Наша компания имеет богатый опыт сотрудничества и участия в тендерах с государственными и частными компаниями. Мы предлагаем большой набор готовых решений для образовательных учреждений, а также работаем по индивидуальным техническим заданиям.
Если вы являетесь участником или организатором тендера или госзакупки, заполните, пожалуйста, форму и опишите свой запрос. Наш специалист по работе с корпоративными заказчиками обязательно с вами свяжется. Вы также можете связаться с нами по телефону: +7 (812) 418-29-44 (доб. 117 или доб. 106).
From Wikipedia, the free encyclopedia
The orbital period (also revolution period) is the amount of time a given astronomical object takes to complete one orbit around another object. In astronomy, it usually applies to planets or asteroids orbiting the Sun, moons orbiting planets, exoplanets orbiting other stars, or binary stars. It may also refer to the time it takes a satellite orbiting a planet or moon to complete one orbit.
For celestial objects in general, the orbital period is determined by a 360° revolution of one body around its primary, e.g. Earth around the Sun.
Periods in astronomy are expressed in units of time, usually hours, days, or years.
Small body orbiting a central body[edit]
The semi-major axis (a) and semi-minor axis (b) of an ellipse
According to Kepler’s Third Law, the orbital period T of two point masses orbiting each other in a circular or elliptic orbit is:[1]
where:
- a is the orbit’s semi-major axis
- G is the gravitational constant,
- M is the mass of the more massive body.
For all ellipses with a given semi-major axis the orbital period is the same, regardless of eccentricity.
Inversely, for calculating the distance where a body has to orbit in order to have a given orbital period T:
![{displaystyle a={sqrt[{3}]{frac {GMT^{2}}{4pi ^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc0794d19344d83b82ba93518c68a0fccd0b31b)
For instance, for completing an orbit every 24 hours around a mass of 100 kg, a small body has to orbit at a distance of 1.08 meters from the central body’s center of mass.
In the special case of perfectly circular orbits, the semimajor axis a is equal to the radius of the orbit, and the orbital velocity is constant and equal to
where:
- r is the circular orbit’s radius in meters,
This corresponds to 1⁄√2 times (≈ 0.707 times) the escape velocity.
Effect of central body’s density[edit]
For a perfect sphere of uniform density, it is possible to rewrite the first equation without measuring the mass as:
where:
- r is the sphere’s radius
- a is the orbit’s semi-major axis in metres,
- G is the gravitational constant,
- ρ is the density of the sphere in kilograms per cubic metre.
For instance, a small body in circular orbit 10.5 cm above the surface of a sphere of tungsten half a metre in radius would travel at slightly more than 1 mm/s, completing an orbit every hour. If the same sphere were made of lead the small body would need to orbit just 6.7 mm above the surface for sustaining the same orbital period.
When a very small body is in a circular orbit barely above the surface of a sphere of any radius and mean density ρ (in kg/m3), the above equation simplifies to (since M = Vρ = 4/3πa3ρ)
Thus the orbital period in low orbit depends only on the density of the central body, regardless of its size.
So, for the Earth as the central body (or any other spherically symmetric body with the same mean density, about 5,515 kg/m3,[2] e.g. Mercury with 5,427 kg/m3 and Venus with 5,243 kg/m3) we get:
- T = 1.41 hours
and for a body made of water (ρ ≈ 1,000 kg/m3),[3] or bodies with a similar density, e.g. Saturn’s moons Iapetus with 1,088 kg/m3 and Tethys with 984 kg/m3 we get:
- T = 3.30 hours
Thus, as an alternative for using a very small number like G, the strength of universal gravity can be described using some reference material, such as water: the orbital period for an orbit just above the surface of a spherical body of water is 3 hours and 18 minutes. Conversely, this can be used as a kind of «universal» unit of time if we have a unit of density.
Two bodies orbiting each other[edit]
Log-log plot of period T vs semi-major axis a (average of aphelion and perihelion) of some Solar System orbits (crosses denoting Kepler’s values) showing that a³/T² is constant (green line)
In celestial mechanics, when both orbiting bodies’ masses have to be taken into account, the orbital period T can be calculated as follows:[4]
where:
- a is the sum of the semi-major axes of the ellipses in which the centers of the bodies move, or equivalently, the semi-major axis of the ellipse in which one body moves, in the frame of reference with the other body at the origin (which is equal to their constant separation for circular orbits),
- M1 + M2 is the sum of the masses of the two bodies,
- G is the gravitational constant.
In a parabolic or hyperbolic trajectory, the motion is not periodic, and the duration of the full trajectory is infinite.
[edit]
For celestial objects in general, the orbital period typically refers to the sidereal period, determined by a 360° revolution of one body around its primary relative to the fixed stars projected in the sky. For the case of the Earth orbiting around the Sun, this period is referred to as the sidereal year. This is the orbital period in an inertial (non-rotating) frame of reference.
Orbital periods can be defined in several ways. The tropical period is more particularly about the position of the parent star. It is the basis for the solar year, and respectively the calendar year.
The synodic period refers to not the orbital relation to the parent star, but to other celestial objects, making it not a mere different approach to the orbit of an object around its parent, but a period of orbital relations with other objects, normally Earth, and their orbits around the Sun. It applies to the elapsed time where planets return to the same kind of phenomenon or location, such as when any planet returns between its consecutive observed conjunctions with or oppositions to the Sun. For example, Jupiter has a synodic period of 398.8 days from Earth; thus, Jupiter’s opposition occurs once roughly every 13 months.
There are many periods related to the orbits of objects, each of which are often used in the various fields of astronomy and astrophysics, particularly they must not be confused with other revolving periods like rotational periods. Examples of some of the common orbital ones include the following:
- The synodic period is the amount of time that it takes for an object to reappear at the same point in relation to two or more other objects. In common usage, these two objects are typically Earth and the Sun. The time between two successive oppositions or two successive conjunctions is also equal to the synodic period. For celestial bodies in the solar system, the synodic period (with respect to Earth and the Sun) differs from the tropical period owing to Earth’s motion around the Sun. For example, the synodic period of the Moon’s orbit as seen from Earth, relative to the Sun, is 29.5 mean solar days, since the Moon’s phase and position relative to the Sun and Earth repeats after this period. This is longer than the sidereal period of its orbit around Earth, which is 27.3 mean solar days, owing to the motion of Earth around the Sun.
- The draconitic period (also draconic period or nodal period), is the time that elapses between two passages of the object through its ascending node, the point of its orbit where it crosses the ecliptic from the southern to the northern hemisphere. This period differs from the sidereal period because both the orbital plane of the object and the plane of the ecliptic precess with respect to the fixed stars, so their intersection, the line of nodes, also precesses with respect to the fixed stars. Although the plane of the ecliptic is often held fixed at the position it occupied at a specific epoch, the orbital plane of the object still precesses, causing the draconitic period to differ from the sidereal period.[5]
- The anomalistic period is the time that elapses between two passages of an object at its periapsis (in the case of the planets in the Solar System, called the perihelion), the point of its closest approach to the attracting body. It differs from the sidereal period because the object’s semi-major axis typically advances slowly.
- Also, the tropical period of Earth (a tropical year) is the interval between two alignments of its rotational axis with the Sun, also viewed as two passages of the object at a right ascension of 0 hr. One Earth year is slightly shorter than the period for the Sun to complete one circuit along the ecliptic (a sidereal year) because the inclined axis and equatorial plane slowly precess (rotate with respect to reference stars), realigning with the Sun before the orbit completes. This cycle of axial precession for Earth, known as precession of the equinoxes, recurs roughly every 25,772 years.[6]
Periods can be also defined under different specific astronomical definitions that are mostly caused by the small complex external gravitational influences of other celestial objects. Such variations also include the true placement of the centre of gravity between two astronomical bodies (barycenter), perturbations by other planets or bodies, orbital resonance, general relativity, etc. Most are investigated by detailed complex astronomical theories using celestial mechanics using precise positional observations of celestial objects via astrometry.
Synodic period[edit]
One of the observable characteristics of two bodies which orbit a third body in different orbits, and thus have different orbital periods, is their synodic period, which is the time between conjunctions.
An example of this related period description is the repeated cycles for celestial bodies as observed from the Earth’s surface, the synodic period, applying to the elapsed time where planets return to the same kind of phenomenon or location. For example, when any planet returns between its consecutive observed conjunctions with or oppositions to the Sun. For example, Jupiter has a synodic period of 398.8 days from Earth; thus, Jupiter’s opposition occurs once roughly every 13 months.
