Если числа взаимно простые как найти нок

Вообще что такое НОК?

НОК(наименьшее общее кратное) двух целых чисел a и b среди которых есть наименьшее число, которое делится на эти два числа без остатка.

Ну к примеру всегда обозначали так НОК(a,b, …).

Обращаем внимание на , то чем отличаются НОК и НОД(наименьший общий делитель).

Например: возьмем число 10

Рассмотрим ряд чисел(20;30;40;50;100;…), которые без остатка делятся на 10 будут .

А если взять такой ряд(10;5;2;1) — это будут наименьшие делители числа 10.

Если я правильно понял, что НОК>НОД или НОК=НОД.

Примеры: Найти НОК(15;20)=60, так как 60/15=4 и 60/20=3 все делится без остатка.

Найти НОК(1;10)=10, так как 10/1=10 и 10/1=10 все делится без остатка.

НОК используется при сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

НОД взаимно простых чисел равен 1

План урока:

Наибольший общий делитель

Взаимно простые числа

Минутка истории

Наибольший общий делитель

Встречаются ситуации, когда хочется понимать, на какое максимальное количество делится одновременно несколько числовых значений.

Например:

В городском парке проводился ежегодный марафон. Для участия в марафоне пришло 36 мальчиков, 24 девочки. По условиям соревнования, всех участников необходимо поделить на команды, в которые войдут  и мальчики, и девочки. Сколько одинаковых команд можно сформировать из данного количества детей?

Чтобы ответь на вопрос задачи, вычислим максимальное числовое значение, являющееся делителем для количества всех ребят одновременно.

Выполним необходимые вычисления – определим существующие множители. Вычисления запишем в столбик.

Начнем с 36.

36 | 2

18

Полученное частное – 18, оно четное. Делитель остается прежним:

36 | 2

18 | 2

9

9 – нечетное, поэтому берем следующий делитель – 3:

36 | 2

18 | 2

9  | 3

3

Частное – простое числовое значение, делится само на себя:

36 | 2

18 | 2

9  | 3

3  | 3

1

Частное – единица, разложение окончено.

Выпишем составляющие:

36 = 2×2×3×3

Переходим к 24.

24 заканчивается четной цифрой, значит, кратно двум:

242

12

Делитель оставляем прежним, частное 12 – четное:

242

122

6

Результат деления 6, снова делим на 2:

24 | 2

12 | 2

6  | 2

3

Получили простое числовое значение, которое делится само на себя:

24 | 2

12 | 2

6  | 2

3  | 3

1

Разложение окончено. Запишем полученные компоненты:

24 = 2 × 2 × 2 × 3.

В финале выполненных вычислений мы получили:

36 = 2 × 2 × 2 × 3× 3;

24 = 2 × 2 × 2 × 3.

Давайте выберем одинаковые составляющие. Видно, что в каждом выражении такими составляющими будут: 2 ×2 × 3.

Перемножим выделенные компоненты:

2 ×2 × 3 = 12.

12 – самое большое числовое значение, на которое можно разделить оба делимых.

Мы выяснили, что всех участников можно распределить на 12 одинаковых команд.

Решая задачу, нашли самый большой делитель двух данных чисел. В арифметике число, являющееся самым большим делителем, одновременно для нескольких делимых, называют наибольшим общим делителем.

Для определения наибольшего общего делителя, нужно придерживаться определенного порядка выполнения математических действий:

Выполним задание.

Определите НОД (наибольший общий делитель) 66 и 44.

Чтобы выполнить задание будем придерживаться рассмотренного алгоритма действий.

Определим компоненты, входящие в состав числового значения.

Значит:

66 | 2

33

Результат деления оканчивается нечетной цифрой, проверяем по признакам делимости на 3:

66 | 2

33 | 3

11

Мы получили простое числовое значение

66 | 2

33 | 3

11 | 11

 1

     В итоге вычислений – 1, разложение окончено.

Переходим ко второму известному значению.

• 1) Определим составляющие, входящие в состав:

Проверяем по признакам делимости. Данное числовое значение заканчивается четной цифрой, значит, оно делится на 2.

44 | 2

          22

Частное снова делится на 2:

          44 | 2    

          22 | 2

          11

В результате простое число, делим само на себя:

44 | 2    

22 | 2

11 | 11

1

Разложение окончено.

