Горизонтальная асимптота гиперболы как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции, и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции y=1/x , то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой x=0 (ось ОY) — это вертикальная асимптота, и к прямой y=0 (ось ОХ) — это горизонтальная асимптота:

В общем случае горизонтальная асимптота — это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b , где — число, к которому стремятся значения функции y=f(x) , когда стремится к infty .

То есть .

Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a . Здесь — значение переменной , при котором функция y=f(x) не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: .

График дробно-линейной функции — это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при x=-d/c знаменатель равен нулю, в этой точке функция не определена. Поэтому прямая x=-d/c — вертикальная асимптота.

Степень в числителе дроби равна степени в знаменателе. Поэтому при числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

и уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=a/c .

График дробно-линейной функции — это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): x=-b/a .

Точка пересечения с осью OY (x=0): y=b/d .

Построим график функции . Это дробно-линейная функция и ее график — гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: y=1/3 ;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя): x=-2/3

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: x+1=0 ; x=-1

с осью OY(x=0): y=1/2 .

То есть график функции выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота — это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

Найдем асимптоты графика функции $y={3-x^2}/{x+2}$

1. Начнем с области определения функции. Функция $y={3-x^2}/{x+2}$ не определена в точке x=-2 , следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби ${3-x^2}/{x+2}$ на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции $y={3-x^2}/{x+2}$ не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

$k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1$

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях в числителе и знаменателе дроби).

$b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}=$ $lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}=$

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

График функции $y={3-x^2}/{x+2}$ , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Загрузить PDF

Асимптоты гиперболы – это прямые, проходящие через центр гиперболы. Гипербола приближается к асимптотам, но никогда не пересекает (и даже не касается) их. Найти уравнения асимптот можно двумя способами, которые помогут понять саму концепцию асимптот.

1
Запишите каноническое уравнение гиперболы. Рассмотрим простейший пример – гиперболу, центр которой расположен в начале координат. В этом случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: ^x²/_a² — ^y²/_b² = 1 (когда ветви гиперболы направлены вправо или влево) или ^y²/_b² — ^x²/_a² = 1 (когда ветви гиперболы направлены вверх или вниз).^[1] Имейте в виду, что в этом уравнении «х» и «у» – это переменные, а «а» и «b» – постоянные (то есть числа).
- Пример 1: ^x²/₉ — ^y²/₁₆ = 1
- Некоторые преподаватели и авторы учебников меняют местами постоянные «а» и «b».^[2] Поэтому изучите данное вам уравнение, чтобы понять, что к чему. Не стоит просто запоминать уравнение – в этом случае вы ничего не поймете, если переменные и/или постоянные будут обозначены другими символами.
2
Приравняйте каноническое уравнение к нулю (а не к единице). Новое уравнение описывает обе асимптоты, но чтобы получить уравнение каждой асимптоты, придется приложить некоторые усилия.^[3]
- Пример 1: ^x²/₉ — ^y²/₁₆ = 0
3
Разложите на множители новое уравнение. Разложите на множители левую часть уравнения. Вспомните, как раскладывать на множители квадратное уравнение, и читайте дальше.
- Конечное уравнение (то есть уравнение, разложенное на множители) будет иметь вид (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- При перемножении первых членов (внутри каждой пары скобок) должен получиться член ^x²/₉, поэтому из этого члена извлеките квадратный корень, и результат запишите вместо первого пробела внутри каждой пары скобок:(^x/₃ ± __)(^x/₃ ± __) = 0
- Аналогично извлеките квадратный корень из члена ^y²/₁₆, и результат запишите вместо второго пробела внутри каждой пары скобок: (^x/₃ ± ^y/₄)(^x/₃ ± ^y/₄) = 0
- Вы нашли все члены уравнения, поэтому внутри одной пары скобок между членами напишите знак плюс, а внутри второй – знак минус, чтобы при перемножении соответствующие члены сокращались: (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ — ^y/₄) = 0
4
Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y». Так вы найдете два уравнения, которые описывают каждую асимптоту.
- Пример 1: Так как (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ — ^y/₄) = 0, то ^x/₃ + ^y/₄ = 0 и ^x/₃ — ^y/₄ = 0
- Перепишите уравнение следующим образом: ^x/₃ + ^y/₄ = 0 → ^y/₄ = — ^x/₃ → y = — ^4x/₃
- Перепишите уравнение следующим образом: ^x/₃ — ^y/₄ = 0 → — ^y/₄ = — ^x/₃ → y = ^4x/₃
5
Выполните описанные действия с гиперболой, уравнение которой отличается от канонического. В предыдущем шаге вы нашли уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат. Если центр гиперболы находится в точке с координатами (h,k), то она описывается следующим уравнением: ^{(x — h)²}/_a² — ^{(y — k)²}/_b² = 1 или ^{(y — k)²}/_b² — ^{(x — h)²}/_a² = 1. Это уравнение также можно разложить на множители. Но в этом случае не трогайте двучлены (x — h) и (y — k) до тех пор, пока не придете к последнему шагу.
- Пример 2: ^{(x — 3)²}/₄ — ^{(y + 1)²}/₂₅ = 1
- Приравняйте это уравнение к 0 и разложите его на множители:
- (^{(x — 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅)(^{(x — 3)}/₂ — ^{(y + 1)}/₅) = 0
- Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y», чтобы найти уравнения асимптот:
- ^{(x — 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅ = 0 → y = —⁵/₂x + ¹³/₂
- (^{(x — 3)}/₂ — ^{(y + 1)}/₅) = 0 → y = ⁵/₂x — ¹⁷/₂
Реклама

