Геометрия как найти массу

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим
систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами
А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Масса сплошной детали

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей):

Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

---

1. Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
Тогда масса:

---

2. Масса цилиндра

Объем цилиндра: , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
Тогда масса:

---

3. Масса шара

Объем шара: , где — диаметр шара.
Тогда масса:

---

4. Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
Тогда масса:

---

5. Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
Для круглого конуса: , где — диаметр основания, — высота конуса.
Масса круглого конуса:

---

6. Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
, где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

---

7. Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

---

8. Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями и : , где , .
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: .
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

или

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

---

Как найти массу треугольника

Любите ли вы геометрию? Многие на этот вопрос отвечают «нет», потому что в школе она даётся труднее всего. Причём особенную нелюбовь вызывают у учеников задачи о пересекающихся отрезках в треугольнике, к которым трудно даже подступиться. В этой статье мы расскажем о замечательном методе решения подобных задач — методе масс.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №10(38). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Наверняка в детстве вы качались на качелях-весах. И наверняка один из двоих чаще всего оказывался тяжелее и его сторона постоянно перевешивала. А что можно сделать в этой ситуации, чтобы уравновесить качели?

Вспоминаем правило рычага: чтобы система была в равновесии, моменты сил, действующих на качели, должны быть одинаковыми.

Так как силы в нашем случае — это силы тяжести, верно следующее равенство:

Сокращаем константу g и получаем, что отношение масс обратно пропорционально отношению расстояний от края качелей до опоры.

Обратите внимание: вес самих качелей мы не учитываем. То есть система состоит из двух точек — концов отрезка с «гирьками», а также третьей точки, которая делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном отношению масс «гирек». Последняя точка имеет своё название — она является центром масс системы из двух точек-«гирек».

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Дан треугольник АВС. М — середина АВ, точка К лежит на отрезке АС и делит его в отношении 1:2 от вершины А. В каком отношении отрезок СМ делит отрезок ВК?

Решение Суть нашего метода в следующем. Расставим в точки А, В и С массы 2, 2 и 1 соответственно. Как вы видите, центр масс точек А(2) и В(2) — это точка М(4). Значит, центр масс всей системы из трёх точек находится на отрезке СМ и делит его в отношении 1:4 от С.

Теперь вернёмся к началу и найдём центр масс точек А и С. Это будет точка К(3). Значит, центр масс исходной системы лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 3:2 от В.

Но речь идёт об одной и той же системе точек А, В и С, а значит, у них один и тот же центр масс, который лежит и на СМ, и на ВК. Таким образом, центр масс не что иное, как точка О. Отсюда следует, что искомое отношение ВО к ОК равно 3:2.

Ответ. 3:2.

Постойте-ка! А как это мы догадались расставить массы именно так: 2, 2 и 1? На самом деле никакой магии тут нет. Наша цель — расставить массы в вершинах треугольника так, чтобы их центром оказалась точка О. Но почему именно 2, 2 и 1? Всё дело в том, что О будет центром масс, если мы покажем, что центр масс одновременно лежит и на отрезке СМ, и на отрезке ВК. Следовательно, в первом случае массы из точек А и В должны сместиться в точку М. Вспоминаем правило качелей: так как АМ = ВМ, то массы в точки А и В надо ставить одинаковые. Запомним это.

Во втором случае мы должны поставить массы в А и С так, чтобы их центром была точка К. Но АК:СК = 1:2, значит, в точке А масса должна быть вдвое больше, чем в С. Следовательно, ставим в С массу 1, тогда в А будет 2 (вдвое больше) и в В — тоже 2 (как в А).

Методом масс можно не только решать задачи, но и доказывать теоремы.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Решение Рассмотрим медианы ВК и СМ. В данном случае и К, и М — середины, поэтому поставим во все три вершины А, В и С массу 1. Далее рассмотрим точки А и В. Их центр масс — точка М(2). Значит, центр масс системы точек А, В и С лежит на отрезке СМ и делит его в отношении 2:1 от вершины С.

Теперь рассмотрим точки А и С, их центр масс — точка К(2). Значит, центр масс всё той же системы точек А, В и С лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 2:1 от вершины В. Но тогда искомый центр масс — это точка О на пересечении отрезков ВК и СМ, причём каждый из отрезков эта точка делит в отношении 2:1 от вершин.

Осталось заметить, что если мы рассмотрим медианы ВК и АР, то их точка пересечения также будет центром масс и разделит ВК и АР в отношении 2:1 от вершин. Но точка, которая делит ВК в отношении 2:1 от В, единственная, значит, в обоих случаях речь идёт об одной и той же точке О. Итак, все три медианы проходят через точку О и делятся ею в отношении 2:1 от вершин, что и требовалось доказать.

M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике

Условие

Углы остроугольного треугольника равны [latex]alpha[/latex], [latex]beta[/latex] и [latex]gamma[/latex]. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трех масс попал:

1. В точку пересечения высот?
2. В центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex]. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал:

1. В точку пересечения отрезков соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?
2. В центр вписанной окружности?

Решение

Пусть в вершинах треугольника [latex]ABC[/latex] расположены массы [latex]m_[/latex], [latex]m_[/latex] и [latex]m_[/latex] соответственно. Проведем прямые [latex]BD[/latex] и [latex]CE[/latex], пересекающиеся внутри треугольника в точке [latex]O[/latex] (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в точку[latex]O[/latex], необходимо выполнение соотношений [latex]frac>=frac[/latex] и [latex]frac>=frac[/latex]. Перейдем теперь к решению задачи.

1. Пусть [latex]BD[/latex] и [latex]CE[/latex] — высоты в треугольнике [latex]ABC[/latex] (рис. 2). Тогда [latex]frac=tg alpha[/latex], [latex]frac=tg gamma[/latex], то есть [latex]frac=frac[/latex].
   Согласно сделанному замечанию, [latex]frac>=frac[/latex] и аналогично [latex]frac>=frac[/latex]. Значит, в вершины [latex]A[/latex], [latex]B[/latex] и [latex]C[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex] можно поместить, например, массы [latex]m_=tg alpha[/latex], [latex]m_=tg beta[/latex], [latex]m_=tg gamma[/latex].
2. Пусть [latex]O[/latex] — центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
   [latex]frac=frac>[/latex],
   [latex]frac=frac>[/latex]
   (теорема синусов для треугольника [latex]ABD[/latex] и [latex]BCD[/latex]). Поэтому [latex]frac=frac>>[/latex].
   Треугольник [latex]BAK[/latex] — прямоугольный ([latex]measuredangle BAK=90^<circ>[/latex]) и [latex]measuredangle BKA=measuredangle BCA=gamma[/latex]; поэтому [latex]sin beta_<1>=cos gamma[/latex]. Аналогично [latex]sin beta_<2>=cos alpha[/latex].
   Итак, [latex]frac=fraccdot frac=frac[/latex].
   Учитывая замечание, получаем:
   [latex]frac>=frac[/latex].
   Таким же образом [latex]frac>=frac[/latex].
   Значит, можно взять [latex]m_=sin 2alpha[/latex], [latex]m_=sin 2beta[/latex], [latex]m_=sin 2gamma[/latex].
3. Легко видеть (см. рис. 4), что [latex]AD=p-a[/latex], [latex]DC=p-c[/latex], где [latex]p=frac<2>[/latex], поэтому [latex]frac>=frac[/latex].
   Аналогично [latex]AE=p-a[/latex], [latex]EB=p-b[/latex], то есть [latex]frac>=frac[/latex].
   Поэтому достаточно положить [latex]m_=frac<1>[/latex], [latex]m_=frac<1>[/latex], [latex]m_=frac<1>[/latex].
4. Так как [latex]BD[/latex] — биссектриса угла [latex]B[/latex] (см. рис. 5), то [latex]frac=frac[/latex] или [latex]frac>=frac[/latex]; соответственно [latex]CE[/latex] — биссектриса угла [latex]C[/latex] и [latex]frac=frac[/latex], то есть [latex]frac>=frac[/latex]. Поэтому можно взять [latex]m_=a[/latex], [latex]m_=b[/latex], [latex]m_=c[/latex].

