Генеральное среднее квадратическое отклонение как найти

Генеральная дисперсия

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.

Выборочная дисперсия

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

«Дисперсия: генеральная, выборочная, исправленная» 👇

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.

Исправленная дисперсия

Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $frac{n}{n-1}$, то есть

С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения

1. Числовые характеристики распределений: генеральная средняя и дисперсия; выборочная средняя и дисперсия.

.1.Генеральная
средняя.

Пусть
изучается генеральная совокупность
относительно количественного признака
Х.

 
Генеральной
средней называют среднее арифметическое
значений признака генеральной
совокупности.

Если
все значения признака различны, то

Если
значения признака имеют частоты N₁,
N₂,
…, N_k,
где N₁
+N₂+…+N_k=
N,
то

1.2.Выборочная средняя.

Пусть
для изучения генеральной совокупности
относительно количественного признака
Х извлечена выборка объема
n.

 
Выборочной
средней называют среднее арифметическое
значение признака выборочной совокупности.

Если
все значения признака выборки различны,
то

если
же все значения имеют частоты n₁,
n₂,…,n_k,
то

Выборочная
средняя является несмещенной и
состоятельной оценкой генеральной
средней.

Замечание:
Если выборка представлена интервальным
вариационным рядом, то за x_i
принимают середины частичных интервалов.

1.3. Генеральная дисперсия.

Для
того чтобы охарактеризовать рассеяние
значений количественного признака Х
генеральной совокупности вокруг
своего среднего значения, вводят сводную
характеристику — генеральную дисперсию.

 
Генеральной
дисперсией D_г
называют
среднее арифметическое квадратов
отклонений значений признака генеральной
совокупности от их среднего значения
.

Если
все значения признака генеральной
совокупности объема N
различны, то

Если
же значения признака имеют соответственно
частоты N₁,
N₂,
…, N_k,
где N₁
+N₂+…+N_k=
N,
то

Кроме
дисперсии для характеристики рассеяния
зна­чений признака генеральной
совокупности вокруг своего среднего
значения пользуются сводной характеристикой—
средним квадратическим отклонением.

 
Генеральным
средним квадратическим отклонением
(стандартом) называют квадратный корень
из генеральной дисперсии:

1.4.Выборочная дисперсия.

Для
того, чтобы наблюдать рассеяние
количественного признака значений
выборки вокруг своего среднего значения
, вводят сводную характеристику-
выборочную дисперсию.

 
Выборочной
дисперсией называют среднее арифметическое
квадратов отклонения наблюдаемых
значений признака от их среднего значения
.

Если
все значения признака выборки различны,
то

если
же все значения имеют частоты n₁,
n₂,…,n_k,
то

Для
характеристики рассеивания значений
признака выборки вокруг своего среднего
значения пользуются сводной характеристикой
— средним квадратическим отклонением.

 
Выборочным
средним квадратическим отклоненим
называют квадратный корень из выборочной
дисперсии:

Вычисление
дисперсии- выборочной или генеральной,
можно упростить, используя формулу:

Замечание:
если выборка представлена интервальным
вариационным рядом, то за x_i
принимают середины частичных интервалов.

1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочное уравнение регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии.

Статистической
называют зависимость, при которой

изменение одной
из величин влечет изменение распреде-

ления другой. В
частности, статистическая зависимость

проявляется в том,
что при изменении одной из величин

изменяется среднее
значение другой; в этом случае ста-

тистическую
зависимость называют корреляционной.

Функциона́льная
зави́симость —
концепция, лежащая в основе многих
вопросов, связанных с реляционными
базами данных,
включая, в частности, их проектирование.
Математически представляет бинарное
отношение
между множествами атрибутов данного
отношения
и является, по сути, связью типа «один
ко многим». Их использование обусловлено
тем, что они позволяют формально и строго
решить многие проблемы.

ВЗЯЛ
ИЗ УЧЕБНИКА В НЕТЕ ЕЩЕ БОЛЬШЕ .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом  (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

• Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
• Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
• Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки	Рост в миллиметрах
Ротвейлер	600
Бульдог	470
Такса	170
Пудель	430
Мопс	300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее   мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

   

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм².

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм².

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки =  мм².

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Выборочная дисперсия, описание

Выборочная дисперсия является сводной характеристикой для наблюдения рассеяния количественного признака выборки вокруг среднего значения.

Связь выборочной и генеральной дисперсии

Генеральная дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отступлений значений признаков генеральной совокупности от их среднего значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Выборочная совокупность или выборка является частью генеральной совокупности, выбранной для изучения и составления заключения касательной всей генеральной совокупности.

Как вычислить выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:

({widehat D}_В=frac{displaystylesum_{i-1}^n{(x_i-{overline x}_В)}^2}n)

Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n₁, n₂,…,n_k формула выглядит следующим образом:

({widehat D}_В=frac{displaystylesum_{i-1}^kn_i{(x_i-{overline x}_В)}^2}n)

Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:

({widehatsigma}_В=sqrt{{widehat D}_В})

Упрощенный способ вычисления выборочной или генеральной дисперсии производят по формуле:

(D=overline{x^2}-left[overline xright]^2)

Если вариационный ряд выборочной совокупности интервальный, то за x_i принимается центр частичных интервалов. 

