Хорда гиперболы как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение $e=frac{c}{a}$ , где $c=sqrt{a^2+b^2}$ , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Гипербола и фокальное свойство гипербол

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

$left||overrightarrow{F_1M}|-|overrightarrow{F_2M}|right|=2a.$

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}-sqrt{(x-c)^2+y^2}=pm2a.$

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,,$

где $b=sqrt{c^2-a^2}$ , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $a^2!!not{phantom{|}},c$ от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

Директрисы гиперболы и директориальное свойство

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=eleft(x-frac{a^2}{c}right)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

$frac{r_1}{rho_1}=e quad Leftrightarrow quad sqrt{(x+c)^2+y^2}= eleft(x+frac{a^2}{c} right).$

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2rvarphi (рис.3.41,б) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$ , где $p=frac{p^2}{a}$ — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,varphi) и F_1(2c,pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$F_1M=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)^2cdot rcdotcos(varphi-pi)}=sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.$

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

$sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}-r=2a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2+4crcdotcosvarphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 quad Leftrightarrow quad aleft(1-frac{c}{a}cosvarphiright)r=c^2-a^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замены $e=frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{c^2-a^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecosvarphi},$

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),,(0,b) , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые $y=pmfrac{b}{a},x$ , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox'y' (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид $y'=frac{a^2}{2x'}$ (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

Асимптоты гиперболы и равносторонняя гипербола

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол $varphi=-frac{pi}{4}$ (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

$left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y',\ y&=-frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y'end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(x'+y'),\ y&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(y'-x')end{aligned}right.$

Подставляя эти выражения в уравнение $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

$frac{frac{1}{2}(x'+y')^2}{a^2}-frac{frac{1}{2}(y'-x')^2}{a^2}=1 quad Leftrightarrow quad 2cdot x'cdot y'=a^2 quad Leftrightarrow quad y'=frac{a^2}{2cdot x'}.$

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: $operatorname{tg}frac{gamma}{2}=frac{b}{2}$ . Учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2+b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{left(frac{b}{a}right)!}^2=1+operatorname{tg}^2frac{gamma}{2}.$

Чем больше , тем больше угол gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=sqrt{2} и $gamma=frac{pi}{2}$ . Для e>sqrt{2} угол gamma тупой, а для 1<e<sqrt{2} угол gamma острый (рис.3.43,а).

Эксцентриситет гиперболы и сопряжённая гипербола

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ и $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}-frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение $-frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotoperatorname{ch}t,\y=bcdotoperatorname{sh}t,end{cases}tinmathbb{R},$

где $operatorname{ch}t=frac{e^t+e^{-t}}{2}$ — гиперболический косинус, a $operatorname{sh}t=frac{e^t-e^{-t}}{2}$ гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству $operatorname{ch}^2t-operatorname{sh}^2t=1$ .

Построение гиперболы в канонической системе координат

Пример 3.21. Изобразить гиперболу $frac{x^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — действительная полуось, b=3 — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

$frac{4^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=27 quad Leftrightarrow quad y=pm3sqrt{3}.$

Следовательно, точки с координатами (4;3sqrt{3}) и (4;-3sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

$2cdot c=2cdotsqrt{a^2+b^2}=2cdotsqrt{2^2+3^2}=2sqrt{13}$

эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{13}}{2}$ ; фокальныи параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{3^2}{2}=4,!5$ . Составляем уравнения асимптот $y=pmfrac{b}{a},x$ , то есть $y=pmfrac{3}{2},x$ , и уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}=frac{4}{sqrt{13}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой
называется геометрическое место точек
плоскости, модуль разности расстояний
от каждой из которых до двух заданных
точек иесть
величина постоянная,
меньшая расстояниямежду
этими заданными точками (рис.3.40,а). Это
геометрическое определение
выражаетфокальное
свойство гиперболы.

Фокальное
свойство гиперболы

Точки иназываются
фокусами гиперболы, расстояниемежду
ними — фокусным расстоянием,
серединаотрезка—
центром гиперболы, число—
длиной действительной оси гиперболы
(соответственно,—
действительной полуосью гиперболы).
Отрезкии,
соединяющие произвольную точкугиперболы
с ее фокусами, называются фокальными
радиусами точки.
Отрезок, соединяющий две точки гиперболы,
называется хордой гиперболы.

