Эрмитово сопряженный оператор как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, specifically in operator theory, each linear operator on an inner product space defines a Hermitian adjoint (or adjoint) operator $A^{*}$ on that space according to the rule

${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle ,}$

where is the inner product on the vector space.

The adjoint may also be called the Hermitian conjugate or simply the Hermitian^[1] after Charles Hermite. It is often denoted by A^† in fields like physics, especially when used in conjunction with bra–ket notation in quantum mechanics. In finite dimensions where operators are represented by matrices, the Hermitian adjoint is given by the conjugate transpose (also known as the Hermitian transpose).

The above definition of an adjoint operator extends verbatim to bounded linear operators on Hilbert spaces . The definition has been further extended to include unbounded densely defined operators whose domain is topologically dense in — but not necessarily equal to —

Informal definition[edit]

Consider a linear map ${displaystyle A:H_{1}to H_{2}}$ between Hilbert spaces. Without taking care of any details, the adjoint operator is the (in most cases uniquely defined) linear operator ${displaystyle A^{*}:H_{2}to H_{1}}$ fulfilling

${displaystyle leftlangle Ah_{1},h_{2}rightrangle _{H_{2}}=leftlangle h_{1},A^{*}h_{2}rightrangle _{H_{1}},}$

where ${displaystyle langle cdot ,cdot rangle _{H_{i}}}$ is the inner product in the Hilbert space $H_{i}$ , which is linear in the first coordinate and antilinear in the second coordinate. Note the special case where both Hilbert spaces are identical and is an operator on that Hilbert space.

When one trades the inner product for the dual pairing, one can define the adjoint, also called the transpose, of an operator , where are Banach spaces with corresponding norms ${displaystyle |cdot |_{E},|cdot |_{F}}$ . Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as ${displaystyle A^{*}:F^{*}to E^{*}}$ with

${displaystyle A^{*}f=fcirc A:umapsto f(Au),}$

I.e., ${displaystyle left(A^{*}fright)(u)=f(Au)}$ for ${displaystyle fin F^{*},uin E}$ .

The above definition in the Hilbert space setting is really just an application of the Banach space case when one identifies a Hilbert space with its dual. Then it is only natural that we can also obtain the adjoint of an operator , where is a Hilbert space and is a Banach space. The dual is then defined as ${displaystyle A^{*}:E^{*}to H}$ with ${displaystyle A^{*}f=h_{f}}$ such that

${displaystyle langle h_{f},hrangle _{H}=f(Ah).}$

Definition for unbounded operators between Banach spaces[edit]

Let ${displaystyle left(E,|cdot |_{E}right),left(F,|cdot |_{F}right)}$ be Banach spaces. Suppose and , and suppose that is a (possibly unbounded) linear operator which is densely defined (i.e., D(A) is dense in ). Then its adjoint operator $A^{*}$ is defined as follows. The domain is

${displaystyle Dleft(A^{*}right):=left{gin F^{*}:~exists cgeq 0:~{mbox{ for all }}uin D(A):~|g(Au)|leq ccdot |u|_{E}right}}$

Now for arbitrary but fixed ${displaystyle gin D(A^{*})}$ we set with . By choice of and definition of ${displaystyle D(A^{*})}$ , f is (uniformly) continuous on D(A) as ${displaystyle |f(u)|=|g(Au)|leq ccdot |u|_{E}}$ . Then by Hahn–Banach theorem or alternatively through extension by continuity this yields an extension of , called defined on all of . This technicality is necessary to later obtain $A^{*}$ as an operator ${displaystyle Dleft(A^{*}right)to E^{*}}$ instead of ${displaystyle Dleft(A^{*}right)to (D(A))^{*}.}$ Remark also that this does not mean that can be extended on all of but the extension only worked for specific elements ${displaystyle gin Dleft(A^{*}right)}$ .

Now we can define the adjoint of as

${displaystyle {begin{aligned}A^{*}:F^{*}supset D(A^{*})&to E^{*}\g&mapsto A^{*}g={hat {f}}end{aligned}}}$

The fundamental defining identity is thus

${displaystyle g(Au)=left(A^{*}gright)(u)}$

for

Definition for bounded operators between Hilbert spaces[edit]

Suppose H is a complex Hilbert space, with inner product . Consider a continuous linear operator A : H → H (for linear operators, continuity is equivalent to being a bounded operator). Then the adjoint of A is the continuous linear operator A^∗ : H → H satisfying

${displaystyle langle Ax,yrangle =leftlangle x,A^{*}yrightrangle quad {mbox{for all }}x,yin H.}$

Existence and uniqueness of this operator follows from the Riesz representation theorem.^[2]

This can be seen as a generalization of the adjoint matrix of a square matrix which has a similar property involving the standard complex inner product.

Properties[edit]

The following properties of the Hermitian adjoint of bounded operators are immediate:^[2]

Involutivity: A^∗∗ = A
If A is invertible, then so is A^∗, with ${textstyle left(A^{*}right)^{-1}=left(A^{-1}right)^{*}}$
Anti-linearity:
- (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
- (λA)^∗ = λA^∗, where λ denotes the complex conjugate of the complex number λ
«Anti-distributivity»: (AB)^∗ = B^∗A^∗

If we define the operator norm of A by

${displaystyle |A|_{text{op}}:=sup left{|Ax|:|x|leq 1right}}$

then

${displaystyle left|A^{*}right|_{text{op}}=|A|_{text{op}}.}$

^[2]

Moreover,

${displaystyle left|A^{*}Aright|_{text{op}}=|A|_{text{op}}^{2}.}$

^[2]

One says that a norm that satisfies this condition behaves like a «largest value», extrapolating from the case of self-adjoint operators.

The set of bounded linear operators on a complex Hilbert space H together with the adjoint operation and the operator norm form the prototype of a C*-algebra.

Adjoint of densely defined unbounded operators between Hilbert spaces[edit]

Definition[edit]

Let the inner product be linear in the first argument. A densely defined operator A from a complex Hilbert space H to itself is a linear operator whose domain D(A) is a dense linear subspace of H and whose values lie in H.^[3] By definition, the domain D(A^∗) of its adjoint A^∗ is the set of all y ∈ H for which there is a z ∈ H satisfying

{displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,zrangle quad {mbox{for all }}xin D(A).}

Owing to the density of D(A) and Riesz representation theorem, is uniquely defined, and, by definition, ${displaystyle A^{*}y=z.}$ ^[4]

Properties 1.–5. hold with appropriate clauses about domains and codomains.^{[clarification needed]} For instance, the last property now states that (AB)^∗ is an extension of B^∗A^∗ if A, B and AB are densely defined operators.^[5]

ker A^*=(im A)^⊥[edit]

For every ${displaystyle yin ker A^{*},}$ the linear functional ${displaystyle xmapsto langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle }$ is identically zero, and hence ${displaystyle yin (operatorname {im} A)^{perp }.}$

Conversely, the assumption that ${displaystyle yin (operatorname {im} A)^{perp }}$ causes the functional to be identically zero. Since the functional is obviously bounded, the definition of $A^{*}$ assures that ${displaystyle yin D(A^{*}).}$ The fact that, for every ${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle =0}$ shows that ${displaystyle A^{*}yin D(A)^{perp }={overline {D(A)}}^{perp }={0},}$ given that D(A) is dense.

This property shows that ${displaystyle operatorname {ker} A^{*}}$ is a topologically closed subspace even when ${displaystyle D(A^{*})}$ is not.

Geometric interpretation[edit]

If $H_{1}$ and $H_{2}$ are Hilbert spaces, then ${displaystyle H_{1}oplus H_{2}}$ is a Hilbert space with the inner product

${displaystyle {bigl langle }(a,b),(c,d){bigr rangle }_{H_{1}oplus H_{2}}{stackrel {text{def}}{=}}langle a,crangle _{H_{1}}+langle b,drangle _{H_{2}},}$

where ${displaystyle a,cin H_{1}}$ and ${displaystyle b,din H_{2}.}$

Let be the symplectic mapping, i.e. Then the graph

${displaystyle G(A^{*})={(x,y)mid xin D(A^{*}), y=A^{*}x}subseteq Hoplus H}$

of $A^{*}$ is the orthogonal complement of

${displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{perp }={(x,y)in Hoplus H:{bigl langle }(x,y),(-Axi ,xi ){bigr rangle }_{Hoplus H}=0;;forall xi in D(A)}.}$

The assertion follows from the equivalences

{displaystyle {bigl langle }(x,y),(-Axi ,xi ){bigr rangle }=0quad Leftrightarrow quad langle Axi ,xrangle =langle xi ,yrangle ,}

and

${displaystyle {Bigl [}forall xi in D(A) langle Axi ,xrangle =langle xi ,yrangle {Bigr ]}quad Leftrightarrow quad xin D(A^{*}) & y=A^{*}x.}$

Corollaries[edit]

A^* is closed[edit]

An operator is closed if the graph G(A) is topologically closed in The graph ${displaystyle G(A^{*})}$ of the adjoint operator $A^{*}$ is the orthogonal complement of a subspace, and therefore is closed.

