Формула как найти наименьшее значение на отрезке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Если функция $y=f(x)$ определена и
непрерывна на отрезке
$[a ; b]$ , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего
и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение $M$
функция $f(x)$ принимает в точке
$x_{0} in[a ; b]$, то
$M=fleft(x_{0}right)$ будет локальным максимумом функции
$f(x)$, так как в этом случае существует окрестность точки
$x_{0}$, такая, что
$f(x) leq fleft(x_{0}right)$ .

Однако свое наибольшее значение $M$ функция
$f(x)$ может принимать и на концах отрезка
$[a ; b]$ . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение
$M$ непрерывной на отрезке
$[a ; b]$ функции
$f(x)$, надо найти все максимумы функции на интервале
$(a ; b)$ и значения
$f(x)$ на концах отрезка
$[a ; b]$, то есть
$f(a)$ и
$f(b)$, и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования
на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением $m$ непрерывной на отрезке
$[a ; b]$ функции
$f(x)$ будет наименьший минимум среди всех минимумов функции
$f(x)$ на интервале
$(a ; b)$ и значений
$f(a)$ и
$f(b)$.

Пример

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
$y(x)=4 x^{3}-2 x^{2}+4$ на отрезке
$[0 ; 5]$ .

Решение. Находим производную функции:

$y^{prime}(x)=left(4 x^{3}-2 x^{2}+4right)^{prime}=12 x^{2}-4 x$

Находим точки, в которых производная равна нулю:

$y^{prime}(x)=0 Rightarrow 12 x^{2}-4 x=0 Rightarrow x_{1}=0, x_{2}=frac{1}{3}$

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку
$[0 ; 5]$ . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

$y(0)=4 ; quad yleft(frac{1}{3}right)=frac{106}{27} approx 3,92 ; y(5)=454$

Таким образом,

Ответ.

Читать дальше: выпуклость функции, точки перегиба.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $

План решения

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $

Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $

Примеры решений

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 — 3x^2 — 4 $ на отрезке $ [0;2] $

Решение

Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $.

Находим производную: $$ y’ = (2x^3 — 3x^2 — 4)’ = 6x^2 — 6x $$

Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки:

$$ 6x^2 — 6x = 0 $$ $$ 6x(x — 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$

Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $:

$$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$

Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $:

$$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 — 3 cdot 0^2 — 4 = -4 $$

$$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 — 3 cdot 1^2 — 4 = -5 $$

$$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 — 3 cdot 2^2 — 4 = 0 $$

Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M = 0, m = -5 $$

Пример 2

Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $

Решение

Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $.

Выполняем нахождение производной:

$$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$

$$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$

Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки:

$$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$

Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $.

Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $:

$$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$

$$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$

$$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$

Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $.

Ответ

$$ m = 0, M = 1 $$

Источник

Исследование функций и их графиков – это тема, которой уделяется особое внимание в рамках школьной программы старших классов. Некоторые основы математического анализа – дифференцирования – включены в профильный уровень экзамена по математике. У некоторых школьников возникают проблемы с этой темой, так как они путают графики функции и производной, а также забывают алгоритмы. В этой статье будут рассмотрены основные типы заданий и способы их решения.

Что такое значение функции?

Вам будет интересно:Проверочное слово к слову «скворец», корень и лексическое значение

Математическая функция представляет собой особое уравнение. Оно устанавливает взаимосвязь между числами. Функция зависит от значения аргумента.

Значение функции рассчитывается по заданной формуле. Для этого следует подставить любой аргумент, который соответствует области допустимых значений, в эту формулу на место х и выполнить необходимые математические операции. Какие?

Как можно найти наименьшее значение функции, используя график функции?

Вам будет интересно:Горизонтальный перенос генов: основы генетики, история открытия, принцип действия и примеры

Графическое изображение зависимости функции от аргумента называется графиком функции. Он строится на плоскости с определенным единичным отрезком, где по горизонтальной оси абсцисс откладывается значение переменной, или аргумента, а по вертикальной оси ординат – соответствующее ему значение функции.

Чем больше значение аргумента, тем правее он лежит на графике. И чем больше значение самой функции, тем выше находится точка.

О чем это говорит? Самым маленьким значением функции будет являться точка, которая лежит ниже всего на графике. Для того чтобы найти его на отрезке графика, нужно:

1) Найти и отметить концы этого отрезка.