1
Обособьте член y² на левой стороне уравнения гиперболы. Применяйте этот метод в том случае, когда уравнение гиперболы дано в квадратичной форме. Даже если дано каноническое уравнение гиперболы, этот метод позволит лучше понять концепцию асимптот. Обособьте y² или (y — k)² на левой стороне уравнения.
- Пример 3: ^{(y + 2)²}/₁₆ — ^{(x + 3)²}/₄ = 1
- К обеим частям уравнения прибавьте «х», а затем умножьте обе части на 16:
- (y + 2)² = 16(1 + ^{(x + 3)²}/₄)
- Упростите полученное уравнение:
- (y + 2)² = 16 + 4(x + 3)²
2
Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения. При этом не упрощайте правую часть уравнения, так как при извлечении квадратного корня получаются два результата – положительный и отрицательный (например, -2 * -2 = 4, поэтому √4 = 2 и √4 = -2). Чтобы привести оба результата, используйте символ ±.
- √((y + 2)²) = √(16 + 4(x + 3)²)
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²)
3

Уясните понятие асимптоты. Сделайте это до того, как перейти к следующему шагу. Асимптота – это прямая, к которой приближается гипербола с ростом значений «х». Гипербола никогда не пересечет асимптоту, но с увеличением «х» гипербола приблизится к асимптоте на бесконечно малое расстояние.
4
Преобразуйте уравнение с учетом больших значений «х». Как правило, при работе с уравнениями асимптот учитываются только большие значения «х» (то есть такие значения, которые стремятся к бесконечности). Поэтому в уравнении можно пренебречь определенными константами, так как по сравнению с «х» их вклад невелик. Например, если переменная «х» равна нескольким миллиардам, то прибавление числа (константы) 3 окажет мизерное влияние на значение «х».
- В уравнении (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²) при стремлении «x» к бесконечности постоянной 16 можно пренебречь.
- При больших значениях «х» (y+2) ≈ ± √(4(x + 3)²)
5
Вычислите «у», чтобы найти уравнения асимптот. Избавившись от констант, можно упростить подкоренное выражение. Помните, что в ответе нужно записать два уравнения – одно со знаком плюс, а второе со знаком минус.
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x — 6
- y = 2x + 4 и y = -2x — 8
Реклама

Советы

Помните, что уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот всегда включают постоянные (константы).
Равносторонняя гипербола – это гипербола, в уравнении которой а = b = с (константа).
Если дано уравнение равносторонней гиперболы, сначала преобразуйте его в каноническую форму, а затем найдите уравнения асимптот.

Предупреждения

Помните, что ответ не всегда записывается в канонической форме.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 91 746 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Что такое асимптота — понятие и определение

Определение

Асимптота графика функции у=f (x) представляет собой прямую L, максимально приближающеюся к графику функции, точка которого стремится к бесконечности, то есть неограниченно удаляется от начала координат по кривой. Расстояние между этой точкой функции у=f(x) и асимптотой L стремится к нулю.

