Геометрия как найти длину параллельно основанию - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Теорема прямая параллельная основанию треугольника

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` — в `B_1`, `C` — в `C_1`.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

1. Пусть `O` — точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MOparallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому

2. $$ ADparallel BC$$, `Delta AOD

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MNparallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

1. Пусть $$ BFVert CD$$ и $$ MEVert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` — параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x — a`; `AE = 5a — x`. Итак, имеем `(5a — x)/(x — a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` — прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` — прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12б), угол `C` — острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cos C =b cos C;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cos C =a cos C,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12в), угол `C` — тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.

`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ — /_ C`, `cos varphi = — cos C = |cos C|`.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cosvarphi =b |cos C|;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cosvarphi =b |cos C|,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Так как `BB_1` — высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.

Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ — /_B`, т. е. луч `B_1B` — биссектриса угла `A_1B_1C_1`.

Аналогично доказывается, что `A A_1` — биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` — биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ — C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` — острый, `/_ C = 45^@`.

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` — биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).

Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` — биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ ADVert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

Пусть `AD` — биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

Прямая, параллельная стороне треугольника

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Дано : ∆ ABC,

В треугольниках ABC и A1BC1

1) ∠BAC=∠BA1C1 (как соответственные при AC ∥ A1C1 и секущей AB)

Следовательно, треугольники подобны:

Что и требовалось доказать .

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции пересекаются в точке M. Большее основание трапеции AD равно 24 см, МС=5 см, CD=7см. Найдите меньшее основание трапеции.

Дано : ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

AD=24 см, BM=12 см, AB=6 см

В треугольнике AMD BC — прямая, параллельная стороне AD и пересекающая две другие его стороны AM и DM. Следовательно, она отсекает от него подобный треугольник:

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

Если бы в задаче вместо AD и BC была задействована зависимость между MC и MD, достаточно было бы применить обобщенную теорему Фалеса для угла AMD:

«Если через точку, взятую на боковой стороне треугольника провести прямую, параллельную основанию этого треугольника то она отсечет треугольник подобный данному» (признак подобия треугольников)

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

1. Некоторые базовые теоремы геометрии.

Базовая теорема 1

«Если через точку , взятую на боковой стороне треугольника провести прямую , параллельную основанию этого треугольника то она отсечет треугольник подобный данному» (признак подобия треугольников).

В треугольнике ( — основание треугольника) через точку на стороне проведен отрезок , пересекающий сторону в точке .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— отрезок проведенный через точку и пересекающий основание в точке .

2. С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов »

(выражающей отношение между углами , образованными при пересечении двух параллельных прямых третьей) установить отношение между углами при условии что .

3.Установить отношение между углами при условии что .

4.С помощью теоремы

«Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

5.С помощью теоремы

«Если треугольники подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами при условии что .

6.С помощью теоремы

«Если четырехугольник является параллелограммом то противоположные стороны в нем равны»

(выражающей свойство сторон в параллелограмме) установить отношение между отрезками при условии что .

7.Перейти от пропорции к пропорции

7. С помощью теоремы

«Если угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника , а стороны этого угла в первом треугольнике соответственно пропорциональны сторонам угла во втором треугольнике то такие треугольники будут подобны»

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум сторонам и углу между ними) установить отношение между треугольниками при условии что .

Базовая теорема 2

«Если на сторонах угла отложить пропорциональные отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые то на второй стороне угла образуются пропорциональные отрезки с тем же коэффициентом пропорции» (теорема Фалеса)

На стороне угла от вершины отложены отрезки так что .Через точки проведены параллельные между собой прямые пересекающие вторую сторону угла соответственно в точках .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— отрезок проведенный через точку параллельно стороне и пересекающий сторону в точке .

2. С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов »

3.С помощью теоремы

5.С помощью теоремы

«Если треугольники подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

6.С помощью теоремы

«Если четырехугольник является параллелограммом то противоположные стороны в нем равны»

(выражающей свойство сторон в параллелограмме) установить отношение между отрезками при условии что .

7.Перейти от пропорции к пропорции .

Базовая теорема 3

«Если на каждой из боковых сторон треугольника взято по одной точке так что отрезки на одной стороне пропорциональны отрезкам на другой стороне с тем же коэффициентом пропорции то отрезок , соединяющий эти точки будет параллелен третьей стороне» (теорема обратная теореме Фалеса).

В треугольнике точки взяты соответственно на сторонах так что .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

2.С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой то образуются пары равных углов»

(выражающей свойство углов , образованных параллельными прямыми) определить отношение между парами углов при условии что .

3.С помощью теоремы

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум углам) определить отношение между треугольниками при условии что .

4.С помощью теоремы

«Если два треугольника подобны то стороны лежащие в треугольниках против равных углов будут пропорциональны»

(выражающей отношение между сторонами в подобных треугольниках) определить отношение между сторонами при условии что .

5.Сравнить между собой пропорции .

6.С помощью теоремы

«Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны то он являеься параллелограммом»

(выражающей признак того что четырехугольник является параллелограммом) определить отношение между при условии что .

Базовая теорема 4

«Если в треугольнике через середину боковой стороны провести прямую , параллельную основанию треугольника то она разделит пополам смежную сторону» (частный случай теоремы Фалеса).

В треугольнике через точку , лежащей на середине стороны проведен отрезок .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— дополнительное построение.

2.С помощью теоремы

«Если четырехугольник является параллелограммом то его противоположные стороны равны между собой»

(выражающей свойство сторон в параллелограмме) определить отношение между сторонами при условии что .

3.Определить отношение между отрезками при условии что .

4.С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов»

(выражающей отношение между углами , образованными при пересечении двух параллельных прямых третьей) определить отношение между углами при условии что

5.С помощью теоремы

«Если в двух треугольниках две стороны и угол в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу в другом треугольнике то такие треугольники будут конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности двух треугольников по стороне и двум углам прилежащим к этой стороне) определить отношение между треугольниками при условии что .

6.С помощью теоремы

«Если два треугольника конгруэнтны то в этих треугольниках против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей свойство сторон в конгруэнтных треугольниках) определить отношение между сторонами при условии что .

Базовая теорема 5

«Если два треугольника подобны то отношение величин площадей этих треугольников равно квадрату отношение величин пропорциональных сторонв этих треугольниках» (свойство площадей в подобных треугольниках).

В треугольнике ( — основание треугольника) через точку на стороне проведен отрезок , отсекающий треугольник .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

— коэффициент пропорциональности сторон в подобных треугольниках;

— высота в треугольнике ;

— высота в треугольнике

2.С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов»

3.С помощью теоремы

«Если два прямоугольных треугольника имеют равный острый угол то они подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников) определить в отношение между треугольниками при условии что .

4.С помощью теоремы

«Если треугольники подобны то строны лежащие против равных углов пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) определить отношение между сторонами при условии что .

5.С помощью формулы

(выражающей площадь треугольника с помощью основания и высоты) найти при условии что .

Базовая теорема 6

«Если отрезок соединяет середины двух смежных сторон треугольника то он параллелен третьей стороне и его длина равна половине длины третьей стороны» (свойство средней линии треугольника).

В треугольнике ( — основание треугольника) на сторонах выбраны соответственно точки так что .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

— отрезок проведенный через точку параллельно стороне и пересекающий продолжение в точке .

1. С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов »

2.С помощью теоремы

«Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла то такие углы равны»

(выражающей признак равенства углов с общей вершиной) установить отношение между углами .

3.С помощью теоремы

«Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности треугольников по стороне и двум углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

4.С помощью теоремы

«Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей свойство сторон в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между сторонами при условии что

5.Установить отношение между отрезками при условии что

6.С помощью теоремы

«Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны то он является параллелограммом»

(выражающей признак параллелограма) установить отношение между сторонами при условии что

1.Установить отношение между отрезкам при условии что .

Базовая теорема 7

«Если отрезок соединяет середины боковых сторон трапеции то он параллелен основаниям и его длина равна полусумме длин оснований» (свойство средней линии трапеции).

В трапеции ( — соответственно нижнее и верхнее основание) проведена средняя линия () ,

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— отрезок, проходящий через точку , который пересекает продолжение основания (в сторону вершины ) в точке .

1.С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов »

2.С помощью теоремы

«Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла то такие углы равны»

(выражающей признак равенства углов с общей вершиной) установить отношение между углами .

3.С помощью теоремы

4.С помощью теоремы

«Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных углов лежат равные стороны»

5.С помощью теоремы

«Если в треугольнике проведена средняя линия то она параллельна основанию»

(выражающей свойство средней линии треугольника) установить отношение между отрезками при условии что .

1.С помощью теоремы

«Если в треугольнике провести среднюю линию то ее длина будет равна половине длины основания»

(выражающей свойство средней линии треугольника) найти при условии что .

Базовая теорема 8

«Если в треугольнике из вершины угла проведена биссектриса то он делит сторону противоположную вершине на части пропорциональные сторонам угла» (свойство биссектрисы угла в треугольнике).

В треугольнике проведена виссектриса угла .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

— соответственно перпендикуляры опущенные из точки на стороны ;

— высота опущенная из вершины на основание .

2.С помощью теоремы

«Если точка находится на биссектрисе угла то она равноудалена от сторон этого угла»

(выражающей свойство точек , находящихся на биссектрисе) установить отношение между отрезками при условии что .

3.С помощью формулы

(выражающей площадь треугольника с помощью основания и высоты) найти площади треугольников .

4.Перейти от систем уравнений к пропорции при условии что .

Базовая теорема 9

«Если в окружности проведены две пересекающиеся хорды то произведение длин частей одной хорды равно произведению длин частей другой хорды» (пропорциональные отрезки в круге).

В окружности с центром даны две хорды , пересекающиеся в точке .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы

«Если вписанные углы опираются на одну дугу то они равны между собой»

(выражающей свойство вписанных углом) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы

«Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то треугольники подобны»

(выражающей признак подобия треугольнико по двум углам) установит отношение между треугольниками при условии что .

3.С помощью теоремы

«Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

4.Перейти от пропорции к произведению .

Базовая теорема 10

«Если из точки, лежащей вне окружности, проведены к окружности две касательные то длины отрезков этих касательных от данной точки до точек касания равны» (свойство касательных, проведенных к окружности).

Из точки , находящейся вне окружности проведены к окружности две касательные ( — точки касания).

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

— центр окружности;

— радиусы окружности;

— отрезок , соединяющий центр окружности с данной точкой;

2.С помощью теоремы

«Если вершина угла находится на окружности , а сторонами угла являются радиус и касательная к окружности то угол равен »

(выражающей свойство угла, связанного с окружностью) установить величины углов .

3.С помощью теоремы

«Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответствующим катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника то такие треугольники конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе) установить отношение между треугольниками при условии что .

4.С помощью теоремы

«Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей свойство сторон в конгруэнтных прямоугольных треугольникфх) установить отношение между сторонами при условии что .

Базовая теорема 11

«Если из точки, лежащей вне окружности, к окружности проведены касательная и секущая то произведение длины секущей на часть ее длины, не содержащейся в круге. равно квадрату длины касательной» (свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности).

Из точки , лежащей вне окружности , проведена касательная к окружности и прямая , пересекающая окружность соответственно в точках .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы

«Если угол образован двумя хордами или касательной и хордой то он измеряется половиной дуги , на которую он опирается»

(выражающей свойство углов , связанных с окружностью) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы

(выражающей признак подобия треугольников по двум углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

3.С помощью теоремы

«Если два треугольника подобны то стороны в них лежащие против равных углов будут пропорциональны»

4.Перейти от пропорции к равенству .

Базовая теорема 12

«Если из точки, лежащей вне окружности, проведены к окружности две секущие то произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей» (свойство секущих, проведенных из одной точки к окружности).

Из точки , находящейся вне окружности к окружности проведена секушая ,пересекающая окружность в точках и секущая , пересекающая окружность в точках .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы

«Если угол образован двумя хордами то он измеряется половиной дуги , на которую он опирается»

(выражающей способ измерения вписанного угла) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы

3.С помощью теоремы

«Если два треугольника подобны то стороны в них лежащие против равных углов будут пропорциональны»

п.2 Решение некоторых задач по планиметрии.

В треугольнике .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы

«Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов »

2.С помощью теоремы

«Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники будут конгруэнтны»

(выражающе признак конгруэнтности двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

1.С помощью теоремы

«Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных сторон лежат равные углы»

(выражающей отношение между углами в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между сторонами .

2.С помощью определения

«Четырехугольник , противоположные стороны которого параллельны, называется параллелограммом»

(выражающего определение параллелограмма) определить вид четырехугольника при условии что .

3.С помощью теоремы

«Если четырехугольник является параллелограммом то в нем противоположные стороны равны»

(выражающей отношение между противоположными сторонами в параллелограмме) установить отношение между сторонами .

4.Установить отношение между сторонами при условии что

В треугольнике три высоты пересекаются в точке .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то сумма острых углов в нем равна »

(выражающей связь между углами в прямоугольном треугольнике) установить связь между углами .

1.С помощью теоремы «Если острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равен острому углу другого прямоугольного треугольника то такие прямоугольные тругольники будут подобны» (выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу) установить отношение между прямоугольными треугольниками .

2.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны , лежащие против равных углов будут пропорциональны» (выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами .

3.Определить связь между пропорциями .

4.С помощью теоремы «Если угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника , а стороны угла в первом треугольнике соответственно пропорциональны сторонам угла во втором треугольнике то такие треугольники будут подобны»

5.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то углы лежащие против пропорциональных сторон будут равны между собой»

(выражающей отношение между углами в подобных треугольниках) установить отношение между углами при условии что .

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу) установить отношение между прямоугольными треугольниками .

2.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны , лежащие против равных углов будут пропорциональны»

(выражающей отношение между сторонами в двух подобных треугольниках) определить отношение между сторонами .

3.Определить связь между пропорциями .

4. С помощью теоремы «Если угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника , а стороны угла в первом треугольнике соответственно пропорциональны сторонам угла во втором треугольнике то такие треугольники будут подобны»

5.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то против пропорциональных сторон лежат равные углы»

(выражающей отношение между углами в двух подобных треугольниках) установить отношение между углами при условии что

6.Установить отношение между углами при условии что .

В равнобедренном треугольнике проведена медиана к боковому ребру ..

1.Доказать что — равносторонний.

2.Известно что .Вычислить длину стороны треугольника и его площадь.

Алгоритм управления решением:

1.Ввест следующие обозначения в :

— основание треугольника; — по построению; ;

1.С помощью теоремы «Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой то эти прямые параллельны»

(выражающей признак параллельности прямых) установить отношение между прямыми .

2.С помощью теоремы «Если на одной стороне угла отложены пропорциональные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые то на другой стороне углы отложаться отрезки с сохранением пропорциональности»

(выражающей сохранение пропорциональности отрезков) установить отношение между отрезками .

3.С помощью теоремы «Если отрезок соединяет середины боковых сторон треугольника то он параллелен основанию треугольника и длина его равна половине длины основания»

(выражающей свойство средней линии треугольника) установить отношение между отрезками .

4.С помощью теоремы «Если в прямоугольном треугольнике имеется угол в тридцать градусов то длина катета , лежащего против этого угла равна половине гипотенузы этого треугольника»

(выражающей свойство угла в прямоугольном треугольнике) установить тношение между отрезками .

5.Установить отношение между отрезками при условии что .

6.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведены две медианы то они пересекаются в одной точки и делят друг друга на части , считая от вершины»

(выражающей свойство медиан треугольника) установить отношение между отрезками при условии что .

7.С помощью теоремы «Если треугольник равнобедренный то в нем равны углы при основании»

(выражающей свойства углов при основании равнобедренного треугольника) установить отношение между углами .

8.С помощью теоремы «Если угол является внешним к треугольнику то его величина равна сумме двух величин углов треугольника , которые не являются смежными к этому углу»

(выражающей свойство внешнего угла треугольника) установить отношение между углами .

9.Решить уравнение при условии что .

10.С помощью теоремы «Если в любом треугольнике сложить величины всех его углов то сумма будет равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) найти величины углов треугольника при условии что .

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов»

(выражающей связь гипотенузы и катетов в прямоугольном треугольнике) установить отношение между отрезками .

2.Решить уравнение при условии что .

3.С помощью формулы

(выражающей площадь треугольника с помощью длины основания и высоты) вычисления площади треугольника найти площадь при условии что .

Ответ: 2..

В прямоугольном треугольнике через точку , лежащую на гипотенузе , проведен перпендикуляр , пересекающий катет в точке и продолжение катета (в сторону вершины ) в точке . .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то в нем квадрат гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов»

(выражающей связь между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике) найти отношение между сторонами .

2.Решить уравнение при условии что .

3.С помощью теоремы «Если угол одного прямоугольного треугольника равен соответствующему углу другого прямоугольного треугольника то эти треугольники подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по равному острому углу) установить отношение между треугольниками .

4.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

(выражающей отношение между сторонами в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами при условии что .

5.Решить уравнение при условии что .

6.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то в нем квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов»

(выражающей связь между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике) установить отношение между сторонами .

7.Решить уравнение при условии что .

8. С помощью теоремы «Если угол одного прямоугольного треугольника равен соответствующему углу другого прямоугольного треугольника то эти треугольники подобны»

9.С помощью теоремы «Если два подобных треугольника имеют равную сторону , лежащую против равного угла то они конгруэнтны»

(выражающей связь между конгруэнтностью и подобием треугольников) установить отношение между треугольниками при условии что .

В треугольнике проведена медиана и биссектрисы соответственно углов .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если из вершины угла треугольника проведена биссектриса к некоторой стороне то она делит эту сторону пропорционально сторонам угла»

(выражающей свойство биссектрисы угла в треугольнике) определить отношение между сторонами .

2.Сравнить пропорции при условии что .

3.С помощью теоремы «Если на сторонах угла отложены отрезки так что на каждой из сторон сохраняется пропорциональность отрезков и если концы отрезков соединены соответствующим образом прямыми то эти прямые параллельны»

(выражающей свойство прямых , соединяющих пропорциональные отрезки) определить отношение между при условии что .

Дан параллелограмм ( — верхняя и нижняя стороны соответственно). На сторонах построены соответственно квадраты соответственно.

Доказать что треугольник является прямоугольным равнобедренным.

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— продолжение стороны в сторону вершины

1.С помощью теоремы «Если в двух треугольниках имеются две соответственно равные стороны и углы , заключенные между этими сторонами равны то токие треугольники будут конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности треугольников по двум сторонам и углу между ними) определить отношение между треугольниками при условии что .

2.С помощью теоремы «В конгруэнтных треугольниках против равных сторон лежат равные углы , а против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей связь между сторонами и углами в конгруэнтных треугольниках) определить отношение между сторонами и также между парами углов при условии что .

3.С помощью теоремы «Если в треугольнике сложить величины всех углов то сумма равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) найти сумму величин .

4.Найти сумму величин углов при условии что .

5.Решить уравнение при условии что .

В треугольнике проведена медиана к стороне так что

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если треугольник равнобедренный то в нем углы при основании равны по величине»

(выражающей свойство углов в равнобедренном треугольнике) определить отношение между углами при условии что .

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике сложить величины всех углов то сумма равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) найти сумму величин .

3.Решить уравнение при условии что .

В треугольнике проведена средняя линия треугольника параллельная основанию треугольника и биссектриса , пересекающая среднюю линию в точке .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведена средняя линия то она параллельна основанию»

(выражающей свойство средней линии треугольника) определить отношение между прямыми .

2.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

3.Определить отношение между углами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если в треугольнике два угла равны то этот треугольник равнобедренный»

(выражающей признак равнобедренности треугольника) определить отношение между отрезками при условии что .

5.С помощью теоремы «Если в треугольнике медиана проведенная к некоторой стороне равна половине этой стороны то медиана проведена из вершины прямого угла»

(выражающей свойство медианы в прямоугольном треугольнике) определить величину угла при условии что .

В квадрате ( — нижнее основание) диагонали пересекаются в точке . Биссектриса угла персекает диагональ в точке и сторону в точке .

1.Найти отношения .

2.Доказать что -равнобедренный.

3.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

— длина стороны квадрата;

(выражающей отношение между сторонами в прямоугольном треугольнике) определить отношение между сторонами .

2.Решить уравнение при условии что .

3.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведена биссектриса угла , лежащего против некоторой стороны то она делит эту сторону на части пропорциональные сторонам угла»

(выражающей свойство биссктрисы угла треугольника) определить отношение между отрезками .

4.Найти отношения из пропорций при условии что .

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то сумма острых углов в нем равна »

(выражающей свойство углов в прямоугольном треугольнике) найти углы .

2.С помощью теоремы «Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла то такие углы равны»

(выражающей свойство углов , имеющих общую вершину) определить отношение между углами .

3.Определить отношение между углами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если в треугольнике два угла равны между собой то этот треугольник равнобедренный»

(выражающей признак равнобедренности треугольника) определить отношение между сторонами при условии что .

1.Определить отношение между отрезками при условии что .

В прямоугольном треугольнике проведены отрезки . Известно что .

Найти .

Алгоритм управления решением:

1. С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов»

(выражающей отношение между сторонами в прямоугольном треугольнике) определить отношение между сторонами .

2.Решить уравнение при условии что .

3.С помощью теоремы «Если в двух прямоугольных треугольниках имеется общий острый угол то они подобны»(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников) определить отношение между треугольниками .

4.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов будут пропорциональны»

5.Решить уравнение при условии что .

6.С помощью теоремы «Если в треугольнике провести отрезок параллельный основанию то он отсекает треугольник подобный данному»

(выражающей признак подобия двух треугольников) определить отношение между треугольниками .

7. С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов будут пропорциональны»

5.Решить уравнение при условии что

Ответ:

В трапеции ( — соответственно нижнее и верхнее основания) через точку (точка пересечения диагоналей трапеции ) проведен отрезок . .

Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

2.С помощью теоремы «Если в двух треугольниках имеются два равных общих угла то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум углам)

определить отношение между треугольниками при условии что .

3.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов будут пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) определить отношение между сторонами

4.Определить отношения исходя из пропорции при условии что

5.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведен отрезок параллельный основанию то он отсекает треугольник подобный данному»

(выражающей признак подобия треугольников)

определить отношение между треугольниками при условии что .

6.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) определить отношение между сторонами при условии что

с при условии что

Ответ:

В прямоугольнике ( — соответственно нижняя и верхняя стороны) диагонали пересекаются в точке . Сторона продлевается в сторону вершины на отрезок . Известно что .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если в прямоугольном треугольнике гипотенуза вдвое больше катета то угол лежащий против катета равен »

(выражающей связь сторон в прямоугольном треугольнике) найти величину угла .

2.С помощью теорем : «Если четырехугольник является прямоугольником то его диагонали равны»

(выражающей свойство диагоналей прямоугольника),

«Если четырехугольник является параллелограммом то его диагонали в точке пересечения делятся на две равные части»

(выражающей свойство диагоналей параллелограмма) определить отношение между отрезками при условии что является одновременно параллелограммом и прямоугольником.

3.С помощью теорем: «Если фигура является треугольником то сумма углов в ней равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) ,

«Если треугольник является равнобедренным то в нем равны углы при основании»

(выражающей свойство углов равнобедренного треугольника) определить величины углов треугольника при условии что .

4.Определить отношение между отрезками при условии что

5.С помощью теорем: «Если фигура является треугольником то сумма углов в ней равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) ,

«Если треугольник является равнобедренным то в нем равны углы при основании»

(выражающей свойство углов равнобедренного треугольника) определить величину угла при условии что и также .

6.Определить величину угла при условии что .

1.С помощью теоремы «Если в вдух треугольниках имеется пара соответственно равных сторон и углы , заключенные между этими сторонами равны то треугольники конгруэнтны»

(выражающая признак конгруэнтности двух треугольников по двум сторогам и углу между ними) определить отношение между треугольниками при условии что .

2.С помощью теоремы «Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных углов лежат равные стороны»

В трапеции ( — соответственно нижнее и верхнее основания причем ) через точку проведена прямая параллельная к диагонали трапеции , которая пересекает продолжение основания (в сторону вершины ) в точке . Диагонали трапеции пересекаются в точке . Площадь треугольника .

Найти .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

— длина стороны меньшего основания;

— высота в треугольнике ;

— высота в треугольнике

2.С помощью формулы

(выражающей площадь треугольника с помощью основания и высоты) найти площадь треугольника .

3. С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

2.С помощью теоремы «Если в двух треугольниках имеются два равных общих угла то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум углам)

определить отношение между треугольниками при условии что .

3.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то отношение сторон равно отношению соответствующих высот»

(выражающей свойство между сторонами и высотами в подобных треугольниках) определить отношение между отрезками при условии что

4.Решить уравнение при условии что .

5.С помощью формулы

(выражающей площадь трапеции с помощью основания и высоты) найти при условии что .

6.С помощью формулы

(выражающей площадь треугольника с помощью основания и высоты) найти площадь треугольника при условии .

7.Найти при условии что .

Ответ:

В треугольнике проведена медиана на сторону . Отрезки пересекаются в точке .Отрезки параллельны между собой. Известно что .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— отрезок параллельный и пересекающий в точке .

2.С помощью определения «Четырехугольник , у которого противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом»

(выражающим определение параллелограмма) определить вид четырехугольника при условии что .

