Формула общего элемента последовательности как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Основные понятия и определения
Задание последовательности формулой ее общего члена
Рекуррентный способ задания последовательности

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество
натуральных
чисел $N$ в некоторое множество
$X$ :
$left{x_{n}right}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}=left{x_{1} ; x_{2} ; ldots ; x_{n} ; ldotsright}, x_{i} in N$

Элемент $x_{1}$ называется первым членом
последовательности, $x_{2}$ — вторым, … ,
$x_{n}$ —
$n$-ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности $x_{n}={-1 ; 2 ; 5 ; 8 ;-3 ; 0 ; ldots}$
определить, чему равен третий член $x_{3}$

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для
заданной последовательности имеем, что $x_{3}=5$

Ответ. $x_{3}=5$

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член
последовательности, зная его номер.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности
$x_{n}={6 ; 20 ; 56 ; 144 ; 352 ; ldots}$

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

$n=1 : x_{1}=6=2 cdot 3=2^{1} cdot 3=2^{1} cdot(2 cdot 1+1)$

$n=2 : x_{2}=20=4 cdot 5=2^{2} cdot 5=2^{2} cdot(2 cdot 2+1)$

$n=3 : x_{3}=56=8 cdot 7=2^{3} cdot 7=2^{3} cdot(2 cdot 3+1)$

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на
последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

$x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$

Ответ. Формула общего члена: $x_{n}=2^{n} cdot(2 n+1)$

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой
$n$-го члена:
$x_{n}=frac{(-1)^{n}}{n}, n in N$

Решение. Для того чтобы найти $x_{15}$ ,
подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:

$x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$

Ответ. $x_{15}=frac{(-1)^{15}}{15}=-frac{1}{15}$

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа
$a=6$ и
$b=1$ членами последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$

Решение. Число $a=6$ является
членом последовательности $left{x_{n}right}, n in N$ , если существует
такой номер $n_{0} in N$ , что
$x_{n_{0}}=a=6$ :

$6=x_{n o}=frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1} Rightarrow frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=6 Rightarrow$

$Rightarrow n_{0}^{2}-6 n_{0}+5=0 Rightarrow=left{begin{array}{l}{n_{0}=1} \ {n_{0}=5}end{array}right.$

Таким образом, число $a=6$ является первым и
пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной
последовательности $left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$ . Рассуждая аналогично,
как и для $a=6$ , получаем:

$frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=1 Rightarrow n_{0}^{2}-n_{0}+10=0 Rightarrow D=1-40=-39 lt 0$

Таким образом, уравнение $n_{0}^{2}-n_{0}+10=0$ не имеет
решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не
является членом последовательности $left{x_{n}right}$

Ответ. Число $a=6$ является
первым и пятым членами заданной последовательности, а
$b=1$ не является членом последовательности
$left{x_{n}right}=left{frac{n^{2}+11}{n+1}right}$

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения.
В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому
правилу. Например, известен первый член $x_{1}$
последовательности и известно, что $x_{n+1}=fleft(x_{n}right)$ , то
есть $x_{2}=fleft(x_{1}right), x_{3}=fleft(x_{2}right)$ и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел
Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой
двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n in N, x_{1}=x_{2}=1$

Пример

Задание. Последовательность $left{x_{n}right}$
задана при помощи рекуррентного соотношения $x_{n+2}=frac{1}{2}left(x_{n+1}+x_{n}right), x_{1}=2, x_{2}=4$ .
Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

$x_{3}=frac{1}{2}left(x_{2}+x_{1}right)=frac{4+2}{2}=frac{6}{2}=3$

Аналогично находим далее, что

$x_{4}=frac{1}{2}left(x_{3}+x_{2}right)=frac{3+4}{2}=frac{7}{2}=3,5$

$x_{5}=frac{1}{2}left(x_{4}+x_{3}right)=frac{3+3,5}{2}=frac{6,5}{2}=3,25$

и так далее.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с
большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для
нахождения $x_{500}$ надо найти все предыдущие 499 членов.

Читать дальше: ограниченные последовательности.

Источник

17:22

формула последовательности

Формула общего члена последовательности

Определение. Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел N в некоторое множество X:

Как найти общую формулу

Пример 1. Найти формулу общего члена последовательности { 2, 3/2, 5/4, 9/8,…}

Решение. В калькулятор вводим первые четыре члена последовательности 2, 3/2, 5/4, 9/8, получаем формулу общего члена

Пример 2. Найти общий член ряда

Решение. Не всегда калькулятор сам справляется с задачей найти общий член последовательности. Тогда проявляем математическую смекалку: находим по отдельности общую формулу числителя и знаменателя.В калькулятор вводим первые четыре члена последовательности числителей 3, 8, 15, 24 — получаем формулу числителя n²+2n. Далее вводим в калькулятор четыре первые знаменателя: 13,103,1003,10003 — получаем 3+10ⁿ

Следовательно, общий член

Пример 3. Найти общий член ряда

Решение. Нетрудно заметить, что четвертый член ряда выбивается из закономерности числителей √n. Выполним замену

Следовательно общая формула числителя √n. В калькулятор вводим четыре первых знаменателя 1,2,6,24 — получаем n!

Можем записать формулу общего члена (учитываем знак)

Категория: Найти предел | Просмотров: 28374 | | Теги: найти предел | Рейтинг: 2.0/3

Источник

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

Различают:

постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1…
возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Аналитически или, проще говоря, формулой.
Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Последовательность может иметь только один предел.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

Онлайн калькулятор для нахождения формулы общего члена последовательности.

Скачать калькулятор

Рейтинг: 2.7 (Голосов 311)

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Решение прогрессии	Графические построения	Математический анализ	Решение интегралов	Решение неравенств
Решение функций	Решение комплексных чисел	Производные функции	Решение логарифмов	Решение уравнений

Источник

Числовые последовательности

Рассмотрим ряд
натуральных чисел: 1, 2, 3, ,
n
– 1, n,

.

Если заменить
каждое натуральное число n
в этом ряду некоторым числом a_n,
следуя некоторому закону, то получим
новый ряд чисел:

a₁,
a₂,
a₃,
,
a_n_–1,
a_n,
,

кратко обозначаемый
и называемыйчисловой
последователь-
ностью.
Величина a_n
называется общим членом числовой
последовательности. Обычно числовая
последовательность задается некоторой
формулой a_n
= f(n)
позволяющей найти любой член
последовательности по его номеру n;
эта формула называется формулой общего
члена. Заметим, что задать числовую
последовательность формулой общего
члена не всегда возможно; иногда
последовательность задается путем
описания ее членов.

По определению,
последовательность всегда содержит
бесконечное множество элементов: любые
два разных ее элемента отличаются, по
крайней мере, своими номерами, которых
бесконечно много.

Числовая
последовательность является частным
случаем функции. Последовательность
является функцией, определенной на
множестве натуральных чисел и принимающей
значения в множестве действительных
чисел, т. е. функцией вида f
: N

R.

Последовательность
называетсявозрастающей
(убывающей),
если для любого n  N
Такие последовательности называютсястрого
монотонными.

Иногда в качестве
номеров удобно использовать не все
натуральные числа, а лишь некоторые из
них (например, натуральные числа, начиная
с некоторого натурального числа n₀).
Для нумерации также возможно использование
не только натуральных, но и других чисел,
например, n
= 0, 1, 2, 
(здесь в качестве еще одного номера к
множеству натуральных чисел добавлен
ноль). В таких случаях, задавая
последовательность, указывают, какие
значения принимают номера n.

Если в некоторой
последовательности для любого n  N

то последовательность называетсянеубывающей
(невозрастающей).
Такие последовательности называются
монотонными.

Пример 1.
Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5,
… является рядом натуральных чисел и
имеет общий член a_n
= n.

Пример 2.
Числовая
последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является
рядом четных чисел и имеет общий член
a_n
= 2n.

Пример 3.
1.4, 1.41,
1.414, 1.4142, … − числовая последовательность
приближенных значений с увеличивающейся
точностью.

В последнем примере
невозможно дать формулу общего члена
последовательности.

Пример 4.
Записать
первых 5 членов числовой последовательности
по ее общему члену
.
Для вычисленияa₁
нужно в формулу для общего члена a_n
вместо n
подставить 1, для вычисления a₂
− 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6.
Общим членом последовательности 1, 2, 6,
24, 120, 
является:

Тест
7.
Общим членом последовательности
является:

Тест 8.
Общим членом последовательности
является:

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую
последовательность, общий член которой
приближается к некоторому числу А
при увеличении порядкового номера n.
В этом случае говорят, что числовая
последовательность имеет предел. Это
понятие имеет более строгое определение.

Число А
называется пределом числовой
последовательности:

(1)

если для любого 
> 0 найдется такое число n₀
= n₀(),
зависящее от ,
что
приn
> n₀.

Это определение
означает, что А
есть предел числовой последовательности,
если ее общий член неограниченно
приближается к А
при возрастании n.
Геометрически это значит, что для любого

> 0 можно найти такое число n₀,
что, начиная с n
> n₀,
все члены последовательности расположены
внутри интервала (А
– ,
А
+ ).
Последовательность,
имеющая предел, называется сходящейся;
в противном случае –
расходящейся.

Числовая
последовательность может иметь только
один предел (конечный или бесконечный)
определенного знака.

Пример 5.
Гармоническая последовательность
имеет пределом число 0. Действительно,
для любого интервала (–;
+)
в качестве номера N₀
можно взять какое-либо целое число,
больше
.
Тогда для всехn
> n₀
>имеем

Пример 6.
Последовательность 2, 5, 2, 5, 
является расходящейся. Действительно,
никакой интервал длины, меньшей, например,
единицы, не может содержать всех членов
последовательности, начиная с некоторого
номера.

Последовательность
называется ограниченной,
если существует такое число М,
что
для
всехn.
Всякая сходящаяся последовательность
ограничена. Всякая монотонная и
ограниченная последовательность имеет
предел. Всякая сходящаяся последовательность
имеет единственный предел.