На рисунке приведены примеры асимптот графиков функций.

Асимптоты

Источник: pnu.edu.ru

На рисунке слева продемонстрирована кривая, которая приближается к асимптоте и остается с одной стороны по отношению к ней.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На рисунке справа представлена кривая (график функции), которая пресекает асимптоту бесконечное множество раз с разных сторон

Асимптоты графика функции, основные виды

Асимптоты делятся на три вида: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

У разных функции в наличии может быть различное количество асимптот:

Парабола и синусоида не имеют асимптот.
Экспоненциальная и логарифмическая функции имеют 1 асимптоту.
Арктангенс и арккотангенс — две.
Тангенс и котангенс — бесконечное количество.
Гипербола имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Приведем пример нахождения асимптот гиперболы.

Определение

Гипербола — геометрическое место расположения точек, от которых абсолютная величина разности растояний до двух фокусов (заданных точек), является постоянной и меньшей, чем расстояние между самими фокусами.

Определение

Асимптоты гиперболы — прямые, которые тесто связаны с ней и определяются уравнениями (y=frac bax) и (-y=frac bax).

При (xrightarrow+infty) разность ординат асимптоты и гиперболы будет (deltarightarrow0).

Это действительно, так как:

(delta=frac bax-frac basqrt{x^2-a^2}=frac ba(x-sqrt{x^2-a^2)}=frac bacdotfrac{x^2-x^2+a^2}{x+sqrt{x^2-a^2}}=frac bacdotfrac{a^2}{x+sqrt{x^2-a^2}})

(deltarightarrowinfty;при;xrightarrow+infty)

Следовательно, если абсцисса х неограниченно возрастает, то график гиперболы и ее асимптота неограниченно сближаются.

Расположение асимптот гиперболы соответствует диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны оси Ох и оси Оу, а центром служит начало координат.

В равносторонней гиперболе, имеющей вид (x^2-y^2=a^2), когда (b=a), асимптоты будут иметь угловые коэффициенты (k=pmfrac ba), равные (pm1). Свойством этих асимптот является взаимная перпендикулярность. Они также делят пополам углы между осями симметрии гиперболы.

Пример

Необходимо составить уравнение гиперболы, если следующие уравнения задают ее асимптоты:

(y=pmfrac{sqrt6}3x)

Гипербола проходит через точку М(6; -4).

Решение

Применим формулу (y=frac bax) и получим:

(frac ba=pmfrac{sqrt6}3)

Подставим координаты точки М в общую формулу уравнения гиперболы:

(frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1)

Получим систему уравнений. Чтобы получить уравнение данной гиперболы, необходимо вычислить полученную систему уравнений.

(left{begin{array}{l}frac{6^2}{a^2}-frac{{(-4)}^2}{b^2}=1,\frac ba=pmfrac{sqrt6}3end{array}right.Rightarrow a=pmsqrt{12},;b=sqrt8)

В итоге получим:

(frac{x^2}{12}-frac{y^2}8=1)

Вертикальные асимптоты

Если хотя бы один из пределов (lim_{xrightarrow c-0}f(x)) или (lim_{xrightarrow c+0}f(x)) является равным +∞ или —∞, то вертикальной асимптотой графика функции у=f(x) будет являться прямая х=с.

Другое определение подразумевает, что если в определении асимптоты х0 является конечным числом, то такая асимптота является вертикальной. При этом в точке левый или правый предел (или оба) равны +∞ или -∞.

Примеры вертикальных асимптот:

Пример 1

Необходимо определить вертикальную асимптоту функции (lim_{xrightarrow+infty}a(x)=0.)

Решение

Так как

(lim_{xrightarrow0+0}(4+frac1x)=+infty)

(lim_{xrightarrow0-0}(4+frac1x)=-infty)

то x=0 — вертикальная асимптота.

Пример 2

Имеем (y=2^{1/x}).

Ось ординат является вертикальной асимптотой, так как

(lim_{xrightarrow0-0}2^{1/x}=0)

(lim_{xrightarrow0+0}2^{1/x}=infty)

Наклонные асимптоты

Если в определении асимптоты присутствует +∞ или —∞, то она относится либо к горизонтальной, либо к наклонной.

Асимптота графика функции у=f(x) является наклонной, если эту функцию можно представить в виде f(x)=kx+b+а(х). При этом должно выполняться условие: (a(x)rightarrow0) при (xrightarrow+infty). Прямая будет иметь вид y=kx+b.

Прямая у=kx+b будет наклонной асимптотой при (xrightarrow+infty) и (xrightarrow-infty), если существуют пределы:

(lim_{xrightarrow+infty}frac{f(x)}x=k)

(lim_{xrightarrow+infty}left[f(x)-kxright]=b)

Если k=0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную.

Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя применяется, когда границы не определены, например, 0/0 или ∞/∞:

(lim_{xrightarrow a}frac{f(x)}{g(x)}=left{frac00right}) или (lim_{xrightarrow a}frac{f(x)}{g(x)}=left{fracinftyinftyright})

Если функции можно дифференцировать, и они относятся к окрестностям точки x=a, тогда наклонную асимптоту необходимо искать по формуле:

(lim_{xrightarrow a}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{xrightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)})

Производная может применяться многократно для получения константы в числителе или знаменателе.

Пример 1

Имеется функция:

(y=x+frac1x)

(k=lim_{xrightarrowinfty}frac yx=lim_{xrightarrowinfty}frac{x+{displaystylefrac1x}}x=lim_{xrightarrowinfty}(1+frac1{x^2})=1)

(b=lim_{xrightarrowinfty}(y-kx)=lim_{xrightarrowinfty}(x+frac1x-x)=lim_{xrightarrowinfty}frac1x=0)

Прямая у=х — наклонная асимптота графика данной функции.

Пример 2

Имеется функция (y=frac{left|xright|(x-1)}{x+1}.)

Рассмотрим два варианта:

x>0 и x<0.

Если x>0, то

(k_1=lim_{xrightarrow+infty}frac yx=lim_{xrightarrow+infty}frac{left|xright|(x-1)}{x(x+1)}=lim_{xrightarrow+infty}frac{x(x-1)}{x(x+1)}=1)

(b_1=lim_{xrightarrow+infty}(y-k_1x)=lim_{xrightarrow+infty}left(frac{left|xright|(x-1)}{x(x+1)}-xright)=lim_{xrightarrow+infty}frac{x(x-1)-x(x+1)}{x+1}=-2)

То есть правая ветвь кривой имеет наклонную асимптоту в виде прямой у=х-2.

Если x<0, то

(k_2=lim_{xrightarrow-infty}frac yx=lim_{xrightarrow-infty}frac{left|xright|(x-1)}{x(x+1)}=lim_{xrightarrow-infty}frac{(-x)(x-1)}{x(x+1)}=-1)

(b_2=lim_{xrightarrow-infty}(y-k_2x)=lim_{xrightarrow-infty}left(frac{left|xright|(x-1)}{x+1}+xright)=lim_{xrightarrow-infty}frac{(-x)(x-1)+x(x+1)}{x+1}=2)

То есть левая ветвь кривой имеет наклонную асимптоту в виде прямой у=-х+2.

Горизонтальные асимптоты

Прямая y=b является горизонтальной асимптотой для графика функции y=f(x), если

(lim_{xrightarrow+infty}f(x)=lim_{xrightarrow-infty}f(x)=b)

При (xrightarrow+infty) или при (xrightarrow-infty), когда только один из представленных пределов равен числу b, прямая y=b становится горизонтальной асимптотой не всей кривой, а соответствующей ее части.

Пример 1

Имеется функция: (y=4+frac1x.)

(lim_{xrightarrow+infty}left(4+frac1xright)=lim_{xrightarrow-infty}left(4+frac1xright)=4)

поэтому y=4 — горизонтальная асимптота данной функции.

Пример 2

Имеется (y=2^{1/x}).

Здесь (lim_{xrightarrow+infty}2^{1/x}=lim_{xrightarrow-infty}2^{1/x}=1).

Значит, у=1 — горизонтальная асимптота графика функции.

Пример 3

Имеется (y=2^{-x}.)

Так как

(lim_{xrightarrow+infty}=2^{-x}=0)

(lim_{xrightarrow-infty}=2^{-x}=+infty)

то y=0 — горизонтальная асимптота графика функции при (xrightarrow+infty).

Источник

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Пример №3:

$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$

(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{1}{x}$$

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

$$y=frac{1}{x}$$

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{-1}{x-1}-1$$

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Источник

Понятие асимптоты
Вертикальная асимптота
Горизонтальная асимптота
Наклонная асимптота
Алгоритм исследования асимптотического поведения функции
Примеры

п.1. Понятие асимптоты

Асимптота прямая, расстояние от которой до точки кривой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви кривой на бесконечность.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

п.2. Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (x=a)
где (a) — точка разрыва 2-го рода функции (f(x)), для которой хотя бы один односторонний предел существует и равен бесконечности.

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)})
ОДЗ: (xne left{-3;1right})
(left{x_0=-3, x_1=1right}notin D) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -3 -0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-3-0-1)(-3-0+3)}=frac{1}{-4cdot(-0)}=+infty\ lim_{xrightarrow -3 +0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-3+0-1)(-3+0+3)}=frac{1}{-4cdot(+0)}=-infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1 -0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(1-0-1)(1-0+3)}=frac{1}{-0cdot 4}=-infty\ lim_{xrightarrow 1 +0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(1+0-1)(1+0+3)}=frac{1}{+0cdot 4}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}) две точки разрыва 2-го рода (left{x_0=-3, x_1=1right}), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).

п.3. Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (y=b)
где (b) — конечный предел функции (f(x)) на бесконечности: (b=lim{xrightarrow pminfty}f(x), bneinfty)

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)})
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin{gather*} lim_{xrightarrow -infty}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-infty)(-infty)}=+0 end{gather*} На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin{gather*} lim_{xrightarrow +infty}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(+infty)(+infty)}=+0 end{gather*} На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}):

п.4. Наклонная асимптота

Наклонная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (y=kx+b) begin{gather*} k=lim_{xrightarrow pminfty}frac{f(x)}{x}, kne 0, kneinfty\ b=lim_{xrightarrow pminfty}(f(x)=kx) end{gather*}

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие наклонных асимптот у функции (y=frac{x^2+3}{x-1})
Найдем угловой коэффициент: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{y}{x}=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+3}{x(x-1)}= lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+3}{x^2-x}=left[frac{infty}{infty}right]= lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{3}{x^2}right)}{x^2left(1-frac 1xright)}=\ =lim_{xrightarrow -infty}frac{1+frac{3}{x^2}}{1-frac1x}=frac{1+0}{1-0}=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{y}{x}=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+3}{x(x-1)}=k_1=1 end{gather*} На плюс и минус бесконечности отношение функции к аргументу имеет один и тот же конечный предел (k=1).
Найдем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow pminfty}(y-kx)=lim_{xrightarrow pminfty}left(frac{x^2+3}{x-1}-1cdot xright)= lim_{xrightarrow pminfty}left(frac{x^2+3-x(x-1)}{x-1}right)=\ =lim_{xrightarrow pminfty}frac{x+3}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow pminfty}frac{xleft(1+frac3xright)}{xleft(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1 end{gather*} Вывод: у функции (y=frac{x^2+3}{x-1}) одна наклонная асимптота (y=x+1). Функция стремится к асимптоте на плюс и минус бесконечности.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac{x^2+3}{x-1}), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+3}{x-1}=-infty, lim_{xrightarrow -1+0}frac{x^2+3}{x-1}=+infty end{gather*}

График асимптотического поведения функции (y=frac{x^2+3}{x-1}):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac{4x}{x^2-1} )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(-1-0)}{(-1-0+1)(-1-0-1)}=frac{-4}{-0cdot(-2)}=-infty\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(-1+0)}{(-1+0+1)(-1+0-1)}=frac{-4}{+0cdot(-2)}=+infty end{gather*} Точка (x=-1) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(1-0)}{(1-0+1)(1-0-1)}=frac{4}{2cdot(-0)}=-infty\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(1+0)}{(1+0+1)(1+0-1)}=frac{4}{2cdot(+0)}=+infty end{gather*} Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{4x}{x^2-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2cdot frac4x}{x^2(1-frac{1}{x^2})}=lim_{xrightarrow -infty}frac{frac4x}{1-frac{1}{x^2}}=frac{-0}{1}=-0\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{4x}{x^2-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{frac4x}{1-frac{1}{x^2}}=frac{+0}{1}=+0 end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=0). На минус бесконечности функция стремится к асимптоте снизу, не плюс бесконечности – сверху.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k=lim_{xrightarrow pminfty}frac{4x}{x(x^2-1)}=lim_{xrightarrow pminfty}frac{4}{x^2-1}=frac{4}{infty}=0 end{gather*} Наклонных асимптот нет.

