Физика как найти заряд конденсатора

Конденсатором называется система, состоящая из двух проводников, расположенных достаточно близко друг от друга. Проводники называют обкладками конденсатора. Если на обкладки конденсатора поместить равные по модулю и противоположные по знаку заряды, то разность потенциалов (напряжение) между обкладками будет пропорциональна заряду обкладок, т. е. отношение заряда к напряжению не будет зависеть от заряда. На основании этого утверждения, которое приводим без доказательства, вводится понятие электроёмкости (ёмкости конденсатора).

Ёмкостью конденсатора называется отношение заряда $$ Q$$ одной из обкладок к разности потенциалов $$ U$$ между этой обкладкой и соседней:

Если взят заряд на положительно заряженной обкладке, то $$ Q>0, U>0$$ и получится $$ C>0$$. Если заряд взят на отрицательной обкладке, то Q<0, U<0Q<0,;U<0 и опять будет $$ C>0$$. Итак, из определения ёмкости следует, что ёмкость величина положительная. В системе СИ ёмкость измеряется в фарадах: `1″Ф»=1` Кл/В.

Требование близости обкладок друг к другу связано с тем, что для независимости $$ C$$ от $$ Q$$ в (10.1) нужно, чтобы поле от зарядов на обкладках было сосредоточено практически полностью между обкладками, т. е. все силовые линии, начинающиеся на одной обкладке, заканчивались только на другой и не уходили на окружающие тела. В этом случае окружающие тела не будут влиять на ёмкость конденсатора.
Можно вывести, что ёмкость плоского конденсатора

Здесь $$ S$$ — площадь обкладок, $$ d$$ — расстояние между ними, $$ varepsilon $$ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками.
При последовательном соединении изначально не заряженных конденсаторов с ёмкостями $$ {C}_{1}, {C}_{2}, …$$, общий заряд равен заряду каждого конденсатора, общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, общая ёмкость определяется из формулы: $$ {displaystyle frac{1}{C}}={displaystyle frac{1}{{C}_{1}}}+{displaystyle frac{1}{{C}_{2}}}+…$$

Полезно помнить формулу для частного случая последовательного соединения двух конденсаторов: $$ C={displaystyle frac{{C}_{1}{C}_{2}}{{C}_{1}+{C}_{2}}}$$.

Для последовательно соединённых n одинаковых конденсаторов ёмкостью $$ {C}_{1}$$ каждый $$ C={C}_{1}/n.$$

Если последовательно соединены предварительно заряженные конденсаторы, то применение перечисленных выше свойств и формул может привести к неправильному результату!
При параллельном соединении конденсаторов с емкостями $$ {C}_{1,} {C}_{2}, …$$ общий заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов, общее напряжение равно напряжению на каждом, общая ёмкость равна сумме ёмкостей:

Общие сведения

Слово «конденсатор» переводится с латинского как «сгущение». Поэтому устройство, позволяющее получить однородное электрическое поле, и было названо эти термином. В физике существует чёткое определение такого прибора. Согласно ему, конденсатором называется система из двух плоских проводников расстояние между которыми гораздо меньше их размеров. Первым таким устройством стала «Лейденская банка».

В 1745 году голландец Питерван Мушенбрук и его ученик Кюнеус в городе Лейдене собрали прибор в форме банки предназначенный для хранения и накапливания зарядов. Устройство содержало следующие компоненты:

• стеклянный цилиндр;
• внешнюю и внутреннюю оболочки;
• деревянную пробку;
• проволочный проводник.

Оболочки покрывали сосуд примерно на две трети и были выполнены из листового олова. Через пробку обеспечивающую герметичность банки проходил металлический стержень. Касаясь подводника заряженным телом, учёный передавал заряды в ёмкость. При соприкосновении электроны перемещались на проводник и накапливались на электроде. В итоге одна обкладка конденсатора заряжалась положительно, а другая — отрицательно.

Как оказалось, такая конструкция была способна накапливать запас электричества. Изобретение первого конденсатора привело к более глубокому изучению природы электричества. С его помощью стало возможным разобраться в поведении диэлектриков и проводников, понять механизм разделения зарядов.

С физической точки зрения, в устройстве проходят следующие процессы. Две разделённые пластины заряжаются частицами с разным знаком. Вектор напряжённости положительно заряженного проводника направлен от него во все стороны. При этом силовые линии, которые создаются между обкладками не зависят от расстояния, одинаковые по модулю и направлению. Поэтому с внешней стороны отрицательной пластины создаётся такое же поле, но с линиями входящими в неё.

Так как заряды на электродах одинаковые, то напряжённость поля внутри обкладок равняется E = E1 * E2 = 2E1 = 2E2. Снаружи силовые линии направлены друг на друга, поэтому суммарное значение энергии за пластинами равняется нулю.

Таким образом, конденсатор не только позволяет создавать внутри него однородное поле, но и блокировать его снаружи. Следовательно, такое устройство может набрать довольно высокое значение заряда.

Электрическая ёмкость

Способность устройства накапливать заряд прежде всего зависит от его ёмкости. Найти её величину можно разделив заряд, сосредоточенный на пластинах, на разность потенциалов между ними: C = q / U. Полученный результат измеряется в фарадах [F]. Так, ёмкость в 1 фарад будет равняться значению заряда в 1 кулон создавшему напряжение на выводах конденсатора 1 вольт. Кулон — это довольно большая величина. Поэтому на практике при различных расчётах приходится иметь дело с микрофарадами (µF), нанофарадами (nF) и пикофарадами (pF).

После создания «Лейденской банки» учёные провели ряд экспериментов, направленных на увеличение количества запасаемой энергии устройством. Так было обнаружено, что если между обкладками конденсатора поместить диэлектрик, то он не только предотвращает замыкание проводников, но и влияет на ёмкость.

Пусть имеется устройство пластины которого имеют площадь S. Между обкладками размещён непроводник тока, характеризующийся диэлектрической проницаемостью ε. Это коэффициент, показывающий во сколько раз напряжённость в однородном поле меньше чем создаваемое значение теми же зарядами в вакууме.

Можно предположить, что положительный заряд будет скапливаться на левой пластине, а отрицательный на правой. Чтобы найти ёмкость конденсатора нужно воспользоваться следующей последовательностью действий:

1. Найти напряжённость поля в середине устройства. Для этого каждую обкладку нужно представить, как бесконечно однородно заряженную плоскость. Тогда: E1 = σ / (2 * ε * ε0). Так как поля внутри складываются, то расчётная формула примет вид: E = σ / (ε * ε0).
2. Определить поверхностную плотность зарядов. Это величина, показывающая чему равняется отношение заряда к площади, по которой он распределён: σ = q / S.
3. Выразить напряжение между пластинами через заряд. Между обкладками поле однородное. Значит, напряжение можно найти умножением напряжённости на расстояние: U = E * d. Тогда, пользуясь полученными формулами для E и σ, можно записать: U = (q * d) / (ε * ε0 * S).
4. Вычислить электрическую ёмкость, подставив выражения в формулу: C = q / U. В результате получится: C = (ε * ε0 * S) / d.

Таким образом, чем больше площадь пластин, тем выше ёмкость конденсатора. Отсюда следует, что будет больше накоплен заряд. При этом его величина зависит и от расстояния между пластинами. Если d уменьшается, то ёмкость увеличивается.

Энергия устройства

Зарядить конденсатор мгновенно невозможно. Для этого процесса требуется определённое время. Это явление используется в радиотехнике. Так, с помощью конденсатора сглаживаются импульсные всплески. В первом приближении конденсатор похож на аккумулятор. Но при этом он отличается от него принципом накопления энергии, ёмкостью и скоростью заряда разряда. При подключении источника питания к выводам обкладок устройства конденсатор накапливает на них заряд.~

Работу устройства можно объяснить по аналогии с протеканием воды. Пусть имеется сосуд с жидкостью площадью поперечного сечения S. По сути, это эквивалент ёмкости. Тогда вода это будет заряд, а высота водяного столба — напряжение. Получается, что энергия — это произведение зарядов на высоту. Но если аккумулятор можно представить как сосуд, в котором имеется тонкий шланг (вывод) и по которому вытекает вода (заряд), то в конденсаторе его диаметр трубки будет равен размеру всей банки. То есть устройство может мгновенно отдать весь накопленный заряд.

При подаче напряжения на обкладки происходит электризация диэлектрика. В результате происходит смещение и на пластины передаётся энергия. На одной из них возникнет избыток электронов, и она условно зарядится отрицательно, а на второй недостаток — проводник станет положительным. Поэтому в формуле, определяющей заряд на обкладках конденсатора, большое значение имеет диэлектрическая проницаемость непроводящего ток вещества.

Между обкладками возникает сила. Величина действующей со стороны первой равняется F = ε1 * q, а со стороны второй F = ε2 * q. Таким образом, можно записать: F = ε1 * q = ε2 * q = E / 2 * q. При увеличении расстояние между обкладками от нулевого до d, будет выполняться работа: A = F * d. Она направлена на преодоление силы взаимодействия между заряженными проводниками.

То есть: A = E / 2 * q * d. Исходя из того, что ε = U/d будет верно записать: А = 1 / 2 q * U. Значит, механическая работа A в соответствии с законом сохранения энергии будет равна количеству зарядов, запасённых в электрическом поле конденсатора: Wэ = C * U² / 2.

Следует отметить, что при подаче переменного сигнала внутри диэлектрика происходит постоянная смена знаков заряда. В итоге происходит нагревание, что приводит конденсатор к выходу из строя. Характеризуется это явление тангенсом угла диэлектрических потерь. Определяется он как отношение затраченной мощности к реактивной.

Заряд и разряд

Процесс зарядки конденсатора не может быть мгновенным. Его время зависит от силы тока и электроёмкости. При подключении источника питания на одном проводнике собираются электроны, а на другом — остаются протоны. Так как между обкладками находится диэлектрик, то заряженные частицы не могут перейти на противоположную сторону. Но вместе с тем, электроны поступают от источника напряжения на пластины, поэтому ток в цепи всё же есть.

В начале периода зарядки разность потенциалов между обкладками равняется нулю. Как только на пластины переходят заряженные частицы, возникает напряжение. Происходит это из-за диэлектрика, который не даёт притягивающимся друг к другу зарядам перейти на другую сторону. В момент заряда конденсатора на его обкладках много свободного места. Электрический ток в этот момент не встречает сопротивления, и его величина достигает максимального значения. По мере разделения заряженных частиц сила тока снижается. Это происходит до тех пор, пока не исчезнет свободное место на обкладках конденсатора.

То время, которое проходит между начальным состоянием и полного заряда, называют переходным периодом заряда конденсатора. В его конце прекращается рост напряжения, и оно становится равным значению, выдаваемому источником питания. Если нарисовать зависимости тока и напряжения заряда от времени на графике, то можно будет увидеть, что их изменения проходят зеркально по отношению друг к другу.

Формула, по которой можно рассчитать, как происходит заряд конденсатора выглядит так: I = C * V / t, где:

• I — сила тока;
• С — ёмкость конденсатора;
• V / t — изменение напряжения за время.

Как только источник питания будет отключён, то вся энергия, запасённая конденсатором, будет отдана в нагрузку. Фактически устройство само на этом моменте превращается в источник питания. Электроны из-за силы притяжения существующей между разноимёнными частицами, начнут перемещаться в сторону положительно заряженной обкладки.

В начальный момент подключения нагрузки, напряжение на конденсаторе равно тому, что выдавал источник питания.

Но в тот момент, когда в цепи появится ток, конденсатор начнёт отдавать энергию, а напряжение на его выводах станет падать. Следовательно, сила тока тоже снизится. При этом время зарядки и разрядки конденсатора определяется двумя параметрами — ёмкостью и сопротивлением цепи.

Если тело обладает некоторым электрическим зарядом, то вокруг него обязательно присутствует электрическое поле. Это поле обладает некоторой энергией — может совершить какую-то работу.

Можно ли как-то накопить эту энергию? Да, такая возможность существует. Для этого используют специальный прибор — конденсатор.

Конденсатор — это устройство, позволяющее накапливать электрические заряды и, соответственно, энергию электрического поля.

На данном уроке вы познакомитесь с устройством этого прибора, его характеристиками и свойствами.

Простейший конденсатор и его устройство

Устройство простейшего конденсатора представлено на рисунке 1. Он состоит из двух одинаковых металлический пластин. Эти пластины называются обкладками конденсатора.

Обкладки расположены на небольшом расстоянии друг от друга. Этот промежуток между ними обязательно должен быть заполнен слоем диэлектрика. В нашем случае таким диэлектриком является обычный воздух.

Такой конденсатор называется плоским (по форме обкладок).

Конденсатор имеет свой условный знак для обозначения на схеме электрической цепи (рисунок 2).

Зарядка конденсатора и его способность накапливать заряды

Теперь разберемся, каким же образом мы можем накапливать заряды с помощью конденсатора.

Рассмотрим простой опыт. Возьмем конденсатор, состоящий из двух металлических пластин, расположенных параллельно друг другу, и заряженный аккумулятор.

Две обкладки конденсатора подключим к разным полюсам аккумулятора. На обкладках начнут образовываться электрические заряды (рисунок 3). Они будут равны друг другу, но иметь противоположные знаки.

Эти заряды образуют электрическое поле конденсатора. Оно будет сосредоточено между обкладками.

Отключим аккумулятор от конденсатора. Что мы увидим? Заряды, образованные на обкладках, никуда не деваются. Они сохраняются, как и электрическое поле между пластин. Конденсатор заряжен.

Если мы соединим проводником обкладки конденсатора, то увидим, что по нему некоторое время будет течь ток. Значит, заряженный конденсатор является источником тока в электрической цепи.

Электроемкость конденсатора

Логично предположить, что разные конденсаторы по-разному будут накапливать заряд. Как охарактеризовать эту способность прибора? Для этого существует специальная величина — электроемкость (или просто емкость) конденсатора.

Чтобы понять смысл этой величины, рассмотрим опыт. Возьмем две металлические пластины и установим их на изолированных подставках друг напротив друга.

Подключим к пластинам электрометр. Этот прибор (рисунок 4) по своему устройству и принципу действия схож с электроскопом. Он позволит нам зафиксировать значения напряжения, которое возникнет между пластинами.

Итак, одну из пластин (A) мы соединим проводом со стержнем электрометра, а другую (B) соединим с корпусом прибора (заземлим). Коснемся положительно наэлектризованной стеклянной палочкой внешней стороны пластины A (рисунок 5).

Мы сообщили пластине A положительный заряд $+q$. Вокруг этого заряда (пластины A) теперь существует электрическое поле. Под его действием произойдет перераспределение зарядов в пластине B. Отрицательные заряды перейдут на внутреннюю сторону пластины, а положительные — на внешнюю.

Помните, что мы заземлили пластину B? За счет этого на пластину пойдут свободные электроны с земли. Они нейтрализуют положительный заряд на внешней стороне пластины. Таким образом, мы получили на пластине B отрицательный заряд $-q$ (рисунок 6). По величине он равен заряду на другой пластине.

Стрелка электрометра отклонилась. Зафиксируем это значение напряжения между пластинами. Далее мы снова сообщим заряд пластине B, равный по величине первому сообщаемому заряду. Потом сообщим третий и четвертый такие же заряды, наблюдая за стрелкой электрометра.

Вы увидите, что при увеличении заряда в 2, 3, 4 раза, соответственно, в 2, 3, 4 раза увеличиваются показания электрометра — напряжение между пластинами. Важно отметить, что отношение заряда к напряжению при этом будет постоянно:
$frac{q}{U} = frac{2q}{2U} = frac{3q}{3U} = frac{4q}{4U} = const$.

Теперь мы можем дать определение электроемкости конденсатора.

Электроемкость конденсатора — это величина, измеряемая отношением заряда на одной из пластин конденсатора к напряжению между пластинами:
$C = frac{q}{U}$.

Единицы измерения электроемкости

В СИ электроемкость измеряется в фарадах ($Ф$).

Электроемкость конденсатора равна единице, если при сообщении ему заряда в $1 space Кл$ возникает напряжение, равное $1 space В$ (рисунок 7):
$1 space Ф = frac{1 space Кл}{1 space В}$.

Эта единица измерения названа в честь английского физика Майкла Фарадея (рисунок 8).

Емкость в $1 space Ф$ является очень большой, поэтому на практике часто используют дольные единицы: микрофарад ($мкФ$) и пикофарад ($пФ$).

$1 space мкФ = 10^{-6} space Ф$,
$1 space пФ = 10^{-12} space Ф$.

Зависимость электроемкости от площади пластин конденсатора

От чего зависит электроемкость? Начнем с размера пластин.

Зафиксируем полученное в первом опыте с электрометром и конденсатором значение напряжения $U_1$. Теперь возьмем пластины, имеющие большую площадь. Сообщим им точно такой же заряд $q$ (рисунок 9).

Мы увидим, что стрелка электрометра отклоняется меньше. Это означает, что напряжение между этими пластинами меньше напряжения между пластинами меньшей площади ($U_1 > U_2$).

Из определения электроемкости:
$C_1 = frac{q}{U_1}$,
$C_2 = frac{q}{U_2}$,
$C_2 > C_1$.

Чем больше площадь пластин, тем больше электроемкость конденсатора.

Зависимость электроемкости от расстояния между пластинами конденсатора

Снова обратимся к опыту. Теперь изменим расстояние между пластинами — уменьшим его (рисунок 10).

Мы увидим, что напряжение между пластинами уменьшилось: $U_2 < U_1$. Значит,
$C_1 = frac{q}{U_1}$,
$C_2 = frac{q}{U_2}$,
$C_2 > C_1$.

При уменьшении расстояния между пластинами конденсатора и при неизменном заряде электроемкость конденсатора увеличивается.

Зависимость электроемкости от диэлектрика

Проведем еще один опыт. Зафиксируем значение напряжения между пластинами конденсатора. Затем внесем между ними лист из оргстекла (рисунок 11). Он является диэлектриком.

Если раньше диэлектриком между пластинами являлся только воздух, то теперь это и воздух, и лист оргстекла. Напряжение между пластинами уменьшилось: $U_1 > U_2$. Значит,
$C_1 = frac{q}{U_1}$,
$C_2 = frac{q}{U_2}$,
$C_2 > C_1$.

При внесении диэлектрика электроемкость конденсатора увеличивается.

Виды конденсаторов

Между обкладками конденсатора могут быть помещены разнообразные диэлектрики. В зависимости от природы этого диэлектрика конденсаторы разделяют на несколько видов: с твердым, жидким и газообразным диэлектриком.

Также существует классификация и по форме обкладок. Конденсаторы бывают плоские, цилиндрические, сферические (рисунок 12) и др.

Конденсаторы бывают с постоянной емкостью и с переменной емкостью. В последних можно регулировать параметры, от которых зависит емкость — ширину пластин и расстояние между ними.

На данный момент существует огромное разнообразие конденсаторов (рисунок 13). Многие из них носят названия, происходящие от названий материалов, составляющих их: слюдяные, керамические, алюминиевые электролитические, танталовые электролитические, конденсаторы на полимерной пленке.

Энергия конденсатора и работа его электрического поля

Заряженный конденсатор обладает некоторой энергией. Это легко проверить на опыте. Если мы подключим к конденсатору электрическую лампочку, то она она ярко вспыхнет (рисунок 14). Энергия конденсатора превратилась во внутреннюю энергию нити накаливания лампы и соединительных проводов.

Откуда взялась эта энергия? Конденсатор получает ее при зарядке.

Для расчета такой работы электрического поля конденсатора существует  специальная формула.

$A = qU_{ср}$,
где $U_{ср}$ — среднее значение напряжения.

В процессе разрядки напряжение постоянно падает, поэтому нам и необходимо знать для расчетов его среднее значение:
$U_{ср} = frac{U}{2}$.

Тогда,
$A = qU_{ср} = frac{qU}{2}$.

Из формулы для электроемкости:
$C = frac{q}{U}$,
$q = CU$.

Подставим в формулу для работы:
$A = frac{qU}{2} = frac{CU cdot U}{2} = frac{CU^2}{2}$.

По закону сохранения энергия эта работа и будет равна энергии конденсатора $W$.

$W = frac{CU^2}{2}$

Накапливание конденсатором энергии часто происходит достаточно длительное время. При разрядке эта энергия отдается почти мгновенно.

Последовательное соединение конденсаторов

В электрической цепи может быть не один, а сразу несколько конденсаторов. Они могут быть соединены как последовательно, так и параллельно.

Рассмотрим первый тип соединения — последовательный (рисунок 15).

Обкладки 2 и 3, принадлежащие разным конденсаторам, будут являться отдельной деталью. По закону сохранения заряда, заряды на обкладках 2 и 3 будут равны друг другу по модулю, но противоположны по знаку. Из этого следует, что общий заряд конденсаторов численно будет равен заряду на любой из обкладок конденсаторов.

$q = q_1 = q_2 = … = q_n$

Напряжение на концах участка цепи с последовательно соединенными конденсаторами будет складываться из значения напряжений на каждом конденсаторе.

$U = U_1 + U_2 + … + U_n$

Чтобы получить формулу для общей емкости конденсаторов, последнее равенство нужно разделить на заряд q (любой, так как они равны).

$frac{1}{C} = frac{1}{C_1} + frac{1}{C_2} + … frac{1}{C_n}$.

Параллельное соединение конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов показано на рисунке 16.

В этом случае выходы от источника питания будут соединены с каждой обкладкой конденсаторов. Поэтому напряжение на концах такого участка цепи будет равно напряжению между обкладками любого из конденсаторов.

$U = U_1 = U_2 = … = U_n$

Заряды на обкладках будут суммироваться.