2) Визуально определить, какая точка на этом отрезке лежит ниже всего.

3) В ответ записать ее числовое значение, которое можно определить, спроецировав точку на ось ординат.

Точки экстремума на графике производной. Где искать?

Вам будет интересно:Покои — это многозначное слово. Что именно оно означает?

Однако при решении задач иногда дан график не функции, а ее производной. Для того чтобы случайно не допустить глупую ошибку, лучше внимательно читать условия, так как от этого зависит, где нужно искать точки экстремума.

Итак, производная — это мгновенная скорость возрастания функции. Согласно геометрическому определению производная соответствует угловому коэффициенту касательной, которая непосредственно проведена к данной точке.

Известно, что в точках экстремума касательная параллельна оси Ox. Это значит, что ее угловой коэффициент — 0.

Из этого можно сделать вывод, что в точках экстремума производная лежит на оси абсцисс или обращается в ноль. Но кроме того, в этих точках функция меняет свое направление. То есть после периода возрастания начинает убывать, а производная, соответственно, сменяется с положительной на отрицательную. Или наоборот.

Если производная из положительной становится отрицательной — это точка максимума. Если из отрицательной становится положительной — точка минимума.

Важно: если в задании требуется указать точку минимума или максимума, то в ответ следует записать соответствующее значение по оси абсцисс. Но в случае, если требуется найти значение функции, то предварительно нужно подставить соответствующее значение аргумента в функцию и рассчитать его.

Как находить точки экстремума с помощью производной?

Рассмотренные примеры в основном относятся к заданию под номером 7 экзамена, которое подразумевает работу с графиком производной или первообразной. А вот задание 12 ЕГЭ – найти наименьшее значение функции на отрезке (иногда – наибольшее) – выполняется без каких-либо чертежей и требует базовых навыков математического анализа.

Для его выполнения нужно уметь находить точки экстремума с помощью производной. Алгоритм их нахождения таков:

Найти производную от функции.
Приравнять ее к нулю.
Найти корни уравнения.
Проверить, являются ли полученные точки точками экстремума или перегиба.

Для этого нужно начертить схему и на получившихся промежутках определить знаки производной, подставляя числа, принадлежащие отрезкам, в производную. Если при решении уравнения вы получили корни двойной кратности – это точки перегиба.

Применив теоремы, определить какие точки являются точками минимума, а какие – максимума.

Вычисление наименьшего значения функции с применением производной

Однако, выполнив все эти действия, мы найдем значения точек минимума и максимума по оси абсцисс. Но как найти наименьшее значение функции на отрезке?

Что необходимо сделать для того, чтобы найти число, которому соответствует функция в конкретной точке? Нужно подставить в данную формулу значение аргумента.

Точки минимума и максимума соответствуют наименьшему и наибольшему значению функции на отрезке. Значит, чтобы найти значение функции, нужно рассчитать функцию, используя полученные значения х.

Важно! Если в задании требуется указать точку минимума или максимума, то в ответ следует записать соответствующее значение по оси абсцисс. Но в случае, если нужно найти значение функции, то предварительно следует подставить соответствующее значение аргумента в функцию и выполнить необходимые математические операции.

Что делать, если на данном отрезке отсутствуют точки минимума?

Но как найти наименьшее значение функции на отрезке, на котором отсутствуют точки экстремума?

Это значит, что на нем функция монотонно убывает или возрастает. Тогда в функцию нужно подставить значение крайних точек этого отрезка. Есть два пути.

1) Рассчитав производную и промежутки, на которых она положительна или отрицательна, сделать вывод о том, убывает функция на данном отрезке или возрастает.

В соответствии с ними подставить в функцию большее или меньшее значение аргумента.

2) Просто подставить в функцию обе точки и сравнить полученные значения функции.

В каких заданиях нахождение производной необязательно

Как правило, в заданиях ЕГЭ все же нужно находить производную. Есть только пара исключений.

1) Парабола.

Вершина параболы находится по формуле.

Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз. И ее вершина является точкой максимума.

Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, вершина – точка минимума.

Рассчитав точку вершины параболы, следует подставить ее значение в функцию и вычислить соответствующее значение функции.

2) Функция y = tg x. Или y = ctg x.

Эти функции являются монотонно возрастающими. Поэтому, чем больше значение аргумента, тем больше значение самой функции. Далее мы рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке с примерами.

Основные типы заданий

Задание: наибольшее или наименьшее значение функции. Пример на графике.

На рисунке вы видите график производной функции f (x) на интервале [-6; 6]. В какой точке отрезка [-3; 3] f (x) принимает наименьшее значение?

Итак, для начала следует выделить указанный отрезок. На нем функция один раз принимает нулевое значение и меняет свой знак – это точка экстремума. Так как производная из отрицательной становится положительной, значит, это точка минимума функции. Этой точке соответствует значение аргумента 2.

Ответ: 2.

Продолжаем рассматривать примеры. Задание: найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Найдите наименьшее значение функции y = (x — ex-7 на отрезке [6; 8].

1. Взять производную от сложной функции.

y’ (x) = (x — ex-7 = (x — 8)’ (ex-7) + (x — (ex-7)’ = 1 * (ex-7) + (x — (ex-7) = (1 + x — (ex-7) = (x — 7) (ex-7)

2. Приравнять полученную производную к нулю и решить уравнение.

y’ (x) = 0

(x — 7) (ex-7) = 0

x — 7 = 0, или ex-7 = 0

x = 7; ex-7 ≠ 0, нет корней

3. Подставить в функцию значение крайних точек, а также полученные корни уравнения.

y (6) = (6 — e6-7 = -2e-1

y (7) = (7 — e7-7 = -1 * e0 = -1 * 1 = -1

y (8) = (8 — e8-7 = 0 * e1 = 0

Ответ: -1.

Итак, в этой статье была рассмотрена основная теория о том, как найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимая для успешного решения заданий ЕГЭ по профильной математике. Также элементы математического анализа применяются при решении заданий из части С экзамена, но очевидно, они представляют иной уровень сложности, и алгоритмы их решений сложно уместить в рамки одного материала.

Источник

При решении
прикладных задач часто требуется найти
наименьшее и наибольшее значения функции
на некотором промежутке изменения ее
аргумента. Нахождение наибольшего и
наименьшего значений непрерывной
функции основывается на следующем
свойстве
непрерывных функций.

Если функция
непрерывна на отрезке,
то она обязательно принимает на этом
отрезке свои наибольшее и наименьшее
значения. Эти значения достигаются либо
внутри отрезка, либо в граничных точках
этого отрезка.

Правило отыскания
глобального экстремума функции на
отрезке
(наибольшего
и наименьшего значения функции).

Найти область
определения
функции
и проверить,
принадлежи ли ей заданный отрезок.
Найти критические
точки внутри
отрезка
и вычислить значения функции в критических
точках (не исследуя наличие в них
экстремума).
Вычислить значения
функции
,на концах отрезка.
Сравнить
полученные значения функции в критических
точках и на концах отрезка:
большее из них будет наибольшим
значением функции на отрезке,
а меньшее – наименьшимзначением функции на этом отрезке.

Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на отрезке.

Математическая
модель задачи
имеет вид:

Точки возможного
экстремума функции определяются из
равенства нулю ее производной:
Обе точки принадлежат отрезку.
Вычислим значения функции:

;;;.

Сравним полученные
значения:

наибольшее значение
функции
;

наименьшее значение
функции
.

Ответ:
,

Контрольные вопросы

Сформулируйте
определение производной функции.
Приведите пример,
когда производная не существует.
Каков геометрический
смысл производной?
Запишите уравнения
касательной к линии
в точке.
В чем состоит
экономический смысл производной?
Каков экономический
смысл производной
функции,
в которой— время,— количество выпущенной продукции?
Какая функция
называется дифференцируемой?
В чем состоит
связь между дифференцируемостью и
непрерывностью функции?
Сформулируйте
основные правила нахождения производных,
запишите их математически.
Сформулируйте
правило нахождения производной сложной
функции. Приведите пример.
Дайте определение
производных высших порядков.
Когда применяется
правило Лопиталя?
Дайте определение
дифференциала функции
.
Каков геометрический
смысл дифференциала?
В чем заключается
свойство инвариантности формы первого
дифференциала?
Чем отличается
дифференциал от полного приращения?
Каковы свойства
дифференциала функции?
Дайте определение
дифференциала второго порядков.
Запишите формулу
для вычисления дифференциала
.
Как применяется
дифференциал в приближенных вычислениях?

1Философский
энциклопедический словарь. – М.: ИНФРА-М,
2000. – 576 с. — С. 498

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник