График окружности как найти центр - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Каждое уравнение с
двумя переменными х и у определяет некоторое множество пар (х; у) значений
переменных, которые являются решениями этого уравнения, т. е. задаёт некоторое
отношение между значениями переменной х и значениями
переменной у. График отношения, заданного уравнением с двумя
переменными, или, короче, график уравнения с двумя переменными, есть, как
известно, множество точек плоскости, координаты которых служат решениями
уравнения. Мы знаем, что графиком уравнения вида ax + by = c,
где a ≠ 0 или b ≠ 0,
служит прямая линия, график уравнения вида

y = ax² +
bx + c (a ≠ 0)

парабола, график
уравнения вида

xy = k

гипербола.

На рисунку
изображён график уравнения

х² + 9у²
= 81.

Кривая такого вида
называется эллипсом.

Графиком уравнения

(x – a)² +
(y – b)² =
r²

является окружность на координатной плоскости хОу с центром в точке О’(a; b) и радиусом
r (r
> 0).

Уравнением фигуры
на плоскости в декартовых координатах
называется уравнение с двумя переменными
х и у, которые будут координатами любой точки фигуры. И наоборот:
любые два числа, которые будут решением этого уравнения, будут координатами некоторой
точки фигуры.

Составим уравнение окружности
с центром в точке А₀(а; b) и радиусом R.

Возьмём произвольную
точку А(х; у) на окружности. Расстояние от неё до
центра А₀ равно R. Квадрат расстояния от точки А до А₀ равен:

(х – a)²
+ (у – b)².

Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности будут корнями уравнения:

(х – a)²
+ (у – b)² = R².

Наоборот: любая
точка А, координаты которой будут решениями уравнения, принадлежат окружности, так как расстояние
от неё до точки А₀ равно R. Отсюда вытекает, что это уравнение будет уравнением окружности
с центром А₀ и радиусом
R.

Обратите внимание, что
когда центром окружности будет начало координат, то уравнение окружности имеет
вид:

х² + у² = R².

ПРИМЕР:

Какая геометрическая фигура задано уравнением ?

х² + у²
+ ах + bу + с = 0.

РЕШЕНИЕ:

видим, что искомая фигура – окружность с центром

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х² + у²
= 16.

Перепишем уравнение в виде

(х – 0)² + (у – 0)² = 4².

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке О(0;
0) и
радиусом 4.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

(х – 1)² + (у – 2)² = 9.

Перепишем уравнение в виде

(х – 1)² + (у – 2)² = 3².

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке (1;
2) и
радиусом 3.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х² + у²
+ 4х = 0.

Перепишем уравнение в виде

х² +
4х + 4 + у² = 4,

(х+ 2)² + у²
= 4,

(х– (–2))² + (у – 0)² = 2²,

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке (–2;
0) и
радиусом 2.

От графиков функций
необходимо отличать графики уравнений.

ПРИМЕР:

На координатной плоскости изображена окружность радиусом r = 5 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности:

х² + у²
= 25.

Можно сказать и так: графиком уравнения

х² + у²
= 25

будет окружность, изображённая на рисунку.

А можно график уравнения

х² + у²
= 25

считать графиком некоторой функции ? Нет. Если переменные х и у связаны соотношением

х² + у²
= 25,

то одному значению
х = 3 соответствует два
разных значения переменной у: 4 и –4.
А соотношение между переменными х и у только тогда считается функцией, когда каждому
значению х из области определения соответствует одно
значение у.
График уравнения только тогда будет графиком некоторой функции, если каждая
прямая, параллельная оси у, пересекает
его не больше чем в одной точке.

ПРИМЕР:

Изображённые на рисунке полуокружности – графики функций

Их объединение – вся окружность – график не функции, а уравнения

у²= 25 – х², или

у²+
х² = 25.

Задания к уроку 27

Источник

Как построить окружность?

Окружностью называется фигура которая состоит из всех точек плоскости равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Радиусом называется любой отрезок соединяющей точку окружности с ее центром.

Чтобы построить окружность необходимо знать уравнение окружности:

(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2

Точка С(а;b) центр окружности, радиус R, х и у – координаты произвольной точки окружности.

И так, чтобы построить окружность необходимо знать цент окружности и радиус. Рассмотрим пример:

Пример №1:
(х – 1) 2 + (у – 2) 2 = 4 2

Найдем центр окружности:
х – 1=0
x=1

Центр окружности будет находится в точке (1;2)

Найдем радиус окружности:
R 2 =4
R 2 =2 2
R=2

Построим окружность. Отметим сначала центр окружности, а потом отложим с четырех сторон (вверх, вниз, влево и право) длину радиуса и отметим эту длину точками. Потом проведем окружность.

Пример №2:
х 2 + (у + 1) 2 =1

Можно представить уравнение окружности ввиде:
(х-0) 2 + (у + 1) 2 =1 2

Найдем центр окружности:
х=0

Центр окружности будет находится в точке (0;–1)

Найдем радиус окружности:
R 2 =1
R 2 =1 2
R=1

Построим окружность.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm<frac1x>) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<7>=-frac<2> + 2 > ) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm> ) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm=2> )

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<5>> ) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<5>=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) (mathrm<frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-uravnenie-okruzhnosti/

Найти центр и радиус окружности

Источник

Уравнение

x−a2+y−b2=r2

графически представляется окружностью с центром в точке ((a; b)) и радиусом (r).

Пример:

дано уравнение

x+12+y−32=4

. Выполнить его график.

Запишем уравнение в виде

x−−12+y−32=22

Изобразим окружность с центром в точке ((-1; 3)) и радиусом (2).

Источник

Если окружность задана уравнением вида

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]$

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

$[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]$

$[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]$

$[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]$

$[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]$

$[5){x^2} + {y^2} = 11.]$

Решение:

$[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]$

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

$[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]$

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

$[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]$

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

$[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]$

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

$[5){x^2} + {y^2} = 11.]$

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

$[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,]$

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

$[({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + c = 0,]$

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

$[({x^2} - 2ax + {a^2}) - {a^2} + ({y^2} - 2by + {b^2}) - {b^2} + c = 0.]$

Отсюда

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + c - {a^2} - {b^2} = 0,]$

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.]$

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

$[R = sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .]$

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

$[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0;]$

$[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0;]$

$[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0.]$

Решение:

$[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0]$

Группируем слагаемые

$[({x^2} + 10x) + ({y^2} - 6y) - 15 = 0]$

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

$[{x^2} + 10x = ({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2}.]$

Аналогично

$[{y^2} - 6y = ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2}.]$

Таким образом,

$[({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2} - 15 = 0]$

$[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} - 25 - 9 - 15 = 0]$

$[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} = 49]$

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

$[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0]$

$[({x^2} - 5x) + {y^2} + 4 = 0]$

$[({x^2} - 2 cdot x cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + {y^2} + 4 = 0]$

$[{(x - 2,5)^2} + {y^2} + 4 - 6,25 = 0]$

$[{(x - 2,5)^2} + {y^2} = 2,25]$

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

$[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0]$

Разделим обе части уравнения на 3:

$[{x^2} + {y^2} - frac{4}{3}x - 3y + frac{4}{3} = 0]$

Далее — аналогично

$[({x^2} - frac{4}{3}x) + ({y^2} - 3y) + frac{4}{3} = 0]$

$[({x^2} - 2 cdot x cdot frac{2}{3} + {(frac{2}{3})^2}) - {(frac{2}{3})^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot frac{3}{2} + {(frac{3}{2})^2}) - ]$

$[ - {(frac{3}{2})^2} + frac{4}{3} = 0]$

$[{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} - frac{{{4^{backslash 4}}}}{9} - frac{{{9^{backslash 9}}}}{4} + frac{{{4^{backslash 12}}}}{3} = 0]$

$[{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} = frac{{49}}{{36}}]$

Центр этой окружности лежит в точке

$[(frac{2}{3};frac{3}{2}),R = frac{7}{6}.]$

Источник

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x² + 2x – 1 – парабола, (mathrm{y=frac1x}) – гипербола.

Если записать такое выражение: x²(x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Все записанные выражения являются уравнениями с двумя переменными.
В общем случае их принято записывать в виде F(x; y) = 0.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x² + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm{frac1x}) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x²(x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

F(–x; y) = 0

Симметричное отображение относительно оси OY

F(x; –y) = 0

Симметричное отображение относительно оси OX

F(–x; –y) = 0

Центральная симметрия относительно начала координат

F(x – a; y) = 0
a > 0

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

F(x + a; y) = 0
a > 0

Параллельный перенос графика на a единиц влево

F(x; y – b) = 0
b > 0

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

F(x; y + b) = 0
b > 0

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

F(ax; y) = 0
a > 1

Сжатие графика к оси OY в a раз

F(ax; y) = 0
0 < a < 1

Растяжение графика от оси OY в $frac{1}{a}$ раз

F(x; by) = 0
b > 1

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 < b < 1

Растяжение графика от оси OX в (mathrm{frac{1}{b}}) раз

F(|x|; y) = 0

Зеркальное отображение в левой полуплоскости части графика begin{gather*} left{ begin{array}{ l } mathrm{F(x;y)=0} & \ mathrm{xgt y} & end{array}right. , end{gather*}расположенного в правой полуплоскости.

F(x; |y|) = 0

Зеркальное отображение в нижней полуплоскости части графика begin{gather*} left{ begin{array}{ l } mathrm{F(x;y)=0} & \ mathrm{ygt y} & end{array}right. , end{gather*}расположенного в верхней полуплоскости.

п.3. Уравнение окружности

Окружность с центром в точке O($x_0, y_0$) и радиусом R в прямоугольной системе координат задаётся уравнением: $$ mathrm{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2} $$

Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm{(x-2)^2+(y-1)^2=9} $$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm{y=frac{-2x+14}{7}=-frac{2}{x} + 2 } ) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm{y=frac{-4}{x}} ) – это гипербола

в) ( x+ 2)² + y² = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm{R=sqrt{4}=2} )

г) x² + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm{y=frac{-x^2+2}{5}} ) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm{y=frac{-2|x|+10}{5}=-frac25|x|+2} )
Строим график для ( mathrm{xgt 0: y=-frac25 x+2} ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) (mathrm{frac{|x-1|}{2}+2|y-2|=4})
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x² + 4x + 4) + (y² – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2)² + (y – 3)² = 3² – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

б) (mathrm{x^2+y^2-x+8y+15frac14=0})
Выделим полные квадраты:
(mathrm{left(x^2-x+frac14right)+(y^2+8y+16)-1=0})
(mathrm{left(x-frac12right)^2+(y+4)^2=1}) – уравнение окружности с центром (mathrm{left(frac12; -4right)}), радиусом 1

Источник