запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.
Решение.
Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:
.
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
.
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).
Ответ: (0,(8)=8/9).
Формулы для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии
Содержание:
- Что такое геометрическая прогрессия
- Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Как найти q в геометрической прогрессии
- Примеры решения задач
Что такое геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число (Xn), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: (X_1, X_2)
,…,(X_n), или ({[X_n]}). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности (f(n)=X_n.)
Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом (b_1), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число (q).
Числа ( b_1) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:
(b_n=b_{n-1}cdot q,)
Где (b_n) — (n-й) член прогрессии, (q) — знаменатель прогрессии.
Геометрическая прогрессия может быть задана рекуррентным соотношением:
(b_1=b,) (b_{n+1}=b_ncdot q,) (nin N,) (bneq0), (qneq0.)
Примечание
Рекуррентное соотношение задается формулой, выражающей (Xn) через предшествующие ему члены последовательности.
Примеры геометрических прогрессий:
- 1, 2, 4, 8, 16, 32 …; (b_1 = 1), (q = 2;)
- 1, 3, 9, 27, 81…; (b_1 = 1), (q = 3;)
- 2, -8, 32, -128, 512…:(b_1 = 2), (q = -4.)
Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, рассчитывается как модуль среднего геометрического соседних членов:
(left|b_nright|=sqrt{b_{n-1}cdot b_{n+1}},) (ngeq2, )
или
(b_n^2=b_{n-1}cdot b_{n+1}.)
Если (b_1 > 0) и (q > 1) или (b_1 < 0) и (0 < q < 1), то для геометрической последовательности характерно возрастание.
Если (b_1 > 0) и 0 < (q < 1) или (b_1 < 0) и (q > 1), то для нее характерно убывание.
Примеры геометрических прогрессий в жизни:
- Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
- Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
- Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии.
- Начисление процентов по вкладу в банках может осуществляться по простой или сложной схеме: соответственно, проценты начисляются либо по арифметической, либо по геометрической прогрессиям.
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы (|q| <1.)
Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:
(S=frac{b_1}{1-q}.)
Доказательством этой формулы является то, что величина (q^n) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.
Пример такой прогрессии:
1, (frac12,) (frac14,) (frac18), (frac1{16},…)
Если (q=1), то для вычисления суммы (S_n) первых n членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:
(S_n=b_1+…+b_n=frac{b_1-b_nq}{1-q}=frac{b_1left(1-q^nright)}{1-q}.)
Если (q≠1), то формула видоизменяется в:
(S_n=b_1n.)
Также для объяснения формулы, введем другое обозначение суммы первых членов прогрессии:
(S_n=b_1+b_2+…+b_n.)
Тогда можно видоизменить формулу нахождения суммы (S_n) первых n членов геометрической прогрессии:
(S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}.)
Как найти q в геометрической прогрессии
Вычисление знаменателя прогрессии (q) осуществляют через выведение из формулы на нахождение общего члена геометрической прогрессии:
(b_n=b_1q^{n-1} )
Отсюда:
(q=frac{b_{n+1}}{b_n}.)
Примеры решения задач
Задача № 1
Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 35. Сумма первых 5 членов в 49 раз больше суммы их обратных величин.
Найти знаменатель и первый член геометрической прогрессии.
Решение:
По условиям задачи:
(b_1+b_1q^2=35.,)
(b_1left(1+q+q^2+q^3+q^4right)=49left(frac1{b_1}+frac1{b_1q}+frac1{b_1q^2}+frac1{b_1q^3}+frac1{b_1q^4}right).) (2)
Так как (1+q+q^2+q^3+q^4neq0) (иначе задача теряет смысл), то равенство (2) можно записать в виде:
(b_1^2q^4=49. ) (3)
Из (3) следует, что либо (b_1q^2=7,) либо (b_1q^2=-7.)
Если равно 7, то из (1) находим (b_1=28,) (q^2={textstylefrac14}), откуда (q=pmfrac12 )
Если равно -7, (b_1=42,) (\q^2=-{textstylefrac16}). В этом случае второе условие задачи теряет смысл.
Конечный результат:
(b_1=28,) (q=pmfrac12. )
Задача № 2
(S_n) — сумма первых n членов геометрической прогрессии.
Доказать, что: (S_nleft(S_{3n}-S_{2n}right)=left(S_{2n}-S_nright)^2). (1)
Доказательство:
Пусть (b_k — k-й) член, (q)— знаменатель геометрической прогрессии. Тогда:
(S_{m+k}=S_m+b_1q^m+b_1q^{m+1}+…+b_1q^{m+k-1},)
откуда:
(S_{m+k}-S_m=q^mleft(b_1+b_1q+…+b_1q^{k-1}right))
или
(S_{m+k}-S_m=q^mS_k) (2).
Полагая в (2) сначала (m = 2_n,) (k = n), а затем (m = n), (k = n), получаем
(S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}cdot S_n), (S_{2n}-S_n=q^ncdot S_n.) (3)
А из равенств (3) следует равенство (1).
Задача № 3
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4. Сумма возведенных в третью степень ее членов равна 192.
Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
Решение:
Обозначим: (b_1) — первый член, (S) — сумма прогрессии, (q) — знаменатель, (S_1) — сумма возведенных в третью степень ее членов.
Тогда
(S=frac{b_1}{1-q}),( S_1=frac{b_1^3}{1-q^3}.)
Далее получаем
(frac{S^3}{S_1}-frac{1-q^3}{{(1-q)}^3}=frac{4^3}{192}=frac13 )
(3(1+q+q^2)=1-2q+q^2,;qneq1..)