График асимптотического поведения функции (y=frac{4x}{x^2-1})

б) ( y=e^{frac{1}{x+3}} )
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: (x=-3)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -3-0}e^{frac{1}{x+3}}=e^{frac{1}{-3-0)+3}}=e^{frac{1}{-0}}=e^infty=0\ lim_{xrightarrow -3+0}e^{frac{1}{x+3}}=e^{frac{1}{-3+0)+3}}=e^{frac{1}{+0}}=e^{+infty}=+infty end{gather*} Точка (x=-3) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=2)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}e^{frac{1}{x+3}}=e^0=1\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}e^{frac{1}{x+3}}=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{e^{frac{1}{x+3}}}{x}=frac{e^0}{-infty}=0\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{e^{frac{1}{x+3}}}{x}=frac{e^0}{+infty}=0 end{gather*} Наклонных асимптот нет.

График асимптотического поведения функции (y=e^{frac{1}{x+3}})

в) ( y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1} )
Заметим, что ( frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=frac{x^2(x+1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{(x^2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{x^2+1}{x-1} ) $$ y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}Leftrightarrow begin{cases} y=frac{x^2+1}{x-1}\ xne -1 end{cases} $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac{x^2+1}{x-1}), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).

1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{-2}=-1\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{-2}=-1 end{gather*} Точка (x=-1) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв («выколотая» точка).
Односторонние пределы в точке (x=1) begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{1-0-1}=frac{2}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{1+0-1}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=1)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(frac1x-frac{1}{x^2}right)}=frac{1+0}{-0-0}=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(frac1x-frac{1}{x^2}right)}=frac{1+0}{0-0}=+infty end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+1}{x(x-1)}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+1}{x(x-1)}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1\ k=k_1=k_2=1 end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)= lim_{xrightarrow infty}left(frac{x^2+1}{x-1}-2right)= lim_{xrightarrow infty}frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}= lim_{xrightarrow infty}frac{x+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=\ =lim_{xrightarrow infty}frac{xleft(1+frac1xright)}{xleft(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1 end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1})

г*) ( y=xe^{frac{1}{2-x}} )
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: (x=2)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}xe^{frac{1}{2-x}}=(2-0)e^{frac{1}{2-(2-0)}}=2e^{frac{1}{+0}}=2e^{+infty}=+infty\ lim_{xrightarrow 2+0}xe^{frac{1}{2-x}}=(2+0)e^{frac{1}{2-(2+0)}}=2e^{frac{1}{-0}}=2e^{-infty}=-infty end{gather*} Точка (x=2) — точка разрыва 2-го рода.
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=2)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}xe^{frac{1}{2-x}}=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}xe^{frac{1}{2-x}}=+inftycdot e^0=+infty end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{xe^{frac{1}{2-x}}}{x}=lim_{xrightarrow -infty}e^{frac{1}{2-x}}=e^0=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{xe^{frac{1}{2-x}}}{x}=lim_{xrightarrow +infty}e^{frac{1}{2-x}}=e^0=1\ k=k_1=k_2=1 end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)= lim_{xrightarrow infty}left(xe^{frac{1}{2-x}}-xright)=lim_{xrightarrow infty}xleft(e^{frac{1}{2-x}}-1right)=left[inftycdot 0right] end{gather*} Используем одно из следствий второго замечательного предела (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{e^x-1}{x}=1\ b=lim_{xrightarrow infty}xleft(e^{frac{1}{2-x}}-1right)= left[ begin{array}{l} t=frac{1}{2-x}\ trightarrow 0\ x=2-frac1t=frac{2t-1}{t} end{array} right]=\ =lim_{trightarrow 0}left(left(frac{2t-1}{t}right)(e^t-1)right)=lim_{trightarrow 0}(2t-1)cdot lim_{trightarrow 0}frac{e^t-1}{t}=-1cdot 1=-1 end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x-1).

График асимптотического поведения функции (y=xe^{frac{1}{2-x}})

Источник