A^* is densely defined ⇔ A is closable[edit]

An operator is closable if the topological closure ${displaystyle G^{text{cl}}(A)subseteq Hoplus H}$ of the graph G(A) is the graph of a function. Since ${displaystyle G^{text{cl}}(A)}$ is a (closed) linear subspace, the word «function» may be replaced with «linear operator». For the same reason, is closable if and only if ${displaystyle (0,v)notin G^{text{cl}}(A)}$ unless

The adjoint $A^{*}$ is densely defined if and only if is closable. This follows from the fact that, for every

${displaystyle vin D(A^{*})^{perp } Leftrightarrow (0,v)in G^{text{cl}}(A),}$

which, in turn, is proven through the following chain of equivalencies:

${displaystyle {begin{aligned}vin D(A^{*})^{perp }&Longleftrightarrow (v,0)in G(A^{*})^{perp }Longleftrightarrow (v,0)in (JG(A))^{text{cl}}=JG^{text{cl}}(A)\&Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)in G^{text{cl}}(A)\&Longleftrightarrow (0,v)in G^{text{cl}}(A).end{aligned}}}$

A^** = A^cl[edit]

The closure ${displaystyle A^{text{cl}}}$ of an operator is the operator whose graph is ${displaystyle G^{text{cl}}(A)}$ if this graph represents a function. As above, the word «function» may be replaced with «operator». Furthermore, ${displaystyle A^{**}=A^{text{cl}},}$ meaning that ${displaystyle G(A^{**})=G^{text{cl}}(A).}$

To prove this, observe that ${displaystyle J^{*}=-J,}$ i.e. ${displaystyle langle Jx,yrangle _{Hoplus H}=-langle x,Jyrangle _{Hoplus H},}$ for every Indeed,

${displaystyle {begin{aligned}langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})rangle _{Hoplus H}&=langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})rangle _{Hoplus H}=langle -x_{2},y_{1}rangle _{H}+langle x_{1},y_{2}rangle _{H}\&=langle x_{1},y_{2}rangle _{H}+langle x_{2},-y_{1}rangle _{H}=langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})rangle _{Hoplus H}.end{aligned}}}$

In particular, for every and every subspace ${displaystyle yin (JV)^{perp }}$ if and only if ${displaystyle Jyin V^{perp }.}$ Thus, ${displaystyle J[(JV)^{perp }]=V^{perp }}$ and ${displaystyle [J[(JV)^{perp }]]^{perp }=V^{text{cl}}.}$ Substituting obtain ${displaystyle G^{text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

A^* = (A^cl)^*[edit]

For a closable operator ${displaystyle A^{*}=left(A^{text{cl}}right)^{*},}$ meaning that ${displaystyle G(A^{*})=Gleft(left(A^{text{cl}}right)^{*}right).}$ Indeed,

${displaystyle Gleft(left(A^{text{cl}}right)^{*}right)=left(JG^{text{cl}}(A)right)^{perp }=left(left(JG(A)right)^{text{cl}}right)^{perp }=(JG(A))^{perp }=G(A^{*}).}$

Counterexample where the adjoint is not densely defined[edit]

Let ${displaystyle H=L^{2}(mathbb {R} ,l),}$ where is the linear measure. Select a measurable, bounded, non-identically zero function ${displaystyle fnotin L^{2},}$ and pick ${displaystyle varphi _{0}in L^{2}setminus {0}.}$ Define

${displaystyle Avarphi =langle f,varphi rangle varphi _{0}.}$

It follows that ${displaystyle D(A)={varphi in L^{2}mid langle f,varphi rangle neq infty }.}$ The subspace D(A) contains all the $L^{2}$ functions with compact support. Since ${displaystyle mathbf {1} _{[-n,n]}cdot varphi {stackrel {L^{2}}{to }} varphi ,}$ is densely defined. For every and ${displaystyle psi in D(A^{*}),}$

${displaystyle langle varphi ,A^{*}psi rangle =langle Avarphi ,psi rangle =langle langle f,varphi rangle varphi _{0},psi rangle =langle f,varphi rangle cdot langle varphi _{0},psi rangle =langle varphi ,langle varphi _{0},psi rangle frangle .}$

Thus, ${displaystyle A^{*}psi =langle varphi _{0},psi rangle f.}$ The definition of adjoint operator requires that ${displaystyle mathop {text{Im}} A^{*}subseteq H=L^{2}.}$ Since ${displaystyle fnotin L^{2},}$ this is only possible if ${displaystyle langle varphi _{0},psi rangle =0.}$ For this reason, ${displaystyle D(A^{*})={varphi _{0}}^{perp }.}$ Hence, $A^{*}$ is not densely defined and is identically zero on ${displaystyle D(A^{*}).}$ As a result, is not closable and has no second adjoint ${displaystyle A^{**}.}$

Hermitian operators[edit]

A bounded operator A : H → H is called Hermitian or self-adjoint if

${displaystyle A=A^{*}}$

which is equivalent to

{displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle {mbox{ for all }}x,yin H.}

^[6]

In some sense, these operators play the role of the real numbers (being equal to their own «complex conjugate») and form a real vector space. They serve as the model of real-valued observables in quantum mechanics. See the article on self-adjoint operators for a full treatment.

Adjoints of antilinear operators[edit]

For an antilinear operator the definition of adjoint needs to be adjusted in order to compensate for the complex conjugation. An adjoint operator of the antilinear operator A on a complex Hilbert space H is an antilinear operator A^∗ : H → H with the property:

${displaystyle langle Ax,yrangle ={overline {leftlangle x,A^{*}yrightrangle }}quad {text{for all }}x,yin H.}$

Other adjoints[edit]

The equation

${displaystyle langle Ax,yrangle =leftlangle x,A^{*}yrightrangle }$

is formally similar to the defining properties of pairs of adjoint functors in category theory, and this is where adjoint functors got their name from.

References[edit]

^ Miller, David A. B. (2008). Quantum Mechanics for Scientists and Engineers. Cambridge University Press. pp. 262, 280.
^ ^a ^b ^c ^d Reed & Simon 2003, pp. 186–187; Rudin 1991, §12.9
^ See unbounded operator for details.
^ Reed & Simon 2003, p. 252; Rudin 1991, §13.1
^ Rudin 1991, Thm 13.2
^ Reed & Simon 2003, pp. 187; Rudin 1991, §12.11

Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (first ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

Источник

откуда с учетом квантового значения Pϕ (1.14)	выражаем ε:
ε =	Z2e4m
	.	(1.20)
2¯h2(nρ + nϕ + 1)2

Для энергии водородоподобного атома водорода окончательно получаем следующее выражение:

Z2e4m

En = − 2¯h2n2 , (1.21) где введено квантовое число n, называемое главным квантовым числом,

n = nρ + nϕ + 1. Отметим, что, в отличие от квантовых чисел nρ и nϕ, главное квантовое число изменяется от единицы, n = 1, 2, . . . .

Задания для самостоятельного решения

1.Частица массы m вертикально падает на горизонтальную пластину

иупруго от нее отражается. Найти спектр энергии частицы, определить допустимые высоты Hn.

2.Найти спектр энергетических уровней водородоподобного атома в случае круговых орбит. Оценить радиус первой орбиты.

3.Найти уровни энергии частицы массы m, свободно вращающейся по окружности радиуса r.

4.Определить уровни энергии частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими и непробиваемыми стенками, расположенными при x = 0 и x = x0.

5.Проквантовать движение частицы с положительным зарядом q в однородном электрическом поле с напряженностью E, направленной вертикально вниз. (Считать, что частица падает на горизонтальную пластину и упруго от нее отражается.)

2.Операторы. Свойства операторов

Оператором A называется правило, согласно которому каждой функции ψ из некоторого класса функций ставится в соответствие другая

функция ϕ = Aψ. Основная идея применения операторов в квантовой механике заключается в том, что каждой физической величине ставится в соответствие изображающий ее оператор.