Отношение ,
где,
называетсяэксцентриситетом
гиперболы.
Из определения следует,
что.

Геометрическое
определение гиперболы,
выражающее ее фокальное свойство,
эквивалентно ее аналитическому
определению — линии, задаваемой
каноническим уравнением гиперболы:

(3.50)

Действительно,
введем прямоугольную систему координат
(рис.3.40,б). Центр гиперболы
примем за начало системы координат;
прямую, проходящую через фокусы (фокальную
ось), примем за ось абсцисс (положительное
направление на ней от точкик
точке);
прямую, перпендикулярную оси абсцисс
и проходящую через центр гиперболы,
примем за ось ординат (направление на
оси ординат выбирается так, чтобы
прямоугольная система координатоказалась
правой).

Составим
уравнение гиперболы, используя
геометрическое определение, выражающее
фокальное свойство. В выбранной системе
координат определяем координаты
фокусов и.
Для произвольной точки,
принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая
это уравнение в координатной форме,
получаем:

Выполняя
преобразования, аналогичные преобразованиям,
используемым при выводе уравнения
эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности),
приходим к каноническому уравнению
гиперболы:

где ,
т.е. выбранная система координат является
канонической.

Проводя
рассуждения в обратном порядке, можно
показать, что все точки, координаты
которых удовлетворяют уравнению (3.50),
и только они, принадлежат геометрическому
месту точек, называемому гиперболой.
Таким образом, аналитическое определение
гиперболы эквивалентно его геометрическому
определению.

Директориальное
свойство гиперболы

Директрисами
гиперболы называются две прямые,
проходящие параллельно оси ординат
канонической системы координат на
одинаковом расстоянии от
нее (рис.3.41,а). При,
когда гипербола вырождается в пару
пересекающихся прямых, директрисы
совпадают.

Гиперболу
с эксцентриситетом можно
определить, как геометрическое место
точек плоскости, для каждой из которых
отношение расстояния до заданной
точки(фокуса)
к расстоянию до заданной прямой(директрисы),
не проходящей через заданную точку,
постоянно и равно эксцентриситету(директориальное
свойство гиперболы).
Здесь и—
один из фокусов гиперболы и одна из ее
директрис, расположенные по одну сторону
от оси ординат канонической системы
координат.

В
самом деле, например, для фокуса и
директрисы(рис.3.41,а)
условиеможно
записать в координатной форме:

Избавляясь
от иррациональности и заменяя ,
приходим к каноническому уравнению
гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения
можно провести для фокусаи
директрисы:

Уравнение
гиперболы в полярной системе координат

Уравнение
правой ветви гиперболы в полярной
системе координат (рис.3.41,б)
имеет вид

,
где —фокальный
параметр гиперболы.

В
самом деле, выберем в качестве полюса
полярной системы координат правый
фокус гиперболы,
а в качестве полярной оси — луч с началом
в точке,
принадлежащий прямой,
но не содержащий точки(рис.3.41,б).
Тогда для произвольной точки,
принадлежащей правой ветви гиперболы,
согласно геометрическому определению
(фокальному свойству) гиперболы, имеем.
Выражаем расстояние между точкамии(см.
пункт 2 замечаний 2.8):

Следовательно,
в координатной форме уравнение гиперболы
имеет в

Уединяем
радикал, возводим обе части уравнения
в квадрат, делим на 4 и приводим подобные
члены:

Выражаем
полярный радиус и
делаем замены:

что
и требовалось доказать. Заметим, что в
полярных координатах уравнения гиперболы
и эллипса совпадают, но описывают разные
линии, поскольку отличаются эксцентриситетами
(для
гиперболы,для
эллипса).

Геометрический
смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем
точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а)
с осью абсцисс (вершины гиперболы).
Подставляя в уравнение ,
находим абсциссы точек пересечения:.
Следовательно, вершины имеют координаты.
Длина отрезка, соединяющего вершины,
равна.
Этот отрезок называется действительной
осью гиперболы, а число—
действительной полуосью гиперболы.
Подставляя,
получаем.
Длина отрезка оси ординат, соединяющего
точки,
равна.
Этот отрезок называется мнимой осью
гиперболы, а число—
мнимой полуосью гиперболы. Гипербола
пересекает прямую, содержащую
действительную ось, и не пересекает
прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания
3.10.