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

• Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
• Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
• Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

источники:

M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике

http://e-maxx.ru/algo/gravity_center

Была ли эта статья полезной?

Районная конференция
учебно-исследовательских работ

«Золотые россыпи»

Отдел образования, спорта и
туризма Лельчицкого райисполкома ГУО «Лельчицкая средняя школа №1»

Секция «Математика»

Геометрия масс

Выполнила 

Мещенко Милана Андреевна, учащаяся 8
«А» класса

Руководитель

Павлова Валентина Николаевна,

Учитель математики

Лельчицы, 2022

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1.     Теоретическая
часть. Понятие центра масс и ее свойства………………4

2.     Практическая
часть. Задачи на применение свойства центра масс……6

3.     Вывод
теоремы Менелая через свойства центра масс………………….14

4.     Заключение………………………………………………………………..18

5.     Литература…………………………………………………………………19

Введение

Математика
настолько удивительна и познавательна, каждый раз узнавая что-то новое, всегда
удивляешься красоте свойств окружающего тебя мира.  В
математической литературе можно встретить интересный метод, позволяющий быстрее
и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. Несколько
простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и
алгебры. Также с помощью этих свойств удается ответить на вопросы о том,
пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек
одной прямой или одной плоскости и т. п. Эффективны барицентрические
размышления при решении более сложных задач на доказательство. Использование
данного метода при решении сложных задач нам дает возможность упростить
оформление решения, то есть сделать решение более «красивым». 

Актуальность темы:
в школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается.  На
олимпиадах и тестировании по математике встречаются задачи, в которых дано
довольно много величин и при этом не сразу удается установить связь между ними
и искомой величиной, а также грамотно обосновать ход своих мыслей.
Использование метода масс позволяет быстро найти решение трудной геометрической
задачи, понятно сформулировать логическую цепочку рассуждений.

Объект
исследования – геометрические задачи, решаемые с помощью барицентрического
метода.

Цель работы: познакомиться
с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить познавательное
и аналитическое мышление при решения геометрических задач, развитие навыков
исследовательской работы.

 Задачи: 

1.      Ознакомиться
с историей открытия барицентрического метода. 

2.     
Рассмотреть основные формулировки, свойства связанные с методом
геометрии масс. 

3.     
Разобрать и систематизировать задачи, решаемые с помощью метода
геометрии масс. 

4.      Закрепить
полученные навыки и умения при решении задач. 

1. Общая информация о методе масс. Понятие и свойства центра масс

Родоначальником
метода, о котором пойдет речь в нашей работе, был великий древнегреческий
мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать
новые математические факты с помощью свойств центра масс. Также данный метод
называется барицентрический, так как приставка «бари» (греч. barys тяжелый,
baros тяжесть, вес) означает тяжелый, поэтому «барицентр» означает центр
тяжести (центр масс).

Также этим методом
Архимедом была установлена теорема о том, что три медианы треугольника
пересекаются в одной точке

Метод Архимеда был
развит выдающимися математиками, такими как Лагранж, Чева, Папп, Якоби, Мёбиус
(например, в 1827 году немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус ввёл понятие
барицентрических координат, с помощью которых он сумел изложить проективную
геометрию), и превратился в эффективное и строго обоснованное средство
геометрического исследования. В последние десятилетия барицентрический метод
стал использоваться и в вычислительной математике.

В физике под
материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь при
сравнении их с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче. Для
упрощения рассуждений такое «малое» тело рассматривают как геометрическую точку
(т. е. считают, что масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке А
сосредоточена масса m, то будем эту материальную точку обозначать mA.

                              Рассмотрим
два небольших шарика, имеющих массы m1 и m2,

соединенных жестким «невесомым»
стержнем. На этом стержне имеется такая замечательная точка Z, что если
подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии – ни один из
шариков не «перетянет». Эта точка Z и есть центр масс двух
рассматриваемых материальных точек с массами m1 и m2. Такая же
картина наблюдается и для большего числа материальных точек.