Оператор называется линейным, если

ˆ	ˆ	ˆ	,
A(c1ψ1	+ c2ψ2) = c1Aψ1	+ c2Aψ2

где c1 и c2 – произвольные постоянные, ψ1 и ψ2 – функции, на которых определен оператор. Например, оператор возведения в квадрат нелинейный:

(ψ1 + ψ2)2 6= ψ12 + ψ22, (c1ψ1)2 6= c1ψ12,
а оператор дифференцирования – линейный:
	d	(c1ψ1 + c2ψ2) = c1	dψ1	+ c2	dψ2	.
	dx	dx
			dx

	ˆ ˆ
Произведение двух операторов AB означает, что сначала на функцию
ˆ	ˆ
ψ действует действует оператор B, образуя новую функцию ϕ (Bψ = ϕ),
	ˆ
на которую затем действует оператор A. В общем случае действие опера-
ˆ ˆ	ˆ ˆ
тора AB может не совпадать с действием оператора BA. Если результат

действия произведения операторов не зависит от порядка множителей

ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ
AB = BA (или AB − BA = 0), то операторы называют коммутирующи-
ˆ ˆ	ˆ ˆ
ми. Если AB 6= BA, то говорят, что операторы не коммутируют между
	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ
собой. Разность AB − BA называется коммутатором операторов A и B
и обозначается как
		ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ	(2.1)
		[A, B] ≡ AB − BA.

Можно показать (смотри, например: Блохинцев. Квантовая механика), что если два оператора коммутируют друг с другом, то соответствующие им величины могут иметь одновременно определенное значение. Напротив, если операторы не коммутируют, то соответствующие им величины не могут иметь одновременно определенные значения и, следовательно, не могут быть одновременно измерены.

Из определения (2.1) следует, что коммутатор обладает следующими свойствами:

ˆˆ ˆ ˆ

1.[A, B] = −[B, A],

ˆˆ

2.[A, A] = 0,

ˆ	ˆ	ˆ ˆ		– произвольные постоянные,
3. [c1A, c2B] = c1c2	[A, B], где c1, c2
ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ

4. [A + C, B + D] = [A, B] + [C, B] + [A, D] + [C, D].

Отметим, что операторы могут иметь и векторный характер. Например, в квантовой механике часто встречается дифференциальный опера-

тор набла		∂		∂		∂
~	~	~	~
= i	∂x	+ j	∂y	+ k	∂z	,

~ ~ ~

где i, j, k – единичные вектора, направленные вдоль осей координат. Дей-

~
ствие на функцию ψ(x, y, z) выражается формулой
~	~	∂ψ	~	∂ψ	~	∂ψ
ψ = i	∂x	+ j	∂y	+ k	∂z	.

Важную роль в квантовой механике играет понятие эрмитово сопря-

женного оператора. Оператором, эрмитово сопряженным к оператору A,

ˆ+

называется оператор A , удовлетворяющий следующему равенству:

Z Z

ˆ ˆ+

ψ1 (A ψ2) dV = (A ψ1) ψ2 dV,

где знак* означает комплексное сопряжение, так как и функции, и операторы могут быть комплексными, под dV понимается совокупность всех переменных, от которых зависят рассматриваемые функции. Оператор, для которого

называется самосопряженным (или эрмитовым) оператором. Все операторы, соответствующие реальным физическим величинам, – эрмитовы (операторы скорости, импульса, момента импульса и т. д.). Это следует из требования вещественности среднего значения измеряемой величины.

Задание 1. Найти оператор, эрмитово сопряженный к оператору про-

ˆ ˆ ˆ+ ˆ+

изведения AB. Результат выразить через A и B .

Решение.

Согласно	определению, эрмитово сопряженным к произведению опе-
ˆ ˆ		ˆ ˆ	+	, удовлетворяющий равенству:
раторов AB будет оператор (AB)
	Z	ψ1 (ABˆ ˆ ψ2) dV = Z ((ABˆ ˆ)+ψ1) ψ2 dV.	(2.2)

Учитывая, что на функцию ψ2 сначала действует оператор B, в результате чего получается некая новая функция Φ2, преобразуем левую часть этого выражения к виду:

Z	ψ1 (Aˆ Bψˆ 2 ) dV = Z	(Aˆ+ ψ1) Φ2 dV = Z (Aˆ+ ψ1) (Bˆ ψ2) dV.
	\|		{z	}
		Φ2

Здесь мы воспользовались определением эрмитово сопряженного опера-

ˆ	ˆ+	ψ1	= Φ1	и применяя то же опреде-
тора для оператора A. Обозначая A

ление к оператору B, получаем:

ˆ+ ˆ

(A ψ1) (B ψ2) dV

| {z }

Φ1

Z Z

ˆ+ ˆ+ ˆ+

= (B Φ1) ψ2 dV = (B A ψ1) ψ2 dV. (2.3)

Сравнивая этот результат с правой частью равенства (2.2), находим, что

ˆ ˆ	+	ˆ	+ ˆ+	.
(AB)		= B	A

Аналогичным образом можно показать, что полученный результат справедлив и для большего числа операторов:

ˆ ˆ ˆ	+	ˆ+	ˆ	+ ˆ+	.
(AB . . . F )		= F	. . . B	A

Задание 2. Найти операторы, эрмитово сопряженные к операторам частной производной ∂/∂x, ∂2/∂x2, ∂n/∂xn.

Решение.

По определению эрмитово сопряженного оператора:

	ψ1	∂ψ2	dV =		∂	+	ψ1	ψ2 dV,	(2.4)
Z		Z	∂x	!
	∂x

где dV = dxdydz. Преобразуем интеграл, стоящий слева, к виду, когда оператор производной действует на функцию ψ1, а не на функцию ψ2. Для этого проинтегрируем его по частям по переменной x:

ψ1

∂ψ2

dV =

dydz «ψ1 ψ2

+∞

− Z

∂ψ1

ψ2 dx# =

− Z

∂ψ1

ψ2 dV,

∂x

|−∞

∂x

где учтено, что волновая функция должна убывать на бесконечности (ψ1(x → ±∞) = ψ2(x → ±∞) = 0). Принимая во внимание, что оператор −∂/∂x вещественный, исходный интеграл может быть приведен к виду:

ψ1

∂ψ2

dV =

∂ψ1

ψ2 dV.

(2.5)

∂x

−

∂x

Сравнивая результат (2.5) c определением (2.4), получаем

∂

−

∂

∂x

то есть оператор производной не является самосопряженным. Для того чтобы найти оператор, эрмитово сопряженный к оператору второй производной ∂2/∂x2, воспользуемся результатом предыдущей задачи:

∂22 + =

∂ ∂

∂

= ∂22 .

−

∂x

∂x ∂x

∂x

Аналогично для производной n — го порядка

∂

1)n

∂

. . .

= (

(2.6)

∂x

}

−

∂x

раз

Формула (2.6) иллюстрирует, что оператор ∂n/∂xn является эрмитовым, если n – четное, и не является таковым при нечетном n.

Задание 3. Доказать эрмитовость оператора
			Aˆ = ih¯	∂	+	1	! .
			∂r
			−		r
Решение:
ˆ	+	определяется равенством
Оператор (A)
		Z	ψ1 Aˆ ψ2 dV = Z (Aˆ+ψ1) ψ2 dV,	(2.7)

где dV = r2 dr dΩ – элемент объема в сферической системе координат, dΩ = sin θ dθ dϕ – элемент телесного угла. Подставляя явный вид опе-

ратора A в левую часть равенства (2.7), разобьем исходный интеграл на

сумму двух интегралов:

ψ1 (

−

ih¯)

∂

ψ2 dV =

∂r

−

ih¯

dΩ» ∞ψ1

∂ψ2

r2 dr +

∞ψ1

ψ2 r2 dr#. (2.8)

∂r

Рассмотрим первый интеграл. Для того чтобы перекинуть действие производной на функцию ψ1, проинтегрируем его по частям. При этом необходимо учесть, что в отличие от примера, рассмотренного в предыдущей задаче, в данном случае элемент объема dV содержит переменную r, от которой зависит оператор. Обозначая за u = ψ1 r2, dv = ∂ψ2/∂r, получаем:

∞ψ1

∂ψ2

r2 dr = ψ1 ψ2 r2

0∞

∞

∂(r2 ψ1 )

ψ2 dr =

(2.9)

∂r

−

∂r

∞

2r + r2

∂

ψ1 ψ2 dr

∞«

∂

ψ1

# ψ2 r2 dr.

− Z

∂r

− Z

∂r

Что касается второго интеграла в выражении (2.8), то, поскольку действие оператора 1/r сводится к умножению, его можно сразу переписать

в форме:

∞ψ1	1		ψ2 r2 dr =	∞	ψ1	!	ψ2 r2 dr.	(2.10)
r	Z	r
Z
0				0

Подставляя (2.9) и (2.10) в выражение (2.8), получаем:

ψ1 (	−	ih¯)	∂	+	1	!	ψ2 dV =	−	i h¯	«	1
∂r		r
Z			r			Z
							=	Z	«(−ih¯)

		2		∂	!	ψ1# ψ2 dV =

− r − ∂r	# ψ2 dV,
1	+	∂	! ψ1
r	∂r

ˆ+	ˆ
откуда, сравнивая с определением (2.7), находим, что A	= A, то есть
ˆ
оператор A – самосопряженный.