If the orbital periods of the two bodies around the third are called T1 and T2, so that T1 < T2, their synodic period is given by:[7]
Examples of sidereal and synodic periods[edit]
Table of synodic periods in the Solar System, relative to Earth:[citation needed]
| Object | Sidereal period | Synodic period | ||
|---|---|---|---|---|
| (yr) | (d) | (yr) | (d)[8] | |
| Mercury | 0.240846 | 87.9691 days | 0.317 | 115.88 |
| Venus | 0.615 | 224.7 days[9] | 1.599 | 583.9 |
| Earth | 1 | 365.25636 solar days | — | |
| Mars | 1.881 | 687.0[10] | 2.135 | 779.9 |
| Jupiter | 11.86 | 4331[11] | 1.092 | 398.9 |
| Saturn | 29.46 | 10,747[12] | 1.035 | 378.1 |
| Uranus | 84.01 | 30,589[13] | 1.012 | 369.7 |
| Neptune | 164.8 | 59,800[14] | 1.006 | 367.5 |
| 134340 Pluto | 248.1 | 90,560[15] | 1.004 | 366.7 |
| Moon | 0.0748 | 27.32 days | 0.0809 | 29.5306 |
| 99942 Apophis (near-Earth asteroid) | 0.886 | 7.769 | 2,837.6 | |
| 4 Vesta | 3.629 | 1.380 | 504.0 | |
| 1 Ceres | 4.600 | 1.278 | 466.7 | |
| 10 Hygiea | 5.557 | 1.219 | 445.4 | |
| 2060 Chiron | 50.42 | 1.020 | 372.6 | |
| 50000 Quaoar | 287.5 | 1.003 | 366.5 | |
| 136199 Eris | 557 | 1.002 | 365.9 | |
| 90377 Sedna | 12050 | 1.0001 | 365.3[citation needed] |
In the case of a planet’s moon, the synodic period usually means the Sun-synodic period, namely, the time it takes the moon to complete its illumination phases, completing the solar phases for an astronomer on the planet’s surface. The Earth’s motion does not determine this value for other planets because an Earth observer is not orbited by the moons in question. For example, Deimos’s synodic period is 1.2648 days, 0.18% longer than Deimos’s sidereal period of 1.2624 d.[citation needed]
Synodic periods relative to other planets[edit]
The concept of synodic period applies not just to the Earth, but also to other planets as well, and the formula for computation is the same as the one given above. Here is a table which lists the synodic periods of some planets relative to each other:
| Relative to | Mars | Jupiter | Saturn | Chiron | Uranus | Neptune | Pluto | Quaoar | Eris |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sun | 1.881 | 11.86 | 29.46 | 50.42 | 84.01 | 164.8 | 248.1 | 287.5 | 557.0 |
| Mars | 2.236 | 2.009 | 1.954 | 1.924 | 1.903 | 1.895 | 1.893 | 1.887 | |
| Jupiter | 19.85 | 15.51 | 13.81 | 12.78 | 12.46 | 12.37 | 12.12 | ||
| Saturn | 70.87 | 45.37 | 35.87 | 33.43 | 32.82 | 31.11 | |||
| 2060 Chiron | 126.1 | 72.65 | 63.28 | 61.14 | 55.44 | ||||
| Uranus | 171.4 | 127.0 | 118.7 | 98.93 | |||||
| Neptune | 490.8 | 386.1 | 234.0 | ||||||
| Pluto | 1810.4 | 447.4 | |||||||
| 50000 Quaoar | 594.2 |
Example of orbital periods: binary stars[edit]
| Binary star | Orbital period. |
|---|---|
| AM Canum Venaticorum | 17.146 minutes |
| Beta Lyrae AB | 12.9075 days |
| Alpha Centauri AB | 79.91 years |
| Proxima Centauri – Alpha Centauri AB | 500,000 years or more |
See also[edit]
- Geosynchronous orbit derivation
- Rotation period – time that it takes to complete one revolution around its axis of rotation
- Satellite revisit period
- Sidereal time
- Sidereal year
- Opposition (astronomy)
- List of periodic comets
Notes[edit]
- ^ Bate, Mueller & White (1971), p. 33.
- ^ Density of the Earth, wolframalpha.com
- ^ Density of water, wolframalpha.com
- ^ Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie. An introduction to modern astrophysics. 2nd edition. Pearson 2007.
- ^ Oliver Montenbruck, Eberhard Gill (2000). Satellite Orbits: Models, Methods, and Applications. Springer Science & Business Media. p. 50. ISBN 978-3-540-67280-7.
- ^ «Precession of the Earth’s Axis — Wolfram Demonstrations Project». demonstrations.wolfram.com. Retrieved 2019-02-10.
- ^ Hannu Karttunen; et al. (2016). Fundamental Astronomy (6th ed.). Springer. p. 145. ISBN 9783662530450. Retrieved December 7, 2018.
- ^ «Questions and Answers — Sten’s Space Blog». www.astronomycafe.net.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
- ^ «Planetary Fact Sheet». nssdc.gsfc.nasa.gov.
Bibliography[edit]
- Bate, Roger B.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971), Fundamentals of Astrodynamics, Dover
External links[edit]
Look up synodic in Wiktionary, the free dictionary.
«Небесная механика», как было принято называть науку о звездах во времена Исаака Ньютона, подчиняется классическим законам движения тел. Одними из важных характеристик этого движения являются различные периоды обращения космических объектов по своим орбитам. В статье пойдет речь о сидерическом и синодическом периодах обращения звезд, планет и их естественных спутников.
Понятие о синодическом и сидерическом временных периодах
Практически каждый из нас знает, что планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг своих звезд. Звезды, в свою очередь, совершают орбитальные движения вокруг друг друга или вокруг центра Галактики. Иными словами, все массивные объекты космоса имеют определенные траектории движения, включая кометы и астероиды.
Важной характеристикой для всякого космического объекта является время, которое он затрачивает, чтобы совершить один полный оборот по своей траектории. Это время принято называть периодом. Чаще всего в астрономии при изучении Солнечной системы пользуются двумя периодами: синодическим и сидерическим.
Сидерический временной период — это время, которое требуется объекту, чтобы он совершил полный оборот по своей орбите вокруг своей звезды, при этом за точку отчета берется другая удаленная звезда. Этот период также называют реальным, поскольку именно такое значение времени обращения по орбите получит неподвижный наблюдатель, который будет следить за процессом вращения объекта вокруг его звезды.
Синодический период — это время, через которое объект появится в одной и той же точке на небосводе, если смотреть на него с какой-либо планеты. Например, если взять Луну, Землю и Солнце и задаться вопросом о том, через какое время Луна будет находиться в точке на небе, в которой она находится в данный момент, ответом на него будет значение синодического периода Луны. Этот период также называют кажущимся, поскольку от реального орбитального периода он отличается.
Главное отличие между сидерическим и синодическим периодами
Как уже было сказано, сидерический — это реальный период обращения, а синодический — это кажущийся, однако в чем же главная разница между этими понятиями?
Вся разница заключается в количестве объектов, относительно которых измеряется временная характеристика. Понятие «сидерический период» принимает во внимание всего один относительный объект, например, Марс вращается вокруг Солнца, то есть движение рассматривается только относительно одной звезды. Синодический же временной период — это характеристика, которая учитывает относительное положение двух и более объектов, например, два одинаковых положения Юпитера относительно земного наблюдателя. То есть здесь необходимо учитывать положение Юпитера не только относительно Солнца, но и относительно Земли, которая также вращается вокруг Солнца.
Формула расчета сидерического периода
Для определения реального периода обращения планеты вокруг своей звезды или естественного спутника вокруг своей планеты, необходимо воспользоваться третьим законом Кеплера, который устанавливает взаимосвязь между реальным орбитальным периодом объекта и полудлиной его большой оси. В общем случае форма орбиты любого космического тела представляет собой эллипс.
Формула для определения сидерического периода имеет вид: T = 2*pi*√(a3/(G*M)), где pi = 3,14 — число пи, a — полудлина большой оси эллипса, G = 6,674*10-11 м3/(кг*с2) — универсальная гравитационная постоянная, M — масса объекта, вокруг которого осуществляется вращение.
Таким образом, зная параметры орбиты любого объекта, а также массу звезды, можно легко вычислить значение реального периода обращения этого объекта по своей орбите.