$q = q_1 + q_2 + … + q_n$

Разделим это равенство на значение напряжения и получим формулу для электроемкости параллельно соединенных конденсаторов.

$C = C_1 + C_2 + … + C_n$

Первый конденсатор — лейденская банка

Лейденская банка официально является первым конденсатором. Изобретение ее относится к 1745 году. Существует множество версий о том, кто же именно должен считаться изобретателем этого прибора, но официально авторство принадлежит Питеру ван Мушенбруку и его студенту Андреасу Кунэусу.

В ранней версии лейденская банка была на часть заполнена водой, которая выступала в роли обкладки (рисунок 17). Второй обкладкой являлась рука, держащая банку. После зарядки этого приспособления Андреас Кунэус испытал сильный удар током, коснувшись до верха металлического стержня.

Более поздняя и более распространенная версия этого незамысловатого прибора представляет собой сосуд из стекла с широким горлом, снаружи покрытый листом из фольги (рисунок 18). Фольга также находится и внутри банки. Через пробку в этот сосуд вставляется металлический стержень. Он должен касаться фольги внутри банки.

Таким образом, фольга внутри и фольга снаружи становятся своеобразными обкладками. При подключении к источнику тока на них накапливается электрический заряд.

Внимание! Лейденская банка не является безопасным инструментом в электротехнике! Разряд такого конденсатора может оказаться смертельным  или привести к серьезным физическим повреждениям. Будьте аккуратны при использовании данного прибора: не следует пытаться разрядить лейденскую банку, взявшись за нее голыми руками.

Как изготовить лейденскую банку своими руками? Возьмите пластиковую банку с крышкой (из-под кофе, витаминов). Внешнюю сторону банки на $frac{2}{3}$ обклейте фольгой. Далее или налейте в банку соленую воду, или обклейте изнутри фольгой. Затем закройте крышку и проткните ее достаточно длинным гвоздем, чтобы он касался внутренней обкладки (воды или фольги). После зарядки такая банка представляет собой заряженный конденсатор.

Упражнения

$q — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

$U — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Определение

Конденсатор служит для накопления электрического заряда. Он представляет собой два проводника, разделенных слоем диэлектрика.

Плоский конденсатор — система двух разноименно заряженных пластин.

Разность потенциалов U (В) между обкладками конденсатора (напряжение между пластинами), определяется произведением напряженности создаваемого ими электрического поля на расстояние между ними:

U=Ed

Электроемкость конденсатора

Определение

Электрическая емкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд.

Электроемкость обозначается как C. Единица измерения электрической емкости — Фарад (Ф).

Электроемкость конденсатора определяется формулой:

C=ε0εSd

• ε0 — диэлектрическая постоянная, равная 8,85∙10^–12 Кл²/(Н∙м²);
• ε — диэлектрическая проницаемость среды;
• S (м²) — площадь каждой пластины.

Внимание! У воздушного конденсатора диэлектрическая проницаемость среды равна 1.

Связь между электроемкостью конденсатора, зарядом и напряжением определяется формулами:

C=QU=qU

Важно! Электроемкость конденсатора зависит только от площади его пластин, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости среды. От заряда и напряжения эта величина не зависит.

Энергия конденсатора

Формула энергии конденсатора

Энергия конденсатора связана с его электроемкостью и вычисляется по следующим формулам:

Wэ=q22C=CU22

Подсказки к задачам

Конденсатор отключен от источника	q = q′
Конденсатор подключен к источнику	U = U′
Количество теплоты и энергия конденсатора	Q = ∆Wэ

Пример №1. Вычислить электроемкость плоского воздушного конденсатора с квадратными пластинами со стороной 10 см, расположенными на расстоянии 1 мм друг от друга. Ответ округлить до десятых.

10 см = 0,1 м

1 мм = 0,001 м

Так как между обкладками конденсатора находится воздух, примем диэлектрическую проницаемость среды за единицу.

Площадь квадратной пластины равна квадрату ее стороны:

S = a²

Соединения конденсаторов

	Последовательное соединение	Параллельное соединение
Схема
Напряжение	U=U1+U2	U=U1=U2
Заряд	q=q1=q2	q=q1+q2
Электроемкость	1C=1C1+1C2	C=C1+C2

Подсказки к задачам

Два конденсатора, электроемкости которых C1 и C2, заряжены до напряжения U1 и U2. Найдите разность потенциалов после соединения конденсаторов одноименными полюсами.	Схема соединения конденсаторов одноименными полюсами: Заряд системы после соединения: q′ =C1U1+C2U2 Электрическая емкость системы: C′ =C1+C2 Напряжение: U′ =q′C′=C1U1+C2U2C1+C2
Два конденсатора, электроемкости которых C1 и C2, заряжены до напряжения U1 и U2. Найдите разность потенциалов после соединения конденсаторов разноименными полюсами.	Схема соединения конденсаторов разноименными полюсами: Заряд системы после соединения: q′ =C1U1−C2U2 Электрическая емкость системы: C′ =C1+C2 Напряжение: U′ =q′C′=C1U1−C2U2C1+C2

Пример №2. К конденсатору, электрическая емкость которого C = 16 пФ, подключают два одинаковых конденсатора емкостью X: один параллельно, а второй — последовательно (см. рисунок). Емкость образовавшейся батареи конденсаторов равна емкости C. Какова емкость X? Ответ округлите до десятых.