Задание 4. Найти оператор трансляции:

a)вдоль оси x на расстояние a,

b)на произвольный вектор ~a.

Решение:

Действие оператора трансляции вдоль оси x на волновую функцию определяется следующим образом:

ˆ	(2.11)
Ta ψ(x, y, z) = ψ(x + a, y, z).

Разложим функцию ψ(x, y, z) в ряд по степеням a:

ψ(x + a, y, z) = ψ(x, y, z) +	a	∂ψ	+	a2 ∂2ψ	+ . . . =

∂x		2! ∂x2
=	1 + a		∂		+	a2	∂2	+ . . .	ψ(x, y, z).
∂x		2
				2!		∂x

Замечая, что выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой разложение в ряд экспоненты

«	# =	∞ a	n	n
		∂ n = ea ∂x∂ ,
		X
		n=0 n! ∂x
получаем:
ψ(x + a, y, z) = ea ∂/∂x ψ(x, y, z).	(2.12)

Сравнивая полученный результат с определением (2.11), находим оператор трансляции вдоль оси x на расстояние a, который может быть выражен через оператор импульса:

ˆ	a	∂	= e	i	a pˆx	.
∂x	h¯
Ta = e

Оператор сдвига на произвольный вектор ~a = (a1, a2, a3) определяется равенством

T~a ψ(~r) = ψ(~r + ~a),

и для него аналогичным образом получаем:

~	i	ˆ
Tˆ~a = e(~a ) = e	h¯	(~a p~).

Задание 5. Найти оператор, эрмитово сопряженный к оператору транс-

ляции T~a.

Решение:
ˆ		+	определяется равенством:
Оператор (T~a)
Z	ψ1(~r) Tˆ~a ψ2(~r) dV = Z (Tˆ~a+ ψ1(~r)) ψ2(~r) dV.	(2.13)

Рассмотрим интеграл, стоящий слева от знака равенства в этом вы-

ражении. Подействуем оператором T~a на функцию ψ2(~r):

Z Z

J = ψ1 (~r) T~a ψ2(~r) dV = ψ1 (~r) ψ2(~r + ~a) dV

и произведем замену переменной

~r + ~a = ~r′.

Так как интегрирование ведется по всему пространству, пределы интегрирования не изменятся. После замены получаем

J = ψ1 (~r′ −~a) ψ2(~r′) dV ′. (2.14)

Функция ψ1 (~r′ −~a) может быть представлена как функция ψ1 (~r′), на которую подействовал оператор сдвига на вектор −~a:

ψ1 (~r′ −~a) = Tˆ(−~a) ψ1 (~r′) = (Tˆ(−~a) ψ1(~r′)) ,

(2.15)

где учтено, что оператор T(−~a) вещественный и, следовательно, не меняется при комплексном сопряжении. Подставляя результат (2.15) в формулу (2.14) и сравнивая с определением, получаем

Z Z

ˆ ˆ

ψ1 (~r) T~a ψ2(~r) dV = (T(−~a)ψ1(~r)) ψ2(~r) dV,

откуда находим

ˆ + ˆ

(T~a) = T(−~a).

Оператор, эрмитово сопряженный к оператору трансляции на произвольный вектор ~a, есть оператор сдвига на то же расстояние | ~a |, но в направлении, противоположном направлению вектора ~a.

Задание 6. Вычислить коммутаторы [xk, pˆj ], где индексы k, j пробегают значения x, y, z.

Решение:

Выберем в качестве исходного координатное представление, когда волновая функция зависит от координат и времени. В этом представлении операторы координаты и импульса имеют следующий вид:

∂

xˆk = xk, pˆj = −ih¯ ∂xj .

Действие оператора координаты в этом случае сводится к умножению на число x, поэтому в дальнейшем знак оператора над оператором xˆ будем опускать. Подставляя явный вид операторов в коммутатор и раскрывая его по определению, получаем

[xk, pˆj ] =	−	ih¯ «xk,	∂	# =	−	ih¯ xk	∂	−	∂	xk	.
	∂xj
		∂xj		∂xj

В случае когда k =6 j координата xk является постоянной величиной относительно производной, коммутатор равен нулю:

[xk, pˆj ] =	−	ih¯	xk	∂	−	xk	∂	= 0.
∂xj	∂xj

При k = j вычисления приводят к следующему результату:

[xk, pˆj ] ψ =

−

ih¯ «xk,

∂

# ψ =

−

ih¯ xk

∂ψ

−

∂(xkψ)

∂xj

−

ih¯

∂ψ

−

∂ψ

−

ψ = ih¯ ψ.

∂xj

Здесь для наглядности указана волновая функция, на которую непосредственно действуют операторы. В дальнейшем, как это и принято, будем ее опускать и записывать ответ в виде:

[x, pˆx] = [y, pˆy ] = [z, pˆz ] = ih¯.

(2.16)

В общем случае результат вычислений может быть записан в форме:

[xk, pˆj ] = ih¯ δk,j , δk,j =	1,	k = j,
	0,	k = j.
		6

Полученные результаты показывают, что координата вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям. В то же время не существует состояний, в которых координата и сопряженный ему импульс имеют одновременно определенное значение. По сути cоотношения (2.16) в операторной форме выражают соотношение неопределенности, являющееся фундаментальным для квантовой механики.

Задания для самостоятельного решения

1. Является ли оператор комплексного сопряжения a) линейным; б) эрмитовым ?

2. Возвести в квадрат операторы a) x+ ∂x∂ , б) y ∂y∂ −y, в) f (x, y, z)+ ∂x∂ .

ˆ~

3.Найти квадрат векторного оператора p~ + A(x, y, z), где A(x, y, z) – векторная функция координат.

4.При каких условиях на числа α, β, γ оператор

ˆ	∂2ψ	+ β ψ + γ ψ	2
Aψ ≡ α
∂x2

является a) линейным; б) эрмитовым ?

5. Доказать самосопряженность операторов импульса, квадрата импульса, момента импульса.

6. Проверить эрмитовость оператора A = −i h¯ ∂x∂ + x .

7.Построить оператор поворота a) вокруг оси z на угол α; б) вокруг оси с единичным направляющим вектором ~n на угол α. Результат выразить через оператор момента импульса.

8.Выразить в сферических координатах операторы проекций момен-

ˆ ˆ ˆ	ˆ 2	).
та импульса (Mx, My , Mz ) и оператор квадрата момента (M

9. Вычислить коммутаторы (индексы k, j = 1, 2, 3 нумеруют проекции

векторных операторов на декартовы оси координат x, y, z):
ˆ ˆ		ˆ	ˆ 2	],
a) [Mk, Mj ], [Mk, M
ˆ		ˆ
б) [xk, Mj ], [pˆk, Mj ],
в) [xk2 , pˆj ],	[xk, pˆj2]	[xkn, pˆj ], [xk, pˆjn], где n – целое число,
~		~		~	ˆ	~	ˆ	, a2, a3) –
г) [ , (r~a)], [ , [~r × ~a]], [ , (p~a)],	[ , [p~ × ~a]], где ~a = (a1
постоянный вектор.
ˆ	2	ˆ		ˆ	2		ˆ
д) [x, H],	[x	, H],	[pˆx, H],	[pˆx, H],	где H – оператор полной энергии

одномерного гармонического осциллятора.

3.Волновые свойства частиц. Волновая функция и ее физический смысл

Согласно гипотезе де-Бройля, всякой свободно движущейся частице соответствует плоская волна:

ψ(~r, t) = N eh¯i (p~r−Et),

где p~ и E – импульс и энергия частицы, связанные с волновыми харак-

теристиками (частотой ω и волновым вектором k) соотношениями:

p~ = h¯k, E = hω¯ .

Однако плоская волна де-Бройля не может описывать реальное состояние локализованной частицы.