При применении
барицентрического метода решения геометрических задач используют следующие
интуитивно ясные и имеющие простой механический смысл свойства
центра масс:

1.     Всякая
система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет

Рис. 1

2.    
Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке,
соединяющим эти точки; его положение (рис. 1) определяется архимедовым правилом
рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра
масс одинаково для обеих точек, т. е. m1*AO=m2*OB, из данного
равенства получим отношение масс двух

𝑨𝑶 𝒎𝟐 материальных
точек:        = .  Масса точки О будет
равна сумме масс 𝑩𝑶 𝒎𝟏

точек А и В.

3.    
Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек,
отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в
их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

2.
Задачи на применение центра масс

Задача 1. Докажем теорему
Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан
делится этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство:

                                              А

 

                        В                 А1                        С

 Пусть АВС данный треугольник,
АА₁, ВВ₁, СС₁ – его медианы. Загрузим вершины
А, В, С равными массами – по единице. Получим систему трех материальных точек
1А, 1В, 1С. Согласно свойству 1 данная система имеет центр масс и причем
единственный, докажем, что это точка Z. Рассмотрим точки А и В, по правилу
рычага (по свойству 2) центр их масс будет точка С₁, с массой равной
сумме масс точек А и В, то есть массой равной 2. Согласно свойству 3, центр
масс точек А, В, С не изменится, если мы массы точек А и В перенесем в точку С₁
в их центр масс. Значит центр масс точек С₁ и точки С будет центром
масс всей системы точек А, В, и С, а также центр масс всей системы будет
принадлежать медиане СС₁. По правилу рычага  mC_1*C₁Z
= mC*ZC, подставим массы точек С₁ и С в данное равенство, получим:

2*С₁Z=1*ZC.

Разделим данное равенство на С₁Z получим: ^𝑍𝐶 = ²

                                                                                                                        𝐶₁𝑍        1

Аналогично убедимся, что Z принадлежит
и медиане АА₁ и ВВ₁. Получаем, что все три медианы будут
иметь общую точку, которая будет являться центром масс всей системы трех точек
А, В, и С и это будет точка Z, которая будет делить каждую медиану в отношении
2 : 1, считая от вершины треугольника. Что и требовалось доказать.

 Можно
сделать вывод, что если треугольник будет иметь вершины с равными
массами, то центр масс трех его вершин находится в точке пересечения медиан, а
если вершины его будут с разными массами, то точка пересечения медиан не
является центром масс данной системы, состоящей из вершин треугольника.

Задача 2. Каждая вершина
тетраэдра ABCD (не обязательно правильного) соединена отрезком с точкой
пересечения медиан противолежащей ей грани (всего получается четыре отрезка);
далее, каждая середина ребра соединена отрезком с серединой противоположного
ребра (три отрезка). Имеют ли эти семь отрезков общую точку? 

Решение.

D

Наш
тетраэдр ABCD представляет собой систему, состоящую из четырех
материальных точек A, B, C, D.

Которые являются вершинами
тетраэдра. Поместим в каждую точку

Рассмотрим
треугольник ABD, где О₁ будет являться центром масс точек A, B, D.
Так как вершины треугольника имеют равную массу, следовательно, центр масс
будет являться точка пересечения медиан треугольника.

Следовательно, центр масс точек A, B,
C, D будет находиться на отрезке О₁С, назовем эту точку Z. Масса
точки О₁ равна 3, а масса тоски С равна 1, значит по 𝑂¹𝑍        1
правилу рычага          =
. Аналогично рассмотрим треугольник BCD, где О₂ точка 𝑍𝐶          3

пересечения медиан треугольника.
Значит О₂ является центром масс точек B, C и D. Следовательно, центр
масс точек A, B, C, D будет находиться на отрезке О₂А. Так как по
свойству 1 (Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек,
имеет центр масс и притом единственный) центр масс точек A, B, C, D
единственный, следовательно отрезки О₁С и О₂А будут иметь
общую точку, которая является центром масс и это точка Z. Исходя из выше
сказанного следует, что все четыре отрезка будут пересекаться в точке Z и будут
делиться этой точкой в отношении 3 : 1 начиная от вершины тетраэдра. Масса
точки Z равна 4. 