Электрическая емкость параллельного соединения равна:

Cпарал=X+C

Электроемкость последовательного соединения:

1Cпослед=1Cпарал+1X=1X+C+1X

Учтем, что суммарная электроемкость равна C:

1C=1X+C+1X

Преобразуем, умножим выражение на CX(X+C):

X(X+C)=CX+C(X+C)

Раскроем скобки:

X2+XC=CX+CX+C2

X2−CX−C2=0

Решив уравнение, получим: X = 25,9 пФ.

Разбор задач на тему «Заряженная частица в поле конденсатора»

Шарик, находящийся в масле плотностью ρ, «висит» в поле плоского конденсатора. Плотность вещества шарика ρш > ρ, его радиус r, расстояние между обкладками конденсатора d. Каков заряд шарика, если электрическое поле направлено вверх, а разность потенциалов между обкладками U?	Условие равновесия исходит из второго закона Ньютона: −Fтяж+−FK+−FA=0 ρш > ρ, поэтому −Fтяж> −FA. В этом случае сила Кулона направлена вверх, а заряд шарика положительный. Схематически это можно отобразить так: Проекция второго закона Ньютона на ось ОУ: FK+FA=Fтяж Сила тяжести равна произведению объема на плотность шарика и на ускорение свободного падения: Fтяж=ρш43πr3g Архимедова сила равна произведению объема шарика на плотность масла и на ускорение свободного падения: FА=ρ43πr3g Сила Кулона: FK=qUd qUd+ρ43πr3g=ρш43πr3g q=(ρш43πr3g−ρ43πr3g)dU=4πr3gd(ρш−ρ)3U
Маленький шарик с зарядом q и массой m, подвешенный на невесомой нити с коэффициентом упругости k, находится между вертикальными пластинами воздушного конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора d. Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора U, если удлинение нити ∆l?	Условие равновесия исходит из второго закона Ньютона: −Fтяж+−FK+−Fупр=0 Проекции на оси ОХ и ОУ соответственно: Fупрsinα−FK=0 Fупрcosα−mg=0 Отсюда: kΔlsinα=qUd kΔlcosα=mg Чтобы избавиться от угла α, возведем уравнения в квадрат и сложим их: (kΔl)2sin2α+(kΔl)2cos2α=(qUd)2+(mg)2 (kΔl)2(sin2α+cos2α)=(qUd)2+(mg)2 sin2α+cos2α=1 (kΔl)2=(qUd)2+(mg)2 U=dq√(kΔl)2−(mg)2
Пластины плоского конденсатора расположены горизонтально на расстоянии d друг от друга. Напряжение на пластинах конденсатора U. В пространстве между пластинами падает капля жидкости. Масса капли m, ее заряд q. Определите расстояние между пластинами. Влиянием воздуха на движение капли пренебречь.	Второй закон Ньютона в векторной форме: −Fтяж+−FK=0 Проекция на вертикальную ось: Fтяж−FK=0 Fтяж=mg FK=qUd mg=qUd d=qUmg
Между двумя параллельными горизонтально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле с напряженностью −E, направленное вертикально вниз. Между пластинами помещен шарик на расстоянии d от верхней пластины и b от нижней. Заряд шарика –q, масса m. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. Через какой промежуток времени t шарик ударится об одну из пластин, если система находится в поле силы тяжести Земли?	Второй закон Ньютона в векторной форме: −Fтяж+−FK=m−a Согласно условию данной задачи, сила тяжести противоположно направлена силе Кулона. Построим рисунок: Если Fтяж > FK, то шарик движется с ускорением вниз. Ускорение и перемещение в этом случае равны: a=mg−qEm s=b Если Fтяж < FK, то шарик движется с ускорением верх. Ускорение и перемещение в этом случае равны: a=qE−mgm s=d Начальная скорость шарика равна нулю. Поэтому перемещение также равно: s=at22 Сделаем вычисления для случая Fтяж > FK: at22=b mg−qEmt22=b t=√2bmmg−qE Выполняя вычисления для случая Сделаем вычисления для случая Fтяж < FK, получим: t=√2bmqE−mg
Между двумя параллельными, вертикально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле, напряженность которого −E и направлена слева направо. Между пластинами помещен шарик на расстоянии b от левой пластины и d от правой. Заряд шарика –q, масса m. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. Найдите смещение шарика по вертикали ∆h до удара об одну из пластин. Пластины имеют достаточно большой размер.	Второй закон Ньютона в векторной форме: −Fтяж+−FK=m−a Если сила Кулона направлена вправо, то sx = d. Если сила Кулона направлена вправо, то sx = b. Учитывая, что заряд меньше нуля, а вектор напряженности направлен вправо, делаем вывод, что кулоновская сила направлена влево. Из проекций второго закона Ньютона выразим проекции ускорения на оси ОХ и ОУ соответственно: ax=qEm ay=g Проекции перемещений на эти же оси: sx=axt22 sx=Δh=gt22 axt22=b Или: qEmt22=b Так как время движения шарика по вертикали и горизонтали одинаково: t2=2Δhg=2mbqE Δh=mbgqE

Задание EF17979

Введите ответ в поле ввода
Плоский конденсатор подключён к гальваническому элементу. Как изменятся при уменьшении зазора между обкладками конденсатора три величины: ёмкость конденсатора, величина заряда на его обкладках, разность потенциалов между ними?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличится
2. уменьшится
3. не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

---

Алгоритм решения

1.Определить, от чего зависит емкость конденсатора, и как она изменится при уменьшении зазора между его обкладками.

2.Определить, от чего зависит величина заряда конденсатора, и как она изменится после уменьшения зазора между его обкладками.

3.Определить, от чего зависит разность потенциалов между обкладками конденсатора, и как она изменится при уменьшении зазора.

Решение

Емкость конденсатора определяется формулой:

C=ε0εSd

Следовательно, емкость имеет обратно пропорциональную зависимость от расстояния между обкладками. Если расстояние уменьшить, то емкость увеличится.

Вот как взаимосвязана электроемкость и заряд конденсатора:

C=qU

Мы выяснили, что электроемкость увеличивается. Следовательно, увеличится и заряд, так как они имеют прямо пропорциональную зависимость.

С учетом того, что плоский конденсатор подключен к гальваническому элементу, разность потенциалов никак не зависит от расстояния между обкладками. Поэтому величина U остается неизменной.

Ответ: 113

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18574

Воспользовавшись оборудованием, представленным на рис. 1, учитель собрал модель плоского конденсатора (рис. 2), зарядил нижнюю пластину положительным зарядом, а корпус электрометра заземлил. Соединённая с корпусом электрометра верхняя пластина конденсатора приобрела отрицательный заряд, равный по модулю заряду нижней пластины. После этого учитель сместил одну пластину относительно другой не изменяя расстояния между ними (рис. 3). Как изменились при этом показания электрометра (увеличились, уменьшились, остались прежними)? Ответ поясните, указав, какие явления и закономерности Вы использовали для объяснения. Показания электрометра в данном опыте прямо пропорциональны разности потенциалов между пластинами конденсатора.

---

Алгоритм решения

1.Проанализировать каждый этап эксперимента.

2.Установить, от чего зависит угол отклонения стрелки электрометра.

3.Выяснить, что поменяется при смещении одной пластины конденсатора относительно другой, и что при этом произойдет со стрелкой электрометра.

Решение

На первом рисунке стрелка и стержень электрометра, соединённые с нижней пластиной, но изолированные от корпуса, заряжаются положительно. Поэтому стрелка отклоняется на некоторый угол. В верхней пластине и металлическом корпусе электрометра происходит перераспределение свободных электронов таким образом, что верхняя пластина заряжается отрицательно.

На втором рисунке заряды пластин одинаковы по модулю и противоположны по знаку, пластины образуют конденсатор с ёмкостью:

C=ε0εSd

S — площадь перекрытия пластин, d — расстояние между ними, ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами.

Характер изменения угла отклонения стрелки совпадает с изменением разности потенциалов между пластинами: при увеличении разности потенциалов увеличивается угол отклонения, при уменьшении разности потенциалов угол уменьшается.

На рисунке 3 площадь перекрытия пластин уменьшилась. Следовательно, уменьшилась электроемкость, которая имеет обратно пропорциональную зависимость от разности потенциалов:

C=qU

Заряд остается постоянным, поскольку система изолированная — заряду просто некуда деться. Поэтому с уменьшением электроемкость растет разность потенциалов. Поэтому показания электрометра увеличатся.

Ответ: Увеличатся

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18695

Ученик изучает свойства плоского конденсатора. Какую пару конденсаторов (см. рисунок) он должен выбрать, чтобы на опыте обнаружить зависимость ёмкости конденсатора от расстояния между его обкладками?

---

Алгоритм решения

1. Установить, какие величины в данном эксперименте должны быть переменными, а какие — постоянными.
2. Найти рисунок с парой конденсаторов, удовлетворяющий требованиям, выявленным в шаге 1.

Решение

Чтобы на опыте обнаружить зависимость ёмкости конденсатора от расстояния между его обкладками, нужно сохранить все величины постоянными, кроме самого расстояния. Поэтому площади обкладок должны быть одинаковыми, но расстояние между ними разными, как на рисунке 1.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18703

Протон влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его пластинам в точке, находящейся посередине между пластинами (см. рисунок). Найдите минимальную скорость υ, с которой протон должен влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него. Длина пластин конденсатора 5 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжённость электрического поля конденсатора 5000 В/м. Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь.

Ответ записать в км/с, округлив до десятков.

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Выполнить рисунок. Указать направление движения протона и силы, действующие на него.

3.Выяснить, при каком условии протон успеет вылететь из конденсатора.

4.Выполнить решение в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса протона: m = 1,67∙10^–27 кг.

• Заряд протона: q = 1,6∙10^–19 Кл.

• Расстояние между обкладками конденсатора: d = 1 см.

• Длина пластин конденсатора: l = 5 см.

• Напряженность однородного поля внутри конденсатора: E = 5000 В/м.

1 см = 0,01 м

5 см = 0,05 м

Сделаем рисунок:

Изначально протон обладает только горизонтальной скоростью v, равной v_x. Влетев в однородное электростатическое поле внутри конденсатора, протон обретает вертикальную компоненту скорости, которая растет за счет ускорения, придаваемого кулоновскими силами. Положительно заряженный протон притягивается нижней отрицательно зараженной пластиной конденсатора.

Чтобы протон вылетел из конденсатора, его горизонтальная компонента скорости должна быть достаточной для того, чтобы частица не притянулась к нижней пластине раньше. Время, которое понадобится протону для преодоления длины пластин конденсатора со скоростью v_x:

t=lvx=lv

Протон влетел в пространство между обкладками конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Следовательно, прежде чем он упадет на нижнюю пластину, по оси OY он переместится на расстояние, равное 0,5d. Так как начальная компонента скорости равна нулю (мы пренебрегаем силой тяжести):

0,5d=at22

Протон вылетит из конденсатора, а не упадет на его пластину, если время горизонтального перемещения до конца пластин будет как минимум равно времени падения. Выразим время падения:

t=√da

Приравняем правые части уравнений времени и получим:

lv=√da

Отсюда скорость равна:

v=√al2d

Ускорение выразим из второго закона Ньютона:

FK=ma=qUd

a=qUmd

Но известно, что:

U=Ed

Поэтому:

a=qEdmd=qEm

Отсюда:

Минимальная скорость, с которой протон должен влететь в конденсатор, составляет 346∙10³ м/с. Округлим до десятков и переведем в км/с. Получим 350 км/с.

Ответ: 350

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 6k

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле

Вещества в природе можно разделить на проводники и диэлектрики.

Основная особенность — наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника.

Типичные проводники — металлы.

Диэлектрическая проницаемость вещества

В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды. Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды — индукционными зарядами.

В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности (vec{E}_0) внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженности (vec{E}) полного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества (varepsilon).

[varepsilon=dfrac{vec{E}_0}{vec{E}}]

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда (q) одного из проводников к разности потенциалов (Delta varphi) между ними:

[fbox{$C=dfrac{q}{Delta varphi}$}]

Единицы измерения: (displaystyle [text{Ф}]) (фарад).

Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники.

Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, — обкладками.

Плоский конденсатор — система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.

Электроемкость плоского конденсатора

Разность потенциалов (Delta varphi) между пластинами в однородном электрическом поле равна (Ed), где (d) — расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:

[C=dfrac{q}{Delta varphi}=dfrac{sigma S}{Ed}=dfrac{varepsilon_0S}{d}]

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в (varepsilon) раз:

[fbox{$C=dfrac{varepsilon_0varepsilon S}{d}$}]

Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами; однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Для достижения нужной емкости или при напряжении, превышающем номинальное напряжение, конденсаторы, могут соединяться последовательно или параллельно. Любое же сложное соединение состоит из нескольких комбинаций последовательного и параллельного соединений.

• Последовательное соединение конденсаторов

  При последовательном соединении, конденсаторы подключены таким образом, что только первый и последний конденсатор подключены к источнику тока одной из своих пластин. Заряд одинаков на всех пластинах, но внешние заряжаются от источника, а внутренние образуются только за счет разделения зарядов ранее нейтрализовавших друг друга. При этом заряд конденсаторов в батарее меньше, чем, если бы каждый конденсатор подключался бы отдельно. Следовательно, и общая емкость батареи конденсаторов меньше.

  Напряжение на данном участке цепи соотносятся следующим образом:

  [fbox{$U=U_1+U_2$}]

  Зная, что напряжение конденсатора можно представить через заряд и емкость, запишем:

  [dfrac{q}{C}=dfrac{q}{C_1}+dfrac{q}{C_2}]

  Сократив выражение на (Q), получим формулу:

  [fbox{$dfrac{1}{C}=dfrac{1}{C_1}+dfrac{1}{C_2}$}]

  Откуда эквивалентная емкость батареи конденсаторов соединенных последовательно:

  [fbox{$C=dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$}]

• Параллельное соединение конденсаторов

  При параллельном соединении конденсаторов напряжение на обкладках одинаковое, а заряды разные.

  Величина общего заряда полученного конденсаторами, равна сумме зарядов всех параллельно подключенных конденсаторов. В случае батареи из двух конденсаторов:

  [fbox{$q=q_1+q_2$}]

  Так как заряд конденсатора

  [q=CU]

  А напряжения на каждом из конденсаторов равны, получаем следующее выражение для эквивалентной емкости двух параллельно соединенных конденсаторов

  [CU=C_1U+C_2U]

  [fbox{$C=C_1+C_2$}]

• По сути, расчет общей емкости конденсаторов схож с расчетом общего сопротивления цепи в случае с последовательным или параллельным соединением, но при этом, зеркально противоположен.

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии того, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится. Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке.

Вычислим эту энергию: начнём с плоского воздушного конденсатора.

Ответим на такой вопрос: какова силу притяжения его обкладок друг к другу. Величины используем следующие: заряд конденсатора (q), площадь обкладок (S). Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд (q_0) этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

[F_0 = q_0E_1,]

где (E_1) — напряжённость поля первой обкладки:

[E_1=dfrac{sigma}{2varepsilon_0}=dfrac{q}{2varepsilon_0S}]

Значит

[F_0=dfrac{qq_0}{2varepsilon_0S}]

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т.е. перпендикулярно пластинам). Результирующая сила (F) притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил (F_0), с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды (q_0) второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель (displaystyledfrac{q}{2varepsilon_0S}) вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все (q_0) и дадут (q). В результате получим

[F=dfrac{q^2}{2varepsilon_0S}]

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины (d_1) до конечной величины (d_2). Сила притяжения пластин совершает при этом работу [A = F(d_1 -d_2)]

Знак правильный: если пластины сближаются ((d_2 < d_1)), то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины ((d_2 > d_1)), то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

Получаем

[A=dfrac{q^2}{2varepsilon_0S}(d_1-d_2)=dfrac{q^2d_1}{2varepsilon_0S}-dfrac{q^2d_2}{2varepsilon_0S}=dfrac{q^2}{2C_1}-dfrac{q^2}{2C_2}=W_1-W_2]

Это можно переписать следующим образом: [A =-(W_2-W_1) =-Delta W,]

где [fbox{$W=dfrac{q^2}{2C}$}, (1)]

Работа потенциальной силы (F) притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины (W). Это как раз и означает, что (W) — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора. Используя соотношение (q = CU), можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (проделать это самостоятельно).

[fbox{$W=dfrac{qU}{2}$}, (2)]

[fbox{$W=dfrac{CU^2}{2}$}, (3)]

Формулы (1)—(3) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.