Попытка физического истолкования волн де-Бройля была предпринята Шредингером. Согласно его гипотезе, частица представляет собой волновой пакет, причем плотность ее ”размазывания” по пространству равна квадрату амплитуды. Однако такой подход оказался также некорректным. Главный аргумент против него состоит в следующем. Поскольку каждая из волн, составляющих волновой пакет, двигается со своей фазовой скоростью, с течением времени пакет будет постепенно расползаться.

В настоящее время общепризнанной является статистическая интерпретация волновой функции, предложенная Борном, согласно которой квадрат модуля волновой функции определяет вероятность местонахож-

дения частицы:

dW =| ψ(~r, t) |2 dV.

Здесь dW – вероятность обнаружить частицу в окрестности точки (x, y, z) в момент времени t, | ψ(~r, t) |2≡ ψ (~r, t) ψ(~r, t). При интегрировании по всему объему получим вероятность того, что в момент времени t частица находится где-нибудь внутри этого объема. Это есть вероятность достоверного события, которая должна быть равна единице:

| ψ(~r, t) |2 dV = 1.

(3.1)

Условие (3.1) называют условием нормировки. Из него, в частности, следует, что полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве не зависит от времени. Это утверждение не является тривиальным и

Соседние файлы в папке Квантовая теория_1

Источник

Непрерывный двойственный эрмитов оператор

В математике, особенно в функционале Анализ, каждому ограниченному линейному оператору в комплексном гильбертовом пространстве соответствует эрмитово сопряженный (или сопряженный оператор ). Сопряжения операторов обобщают Сопряженные транспонируют квадратных матриц в (возможно) бесконечномерные ситуации. Если рассматривать операторы в комплексном гильбертовом пространстве как обобщенные комплексные числа, то сопряженный оператор играет роль комплексно сопряженного комплексного числа.

В аналогичном смысле можно определить сопряженный оператор для линейных (и, возможно, неограниченных) операторов между банаховыми пространствами.

Сопряженный оператор A можно также назвать эрмитовым сопряженным, эрмитово или эрмитовское транспонирование (после Charles Hermite ) из A и обозначается A или A (последнее, особенно когда используется вместе с bra – ket обозначение ). Как ни странно, A может также использоваться для представления конъюгата с A.

Содержание

1 Неформальное определение
2 Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами
3 Определение для ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами
4 Свойства
5 Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами
6 Эрмитовы операторы
7 Сопряжение антилинейных операторов
8 Другие сопряжения
9 См. Также
10 Ссылки

Неформальное определение

Рассмотрим линейный оператор A: H 1 → H 2 { displaystyle A: H_ {1} to H_ {2}} ${ displaystyle A: H_ {1} to H_ {2}}$ между Гильбертовы пространства. Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор представляет собой (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор A ∗: H 2 → H 1 { displaystyle A ^ {*}: H_ {2} to H_ {1 }} ${ displaystyle A ^ {*}: H_ {2} to H_ {1}}$ выполнение

⟨A h 1, h 2⟩ H 2 = ⟨h 1, A ∗ h 2⟩ H 1, { displaystyle left langle Ah_ {1}, h_ {2 } right rangle _ {H_ {2}} = left langle h_ {1}, A ^ {*} h_ {2} right rangle _ {H_ {1}},} ${ displaystyle left langle Ah_ {1}, h_ {2} right rangle _ {H_ {2}} = left langle h_ {1}, A ^ {*} h_ {2} right rangle _ {H_ {1}},}$

где ⟨⋅, ⋅⟩ H i { displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {H_ {i}}} ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {H_ {i}}}$ — внутренний продукт в гильбертовом пространстве H i { displaystyle H_ {i}} $H_ {i}$ , который является линейным по первой координате и антилинейным по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и A { displaystyle A}является оператором в этом гильбертовом пространстве.

Когда кто-то меняет двойную пару на внутренний продукт, можно определить сопряженное, также называемое транспонированием, оператора A: E → F { displaystyle A: E to F}, где E, F { displaystyle E, F}— это банаховы пространства с соответствующими нормами ‖ ⋅ ‖ E, ‖ ⋅ ‖ F { displaystyle | cdot | _ {E}, | cdot | _ {F}} ${ displaystyle | cdot | _ {E}, | cdot | _ {F }}$ . Здесь (опять же без учета технических подробностей) сопряженный оператор определяется как A ∗: F ∗ → E ∗ { displaystyle A ^ {*}: F ^ {*} to E ^ {*}} ${ displaystyle A ^ {*}: F ^ {*} to E ^ {*}}$ с

A * f = (u ↦ f (A u)), { displaystyle A ^ {*} f = (u mapsto f (Au)),} ${ Displaystyle A ^ {*} е = (и mapsto f (Au)),}$

Т.е., (A ∗ f) (u) = f (A u) { displaystyle left (A ^ {*} f right) (u) = f (Au)} ${ displaystyle left (A ^ {*} f right) (u) = f (Au)}$ для f ∈ F ∗, u ∈ E { displaystyle f in F ^ {*}, u in E} ${ displaystyle f in F ^ {*}, u in E}$ .

Обратите внимание, что приведенное выше определение в настройке гильбертова пространства на самом деле является просто применением случая банахова пространства, когда кто-то идентифицирует гильбертово пространство с двойственным ему. Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор A: H → E { displaystyle A: H to E}, где H { displaystyle H}— гильбертово пространство, а E { displaystyle E}— банахово пространство. Двойственное затем определяется как A ∗: E ∗ → H { displaystyle A ^ {*}: E ^ {*} to H} ${ displaystyle A ^ {*}: От E ^ {*} до H}$ с A ∗ f = hf { displaystyle A ^ {*} f = h_ {f}} ${ displaystyle A ^ {*} f = h_ {f}}$ такой, что

⟨hf, h⟩ H = f (A h). { displaystyle langle h_ {f}, h rangle _ {H} = f (Ah).} ${ displaystyle langle h_ {f}, h rangle _ {H} = f (Ah).}$

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами

Пусть (E, ‖ ⋅ ‖ E), (F, ‖ ⋅ ‖ F) { displaystyle left (E, | cdot | _ {E} right), left (F, | cdot | _ {F} right)} ${ displaystyle left (E, | cdot | _ {E} right), left (F, | cdot | _ {F} right)}$ быть банаховыми пространствами. Предположим, что A: D (A) → F { displaystyle A: D (A) to F}и D (A) ⊂ E { displaystyle D (A) subset E}, и предположим, что A { displaystyle A}является (возможно, неограниченным) линейным оператором, который определен плотно (т. Е. D (A) { displaystyle D (A)} D (A) плотно в E { displaystyle E}). Тогда его сопряженный оператор A ∗ { displaystyle A ^ {*}} $A ^ {*}$ определяется следующим образом. Область определения:

D (A ∗): = {g ∈ F ∗: ∃ c ≥ 0: для всех u ∈ D (A): | g (A u) | ≤ с ⋅ ‖ U ‖ E} { Displaystyle D left (A ^ {*} right): = left {g in F ^ {*}: ~ существует c geq 0: ~ { t_dv {для всех}} u in D (A): ~ | g (Au) | leq c cdot | u | _ {E} right }} ${ displaystyle D left (A ^ {*} right): = left {g in F ^ {*}: ~ exists c geq 0: ~ { t_dv {для всех} } u in D (A): ~ | g (Au) | leq c cdot | u | _ {E} right }}$

Теперь для произвольного, но фиксированного g ∈ D (A *) { displaystyle g in D (A ^ {*})} ${ displaystyle g in D (A ^ {*})}$ мы устанавливаем f: D (A) → R { displaystyle f: D (A) to mathbb {R}}с f (u) = g (A u) { displaystyle f (u) = g (Au)}. По выбору g { displaystyle g}и определению D (A ∗) { displaystyle D (A ^ {*})} ${ displaystyle D ( A ^ {*})}$ , f равно (равномерно) непрерывно на D (A) { displaystyle D (A)} D (A) as | f (u) | = | g (A u) | ≤ с ⋅ ‖ U ‖ E { Displaystyle | е (и) | = | г (Au) | Leq с CDOT | и | _ {E}} ${ displaystyle | f (u) | = | g (Au) | leq c cdot | u | _ {E}}$ . Затем по теореме Хана – Банаха или, альтернативно, посредством расширения по непрерывности это дает расширение f { displaystyle f}, называемое f ^ { displaystyle { шляпа {f}}}определена на всем E { displaystyle E}. Обратите внимание, что эта техническая особенность необходима, чтобы позже получить A ∗ { displaystyle A ^ {*}} $A ^ {*}$ в качестве оператора D (A ∗) → E ∗ { displaystyle D left ( A ^ {*} right) на E ^ {*}} ${ displaystyle D left (A ^ {*} right) to E ^ {*}}$ вместо D (A ∗) → (D (A)) ∗. { displaystyle D left (A ^ {*} right) to (D (A)) ^ {*}.} ${ displaystyle D left (A ^ {*} right) to (D (A)) ^ {*}.}$ Заметьте также, что это не означает, что A { displaystyle A}можно расширить на все элементы E { displaystyle E}, но расширение работает только для определенных элементов g ∈ D (A ∗) { displaystyle g in D left (A ^ {*} right)} ${ displaystyle g in D left (A ^ {*} right)}$ .