3.С помощью теоремы «Если четырехугольник является параллелограммом то его противоположные стороны равны»

(выражающей свойство сторон в параллелограмме) определить отношение между отрезками .

4.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

5.Определить отношение между углами при условии что .

6.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

7.С помощью теоремы «Если в двух треугольниках имеется по одной равной стороне и по двум углам, которые прилежат к этой стороне то такие треугольники будут конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности двух треугольников по стороне и двум углам) определить отношение между треугольниками при условии что

8.С помощью теоремы «Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных углов лежат равные стороны»

9.Определить отношение между отрезками при условии что

1.С помощью теоремы «Если в треугольнике провести отрезок параллельный основанию то он отсечет треугольник подобный данному»

(выражающей способ построения треугольника

подобного данному) определить отошение между треугольниками при условии что .

2.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов будут пропорциональны»

3.Определить отношение исходя из пропорции при условии что .

Ответ: 2.

В параллелограмме ( — соответственно нижняя и верхняя стороны) точка наъодится на стороне так что . Продолжение отрезка (в сторону точки встречается с продолжением стороны (в сторону вершины ) в точке . Известно что .

1.Найти площадь треугольника .

2.Найти площадь треугольника .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла то такие углы равны»

(выражающей свойство углов с общей вершиной) определить отношение между углами .

2. С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

3.С помощью теоремы «Если в двух треугольниках имеется по два соответственно равных угла то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум углами) определить отношение между треугольниками при условии что .

4.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то отношение их площадей равно квадрату отношения их пропорциональных сторон»

(выражающей свойство площадей в подобных треугольниках) определить отношение между при условии что .

5.Решить уравнение при условии что .

1.Определить отношение между отрезками при условии что .

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике провести отрезок параллельный основанию то он отсекает треугольник подобный данному»

(выражающей способ построения треугольник подобный данному) определить отношение между треугольниками при условии что .

3. С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то отношение их площадей равно квадрату отношения их пропорциональных сторон»

(выражающей свойство площадей в подобных треугольниках) определить отношение между при условии что .

4.Решить уравнение при условии что .

Ответ: ; 2.

В равнобедренном треугольнике (- основание треугольника ) проведена медиана к основанию. Точка лежит на продолжении бокового ребра (в сторону вершины ). Отрезок пересекает продолжение медианы в точке и через эту точку проводится отрезок .

1.Доказать что .

2.Известно что . Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если в равнобедренном треугольнике проведена медианы то она является биссектрисой»

(выражающей свойство медианы в равнобедренном треугольнике) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведена биссектриса к некоторой стороне то она делит эту сторону на части проплрциональные сторонам между которыми проходит»

(выражающей свойство биссектрисы в треугольнике) установить отношение между отрезками при условии что .

3.С помощью теоремы «Если на одной стороне угла отложить пропорциональные отрезки и через концы отрезков провести параллельные прямые то на другой стороне угла отложаться отрезки в той же пропорции»

(выражающей свойство пропорциональности отрезков) перейти от пропорции к пропорции

1.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 2.

В треугольнике ( — основание треугольника) проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке . Через точку проведен отрезок , пересекающий основание в точке . Известно что .

Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов »

2.Установить отношение между углами при условии что .

3.С помощью теоремы «Если в треугольнике есть два равных угла то этот треугольник равнобедренный»

(выражающий признак равнобедренного треугольника) установить отношение между сторонами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если в треугольнике провести отрезок параллельный основанию то он отсечет треугольник подобный данному»

(выражающей способ построения треугольника подобного данному) установить отношение между треугольниками при условии что .

5.С помощью теоремы «Если треугольники подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

6.Решить уравнение при условии что .

Ответ:

В треугольнике ( — основание треугольника) проведены высоты , пересекающиеся в точке причем .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

3.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответствующим двум катетам другого прямоугольного треугольника то такие треугольники конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности прямоугольных треугольников по двум катетам) установить отношение между треугольниками при условии что .

2.С помощью теоремы «Если два прямоугольных треугольника конгруэнтны то против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей свойство сторон в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между отрезками при условии что .

1. С помощью теоремы «Если два прямоугольных треугольника конгруэнтны то против равных сторон лежат равные углы»

(выражающей свойство углов в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между углами при условии что .

2.С помощью теоремы «Если стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла то такие углы равны»

(выражающей свойство углов с общей вершиной) установить отношение между углами .

3.С помощью теоремы «Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответствующим стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности двух треугольников по стороне и двум углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

4.С помощью теоремы «Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей свойство сторон в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между сторонами при условии что .

В треугольнике три высоты пересекаются в точке .

Доказать что четырехугольник можно вписать в окружность.

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна то его можно вписать в окружность»

(выражающей условие вписания в окружность четырехугольника) найти сумму углов при условии что и зная что сумма углов четырехугольника равна .

В окружности с центром и радиусом диаметр перпендикулярен хорде и пересекается с ней в точке . Известно что .

Найти площадь треугольника .

Алгоритм управления решением:

1.Решить уравнение при условии что .

2.С помощью теоремы «Если в окружности проведены две пересекающиеся хорды то произведение частей одной хорды равно произведению частей другой хорды»

(выражающей свойство частей хорды) установить отношение между отрезками .

3.С помощью теоремы «Если диаметр перпендикулярен к хорде то он делит ее на две равные части»

(выражающей свойство диаметра) установить отношение между отрезками .

4.Решить уравнение при условии что .

4.С помощью формулы

(выражающей площадь треугольника по основанию и высоте) найти при условии что .

Ответ:

Четырехугольник вписан в окружность. является биссектрисой угла . Через точку проведена касательная , которая пересекает продолжения сторон (в сторону вершин соответственно в точках .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

3.Известно что . Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если четырехугольник можно вписать в окружность то сумма противоположных углов в нем равна »

(выражающей свойство углов вписанного в окружность четырехугольника) найти сумму .

2.С помощью теоремы «Если углы являются смежными то они в сумме составляют »

( выражающей свойство смежных углов) найти сумму .

3.Установить отношение между углами при условии что .

1.С помощью теоремы «Если угол висан в окружность или составлен касательной и хордой то он измеряется половиной дуги , на которую он опирается»

(выражающей свойство вписанного угла и угла образованного касательной и хордой) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

1.С помощью теоремы «Если дуги равны то на них опираются равные хорды»

(выражающей свойство хорд) установить отношение между отрезками при условии что .

2.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) установить отношение между отрезками при условии что .

3.Решить уравнение при условии что .

Ответ:

Окружность с центром касается некоторой прямой в точке . Через центр окружности проходит диаметр . Через концы диаметра проведены касательные соответственно , пересекающие вышеуказанную прямую соответственно в точках .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

3.Известно что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если проведена касательная к окружности то она составляет угол с радиусом этой окружности в точке касания»

(выража.щей свойство касательной к окружности) установить величины углов .

2.С помощью теоремы «Если из точки вне окружности провести две касательные к окружности то отрезки касательных от указанной точки до точек касания будут равны»

(выражающей свойство касательных к окружности) установить отношение между отрезками .

3.С помощью теоремы «Если точка равноудалена от сторон угла то она находится на биссектрисе этого угла»

(выражающей свойство биссектрисы угла) установить отношение между углами .

4.Найти сумму величин углов при условии что

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то сумма острых углов в нем равна »

(выражающей свойство острых углов в прямоугольном треугольнике) найти углы .

2.С помощью теоремы «Если острый угол в одном прямоугольном треугольнике равен соответствующему острому углу в другом прямоугольном треугольнике то такие треуголшьники подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников) установить отношение между треугольниками при условии что .

1.С помощью теоремы «Если треугольники подобны то стороны, лежащие в них против равных углов, пропорциональны»

2.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 3.

Из точки , лежащей вне окружности проведена секущая , пересекающая окружность в точках (причем точка находится вне окружности) и касательная .Проводят хорду и через точку проводят прямую параллельную этой хорде , которая не пересекает окружность , но пересекает продолжение касательной касательной в точке .

1.Доказать что .

2.Доказать что четырехугольник можно вписать в окружность.

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если угол образован двумя хордами или касательной и секущей то он измеряется половиной дуги на которую он опирается»

(выражающей способ измерения углов , связанных с окружностью) установить отношение между углами .

1.С помощью теоремы «Если углы являются смежными то сумма их величин равна »

(выражающей свойство смежных углов) найти сумму величин углов .

2.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третьей прямой то образуются пары равных углов»

(выражающей свойство углов, образованных параллельными прямыми) установить отношение между углами при условии что .

3.С помощью теоремы «Если сумма величин противоположных углов четырехугольника равна то этот четырехугольник можно вписать в окружность»

(выражающей признак вписания четырехугольника в окружность) найти сумму величин углов при условии что .

В равнобедренный треугольник ( — основание треугольника) вписана окружность, касающаяся основания в точке и боковых сторон соответственно в точках . Известно что .

1.Доказать что .

2.Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если из точки вне окружности провести к окружности две касательные то отрезки касательных от указанной точки до точек касания будут равны»

(выражающей свойство касательных к окружности) установить отношение между отрезками .

2.С помощью теоремы «Если треугольник равнобедренный то в нем равны углы при основании»

(выражающей свойство углов в равнобедренном треугольнике) установить отношение между углами .

3.С помощью теоремы «Если сложить величины углов треугольника то сумма будет равна »

(выражающей свойство величин углов треугольника) найти значение величин углов

4.С помощью теоремы «Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны то прямые параллельны»

(выражающей признак параллельности прямых) установить отношение между отрезками при условии что .

1.Найти при условии что

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведена линия параллельно основанию то она отсекает от него треугольник подобный данному»

3.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие в них против равных углов будут пропорциональны»

4.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 2.

В прямоугольный треугольник вписана полуокружность , касающаяся катетов соответственно в точках и центр которой находится на гипотенузе . Известно что .

1.Доказать что .

2.Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если угол образован радиусом окружности и касательной с вершиной в точке касания то он равен »

(выражающей признак прямого угла) установить величины углов .

2.С помощью теоремы «Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника то такие треугольники конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности прямоугольных треугольников) установить отношение между треугольниками при условии что .

3.С помощью теоремы «Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных сторон лежат равные углы»

(выражающей свойство сторон в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между углами .

1.С помощью теоремы «Если треугольник является прямоугольным то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов»

(выражающей свойство сторон в прямоугольном треугольнике) установить отношение между сторонами .

2.Решить уравнение при условии что .

3.С помощью теоремы «Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу) установить отношения между треугольниками .

4.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие в них против равных углов будут пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами при условии что

5.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 2.

Треугольник вписан в окружность. Прямая касается этой окружности в точке . Через точку проведена прямая .

1.Доказать что .

2.Известно что .Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если угол образован касательной и хордой или двумя хордами то он измеряется половиной дуги на которую опирается»

(выражающей способ измерения углов , связанных с окружностью) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересекаются третьей то при этом образуются пары углов равных между собой»

(выражающей свойство углов , образованных параллельными прямыми) установить отношение между углами при условии что .

3.Установить отношение между углами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если два угла одного треугольника равны соответствующим двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

1.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие в них против равных углов будут пропорциональны»

2.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 2.

В треугольник ( — основание треугольника) вписана окружность , касающаяся основания в точке , а боковых сторон в точках соответственно. Биссектриса угла делит основание треугольника на части так что . Известно что .

Найти стороны .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если из точки вне окружности провести две касательные к окружности то длины отрезков этих касательных от указанной точки до точек касаия будут равны»

(выражающей свойство касательных проведенных к окружности) установить отношение между отрезками .

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике провести биссектрису угла то она разделит сторону противоположную этому углу на части пропорциональные сторонам угла»

(выражающей свойство биссектрисы угла в треугольнике) установить отношение между отрезками .

3.Решить систему уравнений при условии что .

Ответ:

Равнобедренный треугольник ( — основание треугольника) вписан в окружность. Через точку проведена касательная к окружности , которая пересекает прямую в точке . Известно что .

1.Доказать что .

2.Найти .

Алгоритм управления решением:

(выражающей способ измерения углов , связанных с окружностью) установить отношение между углами .

(выражающей свойство углов , образованных параллельными прямыми) установить отношение между углами при условии что .

3.С помощью теоремы «Если два угла одного треугольника равны соответствующим двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

2.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 2.

В равнобедренную трапецию ( — соответственно нижнее и верхнее основание) вписана окружность , касающаяся оснований соответственно в точках и боковых сторон соответственно в точках .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если провести радиус в точку касания прямой с окружностью то угол образованный радиусом с касательной равен »

(выражающая свойство угла , образованного радиусом и касательной) установить величины углов .

2.С помощью теоремы «Если точка равноудалена от сторон угла то она находится на биссектрисе этого угла»

(выражающей свойство точек , находящихся на биссектрисе) установить отношение между углами .

3.С помощью теоремы «Если при пересечении двух параллельных прямых третьей образуются углы прилежащие к третьей прямой то сумма их величин равна »

(выражающей свойство углов , образованных параллельными прямыми) найти сумму при условии что .

4.Найти величину угла при условии что .

5.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то сумма острых углов в нем равна »

(выражающей свойство острых углов в прямоугольном треугольнике) установить величины углов при условии что .

6.С помощью теоремы «Если острый угол в одном прямоугольном треугольнике равен соответствующему острому углу в другом прямоугольном треугольнике то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу) установить отношение между треугольниками при условии что .

7.С помощью теоремы «Если треугольники подобны то стороны в них лежащие против равных углов будут пропорциональны»

8.Перейти от пропорции к отношению .

(выражающей свойство касательных проведенных к окружности) установить отношение между отрезками .

2.Перейти от равенства к равенству при условии что .

В трапеции ( — соответственно нижнее и верхнее основании трапеции) основание и боковая сторона являются хордами окружности в то время как боковая сторона касается этой окружности в точке .

1.Доказать что .

2.Известно что . Найти .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если угол образован двумя хордами или касательной и хордой то он измеряется половиной дуги , на которую он опирается»

(выражающей свойство углов , связанных с окружностью) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой то образуются пары равных между собой углов»

(выражающей свойство углов , образуемых параллельными прямыми) установить отношение между углами при условии что .

3.С помощью теоремы «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

1.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны в них лежащие против равных углов будут пропорциональны»

2.Решить уравнение при условии что .

Ответ: 2.

Из точки , находящейся вне окружности проведена секущая , пересекающая окружность в точках и секущая , пересекающая окружность в точках . Известно что .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике два угла равны то этот треугольник равнобедренный»

(выражающей признак равнобедренности треугольника) установить отношение между отрезками при условии что .

3.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны в них лежащие против равных углов будут пропорциональны»

4Перейти от пропорции к равенству при условии что .

— диаметр окружности с центром . Точки соединены с точкой , лежащей вне окружности , соответственно отрезками . Отрезок пересекает окружность в точке и через эту точку проведена касательная к окружности , перепендикулярная к отрезку и пересекающая его в точке .

1.Доказать что .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

(выражающей свойство углов , связанных с окружностью) установить отношение между углами .

2.С помощью теоремы «Если угол одного прямоугольного треугольника соответственно равен углу другого прямоугольного треугольника то такие треугольники подобны»

4.Перейти от пропорции к равенству .

1.С помощью теоремы «Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла то такие углы равны»

(выражающей свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами) установить отношение между углами при условии что .

2.Установить отношение между углами при условии что .

3.С помощью теоремы «Если в треугольнике равны два угла то этот треугольник равнобедренный»

(выражающей признак равнобедренности треугольника) установить отношение между сторонами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если треугольник равнобедренный то высота в нем является медианой»

(выражающей свойство высоты в равнобедренном треугольнике) установить отношение между отрезками при условии что .

Треугольник ( — основание треугольника) вписан в окружность. Биссектриса угла пересекает основание в точке и окружность в точке . Точка делит основание на части . Из точки на основание опущен перпендикуляр .

Доказать что

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведена биссектриса угла то она делит сторону противоположную углу на части пропорциональные сторонам угла»

(выражающей свойство биссектрисы угла) установить отношение между отрезками при условии что .

2.Установить отношение при условии что .

3.С помощью теоремы «Если угол вписан в треугольник то он измеряется половиной дуги на которую он опирается»

(выражающей способ измерения вписанного угла) установить отношения между дугами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если дуги окружности равны то равны и хорды опирающиеся на эти дуги»

(выражающей свойство хорд в окружности) установить отношение между отрезками при условии что .

5.С помощью теоремы «Если в равнобедренном треугольнике проведена высота то она является медианой»

6.Найти при условии что .

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке .Через эту точку проведена прямая , пересекающая одну из окружностей в точках и другую окружность в точках . Другая прямая , проведенная через эту же точку , пересекает одну окружность в точках и другую окружность в точках .

Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующее обозначение:

— общая касательная к двум окружностям;

2.С помощью теоремы «Если угол образован касательной и хордой или двумя хордами то он измеряется половиной дуги , на которую он опирается»

(выражающей способ измерения углов , связанных с окружностью) установить отношения между углами .