1. Прямые ограничивают
на координатной плоскости основной
прямоугольник, вне которого находится
гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые ,
содержащие диагонали основного
прямоугольника, называются асимптотами
гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней
гиперболы,
описываемой уравнением (т.е.
при),
основной прямоугольник является
квадратом, диагонали которого
перпендикулярны. Поэтому асимптоты
равносторонней гиперболы также
перпендикулярны, и их можно взять в
качестве координатных осей прямоугольной
системы координат(рис.3.42,б).
В этой системе координат уравнение
гиперболы имеет вид(гипербола
совпадает с графиком элементарной
функции, выражающей обратно-пропорциональную
зависимость).

В
самом деле, повернем каноническую
систему координат на угол (рис.3.42,б).
При этом координаты точки в старой и
новой системах координат связаны
равенствами

Подставляя
эти выражения в уравнение равносторонней
гиперболы и приводя подобные члены,
получаем

3. Координатные
оси (канонической системы координат)
являются осями симметрии гиперболы
(называются главными осями гиперболы),
а ее центр — центром симметрии.
Действительно,
если точка принадлежит
гиперболе.
то и точкии,
симметричные точкеотносительно
координатных осей, также принадлежат
той же гиперболе.

Ось
симметрии, на которой располагаются
фокусы гиперболы, является фокальной
осью.

4. Из
уравнения гиперболы в полярных
координатах (см.
рис.3.41,б) выясняется геометрический
смысл фокального параметра — это
половина длины хорды гиперболы, проходящей
через ее фокус перпендикулярно фокальной
оси (при).

5. Эксцентриситет характеризует
форму гиперболы. Чем больше,
тем шире ветви гиперболы, а чем ближек
единице, тем ветви гиперболы уже
(рис.3.43,а).

Действительно,
величина угла
между асимптотами гиперболы, содержащего
ее ветвь, определяется отношением сторон
основного прямоугольника:.
Учитывая,чтои,
получаем

Чем
больше ,
тем больше угол.
Для равносторонней гиперболыимееми.
Дляуголтупой,
а дляуголострый
(рис.3.43,а).

6.
Две гиперболы, определяемые в одной и
той же системе координат
уравнениями иназываютсясопряженными
друг с другом.
Сопряженные гиперболы имеют одни и те
же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение
сопряженной гиперболы приводится
к каноническому при помощи переименования
координатных осей (3.38).7. Уравнение определяет
гиперболу с центром в точке,
оси которой параллельны координатным
осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится
к каноническому при помощи параллельного
переноса (3.36). Уравнениеопределяет
сопряженную гиперболу с центром в
точке.

Параметрическое
уравнение гиперболы

Параметрическое
уравнение гиперболы в канонической
системе координат имеет вид

где —
гиперболический косинус, aгиперболический
синус.

Действительно,
подставляя выражения координат в
уравнение (3.50), приходим к основному
гиперболическому тождеству .

Пример
3.21. Изобразить
гиперболу в
канонической системе координат.
Найти полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет, фокальный параметр,
уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая
заданное уравнение с каноническим,
определяем полуоси: —
действительная полуось,—
мнимая полуось гиперболы. Строим основной
прямоугольник со сторонамис
центром в начале координат (рис.3.44).
Проводим асимптоты, продлевая диагонали
основного прямоугольника. Строим
гиперболу, учитывая ее симметричность
относительно координатных осей. При
необходимости определяем координаты
некоторых точек гиперболы. Например,
подставляяв
уравнение гиперболы, получаем

Следовательно,
точки с координатами ипринадлежат
гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

эксцентриситет ;
фокальныи параметр.
Составляем уравнения асимптот,
то есть,
и уравнения директрис:.

Парабола
и её каноническое уравнение

Определение. Параболой
называется геометрическое место точек,
для каждой из которых расстояние до
некоторой фиксированной точки плоскости,
называемой фокусом, равно расстоянию
до некоторой фиксированной прямой, не
проходящей через фокус и называемой
директрисой.