Далее рассмотрим
точку E, которая является серединой ребра AC, а значит и центром масс точек А и
С, так как массы точек А и С равны по единице, то масса точки Е равна 2. Точка
F является серединой ребра B и D, а значит и центром масс точек B и D.
Следовательно, масса точки F также равна 2. Значит на отрезке EF лежит центр
масс точек A, B, C, D и это точка Z. В данном отрезке точка Z будет делить
отрезок EF пополам. Аналогично можно сделать вывод, что три отрезка, которые
соединяют середину ребра с серединой противоположного ребра пересекаются в
точке Z и эта точка будет делить их пополам. Значит центр масс всей системы
(центроид тетраэдра) лежит в середине отрезка, соединяющего середины противоположных
ребер тетраэдра. Такие отрезки называются бимедианами тетраэдра.

Мы
доказали еще одну теорему: Бимедианы тетраэдра проходят через

его центроид,
причем делятся им пополам.

В данном случае, геометрия масс не только помогла эту теорему
доказать, но, что гораздо более существенно, помогла нам ее увидеть, то есть
обнаружить и сформулировать.

  Согласно свойству 1, центр масс
точек A, B, C, D единственный, следовательно, отрезки, которые соединяют
середину ребра с серединой противоположного ребра пересекаются в точке Z и
отрезки, которые соединяют точку пересечения медиан противоположной грани с
вершиной тетраэдра также пересекаются в этой точке. Значит эти семь отрезков
будут иметь общую точку, что и требовалось доказать.

Ответ: имеют общую точку.

Задача 3. Через середину
медианы АА₁ и через вершину B треугольника АВС проведена прямая. В
каком отношении делит она сторону АС?

Решение.

                                                             Нам
необходимо найти отношение AF к

FC. Так как точка
А₁ середина отрезка ВС,

то в точки В и С поместим массы по
единице, для того чтобы точка А₁ была центром масс точек В и С.
Масса точки A₁ будет равна 2. В точку А поместим массу равную 2, так
чтобы точка О была

центром масс точек
А и А₁

Следовательно, точка
О будет являться центром масс точек А, В и С. Масса точки О будет равна 4.
Значит точка F будет центром масс точек А и С, масса этой точки будет равна 3.
По правилу рычага AF : FC=1 : 2.

Ответ: AF : FC=1 : 2.

Задача 4. На стороне ВС
треугольника АВС взята такая точка D, что |𝐵𝐷|:
|𝐷𝐶| = 5:1. В каком отношении медиана СЕ делит отрезок
АD?

Решение.

Медиана СЕ пересекает АD
в точке О. Нам необходимо найти отношение

АО к ОD. Так как точка Е является
серединой отрезка АВ, то поместим в точки А и В массы равные единице, для того
чтобы точка Е являлась центром масс точек А и В.

Так как масса точки
В равна 1, то для того чтобы точка D стала центром масс точек В и С, поместим 
в точку С массу равной 5 (по правилу рычага, так как по условию |𝐵𝐷|: |𝐷𝐶|
= 5:1). Следовательно, точка О будет являться центром масс точек А, В и
С. Значит по правилу рычага АО:ОD=6:1.

Ответ: АО:ОD=6:1.

Задача 5. На
сторонах треугольника АВС взяты точки А₁, В₁, С_1, что
АС₁⁼¹АВ, 3

ВА₁⁼¹ВС,
СВ₁⁼¹СА. При пересечении
отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁ образовался

              3                           3

треугольник А₂В₂С₂.
Найдите отношение площадей треугольников А₂В₂С₂ и
АВС

Решение. 

Решать данную задачу будем поэтапно,
загружая в вершины необходимые массы:

1.    
Рассмотрим сначала точку С₂ в каком она отношении
делит отрезки СС₁ и АА_1. Рассмотрим точки С и В, поместим
в н их соответствующие массы 1 и 2, так чтобы точка А₁ была их
центром масс. Далее рассмотрим точки В и А. Так как в точке В масса равна 2, то
в точку С необходимо положить массу  4,  для того чтобы точка С₁ являлась
их центром масс. Получим массы точек С₁ и А₁ соответственно
6 и 3.