3.С помощью теоремы «Если стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла то такие углы равны»

(выражающей свойство углов с общей вершиной) установить отношение между углами .

4.Установить отношение между углами при условии что и также при условии что .

5.С помощью теоремы «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия треугольников по двум углам) установить отношение между треугольниками при условии что . .

источники:

Прямая, параллельная стороне треугольника

http://gigabaza.ru/doc/104510-pall.html

Источник

Ну про гугл это не ко мне. Но задачу вам решу.

Обозначим трапецию ABCD, (нижнее основание AD=a, верхнее BC=b) точку пересечения диагоналей — O, линию параллельную основаниям и проходящую через O обозначим — MN. Смотрим рисунок.

1) Рассмотрим ∆ВСО и ∆ADO — они подобны по 2 углам. ∠CBO=∠ADO (накрест лежащие при параллельных прямых) и углы O — вертикальные. Соответственно коэффициент подобия равен отношению сторон AD/BC = a/b

Проведем высоту EF через точку O, соответсвенно OF и OE — высоты в ∆ADO и ∆ВСО и тоже относятся с коэффициентом подобия : OF/OE = a/b

Ну а дальше идет решение такое же как при выводе формулы средней линии.

2) Проводим высоты BH₁ и CH₂. Смотрим ∆AH₁B и ∆MKB — они подобны по 2 углам: ∠B — общий и они прямоугольные. И AH₁/MK = KH₁/KB = OF/OE = (a+b)/b. Откуда MK = AH₁•b/(a+b)

Аналогично из подобия ∆CH₂D и ∆CLN: LN = DH₂•b/(a+b)

Так как KL = BC = b, то

MN = MK + KL + LN = b + (b/(a+b))•(AH₁ + DH₂)

Теперь посмотрим на AD: AD = AH₁ + H₁H₂ + DH₂, так как AD = a, H₁H₂ = BC = b, то

AH₁ + DH₂ = a — b

И получаем

MN = b + (b/(a+b))•(a-b) = b•(a+b) + b•(a-b)/(a+b) = b•2a/(a+b) = 2ab)/(a+b)

Ответ: MN = 2ab/(a+b)

Источник

40 месяцев назад

части. Периметр большего треугольника равен 27 см. Найти периметр меньшего треугольника

Ответы2

Пользователь

14 месяцев назад

Основание треугольника равно 12( sqrt {3}-1)12(3−1). Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника в отношении 1 : 3. Если возможных результатов несколько, то в ответ укажите их сумму.

Пусть в треугольнике АС ║ЕК

площади ЕВК и АЕСК относятся как 1:8

площадь АВС = 1+8=9 частям

Треугольники ЕВК и АВС подобны по 3-м углам

Их площади относятся как квадраты периметров

пусть периметр малого треугольника ЕВК равен х

тогда можно составить уравнение:

1:9 = х^2 : 27^2

х^2 = 27^2 : 9 = 81

х = 9

Источник

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 5

МУНИЦИПАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
город – курорт АНАПА

Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании МО от _______________

Протокол №______

Подготовка
к ОГЭ и ЕГЭ.

«Формулы
и свойства трапеции»

Методическая разработка

учителя
математики

Снегуровой Амины Мугиновны

2018 год.

Оглавление

Введение 3

1.
Определения 4

2.
Частные случаи трапеции 5

3.
Свойства произвольной трапеции 6-7

4.
Свойства равнобедренной трапеции 8-10

5. Свойства
биссектрисы угла трапеции 10-12

6.
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции 12-13

7.
Формулы нахождения диагоналей трапеции 13-14

8.
Трапеция и окружность 14-17

9.
Дополнительные построения в трапеции 17-23

10. Для
тех, кому интересно. Теоремы. 23-27

11.
Задачи с решениями.27-35

12. Список используемой литературы .

Введение

Дорогой ученик!

В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются
задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний
«непрограммных» свойств трапеции. (Программными считаются свойство средней
линии трапеции, свойства диагоналей и углов
равнобедренной
трапеции.) Свойства, необходимые для решения задач, отсутствуют в
учебниках или перенесены в задачи и не воспринимаются как теоретические
положения.

Какими же замечательными свойствами обладает трапеция?
Как решать геометрические задачи, требующие глубоких знаний? Трапеция
обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если
овладеть ими и рассмотреть дополнительные построения в трапеции, то возникает
объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

В планиметрии существует целый класс таких задач,
к которым традиционные методы (метод цепочек равных треугольников, метод
геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не применимы,
либо дают сложные и громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода
задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий – так называемое
дополнительное построение. В одних случаях эти построения напрашиваются сами
собой, в других они не так очевидны и требуют от решающего достаточно большого
опыта, изобретательности, геометрической интуиции.

Так, чертеж данной в задаче фигуры можно
достраивать до фигуры другого типа, можно с многоугольной фигурой связывать
окружность, а можно целью дополнительного построения ставить выделение на
чертеже равных, равновеликих или подобных фигур.

Знание метода дополнительных построений в
большинстве случаев позволяет решать, казалось бы, сложные геометрические
задачи просто, понятно и красиво.

В этой
разработке собраны формулы, свойства и подсказки для решения задач связанных с
трапецией. Надеюсь, что ты здесь найдешь для себя много полезной информации.

1.Определения.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные
стороны
называются её основаниями, а две другие стороны — боковыми
сторонами.

Высотой трапеции называется расстояние между основаниями.

Kаждый
из этих отрезков EF, BM, DK, PQ является высотой трапеции ABCD.

В
формулах используются следующие обозначения:

a,
b — основания трапеции

c,
d — боковые стороны трапеции

d₁
d₂ — диагонали трапеции

α
β — углы при большем основании трапеции

h—
высота.

2.Частные
случаи трапеции.

Прямоугольной
трапецией называется трапециия, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна
основаниям.

У
нее два прямых угла при меньшей боковой стороне.

Эта
сторона одновременно является и высотой трапеции.

произвольная

Трапецией
называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

У
равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при
основании равны.

Трапеция,
у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной

(равнобокой,
равнобочной).

3.Свойства произвольной
трапеции.

1. Во всякой трапеции сумма углов , прилежащих к
одной ее боковой стороне, равна 180⁰.

2. Во всякой трапеции средняя линия параллельна ее
основаниям, равна полусумме этих оснований и делит диагонали трапеции пополам.

MК =

3.Четыре замечательные
точки трапеции:

Во всякой трапеции середины
оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых
сторон лежат на одной прямой.

4. Во всякой трапеции если
сумма углов при большем основании равна 90⁰, то боковые стороны
лежат на перпендикулярных прямых. Длина отрезка, соединяющего середины
оснований, равна полуразности оснований.

5.
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Отрезок,
соединяющий основания всякой трапеции, и проходящий через точку пересечения
диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований
трапеции.

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях
трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то
соотношение составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения
диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции:

6.Свойства отрезка, параллельного основаниям всякой трапеции.

Если
провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку
пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

*Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей
трапеции пополам, то есть КО=ОМ

*Длина отрезка,
проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного
основаниям, равна

KM = .

7.Во всякой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный
основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему
геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные
между собой.

8. Во всякой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный
основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему
квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади
(равновеликие).

9.Сумма
квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс
удвоенное произведение ее оснований.

d₁²
+ d₂²
= c² + d²+
2ab, d— боковая сторона. d₁и
d₂–
диагонали.

Свойства
равнобедренной трапеции.

Трапеция является равнобедренной
тогда и только тогда, когда

*углы, прилежащие к одному
основанию, равны

*сумма противолежащих углов 180⁰;

*диагонали равны;

AC = BD

*отрезки диагоналей, соединяющих точку пересечения
с концами одного основания, равны; BO = OC, AO = OD.

*вокруг этой трапеции можно
описать окружность.

BC // AD, AB = CD. ABCD – вписанная трапеция.

* высота, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает
большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а
другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

*если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны,
то

1)квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы
оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату
средней линии.

2)высота трапеции равна полусумме оснований.

3)ее высота равна средней линии.

4)
площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны,
равна квадрату её высоты.

(или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

*если в равнобокой трапеции высота равна средней линии, то
диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

BH = HD = h =.

*высота, проведённая через
точку пересечения диагоналей, в
равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две
равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

*в равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины
оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.

*отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон
равнобедренной трапеции, образуют ромб.

MNKE – ромб,
то есть

MN=NK=KE=
ME.

*в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его
боковой стороны плюс произведение оснований: d²= c²+ a b

*площадь
равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при
основании α:

S =

Свойства
биссектрисы угла трапеции.

*биссектриса угла отсекает
от трапеции равнобедренный треугольник.

*точка пересечения биссектрис
тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

*если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то
меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.

*биссектриса угла трапеции, пересекающая основание, отсекает от
трапеции равнобедренный треугольник.

*биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под
прямым углом.

* точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой
стороне, лежит на средней линии трапеции.

*если биссектриса тупого угла трапеции является диагональю, то
боковая сторона равна большему основанию трапеции.

*если меньшее основание трапеции равно ее
боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой
боковой стороне острого угла.

Если в условии задачи сказано, что основание трапеции равно ее боковой
стороне, то отсюда следует, что диагональ трапеции является биссектрисой ее
угла.

*если большее основание
трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой
прилежащего к этой боковой стороне тупого угла.

*если большее основание прямоугольной трапеции
равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла,
прилежащего к меньшему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции
равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла,
прилежащего к большему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции равно ее
большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к этой
боковой стороне острого угла.

* если большее основание прямоугольной трапеции
равно ее большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к
этой боковой стороне тупого угла.

*если меньшее основание равнобедренной трапеции
равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой острого угла
трапеции.

* если большее основание равнобедренной трапеции
равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой тупого угла
трапеции.

Свойства
треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой
пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются
вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD
и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC,
следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим
углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для
решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим
образом.

*Если
нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных
треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда
длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же
значением.

*В подобных треугольниках
длины всех линейных элементов пропорциональны, а именно:

отношения периметров, радиусы
вписанных окружностей, радиусы описанных окружностей, соответствующих высот, биссектрис,
медиан (проведенных из равных углов) подобных треугольников равны отношению
соответствующих сторон (лежащих против равных углов) или равны коэффициенту
подобия.

*Площади подобных
треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон или равно квадрату
коэффициента подобия.

*Площади треугольников,
образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

S₁²= S₂ S₃

S₃: S₂= ²

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции
AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных
сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади
треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей
трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего
основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины
оснований

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами,
углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения
задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b —
основания трапеции

c, d —
боковые стороны трапеции

d₁ d₂ —
диагонали трапеции

α β —
углы при большем основании трапеции

h— высота

Формулы нахождения диагоналей трапеции
через основания, боковые стороны и углы при основании

Эта группа формул отражает одно из основных свойств диагоналей
трапеции:

*Сумма квадратов диагоналей трапеции равна
сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований.
Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

Используем
теорему косинусов.

*Данная
формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй
диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части
выражения извлечен квадратный корень.

*Эта формула
нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что
в левой части выражения оставлена другая диагональ

   4.В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна
разности квадратов оснований

d₁²— d₂²= a²–
b²

*Если
диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то длина отрезка, соединяющего
середины оснований трапеции равна полусумме оснований.

MH =

BDCE и FAOD прямоугольники, а диагонали
прямоугольника равны.

Трапеция и окружность.

1) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя
линия трапеции равна боковой стороне.

Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность,
является средним геометрическим её оснований

h²
= a ∙ b

2)
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна
средней линии. Площадь трапеции определяется произведением средней линии на
высоту трапеции.

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной
окружности или двум ее радиусам.

MK —
высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной
окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

. CF =m,
FD =n, OF = r.

∠COD=90º, т.к. ∠ADC+∠BCD=180º — так

как сумма
внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD
равна 180⁰.

Отсюда
радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как
которые боковая сторона делится точкой касания, как r = .

А так как
высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через
длины этих отрезков: h = 2 .

5.Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно
описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой
стороне и равна средней линии трапеции.

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько
путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,
когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма
ее оснований равна сумме боковых сторон.

AB+CD=AD+BC

2. Отрезки касательных,
проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

AL=AK BL=BM

CM=CF DF=DK

Описанная окружность.

Когда трапецию можно вписать в
окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда,
когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать
в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как
радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые
трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это
зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

1)Если диагональ трапеции
перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около
трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около
трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

$[R = frac{1}{2}AD]$

2) Если диагональ трапеции образует с
боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит
внутри трапеции.

3) Если
диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной
около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

4)Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по
следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

$[R = frac{{AC}}{{2sin angle D}} = frac{{CD}}{{2sin angle CAD}} = frac{{AD}}{{2sin angle ACD}}]$

Из треугольника ABC

$[R = frac{{AB}}{{2sin angle ACB}} = frac{{BC}}{{2sin angle BAC}} = frac{{AC}}{{2sin angle B}}]$

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

$[R = frac{{AC cdot CD cdot AD}}{{4{S_{ACD}}}}]$ $[R = frac{{AB cdot BC cdot AC}}{{4{S_{ABC}}}}]$

Синусы
угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и
ACF:

$[sin angle D = frac{{CF}}{{CD}}]$ $[sin angle CAD = frac{{CF}}{{AC}}]$

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно
также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему
центрального угла. Например,

$[angle CAD = frac{1}{2}angle COD]$

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади
трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

$[S = frac{1}{2}{d_1}{d_2}sin varphi ]$
$[{S_{ABCD}} = frac{1}{2}A{C^2}sin angle CMD]$

5)Если диагонали вписанной в окружность трапеции
(четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его
противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или
удвоенному квадрату боковой стороны:

a²
+ b²
= 4R²
= 2c².

6) Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр
вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой
вершины на основание, лежат на одной прямой.

Дополнительные построения
как прием при решении задач

Дополнительные
построения являются эффективным методом решения геометрических задач. Наиболее
часто используются при решении задач:

1.
Опускание высот из концов одного основания на другое основание

2.
Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не
содержащей эту вершину

3.
Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым
сторонам

4.
Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей
эту вершину .

5.
Продолжение боковых сторон до пересечения.

Рассмотрим
каждое их них.

При
решении задач на отыскание площади дополнительным построением считается
построение ее высоты или высот. Если построение высоты не помогает решить
задачу, то нужно построить прямую, параллельную одной из ее диагоналей. Потом
найти площадь полученного треугольника, который будет равновеликим исходной
трапеции.

1.
Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей
эту вершину.

При
дополнительном построении, когда переносится диагональ, образуется треугольник,
площадь которого равна площади трапеции.

S₁ = S₂

Задача.

Найдите
площадь трапеции, дмагонали которой равны 8 и 15, а средняя линия равна 8,5.

Решение.

Построим
CF // BD и
получим S_ACF = S_ABCD.
Почему?

ABC
= CDF, так как DF = BC и эти треугольники имеют одинаковую высоту.

Значит,
для того, чтобы найти площадь трапеции нам достаточно найти площадь ACF.

АF
= АD + ВС — сумма оснований трапеции. По условию задачи средняя линия
трапеции 8,5. Значит сумма оснований АF = 8,52=17.

Рассмотрим ACF.
Проверим, является ли он прямоугольным? В этом нам поможет теорема Пифагора:

17²
= 8² + 15²

289
= 64 + 225.

289
= 289.

ACF
– прямоугольный. S_ACF = AC*CF
= 8*15 = 60. S_ABCD=
60.

Если ACF
разносторонний, то его площадь вычислим по формуле Герона.

Ответ:60.

2.
Продолжение боковых сторон до пересечения.

Свойства трапеции,
достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то
точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая
проходит через середины оснований.

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до
треугольника. При этом:

*Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной
в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными

*Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является,
одновременно, медианой построенного треугольника.

*Если ABCD равнобедренная трапеция, то KL
является биссектрисой, медианой и высотой одновременно.

Это
дополнительное построение позволяет перейти от трапеции к треугольнику. Если
сумма углов при большем основании равна 90⁰, топродолжив боковые
стороны мы получим прямоугольный треугольник.

Задача.

В
трапеции ABCD основания АD и ВС равны соответственно 72 и 18, а сумма углов при основании АD равна
90⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и
касающейся прямой CD, если АВ = 18.

Решение.

Центром
О данной окружности будет точка пересечения серединного
перпендикуляра к АВ и перпендикуляра, возведенного к стороне CD
из точки касания окружности. АВО равнобедренный: АО = ВО. Продлим боковые
стороны трапеции и получим прямоугольный треугольник АМD.
KMNO – прямоугольник, где KM = MN
= NO =КО = R.

BMC
AMD.

= , то есть и x
= 6. Тогда R = КВ + 6 = 9 + 6 = 15.

Ответ:15.

3. Опускание высот из концов одного основания на другое основание.

