — изделие либо красное, либо куб; 
.
События D и E совместны, так как вынутое изделие может оказаться красным кубом 
. Тогда
.
ПРИМЕР 13.2.27. В ящике 10 деталей, 3 из которых бракованные. Наудачу вынимают два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия бракованные, если первое изделие: а) возвращается в ящик; б) в ящик не возвращается.
РЕШЕНИЕ. Введем события
A — первое изделие бракованное, 
B — второе изделие бракованное,
C — оба изделия бракованные.
Событие C представляет собой произведение событий A и B; C=AB.
а) Если первое изделие возвращается в ящик, то 
вне зависимости от того, какое изделие было первое, то есть A и B — независимые события. Тогда 
.
б) Если изделие не возвращается, то вероятность события B будет меняться в зависимости от того, какое изделие было вынуто первым (бракованное или небракованное). Найдем вероятность события B в предположении, что первое изделие оказалось бракованным. 
, так как всего осталось 9 изделий, два из которых бракованные. Тогда
.
ПРИМЕР 13.2.28. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет: а) только один из стрелков; б) хотя бы один стрелок.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим события
первый стрелок попал; 
;
первый стрелок промахнулся; 
;
второй стрелок попал; 
;
второй стрелок промахнулся; 
.
а) Событие B попал только один стрелок, используя алгебру событий, можно представить в виде
.
Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий имеем:
.
б) Событие C попал хотя бы один стрелок можно представить как сумму двух несовместных событий: B — попал только один стрелок и D- попали оба стрелка
.
Однако вероятность события C можно найти другим способом. Рассмотрим событие 
оба промахнулись,
.
Тогда 
.
ПРИМЕР 13.2.29. Вероятность выхода из строя хотя бы одного их трех станков в течение смены равна 0,488. Найти вероятность выхода из строя одного станка за смену, если вероятности выхода из строя каждого станка одинаковы.
РЕШЕНИЕ. Пусть A — выход из строя хотя бы одного станка. Тогда 
нормальная работа всех трех станков; 
. Обозначим через p вероятность нормальной работы каждого станка, тогда 
или 
. Вероятность выхода из строя каждого станка вычисляется 
.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачи, используя теоремы сложения и умножения вероятностей
13.2.4.1. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
13.2.4.2. В урне белых и черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара будут белыми, если выемку производить: а) с возвращением; б) без возвращения.
13.2.4.3. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные – красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут а) одного цвета; б) разных цветов.
13.2.4.4. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элемента соответственно равны 0,6;0,7;0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента; г) хотя бы два элемента.
13.2.4.5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
13.2.4.6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равно 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
13.2.4.7. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков; в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков; г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
13.2.4.8. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
13.2.4.9. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один раз выпала «шестерка»?
13.2.4.10. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а)опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.
13.2.4.11. Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу. Какова вероятность того, что эта дробь несократима на 5?
13.2.4.12. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.
13.2.4.13. Найти вероятность того, что наудачу взятое натуральное число, не превосходящее 100, будет делиться а) на 2 или на 5; б) и на 2, и на 5.
13.2.4.14. Три команды спортивного общества состязаются соответственно с тремя командами общества . Вероятности того, что команды общества выиграют матчи у команд общества таковы: при встрече с 0,8; с 0,4; с 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?
13.2.4.15. Возле остановки останавливаются трамваи маршрутов 2,4,5,9. Для рабочего попутными являются маршруты 5 и 9. Вычислить вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай маршрута попутного для него номера, если по линиям маршрутов №2,4,5,9 курсируют соответственно 15,12,10,13 поездов. Протяженности маршрутов считаются одинаковыми.
13.2.4.16. Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной будет продана пара обуви 46-го размера равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9 можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера.
13.2.4.17. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1,4,5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от того, в какой последовательности они появились.
13.2.4.18. В круг радиуса вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадает на каждый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.
13.2.4.19. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
13.2.4.20. Три самолета независимо друг от друга производят одиночное бомбометание по некоторой цели. Первый самолет сбрасывает 4 бомбы по 250 кг, второй – 2 бомбы по 500 кг, третий – 1 бомбу в 1000 кг. Вероятность попадания для первого самолета равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Для разрушения цели достаточно попадания одной бомбы весом не менее 500 кг или двух – весом по 250 кг. Найти вероятность разрушения цели.