Теперь мы можем определить сопряженное к A { displaystyle A}как

A ∗: F ∗ ⊃ D (A ∗) → E ∗ g ↦ A ∗ g = f ^ { displaystyle { begin {align} A ^ {*}: F ^ {*} supset D (A ^ {*}) to E ^ {*} \ g mapsto A ^ {*} g = { hat {f}} end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} A ^ {*}: F ^ {*} supset D (A ^ {*}) to E ^ { *} \ g mapsto A ^ {*} g = { hat {f}} end {align}}}$

Таким образом, фундаментальное определяющее тождество

g (A u) = ( A * g) (u) { displaystyle g (Au) = left (A ^ {*} g right) (u)} ${ displaystyle g (Au) = left (A ^ { *} g right) (u)}$

для u ∈ D (A). { displaystyle u in D (A).}

Определение для ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Предположим, H — комплексное гильбертово пространство с внутренним произведением ⟨⋅, ⋅⟩ { displaystyle langle cdot, cdot rangle}. Рассмотрим непрерывный линейный оператор A: H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченному оператору ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A: H → H, удовлетворяющий

⟨A x, y⟩ = ⟨x, A ∗ y⟩ для всех x, y ∈ H. { displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle quad { t_dv {для всех}} x, y in H.} ${ displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle quad { t_dv {для всех}} x, y in H.}$

Существование и уникальность этого оператора следует из теоремы о представлении Рисса.

Это можно рассматривать как обобщение сопряженной матрицы квадратной матрицы, которая обладает аналогичным свойством, включая стандартное комплексное внутреннее произведение.

Свойства

Следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора являются непосредственными:

Инволютивность : A = A
Если A обратимо, как и A, с (A ∗) — 1 = (A — 1) ∗ { textstyle left (A ^ {*} right) ^ {- 1} = left (A ^ {- 1} right) ^ {*}} ${ textstyle left (A ^ {*} справа) ^ {- 1} = left (A ^ {- 1} right) ^ {*}}$
Антилинейность :
- (A + B) = A + B
- (λA) = λA, где λ обозначает комплексно-сопряженное комплексного числа λ
«Антидистрибутивность «: (AB) = BA

Если мы определим операторную норму числа A как

‖ A ‖ op: = sup {‖ A x ‖: ‖ x ‖ ≤ 1} { displaystyle | A | _ { text {op}}: = sup left { | Ax |: | x | leq 1 right }} ${ displaystyle | A | _ { text {op}}: = sup left { | Ax |: | x | leq 1 right }}$

, затем

‖ A ∗ ‖ op = ‖ A ‖ op. { displaystyle left | A ^ {*} right | _ { text { op}} = | A | _ { text {op}}.} ${ displaystyle left | A ^ {*} right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}}.}$

Кроме того,

‖ A ∗ A ‖ op = ‖ A ‖ op 2. { displaystyle left | A ^ { *} A right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}} ^ {2}.} ${ displaystyle left | A ^ {*} A right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}} ^ {2}.}$

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполяция из случая самосопряженного op эраторы.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве H вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип C * -алгебры.

, сопряженной плотно определенных неограниченных операторов между Гильбертом В пространствах

A плотно определенный оператор A из комплексного гильбертова пространства H в себя является линейным оператором, область определения D (A) которого является плотным линейным подпространством в H, а значения лежат в H. По определению область определения D (A) сопряженного к нему A — это множество всех y ∈ H, для которых существует az ∈ H, удовлетворяющая

⟨A x, y⟩ = ⟨x, z⟩ для всех x ∈ D (A), { displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, z rangle quad { t_dv {для всех}} x in D (A),} $langle Ax, y rangle = langle x, z rangle quad t_dv {для всех} x in D (A),$

и A (y) определяется как найденное таким образом z.

Свойства 1. – 5. соблюдайте соответствующие положения о доменах и кодоменах. Например, последнее свойство теперь утверждает, что (AB) является расширением BA, если A, B и AB являются плотно определенными операторами.

Связь между изображением A и ядром сопряженного с ним задается следующим образом:

ker ⁡ A ∗ = (im ⁡ A) ⊥ (ker ⁡ A ∗) ⊥ = im ⁡ A ¯ { displaystyle { begin {align} ker A ^ {*} = left ( operatorname {im} A right) ^ { bot} \ left ( ker A ^ {*} right) ^ { bot} = { overline { operatorname {im} A}} end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} ker A ^ {*} = left ( operatorname {im} A right) ^ { bot} \ left ( ker A ^ {*} right) ^ { bot} = { overline { operatorname {im} A }} конец {выровнено}}}$

Эти утверждения эквивалентны. См. ортогональное дополнение для доказательства этого и определения ⊥ { displaystyle bot} bot .

Доказательство первого уравнения:

A ∗ x = 0 ⟺ ⟨A ∗ x, y⟩ = 0 для всех y ∈ H ⟺ ⟨x, A y⟩ = 0 для всех y ∈ H ⟺ x ⊥ im ⁡ A { displaystyle { begin {align} A ^ {*} x = 0 iff left langle A ^ {*} x, y right rangle = 0 quad { t_dv {для всех}} y in H \ iff left langle x, Ay right rangle = 0 quad { t_dv {для всех}} y in H \ iff x bot operatorname {im} A end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} A ^ {*} x = 0 iff left langle A ^ {*} x, y right rangle = 0 quad { t_dv {для всех}} y in H \ iff left langle x, Ay right rangle = 0 quad { t_dv {для всех}} y in H iff x bot operatorname {im} A end {align}}}$

Второе уравнение следует из первого, принимая ортогональное дополнение с обеих сторон. Обратите внимание, что в общем случае изображение не должно быть закрытым, но ядро непрерывного оператора всегда является.

Эрмитовы операторы

A ограниченный оператор A: H → H — это называется эрмитовым или самосопряженным, если

A = A ∗ { displaystyle A = A ^ {*}} ${ displaystyle A = A ^ {*}}$

, что эквивалентно

⟨A x, y⟩ = ⟨x, A y⟩ для всех x, y ∈ H. { displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle { t_dv {for all}} x, y in H.} ${ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle { t_dv {для всех}} x, y in H.}$

В некотором смысле эти операторы играют роль действительные числа (равные их собственному «комплексно-сопряженному») и образуют реальное векторное пространство. Они служат моделью наблюдаемых с действительными значениями в квантовой механике. См. Статью о самосопряженных операторах для получения полной информации.

Сопряжение антилинейных операторов

Для антилинейного оператора определение сопряженного должно быть скорректировано, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор антилинейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H — это антилинейный оператор A: H → H со свойством:

⟨A x, y⟩ = ⟨x, A ∗ y⟩ ¯ для всех x, y ∈ H. { displaystyle langle Ax, y rangle = { overline { left langle x, A ^ {*} y right rangle}} quad { text {для всех}} x, y in H. } ${ displaystyle langle Ax, y rangle = { overline { left langle x, A ^ {*} y right rangle}} quad { text {для a ll}} x, y in H.}$

Другие сопряжения

Уравнение

⟨A x, y⟩ = ⟨x, A ∗ y⟩ { displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle} ${ displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle}$

формально аналогичен определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий, и именно отсюда присоединенные функторы получили свое название.

См. Также

Математические концепции
Физические приложения

Ссылки

Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и дифференциальные уравнения с частными производными (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

Источник

В математике , особенно в теории операторов , каждый линейный оператор в евклидовом векторном пространстве определяет эрмитов сопряженный (или присоединенный ) оператор в этом пространстве в соответствии с правилом
$A ^ {*}$

${ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, A ^ {*} y rangle.}$

Определение дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах. ЧАС.

Определение сопряженного оператора было дополнительно расширено, чтобы включить неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна в — но не обязательно равна — ЧАС.