Дополнительное
построение 1,2 позволяет разбить трапецию на прямоугольник (стороны которого —
одно из оснований и высота трапеции) и два прямоугольных треугольника (в
которых один из катетов – высота трапеции, а гипотенузы – боковые стороны
трапеции)

Построение
1 Построение 2

Задача. Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 13 и
боковыми сторонами 3 и 4.

Решение.

Проведем ВН и СM — высоты и получим ABD (египетский
треугольник) со сторонами 3,4,5, так как АD – ВС=13 – 8=5.

S= АВ* BD= 6.

Найдем высоту
трапеции: h= 2S:5 = 2*6:5=
2,4.

S_ABCD= 6+2,4*8=25,2. Ответ:25,2.

4. Проведение
через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам.

Дополнительное построение 4
делит трапецию на параллелограммы и треугольник. Боковые стороны соединяются в
треугольник.

5. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой
стороне, не содержащей эту вершину.

Задача. Основания трапеции равны 30см и 15см, а боковые стороны равны 9 см
и 12 см. Найдите высоту трапеции.

Решение.
Пусть АВСД трапеция, заданная в условии.

Проведем
через вершину С прямую, которая параллельна АВ. Пусть эта прямая пересекает АД
в точке М.

Тогда
АВСМ – параллелограмм и СМ=9, АМ=ДМ=15.

Так
как 9²+12²=15², то, применив обратную теорему
Пифагора, приходим к выводу, что СМ перпендикулярна СД.

Заметим,
что высота трапеции и треугольника МСД, проведенная из вершины С, совпадают.
Для определения искомой высоты применим метод площадей. Пусть искомая высота
равна х. Тогда для определения х составим уравнение, дважды вычислив площадь
треугольника МСД:

Решив
это уравнение находим: х=7,2. Ответ: 7,2.

Задача.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 12
соответственно. Найдите градусную величину угла D, если одно из оснований
трапеции на 9 больше другого.

Решение.

Из вершины угла проведем
прямую линию, параллельную стороне. Трапеция разделена данной прямой линией на
параллелограмм и треугольник. Противоположные стороны параллелограмма равны,
значит, длина стороны треугольника равна разности длин оснований трапеции. Данный
треугольник определен по трем сторонам. По теореме косинусов определим искомый
угол. Вычисления показывают, что боковая сторона перпендикулярна к основанию,
искомый угол прямой.

Ответ:

Для
тех, кому интересно.

Теорема.

Задачи с решениями.

Пример
1.Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с
радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Решение.

Дано: ABCD —
равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти: S_ABCD

1.
AB = CD = 10 по условию.

2.
AB + CD = AD + BC по свойству вписанной
окружности.

3.
AD + BC = 10 + 10 = 20.

4.
FE = 2r = 2 · 4 = 8.

5.
S_ABCD=1/2(BC + AD)·FE, S_ABCD = 1/2 · 20
· 8 = 20/2 · 8 = 10 · 8 = 80.

Пример
2.Основания трапеции
равны 10 м и 31 м, а
боковые стороны —
20 м и 13 м. Найдите
высоту трапеции.

Решение.

Пусть HK
= BC = 10 м, BH
= CK = x, AH
= y, тогда KD
= 21 – y

По
теореме Пифагора:x² +
y² =
132x² +
(21 – y)² =
20²x² +
y² =
169 (1)

x² +
441 – 42y + y² =
400 (2)

Вычтем
из (2) уравнения (1):441 – 42y =
23142y = 210y
= 5AH = 5 м

По
теореме Пифагора:BH² =
AB² –
AH²BH² =
132 – 52BH² =
169 – 25BH² =
144

BH
= 12

Пример
3.Большее основание трапеции равно 24. Найдите длину меньшего основания, если
расстояние между серединами диагоналей равно 4.

Решение.

Пример
4.Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O.

Найдите
площадь трапеции, если BC < AD и площади треугольников BOC и ABO равны
соответственно равны 2 и 8.

Анализ.

Рассмотреть подобие
треугольников.

Квадраты соответствующих
сторон относятся как площади треугольников.

Введем параметры
треугольников: стороны оснований и высоты треугольников.

Площади трапеции и
треугольников определим по известным формулам.

Решение.

Ответ:

Пример
5.В трапеции большее основание равно 10. Диагонали трапеции, равные 8, перпендикулярны
боковым сторонам. Найдите площадь трапеции.

Анализ.

Длины диагоналей равны и
перпендикулярны боковым сторонам. Имеем равенство прямоугольных треугольников
по катету и гипотенузе: ABD
= ACD,
поэтому трапеция равнобедренная, т.е. АВ = СD.

Применим теорему Пифагора для
определения боковой стороны трапеции.

Высоту трапеции определим из
равенства площадей.

Проекцию боковой стороны на
большее основание легче определить из подобия треугольников, чем по теореме
Пифагора.

Длину средней линии в равнобокой
трапеции можно определять как разность большего основания и проекции боковой
стороны на основание.

Площадь трапеции находим как
площадь прямоугольника АМСК, который получим, если достроим трапецию.

Пример
6.Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна 9.
Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Анализ.

Задача решается построением.

Достроим прямоугольники и
используем свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны и в точке
пересечения делятся пополам.

Длина средней линии равна
полусумме длин оснований.

Длина отрезка, соединяющая
середины оснований, равна полусумме длин диагоналей двух построенных
треугольников.

Пример
7.Длины оснований трапеции равны 1 и 7. Найдите длину отрезка, параллельного
основаниям и заключенного между боковыми сторонами, который делит трапецию на
две равновеликие части.

Анализ.

Провести из вершины тупого
угла трапеции прямую линию, параллельную боковой стороне.

Рассмотреть отношение площадей
трапеций.

Определить отношение при
подобии треугольников.

Рациональные алгебраические
преобразования приведут к результату.

Решение.Ответ:

Пример
11.Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности. Боковая сторона
трапеции равна 10, а основания относятся как 1: 4. Найдите площадь трапеции.

Анализ.

Сумма противоположных сторон
трапеции равна между собой — свойство описанного четырехугольника.

Трапеция равнобедренная.

Боковая сторона равна длине
средней линии.

Применяем теорему Пифагора для
нахождения высоты трапеции.

Площадь трапеции определяем по
доступной формуле.

Пример
8.Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно
вписать окружность, а средняя линия делит ее на части, площади которых
относятся как 5: 11. Найдите длину большего основания трапеции.

Анализ.

Трапеция является описанной.

Сумма длин оснований равна
сумме боковых сторон.

Средняя линия делит трапецию
на две трапеции, высоты которых равны.

Задача сводится к системе
уравнений.

Длина средней линии равна
половине суммы длин боковых сторон.

Пример
9.Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности равна 15. Найдите
среднюю линию трапеции, если косинус острого угла при ее основании равен 4/5.

Анализ.

Трапеция равнобедренная.

Длина средней линии равна
боковой стороне.

Площадь трапеции определяется
произведением средней линии на высоту трапеции.

Опустим высоту трапеции из
тупого угла. Через заданный косинус угла определим синус угла.

По синусу угла выразим высоту
трапеции через боковую сторону.

Пример
10.В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, большая боковая
сторона равна 13, а средняя линия равна 12,5. Найдите меньшее основание
трапеции.

Анализ.

Необходимо использовать
свойство сторон четырехугольника, описанной около окружности: сумма длин
противоположных сторон равна между собой.

Кроме того, длина средней
линии равна полусумме длин сторон оснований.

Проведем из вершины тупого
угла высоту трапеции.

Воспользуемся теоремой
Пифагора и определим проекцию наклонной боковой стороны на основание.

Пример
11.В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь
равна ,
вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Анализ.

Важное положение, что трапеция
является равнобедренной и имеет ось симметрии. Тогда длина боковой стороны
равна длине средней линии.

Введем параметр боковой
стороны, из прямоугольного треугольника по заданному углу определим высоту
трапеции, которая является диаметром вписанной окружности. Площадь трапеции
определяется как произведение средней линии на высоту трапеции.

Пример
12.Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой большее основание равно
13, средняя линия равна 8, а биссектриса тупого угла является диагональю
трапеции.

Анализ.

При проведении биссектрисы
тупого угла боковая сторона равна большему основанию трапеции. Проекция боковой
стороны равнобедренной трапеции равна полуразности длин оснований.

По теореме Пифагора найдем
высоту трапеции.

Площадь трапеции находим по
формул.

Список используемой литературы

Источник

Найти длину отрезка параллельного основаниям трапеции (их длины а и b) и проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Найти длину отрезка параллельного основаниям трапеции (их длины а и b) и проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции?, относящийся
к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу.
В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по
интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после
ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или
полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с
помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с
посетителями этой страницы.

Источник