Пример

Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:

• x_i: 1, 2, 3, 4;
• n_i: 20, 15, 10, 5.

Решение

Для начала необходимо определить выборочную среднюю:

({overline x}_В=frac1{50}(1cdot20+2cdot15+3cdot10+4cdot5)=frac1{50}cdot100=2)

Затем найдем выборочную дисперсию:

(D_В=frac1{50}({(1-2)}^2cdot20+{(2-2)}^2cdot15+{(3-2)}^2cdot10+{(4-2)}^2cdot5)=1)

Исправленная дисперсия

Математически выборочная дисперсия не соответствует генеральной, поскольку выборочная используется для смещенного оценивания генеральной дисперсии. По этой причине математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:

(Mleft[D_Bright]=frac{n-1}nD_Г)

В данной формуле D_Г – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Исправить выборочную дисперсию можно путем умножения ее на дробь:

(frac n{n-1})

Получим формулу следующего вида:

(S^2=frac n{n-1}cdot D_В=frac{displaystylesum_{i=1}^kn_i{(x_i-{overline x}_В)}^2}{n-1})

Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S². 

Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

(S=sqrt{S^2})

При нахождении выборочной и исправленной дисперсии разнятся лишь знаменатели в формулах. Различия в этих характеристиках при больших n незначительны. Применение исправленной дисперсии целесообразно при объеме выборки меньше 30.

Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию

Исправленную выборочную используют для точечной оценки генеральной дисперсии.

Пример

Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.

Решение

Сначала вычислим выборочную среднюю:

({overline x}_В=frac{92+94+103+105+106}5=100)

Затем найдем выборочную дисперсию:

(D_В=frac{displaystylesum_{i=1}^k{(x_i-{overline x}_В)}^2}n=frac{{(92-100)}^2+{(94-100)}^2+{(103-100)}^2+{(105-100)}^2+{(106-100)}^2}5=34)

Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:

(S^2=frac5{5-1}cdot34=42,5)



4.3. Оценка генеральной средней нормально распределенной совокупности

Если вы не знаете, что такое нормальное

распределение, то это, конечно, большое упущение – обязательно ознакомьтесь с материалом по ссылке. И мы сразу

разберём «заезженную» задачу, которую предлагают даже студентам-гуманитариям:

Пример 19

Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического

ожидания   с надежностью 0,95, если выборочная

средняя , а объем выборки .

Прежде всего, обращаю ваше внимание на принципиальный момент: здесь

4.3.1. Известно стандартное отклонение генеральной совокупности

Дело в том, что в похожих задачах оно бывает и не известно, и тогда решение будет отличаться! Этот случай тоже будет. А

сейчас решение таково, разбираемся в ситуации:

– из генеральной совокупности проведена выборка в  попугаев и по её результатам найдена выборочная

средняя:  (средний рост птицы).

Выборочная средняя  – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней . Как отмечалось выше, недостаток точечной оценки

состоит в том, что она может  оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал , который с вероятностью  накроет истинное значение .

Именно так! Здесь некорректно говорить, что «истинное значение  попадёт в этот интервал». Генеральная средняя – это конкретное (пусть

и не известное нам) значение, и оно не может никуда «попасть». В разных выборках мы будем получать разные значения  и разные доверительные интервалы, которые могут лишь

накрыть генеральную среднюю. А могут и не накрыть (некоторые из них).

Найдём точность оценки, она рассчитывается по формуле , где  – так

называемый коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения , где  – функция

Лапласа.

По условию, , следовательно:

И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь приложенным к курсу расчётным макетом (пункт 1*), выясняем, что значению   соответствует аргумент .

Таким образом, точность оценки:

и искомый доверительный интервал:

Этот интервал с вероятностью   (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение  среднего роста попугая. Но всё же остаётся 5%-ная вероятность

того, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.

Ответ: .

И тут возникает светлая мысль уменьшить этот интервал – чтобы получить более точную оценку. Что для этого можно сделать?

Давайте посмотрим на формулу .

Очевидно, что чем меньше стандартное отклонение (мера разброса

значений), тем уже доверительный интервал. Но это в отдельно взятой задаче ни на что не влияет – ведь нам известно

конкретное значение  и изменить его невозможно.

Поэтому для уменьшения «дельты» можно уменьшить коэффициент доверия, например, вместо  рассмотреть  и тогда , в

результате чего доверительный интервал  –

действительно стал в 2 раза короче. Но засада в том, что упала и доверительная вероятность:

пользуясь таблицей значений функции Лапласа либо расчётным макетом (пункт 1), находим:  – то есть о том, что этот более узкий интервал накроет генеральную среднюю, мы

теперь можем утверждать лишь с вероятностью 68,26%. Что, конечно, неудовлетворительно, для серьёзного

статистического исследования.