• 2) Выпишем компоненты обоих делимых, определим одинаковые:

66 = 2 × 3 × 11

44 = 2 ×2 × 11

• 3) Перемножим выделенные составляющие:

2 × 11=22

Выходит, что наибольший общий делитель – 22.

На письме, рядом с обозначением НОД в скобочках записывают делимые, для которых определяли наибольший общий делитель:

НОД (66;44) = 22.

Разберем задачу

Выпускники на праздник последнего звонка, приготовили цветы своим учителям. Они принесли 69 роз и 46 гладиолусов и разделили поровну между всеми учителями. Сколько учителей поздравили выпускники?

Зная, что цветы были поделены поровну, нам необходимо найти максимальную численность учителей,на которую можно разделить и розы и гладиолусы.

Для определения НОД данных делимых, воспользуемся алгоритмом вычисления:

• 1) Разложим на составляющие:

69 | 3               46 | 2

23 | 23             23 | 23

1                       1

• 2) Выберем общее числовое значение находящееся в составляющих :

69 = 3 × 23

46 = 2 × 23.

Нам подходит только  23.

НОД (69;46) = 23.

Наибольшим общим делителем для данных чисел будет 23. 

Выпускники поздравили 23 учителя.

Взаимно простые числа

Рассмотрим ситуацию.

В первой банке лежало 9 декоративных камней, во второй – 14 . Сколько  предметов интерьера, можно украсить  имеющимся материалом, если на каждое изделие использовать равное, при этом, наибольшее количество,камней из первой и второй коробки?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выполнить определенные вычисления. Для этого, разложим данные значения на простые составляющие:

14 | 2             9 | 3

 7  | 7             3 | 3

 1                   1

Выписываем компоненты, входящие в состав известных значений:

14 = 2 × 7

9 = 3 × 3

 Повторяющихся составляющих нет. Мы знаем, если любое натуральное число  умножить на 1, числовое значение не изменится. Значит, единственный, наибольший общий множитель чисел – 1.

Данным количеством камней получится  украсить только один предмет интерьера, если использовать равное, наибольшее количество материала из обеих банок.

 В арифметике числа, наибольшим общим множителем которых является 1, называют взаимно простыми.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выполнить определенные вычисления. Для этого, разложим данные значения на простые составляющие:

14 | 2             9 | 3

 7  | 7             3 | 3

 1                   1

Выписываем компоненты, входящие в состав известных значений:

14 = 2 × 7

9 = 3 × 3

 Повторяющихся составляющих нет. Мы знаем, если любое натуральное число  умножить на 1, числовое значение не изменится. Значит, единственный, наибольший общий множитель чисел – 1.

Данным количеством камней, получится  украсить только один предмет интерьера, если использовать равное, наибольшее количество материала из обеих банок.

 В арифметике, числа, наибольшим общим множителем которых является 1, называют взаимно простыми

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, необходимо определить самое маленькое числовое значение, которое будет, без остатка делиться на 4, на 5, то есть будет кратно 4, 5.

Сначала, подберем значения, кратные четырем: 4,8,12,16,20,24,28.

Теперь, значения, кратные пяти: 5,10,15,20,25,30.

После этого, необходимо найти самое маленькое число, которое будет кратным 4, 5 одновременно.

Из перечисленных числовых значений,  подходит только 20. Оно делится без остатка на 4, на 5. Наименьшим общим кратным двух чисел будет 20.

Важно!

В математике существует специальный алгоритм для нахождения наименьшего общего кратного нескольких натуральных числовых значений:

Например:

Вычислим НОК для 30 и 32.

Чтобы выполнить нужные вычисления воспользуемся алгоритмом нахождения НОК.

Разберем задачу

В городе Москва, для  качественной съемки парада, приуроченного к празднику 9 Мая, организаторы подготовили квадрокоптеры с видеокамерами. Из одной точки  одновременно, будут запущены три аппарата. Время полета первого 8 минут, второго – 12.Через какое время,квадрокоптеры снова будут запущены одновременно, если по возвращению в точку запуска им меняют батарею и сразу отправляют назад.

Чтобы получить ответ на главный вопрос задачи, найдем наименьшее числовое значение, кратное двум данным величинам.

Для этого будем использовать рассмотренный алгоритм:

Квадрокоптеры будут одновременно запущены через 24 минуты.