Определение. Расстояние
от фокуса параболы до её директрисы
называется параметром параболы.
Эксцентриситет параболы принимается
равным единице.

Опустим
из фокуса перпендикуляр
на директрисуи
точку пересечения этого перпендикуляра
с директрисой параболы обозначим
буквой.
Введём на плоскости ДПСК, поместив
начало координатв
центре отрезка,
принимая за осьпрямую,
с положительным направлением отк(См.
рис.176).

Рис.
176

Расстояние от
фокусадо
директрисыобозначим
буквой(это
параметр параболы). В выбранной системе
координат фокусимеет
координаты.
Уравнение директрисы.

Пусть —
произвольная точка плоскости. Обозначим
черезрасстояниеот
точкидо
фокусапараболы,
а через—
расстояниеот
точкидо
директрисы этой параболы.

Точка лежит
на данной параболе тогда и

только
тогда, когда .
Так как,

а ,
то уравнение параболы имеет вид:

.
Это уравнение эквивалентно следующему
уравнению: .

Или: (1)

Определение. Уравнение
(1) называется каноническим уравнением
параболы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

$begingroup$

Equation of chord of hyperbola joining points $(asecphi,btanphi)$ and $(asecphi_1,btanphi_1) $ $$y-btanphi=frac{btanphi-btanphi_1}{asecphi-asec phi_1}(x-asecphi) $$ This reduces to $$frac{y}{b}sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)-frac{x}{a}cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)=tanphi sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)-secphi cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big) $$
Now I want to reduce this in the form$$-frac{y}{b}sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)+frac{x}{a}cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)=cosBig(frac{phi+phi_1}{2}Big) $$
How to get this form ? Most of the books use this one but they dont give the proof which I seek.

asked Oct 20, 2015 at 6:47

mathemathermathemather

2,70518 silver badges39 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

If you multiply both sides of $$frac{y}{b}sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)-frac{x}{a}cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)=tanphi sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)-secphi cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)$$ by $-1$ you get:
$$frac{x}{a}cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)-frac{y}{b}sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)=secphi cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)-tanphi sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)$$
which means that all we need to show is that:
$$ secphi cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)-tanphi sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)=cosleft(frac{phi+phi_1}{2}right) $$
which you can prove by doing the following:$$
sec phileft[ cosBig(frac{phi-phi_1}{2}Big)-sinphi sinBig(frac{phi+phi_1}{2}Big)right]$$
then decompose the cosine and sine using the addition formula:
$$ sec phi left[
cosleft(frac{phi}{2}right)cosleft(frac{phi_1}{2}right)+sinleft(frac{phi}{2}right)sinleft(frac{phi_1}{2}right)
\
-sinphileft( sinleft(frac{phi}{2}right) cosleft(frac{phi_1}{2}right)+cosleft(frac{phi}{2}right)sinleft(frac{phi_2}{2}right)
right)
right] $$
then use the identity $sinphi=2sinleft(frac{phi}{2}right)cosleft(frac{phi}{2}right)$ and collect some like terms together to get:

$$
sec phi left[
cosleft(frac{phi}{2}right)cosleft(frac{phi_1}{2}right)left[ 1-2sin^2left(frac{phi}{2}right)right]+sinleft(frac{phi}{2}right)sinleft(frac{phi_1}{2}right)left[ 1-2cos^2left(frac{phi}{2}right) right]
right]
$$
then you can use the identities
$$cosphi=2cos^2left(frac{phi}{2}right)-1=1-2sin^2left(frac{phi}{2}right)$$
to get:
$$ sec phi left[
cosleft(frac{phi}{2}right)cosleft(frac{phi_1}{2}right)left[cosphiright]+sinleft(frac{phi}{2}right)sinleft(frac{phi_1}{2}right)left[-cosphi right]
right]$$
which gives:
$$
cosleft(frac{phi}{2}right)cosleft(frac{phi_1}{2}right)-sinleft(frac{phi}{2}right)sinleft(frac{phi_1}{2}right)
$$
which, of course is:
$$ cosleft(frac{phi+phi_1}{2}right) $$
which is what we needed to show.

answered Oct 22, 2015 at 14:43

JayJay

1,8451 gold badge14 silver badges21 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