Полученное уравнение, записанное в виде
(2q^2+5q+2=0)
имеет корни (q_1 = −2,) (q_2 = − ½.)
Так как (|q| < 1), отбрасываем первый корень.
Следовательно:
(q=-frac12,;b_1=4(1-q)=6.)
Задача № 4
(S_n)первых трех членов геометрической прогрессии равна 351. (S_n) следующих трех членов равна 13.
Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение:
Запишем условия задачи в виде системы уравнений:
(left{begin{array}{l}b_1+b_2+b_3=351,\b_4+b_5+b_6=13end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}b_1+b_1q+b_1q^2=351,\b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=13end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}b_1(1+frac13+frac19)=351,\q=frac13end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{13}9b_1=351,\q=frac13end{array}Leftrightarrowleft{begin{array}{l}b_1=frac{351cdot9}{13}=243,\q=frac13.end{array}right.right..)
Ответ: (b_1=243,;q=frac13.)
Задача № 5
Геометрическая прогрессия содержит четное число членов. Их сумма в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах.
Найти знаменатель прогрессии?
Решение:
Определим, что в прогрессии 2n членов и (S_{2n}) — сумма всех членов, а (S_n^ast) — сумма членов, стоящих на нечетных местах.
Тогда (S_{2n}=frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}.)
И
(S_n^ast=b_1+b_3+…+b_{2n-1}=b_1+b_1q^2+…+b_1q^{2n-2}=frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}.)
Где (b_1) — первый член прогрессии, а (q ≠ 1) — знаменатель прогрессии.
По условию задачи:
(S_{2n}=3S_n^astRightarrowfrac{b_1(1-q^{2n)}}{`1-q}=3frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}Rightarrow1+q=3Rightarrow q=2.)
Ответ: (q=2. )
Геометрическая прогрессия
- Понятие геометрической прогрессии
- Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Свойства геометрической прогрессии
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Примеры
п.1. Понятие геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой bn, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена bn-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.
2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm{q=-frac13}).
п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии
По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:
b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…
Получаем:
bn = b1qn-1
Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})
п.3. Свойства геометрической прогрессии
Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение
Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqn: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$
При b1 > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт
При b1 > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает
Свойство 2. Признак геометрической прогрессии
Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} — text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$
Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})
Свойство 3. Равенство сумм индексов
Если {bn} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$
Например:
Найдём b6, если известно, что b2 = 5, b4 = 10, b8 = 40
По равенству сумм индексов b2b8 = b4b6
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})
п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$
Если учесть, что bn = b1qn-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$
Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 22 + 23 + … + 210
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm{3280frac49})
б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069
Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8
Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b4=b2q2, b5=b3q2. Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b7 = b1q6 = 0,1 · 26 = 6,4
Ответ: b1 = 0,1; b7 = 6,4
Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b3 = b1q2, b_4=b_2q2. Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6
Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти
N = N0 · 2n, где N0 = 1
N = 272 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 1021
Ответ: 4,7 · 1021 бактерий
16
Июл 2013
Категория: Справочные материалы
Геометрическая прогрессия
2013-07-16
2021-06-28
А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать
Определение
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) 
, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число 
(знаменатель прогрессии):
, где 
Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая (
)
Геометрическая прогрессия
Знаменатель геометрической прогрессии
, 
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
для 
Последовательность 
является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.
В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: 
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
, где 
(если же 
, то 
)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
При 
, геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число 
и 
Посмотри это видео
Примеры
Пример 1. Последовательность {} –геометрическая прогрессия.
Найдите 
, если 
, 
Решение: + показать
Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой 
Решение: + показать
Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 
, а одиннадцатый член равен 
Решение: + показать
Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии
Решение: + показать
Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {}, в которой 
Решение: + показать
Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число 
Решение: + показать
Пример 7. Найдите 
, если известно, что числа 
являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Решение: + показать
Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно 
Решение: + показать
Пример 9. Между числами 
и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия 
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»
Автор: egeMax |
комментариев 5
Печать страницы
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b1, b2, … , bn, …, для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
bn+1 = bn ⋅ q
где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и bn ≠ 0.
Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, … является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.
Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:
- Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b1
Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, … со знаменателем q = 2.
- Если q < 0, тогда знаки членов геометрической прогрессии чередуются
Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, … со знаменателем q = –3.
- Если –1 < q < 1, тогда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей
Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, … со знаменателем q = 0.5.
Основные формулы геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:
q = bn+1 / bn
Члены геометрической прогрессии
Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:
bn = b1 ⋅ qn — 1
Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:
bn+1 = bn ⋅ q
Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:
bn-1 = bn / q
Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:
bn = √bn-1 ⋅ bn+1, где n > 1
Сумма геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна
Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q), где q ≠ 1
Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:
Sn = (b1 — bn ⋅ q) / (1 — q), где q ≠ 1
Решение задач на геометрическую прогрессию
Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.
Задача 1:
Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.
Решение:
b1 = 3
q = 6 / 3 = 2
b8 = b1 ⋅ q7 = 3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 128 = 384
S10 = b1 ⋅ (1 — q10) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 210) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069
Ответ: 384 и 3069
Задача 2:
Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.
Решение:
Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:
486 = 2 ⋅ 3n — 1
243 = 3n — 1
35 = 3n — 1
n — 1 = 5
n = 6
Ответ: 6
Задача 3:
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b1 = –3, q = 2. Найти n.
Решение:
Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:
Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q)
–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (1 — 2)
–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (–1)
–31 = 1 — 2n
2n = 32
n = 5
Ответ: 5