Поэтому для уменьшения доверительного интервала (при том же значении ) остаётся увеличивать объём выборки . Что совершенно понятно и без формулы , ведь чем больше объём выборки, тем точнее она характеризует генеральную совокупность

(при прочих равных условиях). Об объёме выборки мы поговорим позже, ну а пока

творческая задача для самостоятельного решения:

Пример 20

По результатам выборочного исследования  объектов найдена выборочная средняя .

1) С какой вероятностью можно утверждать, что генеральная средняя отличается от найденного значения не более чем на 3,

если известно, что генеральная совокупность распределения нормально с дисперсией 400?

2) Определить доверительный интервал, который с надежностью  накроет истинное значение генеральной средней.

Образец в конце книги, таблица либо расчётный

макет (пункты 1 и 1*) в помощь.

И тут, наверное, у вас назрели вопросы – а откуда известно, что генеральная совокупность распределена

нормально, и тем более, откуда известно её стандартное отклонение?

Обычно эта информация известна из предыдущих исследований. Классический пример – измерительный прибор. Очевидно, что его

случайные погрешности удовлетворяют условию теоремы Ляпунова, а значит, распределены

нормально. Кроме того, производитель, как правило, тестирует прибор, и указывает в его паспорте стандартное отклонение случайной погрешности, которое можно принять за

.

Но если установить нормальность распределения достаточно просто (в том числе статистическими методами), то с генеральным

значением  всё сложнее – зачастую вычислить его

трудно или невозможно. В такой ситуации остаётся ориентироваться на исправленную

выборочную дисперсию  и решение несколько

изменится.  Возвращаемся к нашей любимой задаче:

Пример 21

В результате 10 независимых измерений некоторой величины , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в

таблице:

Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение

величины  при помощи доверительного интервала,

покрывающего это значение с вероятностью 0,95.

Обратите внимание, что здесь речь идёт уже не о погрешностях прибора, а об измерениях, и помимо технических, велико

влияние других, в частности, человеческого фактора, особенно, если  вы используете махрово-аналоговый инструмент – что-нибудь

вроде механического секундомера или линейки.

Решение следует начать с вычисления выборочных характеристик, и задача облегчается тем, что в Примере

13 они уже вычислены: . По условию, требуется оценить

генеральную совокупность (а именно, параметр ),

и поэтому дисперсию нужно обязательно поправить:
 – несмещённая оценка неизвестной

генеральной дисперсии . И нас будет интересовать несмещённая оценка генерального стандартного отклонения :
 – исправленное среднее квадратическое

отклонение.

Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения  величины .

4.3.2. Если генеральная дисперсия нормального распределения не известна

то этот интервал строится по похожей формуле:

, с той поправкой, что коэффициент доверия  рассчитывается с помощью распределения Стьюдента. Я

не буду рассказывать об этом распределении и ограничусь технической стороной вопроса.

Значение   можно найти с помощью

таблицы значений распределения Стьюдента, в частности популярна таблица, специально

адаптированная для данной задачи*. И, согласно таблице, доверительной вероятности  и объёму выборки  соответствует коэффициент доверия:

* в таблице, которую можно встретить чаще, приводятся значения для так

называемого уровня значимости  и для количества

степеней свободы .

Другой, более универсальный способ – воспользоваться Экселем, и чтобы далеко не ходить, я добавил этот функционал в расчётный макет: ищем пункт 2б, забиваем значения  ,  и получаем «на выходе» .

Вычислим точность оценки:

Таким образом, искомый доверительный интервал:

 – данный интервал с вероятностью  накрывает истинное генеральное значение  измеряемой величины .

Ответ:

Для самостоятельного решения:

Пример 22

На основании  испытаний установлено, что в

среднем для изготовления шавермы полупроводникового диода требуется  секунд, а исправленное среднее квадратическое отклонение составляет  секунд. Предположив, что время изготовления диода есть нормальная

случайная величина, определить с надежностью  доверительный интервал для оценки среднего времени изготовления диода

Краткое решение в конце книги, таблица или макет (пункт 2б) – в помощь.

Итак, что главное в разобранных задачах? Главное, обратить внимание, генеральное ли нам дано отклонение  или исправленное выборочное . От этого зависит, какую формулу нужно использовать,

эту:
, где ,
или эту:
, где  отыскивается с помощью распределения Стьюдента.

При увеличении объёма выборки , распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, и поэтому уже при  во 2-м случае допускается нахождение  с помощью того же соотношения . Но я бы не рекомендовал так делать. Потому что если дано , то предполагается, что решать нужно именно через «Стьюдента», и при

наличии Экселя с этим никаких проблем – можно рассчитать любые значения, которые отсутствуют в таблицах.

Коварные авторы могут предложить «простое» выборочное отклонение , и тогда его следует поправить по формуле: , которая следует из соотношения дисперсий:

.  Иногда бывает предложена и дисперсия (та или

иная). Именно здесь нужно проявлять аккуратность, сами же вычисления достаточно примитивны.

4.4. Оценка генеральной дисперсии нормально распределенной совокупности

4.2 Интервальная оценка

| Оглавление |