13.2.4.21. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью . Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других циклов сканирования. Найти вероятность того, что при циклах объект будет обнаружен.
13.2.4.22. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча и после игры их кладут обратно. При выборе мячей новые от использованных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр не останется новых мячей?
13.2.4.23. Слово «лотос», составленное из букв – карточек, рассыпано на отдельные буквы, которые тщательно перемешаны. Из них выбираются последовательно три карточки. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?
13.2.4.24. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков на первой и второй кости будет четным числом.
13.2.4.25. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.
13.2.4.26. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Друг за другом вытаскивают три карточки и в порядке поступления записывают число. Вероятность какого события выше: “число меньше 450” или ”число больше 200”?
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
Учреждение
образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная
академия»
Кафедра
высшей математики
СЛОЖЕНИЕ
И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ
НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Лекция
для студентов землеустроительного
факультета
заочной
формы обучения
Горки,
2012
Сложение
и умножение вероятностей. Повторные
независимые
испытания
-
Сложение вероятностей
Суммой
двух совместных событий
А
и В
называется событие С,
состоящее в наступлении хотя бы одного
из событий А
или В.
Аналогично суммой нескольких совместных
событий называется событие, состоящее
в наступлении хотя бы одного из этих
событий.
Суммой
двух несовместных событий
А
и В
называется событие С,
состоящее в наступлении или события
А,
или события В.
Аналогично суммой нескольких несовместных
событий называется событие, состоящее
в наступлении какого-либо одного из
этих событий.
Справедлива
теорема сложения вероятностей несовместных
событий: вероятность
суммы двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий,
т.е.
.
Эту теорему можно распространить на
любое конечное число несовместных
событий.
Из
данной теоремы следует:
сумма
вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице;
сумма
вероятностей противоположных событий
равна единице, т.е.
.
Пример
1.
В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5
синих шара. Шары перемешивают и наугад
извлекают один. Какова вероятность
того, что шар окажется цветным?
Решение.
Обозначим события:
A={извлечён
цветной шар};
B={извлечён
белый шар};
C={извлечён
красный шар};
D={извлечён
синий шар}.
Тогда
A=C+D.
Так как события C,
D
несовместны, то воспользуемся теоремой
сложения вероятностей несовместных
событий:
.
Пример
2.
В урне находятся 4 белых шара и 6 –
чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара.
Какова вероятность того, что все они
одного цвета?
Решение.
Обозначим события:
A={вынуты
шары одного цвета};
B={вынуты
шары белого цвета};
C={вынуты
шары чёрного цвета}.
Так
как A=B+C
и события В
и С
несовместны, то по теореме сложения
вероятностей несовместных событий
.
Вероятность события В
равна
,
где
4,
.
Подставим k
и n
в формулу и получим
Аналогично
найдём вероятность события С:
,
где
,
,
т.е.
.
Тогда
.
Пример
3.
Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4
карты. Найти вероятность того, что среди
них окажется не менее трёх тузов.
Решение.
Обозначим события:
A={среди
вынутых карт не менее трёх тузов};
B={среди
вынутых карт три туза};
C={среди
вынутых карт четыре туза}.
Так
как A=B+C,
а события В
и С
несовместны, то
.
Найдём вероятности событий В
и С:
,
.
Следовательно, вероятность того, что
среди вынутых карт не менее трёх тузов,
равна
0.0022.
-
Умножение вероятностей
Произведением
двух событий А
и В
называется событие С,
состоящее в совместном наступлении
этих событий:
.
Это определение распространяется на
любое конечное число событий.
Два
события называются независимыми,
если вероятность наступления одного
из них не зависит от того, произошло
другое событие или нет. События
,
,
… ,
называются независимыми
в совокупности,
если вероятность наступления каждого
из них не зависит от того, произошли или
не произошли другие события.
Пример
4.
Два стрелка стреляют по цели. Обозначим
события:
A={первый
стрелок попал в цель};
B={второй
стрелок попал в цель}.
Очевидно,
что вероятность попадания в цель первым
стрелком не зависит от того, попал или
не попал второй стрелок, и наоборот.
Следовательно, события А
и В
независимы.
Справедлива
теорема умножения вероятностей
независимых событий: вероятность
произведения двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих
событий:
.
Эта
теорема справедлива и для n
независимых в совокупности событий:
.
Пример
5.
Два стрелка стреляют по одной цели.
Вероятность попадания первого стрелка
равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка
одновременно делают по одному выстрелу.
Определить вероятность того, что будут
иметь место два попадания в цель.
Решение.
Обозначим события:
A={первый
стрелок попадёт в цель};
B={второй
стрелок попадёт в цель};
C={оба
стрелка попадут в цель}.
Так
как
,
а события А
и В
независимы, то
,
т.е.
.
События
А
и В
называются зависимыми,
если вероятность наступления одного
из них зависит от того, произошло другое
событие или нет. Вероятность наступления
события А
при условии, что событие В
уже наступило, называется условной
вероятностью
и обозначается
или
.
Пример
6.
В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров.
Из урны извлекаются шары. Обозначим
события:
A={извлечён
белый шар} ;
B={извлечён
чёрный шар}.
Перед
началом извлечения шаров из урны
.
Из урны извлекли один шар и он оказался
чёрным. Тогда вероятность события А
после наступления события В
будет уже другой, равной
.
Это означает, что вероятность события
А
зависит от события В,
т.е. эти события будут зависимыми.
Справедлива
теорема умножения вероятностей зависимых
событий: вероятность
произведения двух зависимых событий
равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило,
т.е.
или
.
Пример
7.
В урне находятся 4 белых шара и 8 красных.
Из неё наугад последовательно извлекают
два шара. Найти вероятность того, что
оба шара будут чёрными.
Решение.
Обозначим события:
A={первым
извлечён чёрный шар};
B={вторым
извлечён чёрный шар}.
События
А
и В
зависимы, так как
,
а
.
Тогда
.
Пример
8.
Три стрелка стреляют по цели независимо
друг от друга. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0.5, для
второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти
вероятность того, что произойдут два
попадания в цель, если каждый стрелок
сделает по одному выстрелу.
Решение.
Обозначим события:
A={произойдут
два попадания в цель};
B={первый
стрелок попадёт в цель};
C={второй
стрелок попадёт в цель};
D={третий
стрелок попадёт в цель};
={первый
стрелок не попадёт в цель};
={второй
стрелок не попадёт в цель};
={третий
стрелок не попадёт в цель}.
По
условию примера
,
,
,
,
,
.
Так как
,
то используя теорему сложения вероятностей
несовместных событий и теорему умножения
вероятностей независимых событий,
получим:
.
Пусть
события
образуют полную группу событий некоторого
испытания, а событии А
может наступить только с одним из этих
событий. Если известны вероятности
и условные вероятности
события А,
то вероятность события А вычисляется
по формуле:
или
.
Эта формула называется формулой
полной вероятности,
а события
гипотезами.
Пример
9.
На сборочный конвейер поступает 700
деталей с первого станка и 300 деталей
со второго. Первый станок даёт 0.5% брака,
а второй – 0.7%. Найти вероятность того,
что взятая деталь будет бракованной.
Решение.
Обозначим события:
A={взятая
деталь будет бракованной};
={деталь
изготовлена на первом станке};
={деталь
изготовлена на втором станке}.
Вероятность
того, что деталь изготовлена на первом
станке, равна
.
Для второго станка
.
По условию вероятность получения
бракованной детали, изготовленной на
первом станке, равна
.
Для второго станка эта вероятность
равна
.
Тогда вероятность того, что взятая
деталь будет бракованной, вычисляется
по формуле полной вероятности
.
Если
известно, что в результате испытания
наступило некоторое событие А,
то вероятность того, что это событие
наступило с гипотезой
,
равна
,
где
—
полная вероятность события А.
Эта формула называется формулой
Байеса
и позволяет вычислять вероятности
событий
после того, как стало известно, что
событие А
уже наступило.
Пример
10.
Однотипные детали к автомобилям
производятся на двух заводах и поступают
в магазин. Первый завод производит 80%
общего количества деталей, а второй –
20%. Продукция первого завода содержит
90% стандартных деталей, а второго – 95%.
Покупатель купил одну деталь и она
оказалась стандартной. Найти вероятность
того, что эта деталь изготовлена на
втором заводе.
Решение.
Обозначим события:
A={куплена
стандартная деталь};
={деталь
изготовлена на первом заводе};
={деталь
изготовлена на втором заводе}.
По
условию примера
,
,
и
.
Вычислим полную вероятность события
А:
0.91.
Вероятность того, что деталь изготовлена
на втором заводе, вычислим по формуле
Байеса:
.
Задания
для самостоятельной работы
-
Вероятность
попадания в цель для первого стрелка
равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего
– 0.9. Стрелки произвели по одному
выстрелу. Найти вероятность того, что
имеет место не менее двух попаданий в
цель. -
В
ремонтную мастерскую поступило 15
тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются
в замене двигателя, а остальные – в
замене отдельных узлов. Случайным
образом отбираются три трактора. Найти
вероятность того, что замена двигателя
необходима не более, чем двум отобранным
тракторам. -
На
железобетонном заводе изготавливают
панели, 80% из которых – высшего качества.
Найти вероятность того, что из трёх
наугад выбранных панелей не менее двух
будут высшего сорта. -
Три
рабочих собирают подшипники. Вероятность
того, что подшипник, собранный первым
рабочим, высшего качества, равна 0.7,
вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля
наугад взято по одному подшипнику из
собранных каждым рабочим. Найти
вероятность того, что не менее двух из
них будут высшего качества. -
Вероятность
выигрыша по лотерейному билету первого
выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего
– 0.25. Имеются по одному билету каждого
выпуска. Найти вероятность того, что
выиграет не менее двух билетов. -
Бухгалтер
выполняет расчёты, пользуясь тремя
справочниками. Вероятность того, что
интересующие его данные находятся в
первом справочнике, равна 0.6, во втором
– 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность
того, что интересующие бухгалтера
данные содержатся не более, чем в двух
справочниках. -
Три
автомата изготавливают детали. Первый
автомат изготавливает деталь высшего
качества с вероятностью 0.9, второй – с
вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью
0.6. Наугад берут по одной детали с каждого
автомата. Найти вероятность того, что
среди них не менее двух высшего качества. -
На
двух станках обрабатываются однотипные
детали. Вероятность изготовления
нестандартной детали для первого станка
равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные
детали складываются в одном месте.
Среди них 67% с первого станка, а остальные
– со второго. Наугад взятая деталь
оказалась стандартной. Найти вероятность
того, что она изготовлена на первом
станке. -
В
мастерскую поступили две коробки
однотипных конденсаторов. В первой
коробке было 20 конденсаторов, из которых
2 неисправных. Во второй коробки 10
конденсаторов, из которых 3 неисправных.
Конденсаторы были переложены в один
ящик. Найти вероятность того, что наугад
взятый из ящика конденсатор окажется
исправным. -
На
трёх станках изготавливают однотипные
детали, которые поступают на общий
конвейер. Среди всех деталей 20% с первого
автомата, 30% — со второго и 505 – с третьего.
Вероятность изготовления стандартной
детали на первом станке равна 0.8, на
втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая
деталь оказалась стандартной. Найти
вероятность того, эта деталь изготовлена
на третьем станке. -
Комплектовщик
получает для сборки 40% деталей с завода
А,
а остальные – с завода В.
Вероятность того, что деталь с завода
А
– высшего качества, равна 0.8, а с завода
В
– 0.9. Комплектовщик наугад взял одну
деталь и она оказалась не высшего
качества. Найти вероятность того, что
эта деталь с завода В. -
Для
участия в студенческих спортивных
соревнованиях выделено 10 студентов из
первой группы и 8 – из второй. Вероятность
того, что студент из первой группы
попадёт в сборную академии, равна 0.8, а
со второй – 0.7. Наугад выбранный студент
попал в сборную. Найти вероятность
того, что он из первой группы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #