Скалярное произведение векторов
Формула
Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.
Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$
По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $ |
| Решение |
|
В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$ |
| Пример 2 |
|
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. |
| Решение |
|
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$ |
| Ответ |
| $$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$ |
В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления скалярного произведения векторов
Формула
Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$
Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$
Примеры вычисления скалярного произведения векторов
Пример
Задание. Найти скалярное произведение векторов $bar{a}=(1 ;-3)$ и $bar{b}=(-2 ;-3)$
Решение. Векторы заданны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим
$$(bar{a}, bar{b})=1 cdot(-2)+(-3) cdot(-3)=-2+9=7$$
Ответ. $(bar{a}, bar{b})=7$ lt /$>
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В пространстве заданы точки
$A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1)$ и $C(0 ; 1 ;-1)$ . Найти скалярное произведение векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$
Решение. Найдем сначала координаты векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$ . Для этого из координат конца вычислим соответствующие
координаты начала, получим:
$$overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4)$$
$$overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6)$$
Далее воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$
Получим
$$(overline{A B}, overline{A C})=(-2) cdot 1+4 cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34$$
Ответ. $(overline{A B}, overline{A C})=34$
Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; … ; an} и b = {b1 ; b2 ; … ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + … + an · bn
Свойства скалярного произведения векторов
-
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
-
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
-
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2
-
Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
-
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
-
(αa) · b = α(a · b)
-
Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =
= 5 |a|2 + 12 a · b — 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.
Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b — 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.
Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:
a = i + 2j
b = 4i — 8j
Тогда используя свойства ортов (i2 = 1, j2 = 1, i·j = 0)
(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i2 — 30i·j + 12j·i — 20j2 = 12 — 0 + 0 — 20 = -8
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.
Два вектора
a→
и
b→
всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от
0°
до
180°
включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
1. острый угол;
2. тупой угол;
3. прямой угол (векторы перпендикулярны).
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
4. угол величиной
0°
(векторы сонаправлены);
5. угол величиной
180°
(векторы противоположно направлены).
Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен
0°
.
Угол между векторами записывают так:
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ
.
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен
0°
, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен
180°
. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как
a→2
.
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1.
a→2≥0
, к тому же
a→2>0
, если
a→≠0→
.
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:
a→⋅b→=b→⋅a→
.
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:
a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→
.
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:
k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→
.
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если
a→x1;y1;z1
,
b→x2;y2;z2
, то
a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2
.
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что
cosα=a→⋅b→a→⋅b→
, то
.
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла
β
между нормальным вектором
n→
данной плоскости и неким вектором
b→
равен синусу угла
α
между прямой и плоскостью, так как
α
и
β
вместе образуют угол в
90°
.
При нахождении косинуса угла между
n→
и
b→
можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор
b→
, и плоскостью.