Гдз как найти нок

• Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это число, которое делится нацело на каждое из этих двух чисел и, при этом, является наименьшим из всех чисел, удовлетворяющих данному условию.

2. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) надо:

1. Разложить оба числа на простые множители и представить его в виде произведения степеней.
2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений заданных чисел на простые множители.
3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с наибольшим показателем.
4. Перемножить выбранные степени.

Полученное число и будет НОК двух данных чисел.

Например найдём наименьшее общее кратное для чисел 45 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и представить его в виде произведения степеней.

2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений заданных чисел на простые множители.

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с наибольшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Значит наименьшее общее кратное чисел 45 и 24 равно 360.

Ответ: НОК (45, 24) = 360.

3. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых является делителем другого?

Если из двух чисел одно является делителем другого, то наименьшее общее кратное (НОК) равно большему числу.

4. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Решаем устно

1. Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9

111, 273 и т.д. — сумма чисел такого числа должна делиться на 3, но не должна делиться на 9.

2) делится нацело на 9 и на 2

180, 324, 162 — это должно быть чётное число, сумма цифр которого делится нацело на 9.

3) делится нацело на 9 и на 5

450, 315 — это должно быть число, оканчивающееся на 0 или на 5, при этом сумма его цифр должна делиться на 9.

4) делится нацело на 3 и на 4

600, 228, 516 — это должно быть число оканчивающееся на 00 или на двузначное число, которое делится на 4, при этом сумма чисел этого числа должна делиться на 3.

5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.

927, 657 — это должно быть число, сумма чисел которого делиться нацело на 9, а само число оканчивается на цифру 7.

2. Назовите три общих кратных чисел:

1) 2 и 3

Кратными и числа 2, и числа 3, являются числа: 6, 12, 18 и т.д.

2) 4 и 6

Кратными и числа 4, и числа 6, являются числа: 12, 24, 36 и .д.

3) 5 и 10

Кратными и числа 5, и числа 10, являются числа: 10, 20, 30 и т.д.

3. Используя цифры 0, 2, 3 и 4, составьте наименьшее и наибольшее четырёхзначные числа, кратные 5. Можно ли утверждать, что полученные числа кратны 15?

• 2340 — наименьшее четырёхзначное число, кратное 5, составленное из цифр 1, 2, 3 и 4.
• 4320 — наибольшее четырёхзначное число, кратное 5, составленное из цифр 1, 2, 3 и 4.
• Да, данные числа кратны 15, так как они нацело делятся и на 5, и на 3 (сумма цифр этих чисел кратна 3).

4. В парке посадили каштаны и дубы, причём на каждый каштан приходилось три дуба. Сколько всего деревьев посадили в парке, если дубов посадили 24?

1) 24 : 3 = 8 (шт) — каштанов посадили в парке.

2) 24 + 8 = 32 (шт) — деревьев посадили в парке.

Ответ: 32 дерева.

Упражнения

163. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

164. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1)  и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

2) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1)  и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

2) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

167. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

168. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

169. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) и

Знаменатель первой дроби равен 12, а второй — 15. Значит надо найти НОК (12, 15):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 60.

2) и

Знаменатель первой дроби равен 100, а второй — 125. Значит надо найти НОК (100, 125):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 600.

170. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) и

Знаменатель первой дроби равен 9, а второй — 6. Значит надо найти НОК (9, 6):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 18.

2) и

Знаменатель первой дроби равен 20, а второй — 25. Значит надо найти НОК (20, 25):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 100.

171. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел

Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5. Разложим их на простые множители:

• 1 — не имеет простых множителей;
• 2 = 2 — простое число;
• 3 = 3 — простое число;
• 4 = 2²
• 5 = 5 — простое число.

НОК (1, 2, 3, 4, 5) = 2² • 3 • 5 = 4 • 15 = 60

Ответ: 60.

2) первых пяти нечётных чисел

Первые пять нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9. Разложим их на простые множители:

• 1 — не имеет простых множителей;
• 3 = 3 — простое число;
• 5 = 5 — простое число;
• 7 = 7 — простое число;
• 9 = 3²

НОК (1, 3, 5, 7, 9) = 3² • 5 • 7 = 9 • 35 = 315

Ответ: 315.

3) первых пяти простых чисел

Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11. Мы знаем, что единственным простым множителем простого числа является само это число. Значит:

НОК (2, 3, 5, 7, 11) = 2 • 3 • 5 • 7 • 11= 2 310

Ответ: 2 310.

172. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти чётных чисел

Первые пять чётных чисел — это 2, 4, 6, 8, 10. Разложим их на простые множители:

• 2 = 2 — простое число;
• 4 = 2²;
• 6 = 2 • 3;
• 8 = 2³;
• 10= 2 • 5.