The rhs of your second and third equations should be equal and opposite, as one can verify:
$$
tanphi sin { phi + phi_1 over 2} — sec phi cos {phi — phi_1 over 2} + cos {phi + phi_1 over 2} =
{1 over cos phi} left( sin phi sin {phi+ phi_1 over 2} — cos { phi- phi_1 over 2} + cos phi cos { phi+ phi_1 over 2}
right)=
{1 over cos phi} left( cos { phi — phi_1 over 2} — cos {phi — phi_1 over 2} right) = 0
$$
where in the third line, I used the trig identity
$$
cos (a — b) = cos a cos b + sin a sin b
$$

answered Oct 22, 2015 at 14:42

$endgroup$

$begingroup$

Another method which does not require ingenious use of trigonometric identities goes as follows
Equation of tangent to hyperbola at point $(asec A,btan A)$ is $$frac{x}{a}sec A-frac{y}{b}tan A=1 $$
Equation of tangent to hyperbola at point $(asec B,btan B)$ is $$frac{x}{a}sec B-frac{y}{b}tan B=1 $$
The intersection of these two tangents is the point $$Bigg(afrac{cosfrac{A-B}{2}}{cosfrac{A+B}{2}},bfrac{sinfrac{A+B}{2}}{cosfrac{A+B}{2}}Bigg) $$
The equation of chord of contact from a point on a conic is $T=0$. Hence equation of chord is $$frac{x}{a^2}afrac{cosfrac{A-B}{2}}{cosfrac{A+B}{2}} -frac{y}{b^2}bfrac{sinfrac{A+B}{2}}{cosfrac{A+B}{2}}=1 $$ Which on simplification gives $$frac{x}{a}{cosfrac{A-B}{2}}-frac{y}{b}sinfrac{A+B}{2}=cosfrac{A-B}{2} $$

answered May 13, 2016 at 15:06

mathemathermathemather

2,70518 silver badges39 bronze badges

$endgroup$

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 07.04.2018

Сообщений: 30

Длина хорды гиперболы

18.04.2018, 06:11. Показов 2377. Ответов 4

Найти длину хорды гиперболы (x^2/a^2)-(y^2/b^2) проходящей через ее фокусы и перпендикулярной к факельной оси

Programming

Эксперт

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

18.04.2018, 06:11

Ответы с готовыми решениями:

Вычислить длину хорды
Всем привет! Такое вот задание, помогите кто чем может:

Из точки Р(х,у) проведены касательные к…

Определить длину хорды
На плоскости есть круг и прямая, пересекающая его в двух точках. Определить длину хорды.

нарисовать хорды в долях
начальные координаты x,y,

maxsize — размер всего поля рисования
size — размер этого…

Задача про хорды.
Подскажите пожалуйста, как можно использовать так называемое дерево отрезков для решения задачи:
…

Nacuott

18.04.2018, 07:05

Не по теме:

Denis2299 , вы бы переставили в предпоследнем слове буквы а и е, тогда вам точно помогут.

Любитель математики

1476 / 987 / 282

Регистрация: 27.01.2014

Сообщений: 3,275

18.04.2018, 09:26

Denis2299, уравнение гиперболы имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,$ если фокусы расположены на оси абсцисс, и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=-1,$ если фокусы расположены на оси ординат. Какая из гипербол имеется в виду в задании, которое Вы должны выполнить?

3944 / 2858 / 665

Регистрация: 08.06.2007

Сообщений: 9,668

Записей в блоге: 4

18.04.2018, 13:05

Параметр p это половина хорды. А как известно p=b^2/a, ну или p=a^2/b. Здесь всё зависит от того, как ТС ответит на справедливый вопрос angor6.
Задача на знание этой формулы что ли?