Расчет синодического временного периода
Как вычислить? Синодический период планеты или ее естественного спутника можно рассчитать, если знать значение реального ее периода обращения вокруг рассматриваемого объекта и реального периода обращения этого объекта вокруг своей звезды.
Формула, которая позволяет провести подобный расчет, имеет вид: 1/P = 1/T ± 1/S, здесь P — реальный период обращения рассматриваемого объекта, T — реальный период обращения объекта, относительно которого рассматривается движение, вокруг своей звезды, S — неизвестный синодический временной период.
Знаком «±» в формуле следует пользоваться так: если T > S, тогда формула используется со знаком «+», если же T < S, тогда нужно подставить знак «-«.
Использование формулы на примере Луны
Чтобы показать, как правильно пользоваться приведенным выражением, возьмем для примера вращение Луны вокруг Земли и синодический период обращения Луны рассчитаем.
Известно, что наша планета имеет реальный период обращения по орбите вокруг Солнца, равный T = 365,256363 дней. В свою очередь, из наблюдений можно установить, что на небосводе Луна появляется в рассматриваемой точке через каждые S = 29,530556 дня, то есть это ее синодический период. Поскольку S < T, то формулу, связывающую разные периоды, следует брать со знаком «+», получаем: 1/P = 1/365,256363 + 1/29,530556 = 0,0366, откуда P = 27,3216 дней. Как можно видеть, Луна на 2 дня быстрее совершает свой оборот вокруг Земли, чем земной наблюдатель снова может ее увидеть в отмеченном месте на небосводе.
Сегодня речь пойдет о конфигурации планет.
Конфигурация — характерное взаимное положение Солнца, планет, других небесных тел Солнечной системы на небесной сфере.
Будем называть планеты нижними, если они расположены ближе к Солнцу, чем Земля. Остальные планеты будут верхними – они расположены дальше нашей планеты от Солнца.
Планета может расположиться так, что Земля, Солнце и указанная планета находятся на одной линии. При этом может оказаться, что Солнце расположилось между Землей и рассматриваемой планетой. Такое расположение будем называть верхним соединением. Если же планета оказалась между Землей и Солнцем – то это уже нижнее соединение. Также может быть, что Земля находится между верхней планетой и Солнцем – тогда речь пойдет о противостоянии, или оппозиции.
Элонгация — одна из конфигураций планет, такое положение планеты, при котором её угловое расстояние от Солнца максимально для земного наблюдателя. Различают восточную и западную элонгацию (планета находится, соответственно, к востоку и к западу от Солнца). Об элонгации имеет смысл говорить только для Венеры и Меркурия; наилучшие условия для наблюдения этих планет наступают именно вблизи элонгаций. Из-за того, что орбиты планет не вполне круговые, угловое расстояние от Солнца в момент элонгации может быть разным, для Меркурия — от 
до , для Венеры — около .
Квадратура — в астрономии такая конфигурация Луны или верхней планеты (то есть планеты, более удалённой от Солнца, чем Земля) относительно Земли и Солнца, когда угол планета-Земля-Солнце равен . Если светило при этом находится к востоку от Солнца, конфигурация называется восточной квадратурой, к западу — западной квадратурой.
Сидерический период — это время совершения полного оборота какого-либо тела (планеты, кометы, астероида или искусственного спутника) вокруг главного тела (Солнца или др. планеты для спутника планеты) относительно неподвижных звёзд. Сидерический период также называют годом. Например, Меркурианский год, Юпитерианский год, и т. п.
Синодический же период — это время наблюдения с Земли совершения полного оборота планеты вокруг Солнца или Луны (искусственного спутника) вокруг Земли относительно Солнца ; промежуток времени между двумя последовательными соединениями Луны или какой-нибудь планеты Солнечной системы с Солнцем при наблюдении за ними с Земли. При этом соединения планет с Солнцем должны происходить в фиксированном линейном порядке, что существенно для внутренних планет: например, это будут последовательные верхние соединения, когда планета проходит за Солнцем.
Будем помнить также и о том, что орбиты планет не круговые. Это эллипсы, причем Солнце находится в одном из главных фокусов орбиты планеты.
Перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты или иного небесного тела Солнечной системы.
Антонимом перигелия является афелий (апогелий) — наиболее удалённая от Солнца точка орбиты. Воображаемую линию между афелием и перигелием называют линией апсид.
Названия апоцентров меняются: эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:
Задача 9.
| Центральное тело | Греческое название | Наименование перицентра | Наименование апоцентра |
| Солнце | Гелиос | перигелий | афелий |
| Земля | Гея | перигей | апогей |
| Венера | Геспер | перигесперий | апогесперий |
| Марс | Арес | периарий | апоарий |
| Сатурн | Кронос | перикроний | апокроний |
| Луна | Селена | периселений | апоселений |
Теперь обратимся к математике и разберемся, что же такое эксцентрисистет. Будем говорить об эксцентриситете эллипса, поскольку нас пока больше интересуют орбиты планет.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой , получаем:
Так как , то , т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что , поэтому
Или
И
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности и .
Радиус перигелия рассчитывается по формуле:
где:
— большая полуось;
— эксцентриситет орбиты.
Скорость в перигелии рассчитывается по формуле:
где:
— гравитационная постоянная;
— масса Солнца;
— большая полуось;
— эксцентриситет орбиты.
Афелийное расстояние рассчитывается по формуле
Следовательно, большая полуось орбиты планеты является средним ее расстоянием от Солнца
Cидерические периоды обращения и двух планет связаны с их средними расстояниями и от Солнца третьим законом Кеплера
Если дается в годах и — в астрономических единицах, то, принимая для Земли год и а. е., получим для любой планеты
Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты
всегда выражается в км/с. Так как обычно задается в астрономических единицах (1 а. е.= км) и T— в годах (1 год= с), то
Подставляя , получим:
Где скорость планеты теперь выражена в км/с.
Средняя продолжительность синодического периода обращения планеты связана с сидерическим периодом уравнением синодического движения: для верхних планет
для нижних планет
где — сидерический период обращения Земли, равный 1 звездному году.
Задача 1.
Найти перигельное и афелийное расстояния, сидерический и синодический периоды обращения, а также круговую скорость малой планеты Поэзии, если большая полуось и эксцентриситет ее орбиты равны 3,12 а. е. и 0,144.
Перигельное расстояние, а.е.
афелийное расстояние, а.е.
Сидерический период обращения
а так как а. е., то планета верхняя и поэтому ее синодический период обращения вычисляется по формуле
при году:
Круговая скорость, км/с:
Задача 2.
Вычислить перигельное и афелийное расстояния планет Сатурна и Нептуна, если их средние расстояния от Солнца равны 9,54 а. е. и 30,07 а. е., а эксцентриситеты орбит— 0,054 и 0,008.
Перигельное расстояние Сатурна, а.е.
афелийное расстояние Сатурна, а.е.
Перигельное расстояние Нептуна, а.е.
афелийное расстояние Нептуна, а.е.
Ответ: а.е., а.е., а.е., а.е.
Задача 3.
Какая из двух планет — Нептун (а = 30,07 а.е., ) или Плутон (а = 39,52 а. е., ) — подходит ближе к Солнцу? В скобках даны большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты.
Нужно сравнить перигельные расстояния, причем для Нептуна мы его уже вычислили: а.е. Вычислим для Плутона:
Таким образом, Плутон ближе подходит к Солнцу.
Задача 4.
Найти эксцентриситет орбиты и перигельное расстояние планеты Марса и астероида Адониса, если у Марса большая полуось орбиты равна 1,52 а. е. и наибольшее расстояние от Солнца 1,66 а. е., а у Адониса соответственно 1,97 а. е. и 3,50 а. е. Указать, какая из этих двух планет подходит ближе к Солнцу.
Опять определим перигельные расстояния. Наибольшие расстояния от Солнца нам известны – афелийные. Тогда для Марса
Следовательно, перигельное расстояние Марса равно
Для Адониса
Следовательно, перигельное расстояние Адониса равно
Таким образом, Адонис подходит ближе к Солнцу.
Ответ: , а.е. , , а.е.
Задача 5.
На каком среднем и наибольшем гелиоцентрическом расстоянии движутся малые планеты Икар и Симеиза, если у Икара перигельное расстояние и эксцентриситет орбиты равны 0,187 а. е. и 0,827, а у Симеизы — 3,219 а. е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор изменяется в больших пределах, абсолютно и относительно?
Так как афелийное расстояние у Симеизы больше, то радиус-вектор ее длиннее (абсолютно). Но, так как , то относительно радиус-вектор Икара больше изменяется.
Задача 6.
Вычислить периоды обращения вокруг Солнца планеты Венеры и астероида Европы, у которых средние гелиоцентрические расстояния соответственно равны 0,723 а. е. и 3,10 а. е.
Сидерический период Венеры равен:
Или 224,5 суток.
Сидерический период астероида Европы равен:
Ответ: сидерический период Венеры равен 0,615 года или 224,5 суток, а у Европы 5,458 года.
Задача 7.
Определить периоды обращения вокруг Солнца малой планеты Аполлона и кометы Икейи, если обе они проходят вблизи Солнца почти на одинаковых расстояниях, равных у Аполлона 0,645 а. е., а у кометы 0,633 а. е., но их орбиты имеют эксцентриситеты 0,566 и 0,9933 соответственно.
Определим большие полуоси орбит Аполлона и кометы Икейи:
Тогда сидерический период Аполлона
Тогда сидерический период Икейи
Ответ: года, лет.
Задача 8.
Первый спутник планеты Юпитера — Ио обращается вокруг нее за 42ч28м на среднем расстоянии в 421 800 км. С какими периодами обращаются вокруг Юпитера его спутники Европа и Ганимед, большие полуоси орбит которых равны 671,1 тыс. км и 1070 тыс. км?
Для спутников справедлив закон Кеплера. Применим его для Европы:
Период 42ч28м= ч.
А теперь то же самое для Ганимеда:
Ответ: Период Европы 85,23 ч, или 3д 55, период Ганимеда 171,59 ч, или 7д 15
Задача 9.
Найти средние расстояние от Сатурна его спутников Мимаса и Реи, обращающихся вокруг планеты с периодами в 22ч37м и 4д,518. Самый крупный спутник планеты — Титан, обращается за 15д,945 по орбите с большой полуосью в 1221 тыс. км.
Переведем периоды в часы: период Мимаса 22,62 ч, период Реи 108,43 ч, период Титана 382, 68 ч.
Применяем закон Кеплера для Титана и Мимаса:
То же для Реи:
Ответ: большая полуось Мимаса 185,27 тыс. км, Реи 526,7 тыс. км.
Синодические периоды
Синодическим периодом обращения планеты называется промежуток времени, протекающий между повторениями ее одинаковых конфигураций, например между двумя противостояниями.
Скорость движения планет тем больше, чем они ближе к Солнцу. Поэтому после противостояния Марса Земля станет его обгонять. С каждым днем она будет отходить от него все дальше. Когда она обгонит его на полный оборот, то снова произойдет противостояние. Синодический период внешней планеты — это промежуток времени, по истечении которого Земля обгоняет планету на 360° при их движении вокруг Солнца Угловая скорость Земли (угол, описываемый ею за сутки) составляет 360°/Tс, угловая скорость Марса-360°/T, где Тс — число суток в году, Т — звездный период обращения планеты, выраженный в сутках. Если S — синодический период планеты в сутках, то через S суток Земля обгонит планету на 360°, т. е.
Если в эту формулу подставить соответствующие числа (см. таблицу V в приложении), то можно найти, например, что синодический период Марса 780 сут и т. д. Для внутренних планет, обращающихся быстрее, чем Земля (Тс > Т), надо писать:
Для Венеры синодический период составляет 584 сут.
Астрономам вначале не были известны звездные периоды планет, в то время как синодические периоды планет S определяли из прямых наблюдений. Например, отмечали, сколько времени проходит между последовательными противостояниями планеты, т. е. между днями, когда она кульминирует точно в полночь. Определив из наблюдений синодические периоды S, находили вычислением звездные периоды обращения планет T. Когда позднее Кеплер открыл законы движения планет, то при помощи третьего закона он смог установить относительные расстояния планет от Солнца, поскольку звездные периоды планет уже были вычислены, исходя из синодических периодов.
- Звездный период обращения Юпитера равен 12 годам. Через какой промежуток времени повторяются его противостояния?
- Замечено, что противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось ее орбиты?
- Синодический период планеты 500 сут. Определите большую полуось ее орбиты. (Перечитайте внимательно это задание.)