Сопряженный оператор А может быть также называются эрмитово сопряжением, эрмитовы или эрмитов транспонирования (после Эрмишь ) из А и обозначаются через A ^* или A ^† (последний особенно при использовании в сочетании с Бра и кет в квантовом механика ).

Неформальное определение

Рассмотрим линейный оператор между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор — это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор, выполняющий
${ displaystyle A: H_ {1} to H_ {2}}$ ${ displaystyle A ^ {*}: H_ {2} to H_ {1}}$

${ displaystyle left langle Ah_ {1}, h_ {2} right rangle _ {H_ {2}} = left langle h_ {1}, A ^ {*} h_ {2} right rangle _ {H_ {1}},}$

где — скалярное произведение в гильбертовом пространстве , которое линейно по первой координате и антилинейно по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и являются оператором в этом гильбертовом пространстве.
${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {H_ {i}}}$

Если обменять скалярный продукт на двойственное спаривание, можно определить сопряженное, также называемое транспонированием , оператора , где — банаховы пространства с соответствующими нормами . Здесь (опять же без учета технических деталей) сопряженный оператор определяется как с
${ Displaystyle | cdot | _ {E}, | cdot | _ {F}}$ ${ displaystyle A ^ {*}: F ^ {*} to E ^ {*}}$

${ Displaystyle A ^ {*} е = (и mapsto f (Au)),}$

Т.е. для .
${ Displaystyle влево (A ^ {*} е вправо) (и) = е (Au)}$ ${ displaystyle f in F ^ {*}, u in E}$

Обратите внимание, что приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто приложением случая банахова пространства, когда мы отождествляем гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор , где — гильбертово пространство, а — банахово пространство. Тогда двойственный определяется как с таким, что
ЧАС ${ displaystyle A ^ {*}: E ^ {*} to H}$ ${ displaystyle A ^ {*} f = h_ {f}}$

${ displaystyle langle h_ {f}, h rangle _ {H} = f (Ах).}$

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами

Позвольте быть банаховы пространства . Предположим, что и , и предположим, что это (возможно, неограниченный) линейный оператор, который плотно определен (т. Е. Плотно в ). Тогда его сопряженный оператор определяется следующим образом. Домен
${ Displaystyle влево (Е, | CDOT | _ {E} вправо), влево (F, | CDOT | _ {F} вправо)}$ D (А) $A ^ {*}$

${ Displaystyle D left (A ^ {*} right): = left {g in F ^ {*}: ~ exists c geq 0: ~ { mbox {для всех}} u in D (A): ~ | g (Au) | leq c cdot | u | _ {E} right }}$

Теперь для произвольных, но фиксированных мы устанавливаем с . По выбору и определению f (равномерно) непрерывна на as . Тогда по теореме Хана – Банаха или, альтернативно, через расширение по непрерывности это дает расширение , называемое определенным на всех . Обратите внимание, что эту техническую особенность необходимо получить позже в качестве оператора вместо. Замечание также, что это не означает, что это может быть расширено для всех, но расширение работает только для определенных элементов .
${ displaystyle g in D (A ^ {*})}$ ${ displaystyle D (A ^ {*})}$ D (А) ${ Displaystyle | е (и) | = | г (Аи) | Leq с CDOT | и | _ {E}}$ $A ^ {*}$ ${ displaystyle D left (A ^ {*} right) к E ^ {*}}$ ${ displaystyle D left (A ^ {*} right) to (D (A)) ^ {*}.}$ ${ Displaystyle г в D влево (A ^ {*} вправо)}$

Теперь мы можем определить сопряженный к как

${ displaystyle { begin {align} A ^ {*}: F ^ {*} supset D (A ^ {*}) & to E ^ {*} \ g & mapsto A ^ {*} g = { hat {f}} end {align}}}$

Таким образом, основная определяющая идентичность

${ Displaystyle г (Аи) = влево (А ^ {*} г вправо) (и)}$

для

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Предположим, H — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченному оператору ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ^∗ : H → H, удовлетворяющий

${ displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle quad { mbox {для всех}} x, y in H.}$

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы Рисса о представлении .

Это можно рассматривать как обобщение сопряженной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, связанное со стандартным комплексным внутренним произведением.

Характеристики

Следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора очевидны:

Инволютивность : A ^∗∗ = A
Если A обратима, то обратима и A ^∗ , причем ${ textstyle left (A ^ {*} right) ^ {- 1} = left (A ^ {- 1} right) ^ {*}}$
Антилинейность :
- ( A + B ) ^∗ = A ^∗ + B ^∗
- ( ХА ) ^* = λ A ^* , где λ обозначает комплексное сопряжение из комплексного числа Л
« Антидистрибутивность »: ( AB ) ^∗ = B ^∗A ^∗

Если мы определим оператор норму в А по

${ displaystyle | A | _ { text {op}}: = sup left { | Ax |: | x | leq 1 right }}$

тогда

${ displaystyle left | A ^ {*} right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}}.}$

Кроме того,

${ displaystyle left | A ^ {*} A right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}} ^ {2}.}$

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполируя из случая самосопряженных операторов.

Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Определение

Пусть внутренний продукт будет линейным по первому аргументу. Плотно определенный оператор из комплексного гильбертова пространства Н в себя линейный оператор, область D ( ) является плотным линейным подпространством из H и значение которого лежит в H . По определению, область определения D ( A ^∗ ) сопряженного к нему A ^∗ — это множество всех y ∈ H, для которых существует z ∈ H, удовлетворяющий

{ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, z rangle quad { mbox {для всех}} x in D (A).}

Благодаря плотности и теоремы Рисса представления , однозначно определен, и, по определению, D (А) ${ displaystyle A ^ {*} y = z.}$

Свойства 1. – 5. с соответствующими пунктами о доменах и кодоменах . Например, последнее свойство теперь утверждает, что ( AB ) ^∗ является расширением B ^∗A ^∗, если A , B и AB — плотно определенные операторы.

ker A ^* = (im A) ^⊥

Для любого линейного функционала тождественно равен нулю, а значит, ${ displaystyle y in ker A ^ {*},}$ ${ displaystyle x mapsto langle Ax, y rangle = langle x, A ^ {*} y rangle}$ ${ displaystyle y in ( operatorname {im} A) ^ { perp}.}$

И наоборот, предположение, при котором функционал тождественно равен нулю. Поскольку функционал, очевидно, ограничен, определение гарантирует, что Тот факт, что для каждого показывает, что данное, что является плотным.
${ Displaystyle у в ( OperatorName {им} А) ^ { перп}}$ $A ^ {*}$ ${ displaystyle y in D (A ^ {*}).}$ ${ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, A ^ {*} y rangle = 0}$ ${ Displaystyle A ^ {*} y in D (A) ^ { perp} = {0 },}$ D (А)

Это свойство показывает, что это топологически замкнутое подпространство, даже если это не так.
${ displaystyle operatorname {ker} A ^ {*}}$ ${ displaystyle D (A ^ {*})}$

Геометрическая интерпретация

Если и являются гильбертовыми пространствами, то является гильбертовым пространством со скалярным произведением
$H_ {1}$ $H_ {2}$ ${ displaystyle H_ {1} oplus H_ {2}}$

${ displaystyle { bigl langle} (a, b), (c, d) { bigr rangle} _ {H_ {1} oplus H_ {2}} { stackrel { text {def}} { =}} langle a, c rangle _ {H_ {1}} + langle b, d rangle _ {H_ {2}},}$

где и ${ displaystyle a, c in H_ {1}}$ ${ displaystyle b, d in H_ {2}.}$

Пусть — симплектическое отображение , т.е. тогда граф

${ Displaystyle G (A ^ {*}) = {(x, y) mid x in D (A ^ {*}), y = A ^ {*} x } substeq H oplus H }$

из является ортогональным дополнением в $A ^ {*}$

${ Displaystyle G (A ^ {*}) = (JG (A)) ^ { perp} = {(x, y) in H oplus H: { bigl langle} (x, y), (-A xi, xi) { bigr rangle} _ {H oplus H} = 0 ; ; forall xi in D (A) }.}$

Утверждение следует из эквивалентностей

а также

${ Displaystyle { Bigl [} forall xi in D (A) langle A xi, x rangle = langle xi, y rangle { Bigr]} quad Leftrightarrow quad x in D (A ^ {*}) & y = A ^ {*} x.}$

Следствия

A ^* закрыт

Оператор будет закрыт , если граф топологически замкнут в The графе сопряженного оператора является ортогональным дополнением подпространства, и , следовательно , замкнут.
G (А) ${ Displaystyle G (A ^ {*})}$ $A ^ {*}$