0 / 0 / 0

Регистрация: 07.04.2018

Сообщений: 30

20.04.2018, 11:27

[ТС]

Да всем спасибо. Уже разобрался

Источник

515 Составить уравнение гиперболы,
фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная,
кроме того, что:
515.1 ее оси 2a=10 и 2b=8;
515.2 расстояние между
фокусами 2c=10 и ось 2b=8;
515.3 расстояние между
фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;
515.4 ось 2a=16 и
эксцентриситет e=5/4;
515.5 уравнения асимптот

и расстояние между фокусами 2c=20;
515.6 расстояние между
директрисами равно 228/13 и расстояние между
фокусами 2c=26;
515.7 расстояние между
директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
515.8 расстояние между
директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2;
515.9 уравнения асимптот

и расстояние между директрисами
равно 64/5; 516 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которого
расположены на оси ординат симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что: 516.1 ее полуоси a=6, b=18
(буквой а мы обозначаем полуось гиперболы,
расположенной на оси абсцисс); 516.2 расстояние между
фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3;
516.3 уравнения асимптот

и расстояние между вершинами равно
48; 516.4 расстояние между
директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5; 516.5 уравнения асимптот

и расстояние между директрисами
равно 32/5. 517 Определить полуоси
а и b каждой из следующих гипербол: 517.1

; 517.2

; 517.3

; 517.4

; 517.5

; 517.6

; 517.7

. 518 Дана гипербола

. Найти: полуоси а и b, фокусы,
эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения
директрис. 519 Дана гипербола

. Найти: полуоси а и b, фокусы,
эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения
директрис. 520 Вычислить площадь
треугольника, образованного асимптотами
гиперболы

и прямой

. 521 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 521.1

; 521.2

; 521.3

; 521.4

. 522 Дана точка M₁(10;

) на гиперболе

. Составить
уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М₁. 523 Убедившись, что
точка М₁(-5; 9/4) лежит
на гиперболе

, определить фокальные радиусы точки
М₁. 524 Эксцентриситет
гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М,
проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
Вычислить расстояние от точки М до односторонней
с этим фокусом директрисы. 525 Эксцентриситет
гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до
директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до
директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки
М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. 526 Эксцентриситет
гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат,
один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от
точки М₁ гиперболы
с абсциссой, равной 13, до директрисы,
соответствующей заданному фокусу. 527 Эксцентриситет
гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат,
одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить
расстояние от точки М₁ гиперболы с абсциссой, равной 10, до
фокуса, соответствующего заданной директрисе. 528 Определить точки
гиперболы

, расстояние от которых до
правого фокуса равно 4,5. 529 Определить точки
гиперболы

, расстояние которых до
левого фокуса равно 7. 530 Через левый фокус
гиперболы

проведен перпендикуляр к
ее оси, содержащей вершины. Определить
расстояние от фокусов до точек пересечения этого
перпендикуляра с гиперболой. 531 Пользуясь одним
циркулем, построить фокусы гиперболы

(считая,
что оси координат изображены и масштабная
единица задана). 532 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси
абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны: 532.1 точки M₁(6;
-1), M₂(-8;

) гиперболы; 532.2 точка М₁(-5;
3) гиперболы и эксцентриситет e=

; 532.3 точка М₁(9/2;
-1) гиперболы с уравнения асимптот

; 532.4 точка М₁(-3;
5/2) гиперболы и уравнения
директрис

; 532.5 уравнения асимптот

и уравнения директрис

.
533 Определить
эксцентриситет равносторонней гиперболы. 534 Определить
эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее
вершинами виден из фокусов сопряженной
гиперболы под углом 60⁰. 535 Фокусы гиперболы
совпадают с фокусами эллипса

. Составить
уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2. 536 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в
вершинах эллипса

, а директрисы
проходят через фокусы этого эллипса. 537 Доказать, что
расстояние от фокуса гиперболы

до ее
асимптоты равно b. 538 Доказать, что
произведение расстояний от любой точки
гиперболы

до двух ее асимптот есть
величина постоянная, равная

. 539 Доказать, что
площадь параллелограмма, ограниченного
асимптотами гиперболы

и
прямыми, проведенными через любую ее точку
параллельно асимптотами, есть величина
постоянная, равная ab/2. 540 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и
b, центр C(x₀; y₀) и фокусы расположены на прямой: 540.1 параллельной оси Ox; 540.2 параллельной оси Oy. 541 Установить, что
каждое из следующих уравнений определяет
гиперболу, и найти координаты ее центра С,
полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и
уравнения директрис: 541.1

; 541.2

; 541.3

. 542 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже.
542.1

;
542.2

; 542.3

; 542.4

. 543 Составить
уравнение гиперболы, зная, что: 543.1 расстояние между ее
вершинами равно 24 и фокусы суть F₁(-10;
2), F₂(16; 2); 543.2 фокусы суть F₁(3; 4), F₂(-3; -4) и
расстояние между директрисами равно 3,6; 543.3 угол между
асимптотами равен 90⁰ и фокусы суть F₁(4; -4), F₂(-2;
2). 544 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее
эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение
соответствующей директрисы

. 545 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее
эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение
соответствующей директирсы

. 546 Точка А(-3; -5) лежит
на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а
соответствующая директриса дана уравнением

. Составить уравнение этой гиперболы. 547 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее
эксцентриситет e=

, фокус F(2; -3) и
уравнение соответствующей директрисы

. 548 Точка М₁(1;
-2) лежит на гиперболе, фокус
которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана
уравнением

. Составить уравнение этой гиперболы. 549 Дано уравнение
равносторонней гиперболы

. Найти
ее уравнение в новой системе, приняв за оси
координат ее асимптоты. 550 Установив, что
каждое из следующих уравнений определяет
гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси,
уравнения асимптот и построить их на чертеже: 550.1

; 550.2

; 550.3

. 551 Найти точку
пересечения прямой

и гиперболы

. 552 Найти точки
пересечения прямой

и гиперболы

. 553 Найти точки
пересечения прямой

и гиперболы

. 554 В следующих случаях
определить, как расположена прямая относительно
гиперболы: пересекает ли, касается или проходит
вне ее: 554.1

; 554.2

; 554.3

. 555 Определить, при
каких значениях m прямая

: 555.1 пересекает
гиперболу

: 555.2 касается ее; 555.3 проходит вне этой
гиперболы. 556 Вывести условие,
при котором прямая

касается гиперболы

. 557 Составить
уравнение касательной к гиперболе

в ее
точке M₁(x₁; y₁). 558 Доказать, что
касательные к гипербле, проведенные в концах
одного и того же диаметра, параллельны. 559 Составить
уравнения касательных к гиперболе

, перпендикулярных
к прямой

. 560 Составить
уравнения касательных к гиперболе

, параллельных
прямой

. 561 Провести
касательные к гиперболе

параллельно
прямой

и вычислить расстояние d между ними. 562 На гиперболе

найти точку М₁, ближайшую к прямой

, и
вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой. 563 Составить
уравнение касательной к гиперболе

, проведенных
из точки А(-1; -7). 564 Из точки С(1; -10)
проведены касательные к гиперболе

. Составить
уравнение хорды, соединяющей точки касания. 565 Из точки Р(1; -5)
проведены касательные к гиперболе

. Вычислить
расстояние d от точки Р до хорды гиперболы,
соединяющей точки касания. 566 Гипербола проходит
через точку А(

; 3) и касается прямой

. Составить
уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси
совпадают с осями координат. 567 Составить
уравнение гиперболы, касающейся прямых

, при
условии, что ее оси совпадают с осями координат. 568 Убедившись, что
точки пересечения эллипса

и
гиперболы

являются вершинами прямоугольника,
составить уравнения его сторон. 569 Даны гиперболы

и какая-нибудь ее касательная, Р –
точка пересечения касательной с осью Ох, Q –
проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что

. 570 Доказать, что
фокусы гиперболы расположены по разные стороны
от любой ее касательной. 571 Доказать, что
произведение расстояний от фокусов до любой
касательной к гиперболе

есть
величина постоянная, равная b². 572 Прямая

касается
гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁(-3;
0), F₂(3; 0). Составить
уравнение этой гиперболы. 573 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которой расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
гиперболе

и расстояние между ее
вершинами 2а=8. 574 Доказать, что
прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит
внутри угла F₁MF₂. 575 Из правого фокусы
гиперболы

под углом

(

) к
оси Ох направлен луч света. Известно, что

. Дойдя
до гиперболы, луч от нее отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч. 576 Доказать, что
эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы,
пересекаются под прямым углом. 577 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3.
Определить уравнение линии, в котороую при этом
сжатии преобразуется гипербола

. 578 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5.
Определить уравнение линии, в которую при этом
сжатии преобразуется гипербола

. 579 Найти уравнение
линии, в которую преобразуется гипербола

при двух последовательных
равноменых сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3. 580 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ох, при котором гипербола