Последняя задачка  на внимательность.

На уроке Ваня около доски выполнял задание. Он написал: НОК (25; 115) = 100. Подскажите Ване, верно ли он выполнил задание (не выполняя вычислений)?

Вначале, давайте вспомним определение НОК:

Из определения следует, НОК нацело делится на известные данные. Однако,видим, что 100 на 115 нацело разделить невозможно. Поэтому Ваня, допустил ошибку в своих расчетах!

Вот так легко и просто можно решить огромное количество задач, даже не совершая сложных вычислений!

Пока, вы только ученики 6 класса. Пройдет совсем немного времени и каждому придется делать главный выбор в своей жизни – «Кем стать?». Если  решите связать жизнь с программированием, интернет-ресурсами, научной деятельностью, вам нужно запомнить все правила и определения. Рассмотренные сегодня алгоритмы лежат в основе разработки, создания, компьютерных программ, сайтов, игр.

Минутка истории

1. Древнегреческий математик Эвклид, создавший алгоритм нахождения НОД, совершил множество математических открытий, аналогов которым ученые не нашли. Самым интересным, является то, что биографических сведений о самом Эвклиде не существует.

2. Среди бесконечного множества простых чисел, заканчивающихся на два и пять, существует только два: 2 и 5.

3. Результат суммирования  цифр числа 18, в два раза меньше этого числа. Существует только одно число такого плана.

4. Однажды, математик Абрахам де Муавр, живший в Англии, находясь в преклонном возрасте, выяснил, что временной период, занимающий сон, увеличивается ежедневно на четвертую часть часа. Проведя вычисления, он определил день, когда длительность сна достигнет суток. По его расчетам это должно произойти двадцать седьмого ноября 1754 года. Именно эта дата стала датой смерти английского ученого.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел, называют наименьшее натуральное число, которой кратно обоим числам. Напомним, что кратным натуральному числу a, называют натуральное число, которое делится на a без остатка

Общие принципы

1. Если одно из двух чисел делится на другое без остатка, то большее из этих чисел будет наименьшим общим кратным;
2. Если два числа являются взаимно простыми (делятся только на себя и на единицу), то НОК этих чисел будет равным их произведению.

Примеры:

1. НОК(10;20) = 20;
2. НОК(7;70) = 70 (7 и 10 — взаимно простые числа);

Как найти наименьшее общее кратное?

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, необходимо:

• разложить эти числа на простые множители;
• выписать множители, которые входят в разложение одного из чисел (для удобства лучше взять наиболее длинное);
• добавить к ним недостающие множители из разложения второго числа (остальных чисел);
• вычислить произведение получившихся множителей.

Пример: придерживаясь этого алгоритма найдем НОК 100 и 250

1. Разложим 100 и 250 на простые множители:

   

   

   Подробнее о разложении чисел на простые множители, смотрите тут

2. выпишем множители одного из чисел. Возьмем 100 и получим 2 · 2 · 5 · 5
3. добавим недостающим множитель из второго разложения — 5 и получим 2 · 2 · 5 · 5 · 5
4. Перемножив получим ответ — 500

Ответ: НОК (100; 250) = 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = 500.

Смотрите также:

• Смотрите также
• Калькуляторы
• Последние примеры

Оцените материал:

Загрузка…

Математика

5 класс

Урок № 44

Наименьшее общее кратное (НОК)

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делители числа;

– кратные числа;

– признаки делимости;

– разложение на простые множители;

– НОК.

Тезаурус

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.

Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.

Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.

12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …

15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …

Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.

Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.

Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.

Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:

Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.

НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.

В данном случае НОК равен 240.

Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.

Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.

Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.

НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100

Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.

Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.

Девочка решила купить несколько плиток шоколада по 38 руб. , но у неё только 5-рублёвые монеты, а в магазине нет сдачи. Какое наименьшее количество плиток шоколада она сможет купить?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).

Разложим числа на множители:

Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.

Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.

Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.

190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.

Ответ: 5 плиток.

Тренировочные задания

№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?

Варианты ответов: 1; 2; 3.

Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.

Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.

НОК (7; 21) =21

НОК (7; 22) =154

НОК (7; 23) =161

Ответ: искомая цифра – 1.

№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.

НОД (3; 7) = 7 · 3 = 21 м

Ответ: 21 м.