A ^* плотно определено ⇔ A закрыто

Оператор является закрываемым, если топологическое замыкание графа является графиком функции. Поскольку это (замкнутое) линейное подпространство, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине, замыкает тогда и только тогда , если ${ Displaystyle G ^ { текст {cl}} (А) substeq H oplus H}$ G (А) ${ Displaystyle G ^ { текст {cl}} (А)}$ ${ displaystyle (0, v) notin G ^ { text {cl}} (A)}$

Сопряженный плотно определен тогда и только тогда, когда он замыкается. Это следует из того, что для каждого $A ^ {*}$

${ Displaystyle v in D (A ^ {*}) ^ { perp} Leftrightarrow (0, v) in G ^ { text {cl}} (A),}$

что, в свою очередь, доказывается следующей цепочкой эквивалентностей:

${ displaystyle { begin {align} v in D (A ^ {*}) ^ { perp} & Longleftrightarrow (v, 0) in G (A ^ {*}) ^ { perp} Longleftrightarrow (v, 0) in (JG (A)) ^ { text {cl}} = JG ^ { text {cl}} (A) \ & Longleftrightarrow (0, -v) = J ^ {- 1} (v, 0) in G ^ { text {cl}} (A) \ & Longleftrightarrow (0, v) in G ^ { text {cl}} (A). End {выровнено }}}$

A ^** = A ^cl

Замыкание оператора является оператор, граф , если этот график представляет собой функцию. Как и выше, слово «функция» можно заменить словом «оператор». Кроме того, это означает, что ${ displaystyle A ^ { text {cl}}}$ ${ Displaystyle G ^ { текст {cl}} (А)}$ ${ displaystyle A ^ {**} = A ^ { text {cl}},}$ ${ displaystyle G (A ^ {**}) = G ^ { text {cl}} (A).}$

Чтобы доказать это, заметим, что т.е. для каждого Действительно,
${ displaystyle J ^ {*} = - J,}$ ${ displaystyle langle Jx, y rangle _ {H oplus H} = - langle x, Jy rangle _ {H oplus H},}$

${ displaystyle { begin {align} langle J (x_ {1}, x_ {2}), (y_ {1}, y_ {2}) rangle _ {H oplus H} & = langle (- x_ {2}, x_ {1}), (y_ {1}, y_ {2}) rangle _ {H oplus H} = langle -x_ {2}, y_ {1} rangle _ {H} + langle x_ {1}, y_ {2} rangle _ {H} \ & = langle x_ {1}, y_ {2} rangle _ {H} + langle x_ {2}, - y_ { 1} rangle _ {H} = langle (x_ {1}, x_ {2}), - J (y_ {1}, y_ {2}) rangle _ {H oplus H}. End {выровнено }}}$

В частности, для любого подпространства тогда и только тогда , когда Таким образом и Подставляя получаем ${ Displaystyle у в (СП) ^ { perp}}$ ${ displaystyle Jy in V ^ { perp}.}$ ${ Displaystyle J [(СП) ^ { perp}] = V ^ { perp}}$ ${ displaystyle [J [(JV) ^ { perp}]] ^ { perp} = V ^ { text {cl}}.}$ ${ displaystyle G ^ { text {cl}} (A) = G (A ^ {**}).}$

A ^* = (A ^cl ) ^*

Для закрываемого оператора, означающего, что Действительно,
${ displaystyle A ^ {*} = left (A ^ { text {cl}} right) ^ {*},}$ ${ Displaystyle G (A ^ {*}) = G left ( left (A ^ { text {cl}} right) ^ {*} right).}$

${ Displaystyle G left ( left (A ^ { text {cl}} right) ^ {*} right) = left (JG ^ { text {cl}} (A) right) ^ { perp} = left ( left (JG (A) right) ^ { text {cl}} right) ^ { perp} = (JG (A)) ^ { perp} = G (A ^ {*}).}$

Контрпример, когда сопряженный не определен плотно

Пусть где — линейная мера. Выберите измеримую, ограниченную, отличную от нуля функцию и выберите Определить
${ Displaystyle Н = L ^ {2} ( mathbb {R}, л),}$ ${ displaystyle f notin L ^ {2},}$ ${ displaystyle varphi _ {0} in L ^ {2} setminus {0 }.}$

${ displaystyle A varphi = langle f, varphi rangle varphi _ {0}.}$

Отсюда следует, что подпространство содержит все функции с компактным носителем. Поскольку плотно определено. Для каждого и ${ Displaystyle D (A) = { varphi in L ^ {2} mid langle f, varphi rangle neq infty }.}$ D (А) $L ^ {2}$ ${ displaystyle mathbf {1} _ {[- n, n]} cdot varphi { stackrel {L ^ {2}} { to}} varphi,}$ ${ displaystyle psi in D (A ^ {*}),}$

${ displaystyle langle varphi, A ^ {*} psi rangle = langle A varphi, psi rangle = langle langle f, varphi rangle varphi _ {0}, psi rangle = langle f, varphi rangle cdot langle varphi _ {0}, psi rangle = langle varphi, langle varphi _ {0}, psi rangle f rangle.}$

Таким образом, определение сопряженного оператора требует, чтобы, поскольку это возможно, только если По этой причине, Следовательно, не определен плотно и тождественно равен нулю на В результате, не замыкается и не имеет второго сопряженного оператора ${ displaystyle A ^ {*} psi = langle varphi _ {0}, psi rangle f.}$ ${ displaystyle mathop { text {Im}} A ^ {*} substeq H = L ^ {2}.}$ ${ displaystyle f notin L ^ {2},}$ ${ displaystyle langle varphi _ {0}, psi rangle = 0.}$ ${ displaystyle D (A ^ {*}) = { varphi _ {0} } ^ { perp}.}$ $A ^ {*}$ ${ displaystyle D (A ^ {*}).}$ ${ displaystyle A ^ {**}.}$

Эрмитовы операторы

Ограниченный оператор : Н → Н называется эрмитова или самосопряженным , если

${ Displaystyle А = А ^ {*}}$

что эквивалентно

{ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle { mbox {для всех}} x, y in H.}

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (равных их собственному «комплексно сопряженному») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью действительных наблюдаемых в квантовой механике . См. Статью о самосопряженных операторах для полного описания.

Сопряжения антилинейных операторов

Для антилинейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор антилинейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H — это антилинейный оператор A ^∗ : H → H со свойством:

${ displaystyle langle Ax, y rangle = { overline { left langle x, A ^ {*} y right rangle}} quad { text {для всех}} x, y in H. }$

Другие прилегающие

Уравнение

${ displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle}$

формально аналогичен определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и отсюда присоединенные функторы получили свое название.

Смотрите также

Математические понятия
- Эрмитов оператор
- Норма (математика)
- Транспонировать линейные карты
Физические приложения
- Оператор (физика)
- †-алгебра

использованная литература

Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .

Источник

Informal definition[edit]

Definition for unbounded operators between Banach spaces[edit]

Definition for bounded operators between Hilbert spaces[edit]

Properties[edit]

Adjoint of densely defined unbounded operators between Hilbert spaces[edit]

Definition[edit]

ker A*=(im A)⊥[edit]

Geometric interpretation[edit]

Corollaries[edit]

A* is closed[edit]

A* is densely defined ⇔ A is closable[edit]

A** = Acl[edit]

A* = (Acl)*[edit]

Counterexample where the adjoint is not densely defined[edit]

Hermitian operators[edit]

Adjoints of antilinear operators[edit]

Other adjoints[edit]

See also[edit]

References[edit]

Содержание

Неформальное определение

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами

Определение для ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Свойства

, сопряженной плотно определенных неограниченных операторов между Гильбертом В пространствах

Эрмитовы операторы

Сопряжение антилинейных операторов

Другие сопряжения

См. Также

Ссылки

Неформальное определение

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Характеристики

Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Определение

ker A * = (im A) ⊥

Геометрическая интерпретация

Следствия

A * закрыт

A * плотно определено ⇔ A закрыто

A ** = A cl

A * = (A cl ) *

Контрпример, когда сопряженный не определен плотно

Эрмитовы операторы

Сопряжения антилинейных операторов

Другие прилегающие

Смотрите также

использованная литература

ker A^*=(im A)^⊥[edit]

A^* is closed[edit]

A^* is densely defined ⇔ A is closable[edit]

A^** = A^cl[edit]

A^* = (A^cl)^*[edit]

ker A ^* = (im A) ^⊥

A ^* закрыт

A ^* плотно определено ⇔ A закрыто

A ^** = A ^cl

A ^* = (A ^cl ) ^*