Получим следующее отношения:

                                                                                   С₁С₂         1              АС₂          3

                                                                                                 =                           =   

                                                                                    С₂С       6             С₂А₁         4

2.     Теперь
рассмотрим точку А₂.

Аналогично рассуждая получим следующие равенства:

А₁А₂ 1 ВА₂ 3 =          
=

                                                                                    А₂А       6             А₂В₁         4

3.    
Расставим полученное отношение отрезков на рисунке. Выразим
площадь треугольника А₂В₂С₂. Всю площадь
треугольника АВС возьмем за 3х, тогда площадь треугольника АВВ₁ =2х.
Далее рассмотрим треугольник АВВ₁ разделим его на семь частей и
выразим площадь треугольника АА₂В₁

7

8𝑥

= .

7

Выразим отношение площадей:

𝑆𝐴2𝐵2𝐶2  

                                                           𝑆𝐴𝐴 𝑠𝑖𝑛𝛼     

Далее получим:

𝑆𝐴2𝐵2𝐶2 = 3

      8𝑥           8

7

3𝑥

𝑆𝐴2𝐵2𝐶2 = 7

3𝑥

Находим
необходимое отношение: ^𝑆𝐴2𝐵2𝐶2
= 7 ₌ ¹

                                                                                                   𝑆_𝐴𝐵𝐶                    3𝑥         7

Ответ:  .

Задача 6. В треугольнике АВС
точка F делит сторону ВС в отношении 4 : 1, считая от вершины В. Точки М и Р
отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной седьмой, считая соответственно от
вершины  А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков МР и А
F точкой пересечения?

Рассмотрим точки А и
В. Поместим в них такие массы, чтобы точка М была их центром масс, то есть в
точку В массу 1, а в точку А масса 6.

Далее
рассмотрим точки В и С. Так как в точка В имеет массу 1, то в точку С
необходимо поместить массу 4, для того чтобы точка F была центром масс точек В
и С. Масса точки F равна 5.

Рассмотрим точки А
и С. Выразим массу точки А по правилу рычага, чтобы точка Р была центром масс
точек А и С.

4*1=6*mA 

mA=⁴ = ²

             6        3

Получим,
масса точки Р равна 4 , масса точки М равна 7.
Рассмотрим отрезок МР и отрезок А F, так как на этих отрезках должна
находиться точка которая является центром масс точек А, В и С и согласно
свойству такая точка единственная, следовательно это общая точка О, которая и
является точкой пересечения двух отрезков. Масса точки О будет равна 11 . Найдем по правилу рычага
необходимые отношения:

 7*МО=4
*ОР;  ^МО                               

ОР

 𝑂𝐴;    

Ответ: МР делится в отношении 2 : 3 начиная от
М, АF делится в отношении 

3 :
4 начиная от А.

3. Вывод теоремы Менелая с помощью
свойств центра масс Решая предыдущие задачи, я получила следующие
умозаключения.

Если мы рассматриваем любой треугольник и две его
чевианы, то можно вывести следующее равенства:

                                                                             Замечание.  

          А       ЕС и АР чевианы 
треугольника АВС.

(Чевиана — это

 С
     отрезок в треугольнике,  соединяющий

вершину треугольника с

точкой на противоположной стороне.) В

Где a, b, c, d – отношение длин отрезков на
которые делят чевианы треугольника:

                                                                                               𝑆𝐵𝐴𝑃         𝑐

                                                                                                             =   

                                                                                               𝑆𝑃𝐴𝐶         𝑑

                                                                                               𝑆𝐴𝐶𝐸        𝑏

                                                                                                             =   

                                                                                               𝑆𝐸𝐶𝐵        𝑎

Применим свойства
геометрии масс выразим отношение отрезков, на которые разбиваются чевианы
треугольника при пересечении. Загрузим в вершины треугольника такие массы,
чтобы точка пересечения чевиан стала центром масс точек А, В и С.

По правилу рычага выразим массу точки С:

b*c=d*mC

mC=^𝑏𝑐

𝑑

Находим массу точек Е и Р. Далее
находим отношение отрезков по правилу рычага: ЕО*(a+b)=OC*^𝑏𝑐,
отсюда выражаем

𝑑

                                                                                       𝐸𝑂             𝑏𝑐

                                                                                     =          

                                                                                       𝑂𝐶       𝑑(𝑎
+ 𝑏)

AО*a=OP*(^𝑏𝑐
+ 𝑏)

𝑑

𝑏𝑐

𝐴𝑂        (
𝑑 + 𝑏)

=

𝑂𝑃              𝑎

                                                                                            𝐴𝑂         𝑏(𝑐+𝑑)

Упростим
выражение и получим: = .
В задачах где необходимо будет 𝑂𝑃              𝑎𝑑

доказать пересекаются ли три чевианы в
одной точке, нужно проверить равенство для третьей чевианы BZ, то есть в нашем
случае: a*AZ=^𝑏𝑐. Зная

𝑑

данный
алгоритм решения задач такого типа, легко составлять задачи и проверять ход
решения. Эти умения я применила при ознакомлении одноклассников с данным
методом при решении геометрических задач. Также с помощью данного метода можно
вывести следующие равенства:

Преобразуем данное равенство получим:                                             =

                                                                                                               𝑂𝑃               𝑎

𝐴𝑂         𝑏    𝑐+𝑑

        =    (       ) 

𝑂𝑃         𝑎       𝑑

𝑏
𝐴𝐸 𝑐+𝑑 𝐵𝐶 Далее заменим
отношения =  и =

                                                                         𝑎        𝐵𝐸           𝑑           𝑃𝐶

𝐴𝑂         𝐴𝐸     𝐵𝐶

 

𝑂𝑃         𝐵𝐸     𝑃𝐶

                                                                                                𝐵𝐸     𝑃𝐶

Умножим
полученное равенство на ∙  
и получим следующее:

𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝑂 𝐵𝐸
𝑃𝐶

∙                                                                                                                                            ∙     =
1 Поменяем множители для удобства, чтобы отрезки следовали по

𝑂𝑃     𝐴𝐸     𝐵𝐶

порядку получим:

                                                                                     𝐵𝐸    𝐴𝑂    𝑃𝐶

                                                                                    ∙    ∙  = 1

                                                                                     𝐸𝐴    𝑂𝑃    𝐵𝐶

Вывели теорему Менелая.

Заключение

Изучив материал по
теме «Геометрия масс», я научилась решать и составлять задачи на нахождение
отношения длин отрезков, отношение площадей треугольников, а также рассмотрела
задачи, где необходимо доказать, пересекаются ли отрезки в одной точке. В ходе
проделанной работы вывела теоремы о бимедианах тетраэдра, а также теорему
Менелая. При изучении свойств центра масс точек открыла для себя много нового и
интересного, такое чувство будто заглянула за ширму мироздания.

 Также пришла к
выводу, что, используя свойства геометрии масс материальных точек, можно
упростить решения многих задач олимпиадного характера, тем самым повысить свой
уровень при подготовке к олимпиаде.

Решение задач этим
методом выглядит более рациональным и кратким, что не может не порадовать при
изучении этого метода. Работая по данной теме,
можно убедиться, что метод с использованием центра масс позволяет решить
задачи, которые ранее казались неразрешимыми. 

Изучая источники по
этой теме, убедилась в тесной связи двух предметов — математики и физики.

Думаю, что решать
задачи по физике станет легче, используя навык при решении метод геометрии
масс.

Работа над темой
«Геометрия масс» мною не закончена, впереди поиск многих интересных задач,
которые проще и наглядней решаются при помощи этого метода.

Литература

1.    
Балк М.Б, Болтянский В.Г.  Геометрия масс,: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1987 (Библиотечка «Квант», Выпуск 61).

2.    
И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Планиметрия: Наука. Гл. ред.
физ.мат. лит., 1986 (Библиотечка «Квант», Выпуск 17).

3.    
Видеоурок: Семинар 1 — Геометрия масс, начальные сведения https://www.youtube.com/watch?v=Ozc0_24cMaY&list=PLZ3r8TP7Qoc5X6
Ko_CDPlqsEjxOjiA—5M&index=1