НОК (2, 4, 6, 8, 10) = 2³ • 3 • 5 = 8 • 15 = 120

Ответ: 120.

2) первых четырёх составных чисел

Первые четыре составные числа — это 4, 6, 8, 9. Разложим их на простые множители:

• 4 = 2²;
• 6 = 2 • 3;
• 8 = 2³;
• 9= 3².

НОК (4, 6, 8, 9) = 2³ • 3² = 8 • 9 = 72

Ответ: 72.

173. Длина шага Чебурашки равна 15 см, а крокодила Гены — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

Для того, чтобы найти нужное расстояние, надо найти число, которое делится и на 15, и на 50 — НОК (15, 50). Разложим эти числа на простые множители:

• 15 = 3 • 5;
• 50 = 2 • 5².

НОК (15, 50) = 2 • 3 • 5² = 6 •25 = 150.

Значит Чебурашке и крокодилу Гене надо пройти 150 см.

Ответ: 150 см.

174. С одного места в одном направлении но велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они вновь окажутся н месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

1 минута = 60 секунд

Значит они вновь окажутся вместе через 180 секунд.

Найдём, сколько кругов по велотреку сделает каждый из велосипедистов:

• 180 : 60 = 3 (круга) — сделает первый велосипедист.
• 180 : 45 = 4 (круга сделает второй велосипедист.

Ответ: они встретятся через 180 секунд, первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.

175. Дима п Петя отправились в поход из одного пункта в одном направлении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2 400 м, а Дима — через каждые 2 800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Значит места их остановок совпадут через 16 800 м от пункта отправления.

Ответ: через 16 800 м.

176. В ящике лежит меньше 80 мандаринов. Известно, что их можно разделить поровну менаду двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько мандаринов лежит в ящике?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 5. 

Мы знаем, что все эти числа простые. Значит:

НОК (2, 3, 5) = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30.

2) 30 < 80 — это число удовлетворяет условию задачи и в ящике может лежать 30 мандаринов.

3) Так как кратными числам 2, 3 и 5 будут все числа, кратные 30, то в ящике могло бы также лежать и 60 мандаринов (60 < 80), но число 60 также нацело делится на 4, а это не соответствует условию задачи. 

Значит у данной задачи может быть единственный ответ: в ящике лежит 30 мандаринов.

Ответ: 30 мандаринов.

177. Саша ходит в бассейн один раз в три дня. Коля — раз в четыре дня, Петя — раз в пять дней. Мальчики встретились в бассейне во вторник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся в следующий раз?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 3, 4 и 5, а для этого разложим их на простые множители:

• 3 = 3;
• 4 = 2²;
• 5 = 5.

НОК (2, 4, 5) = 3 • 2² • 5= 15 • 4 = 60.

2) Каждая неделя содержит в себе 7 дней. Найдём, сколько целых недель и ещё дней пройдёт до новой встречи мальчиков:

60 : 7 = 8 (ост. 4). 

Значит до новой встречи пройдёт ровно 8 недель и ещё 4 дня.

3) Ровно 7 недель после вторника закончатся в понедельник, а ещё 4 дня — это:

1. вторник
2. среда
3. четверг
4. пятница.

Значит новая встреча мальчиков произойдёт в пятницу.

Ответ: мальчики встретятся через  60 дней, встреча произойдёт в пятницу.

178. Готовя подарки к Новому году, члены родительского комитета 6 класса увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 15 и 20.

Значит минимально возможное количество конфет — 60 шт.

2) Мы знаем, что конфет было больше 600 и меньше 700. Число 60 не входит в этот диапазон. Значит надо найти число, которое будет кратно 60 и будет удовлетворять данному условию. Перечислим числа, кратные 60:

• 60, 120, 180, 640, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720 и т.д.

Из всех чисел только одно число больше 600 и меньше 700. Это число 660.

Ответ: было 660 конфет.

Упражнения для повторения

179. Если к данному числу прибавить 2, то полученное число будет кратно 5. Чему равен остаток от деления данного числа на 5?

Для того, чтобы число было кратно 5, надо чтобы оно оканчивалось на цифру 0 или на цифру 5.

Значит данное число должно оканчиваться либо на 3, либо на 8. Например:

• 3 + 2 = 5 — кратно 5;
• 8 + 2 = 10 — кратно 5;
• 73 + 2 = 75 — кратно 5;
• 568 + 2 = 570 — кратно 5;
• и т.д.

Если число данное число оканчивается на 3, то при делении его на 5 остаток будет равен 3. Например:

• 13 : 5 = 2 (ост. 3)
• 53 : 5 = 10 (ост. 3)
• 133 : 5 = 26 (ост. 3)
• и т.д.

Если число оканчивается на 8, то при делении его на 5 остаток также будет равен 3:

• 18 : 5 = 3 (ост. 3)
• 58 : 5 = 11 (ост. 3)
• 138 : 5 = 27 (ост. 3)
• и т.д.

Значит, какое бы заданное число, удовлетворяющее условию, мы не делили на 5, в остатке всегда будет получиться число 3.

Ответ: число 3.

180. Белый аист пролетел 48 км со скоростью 40 км/ч. Сколько взмахов крыльями сделал при этом аист, если каждую секунду он делает два взмаха?

1) 48 : 40 = 1,2 (часа) — потребуется аисту для того, чтобы пролететь 48 км.

1,2 часа = 1,2 • 3 600 = 4 320 секунды.

3) 4 320 • 2 = 8 640 (шт) — взмахов сделает аист за это время.

Ответ: 8 640 взмахов.

181. Для производства 1 т бумаги необходимо использовать 6,3 м³ древесины или 1 400 кг макулатуры. Учащиеся одной школы собрали 2 100 кг макулатуры. Сколько кубических метров древесины можно сэкономить, использовав для производства бумаги собранную школьниками макулатуру?

1) 2 100 : 1 400 = 1,5 (раза) — собрали макулатуры больше, чем требуется на 1 тонну бумаги.

2) 6,3 • 1,5 = 9,45 (м³) — древесины потребовалось бы для производства такого юе количества бумаги, как из собранной макулатуры.

3) 9,45 — 6,3 = 3,15 (м³) — можно сэкономить.

Ответ: можно сэкономить 3,15 м³ древесины.

182. Останкинская телебашня в Москве является самой высокой в Европе отдельно стоящей конструкцией. Высота Эйфелевой башни (г. Париж, Франция) вместе с антенной равна 324 м, что составляет высоты Останкинской телебашни. Останкинская телебашня состоит из железобетонной основы и металлической части, которая короче железобетонной основы на 230 м. Какова высота железобетонной основы?

1) 324 : 3 • 5 = 108 • 5 = 540 (м) — высота Останкинской телебашни в Москве.

2) Пусть х метром составляет железобетонная основа Останкинской башни. Тогда (х — 230) м — составляет металлическая конструкция. Составим уравнение:

х + (х — 230) = 540
2х — 230 = 540
2х =  770
х = 770 : 2
х = 385 (м) — составляет железобетонная основа Останкинской башни.

Ответ: 385 м.

Готовимся к изучению новой темы

183. 1) В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 — синего цвета. Какую

часть всех шаров составляют синие? 

часть всех шаров составляют синие шары.

Ответ: часть.

2) В коробке лежит 14 шаров, из которых составляют шары красного цвета. Сколько красных шаров в коробке?

1) 14 : 7 • 3 = 2 • 3 = 6 (шт) — красные шары в коробке.

Ответ: 6 шт.

3) В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют всех шаров?

1) 6 : 3 • 7 = 2 • 7 = 14 (шт) — всего шаров в коробке.

Ответ: 14 шт.

184. Укажите, какие из дробей :

1) правильные

Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя:

2) неправильные

Неправильные дроби — это дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю.

Неправильные дроби преобразуйте в смешанные числа.

, так как 12 : 7 = 1 (ост. 5);

, так как 15 : 13 = 1 (ост. 2);

, так как 374 : 10 = 37 (ост. 4);

, так как 53 : 8 = 6 (ост. 5);

, так как 72 : 71 = 1 (ост. 1).

185. Начертите координатный луч, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:

Задача от мудрой совы

186. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных — то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Мы знаем, что изначально было нечётное количество бананов и чётное количество апельсинов. Рассмотрим разные варианты развития событий:

Сорвал	Выросло	Осталось
1 банан + 1 апельсин	1 банан	бананы — столько же — нечётное число апельсины — на 1 меньше
2 банана	1 апельсин	бананы — на 2 меньше — нечётное число апельсины — на 1 больше
2 апельсина	1 апельсин	бананы — столько же — нечётное число апельсины — на 1 меньше

Мы видим, что сколько бы фруктов не срывал садовник, бананов всегда остаётся нечётное число. Это значит, что последним фруктом (остался только 1) на дереве может быть только банан.

Ответ: последний фрукт на дереве — банан.

• Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3

---

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

2 × 3 = 6

Значит НОД (24 и 18) = 6

---

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения:  и 

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4

---

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.

---

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8

---

Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6

---

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

---

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

---

Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12

---

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900

---

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320

---

Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24

---

Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

Перемножим числа 36 и 48

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».

---

Задания для самостоятельного решения

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках