Изменение импульса тела как найти массу - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

p = mv

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

10 г = 0,01 кг

Импульс равен:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Определение

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p_1отн2 = m₁v_1отн2 = m₁(v₁ – v₂)

p_1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v_1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

15 т = 15000 кг

p_1отн2 = m₁(v₁ – v₂) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙10³ (кг∙м/с)

Изменение импульса тела

ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:

∆p = p – p₀ = p + (– p₀)

∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар
	Конечная скорость после удара: v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0.
Абсолютно упругий удар
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v₀. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p₀. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p₀ = 2p.
Пуля пробила стенку
	Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p₀ – p = m(v₀ – v)
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов
	Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p₀ = 2p = 2mv₀
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v₀. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p₀. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

Или:

F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Определение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Определение

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.

Важно!

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m₁v₁ = (m₁ + m₂)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m₁v₁ ± m₂v₂ = ±(m₁ + m₂)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m₁v’₁ – m₂v’₂
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m₁ + m₂)v = ± m₁v’₁ ± m₂v’₂

Сохранение проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

m₂v₂ = (m₁+ m₂)v

Отсюда скорость равна:

Задание EF17556

Импульс частицы до столкновения равен −p₁, а после столкновения равен −p₂, причём p₁= p, p₂= 2p, −p₁⊥−p₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:

а) p

б) p√3

в) 3p

г) p√5

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.

3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.

4.Подставить известные значения и вычислить.

Решение

Запишем исходные данные:

• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p₁= p.

• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p₂= 2p.

• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90^о.

Построим чертеж:

Так как угол α = 90^о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

Δp=√p21+p22

Подставим известные данные:

Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17695

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Алгоритм решения

1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.

2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.

3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.

Решение

Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:

p = mv

Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.

На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.

Верный ответ: б.

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22730

Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.

3.Записать формулу кинетической энергии тела.

4.Выполнить общее решение.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса камня: m₁ = 3 кг.

• Масса тележки с песком: m₂ = 15 кг.

• Кинетическая энергия тележки с камнем: E_k = 2,25 Дж.

Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:

m1v1+m2v2=(m1+m2)v

Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:

m1v1cosα=(m1+m2)v

Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:

Ek=(m1+m2)v22

Отсюда скорость равна:

v=√2Ekm1+m2

Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:

v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2

Подставим известные данные и произведем вычисления:

v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)

Ответ: 6

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22520

Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp₀, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:

а) −−→AB

б) −−→BC

в) −−→CO

г) −−→OD

Алгоритм решения

1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.

2.Применить закон сохранения импульса к задаче.

3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:

−p1+−p2=−p′
1+−p′2

Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:

−p0=−p1+−p2

Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:

−p2=−p0−−p1

Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18122

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?

Ответ:

а) 27 г

б) 64 г

в) 81 г

г) 100 г

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.

3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.

• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.

• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.

Переведем единицы измерения величин в СИ:

Сделаем чертеж:

Нулевой уровень — точка А.

После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:

mv=(m+M)V

После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.

Закон сохранения энергии для точки В:

(m+M)V22=(m+M)gh

V22=gh

Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:

V=√2glcosα

Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:

Выразим массу груза:

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 20.2k

Источник

Импульсом тела называется произведение его массы на скорость. Также импульс называют количеством движения. Импульс является векторной величиной. Направление его совпадает с направлением скорости.

Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует:

Здесь — изменение импульса за время . Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Сила здесь может быть и равнодействующей всех сил, действующих на тело.

В замкнутой системе суммарный импульс системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел в системе между собой.

Система тел может быть не замкнута вдоль одной из осей, а вдоль другой – замкнута. Тогда закон сохранения импульса будет работать в такой системе вдоль этой оси. Например, если рассматривать столкновение лодок на озере и не принимать в расчет трение, то такая система может считаться замкнутой вдоль горизонтальной оси, и вдоль этой оси работает закон сохранения импульса. Вдоль вертикальной оси действует сила тяжести, и система не замкнута.

Также при решении задач, связанных с импульсом, очень важны такие понятия, как абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. При абсолютно упругом ударе тело отскакивает от другого тела, сохраняя модуль импульса, и «угол падения равен углу отражения». При абсолютно неупругом ударе тела слипаются, образуя новое тело, масса которого равна сумме их масс. То, что удар был неупругим можно понять, например, если тело отскочило под углом, не равным углу падения, если о неупругом ударе специально не сказано в задаче.

Рассмотрим сначала простые задачи, где движение тел происходит вдоль одной прямой.

Задача 1.

Тело массой кг движется равномерно по окружности, со скоростью м/с. Определить изменение импульса тела после того, как оно пройдет четверть окружности, половину окружности.

Изменение импульса

После того, как тело пройдет четверть окружности, вектор его скорости повернется на 90 градусов, как показано на рисунке — . Изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу параллелограмма. Зеленым показан вектор изменения скорости . По теореме Пифагора можно найти его длину – он будет равен м/с, тогда изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Вектора импульсов тел системы

Вектора импульсов и их сложение

Когда тело пройдет половину окружности, вектор его скорости развернется в противоположную сторону — . Точно так же изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу многоугольника. Зеленым показан вектор изменения скорости . Видно, что м/с.

Изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Ответ: кг*м/с, кг*м/с.

Задача 2.

Снаряд массой кг вылетает из ствола орудия со скоростью м/с. Зная, что время движения снаряда внутри ствола равно с, определить среднюю силу давления пороховых газов.

На вылете из ствола пушки снаряд обладает импульсом, равным кг*м/с. Так как на систему не действуют никакие внешние силы, то импульс системы сохраняется, а до выстрела он был нулевым. После выстрела суммарный импульс системы также нулевой, а это значит, что импульс снаряда равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса пороховых газов в стволе. Таким образом, газы будут давить с силой кН

Ответ: 1000 кН

Задача 3.

На тело в течение времени с действовала сила Н. Найти массу тела, если изменение скорости тела в результате действия силы равно м/с.

Изменение импульса равно произведению изменения скорости на массу тела. Импульс силы равен , масса тела тогда кг.

Ответ: 100 кг

Задача 4.

Скорость реактивного самолета равна км/ч. На пути самолета оказалась птица массой кг. Определить среднюю силу удара птицы о стекло кабины летчика, если длительность удара с. Каково среднее давление на стекло при ударе, если площадь соприкосновения птицы со стеклом см?

Среднюю силу удара можно определить так:

Скорость самолета выразим в единицах СИ – метрах в секунду. км/ч м/с

Или 500 кН. Можно теперь определить среднее давление на стекло при ударе, только прежде представить площадь в м:

см м

Паскалей или 50 атмосфер.

Ответ: Па или 50 атмосфер.

Задача 5.

Падающий вертикально шарик массой кг ударился о пол и подпрыгнул на высоту 0,4 м. Найти среднюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара с, к моменту удара о пол скорость шарика м/с.

Шарик двигается равноускоренно, поэтому, когда он соприкоснется с полом, его вес будет больше силы тяжести. А его вес – это, собственно, и есть сила его давления на пол.

При равноускоренном движении вес можно вычислить:

Определим ускорение шарика. Здесь — мера изменения скорости шарика,

Так как шарик взлетел на высоту 0,4 метра, то определим его скорость при отрыве от пола по формуле:

Скорость шарика в наивысшей точке равна 0, поэтому:

Тогда изменение скорости

Ответ: 158 Н

Задача 6.

Шарик летит навстречу стенке со скоростью . Стенка движется навстречу шарику со скоростью . Какой станет скорость шарика после упругого удара о стенку?

Сначала рассмотрим полет шарика относительно стенки. Тогда (если мы представим себе, что смотрим от стенки, и вместе с ней двигаемся со скоростью , не замечая этого) нам будет казаться, что шарик летит на нас со скоростью . Тогда после отскока шарик изменит свою скорость на такую же по модулю, но противоположную по направлению: — это мы его от стенки наблюдаем. А вот теперь мы покинули движущуюся стенку и смотрим с неподвижной земли – и тогда шарик летит уже со скоростью — минус показывает противоположное, относительно первоначального, направление полета.

Задача 7.

Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/c, вскакивает сзади на платформу массой 12 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?

Импульс системы тел будет сохраняться вдоль горизонтальной оси. Поэтому суммарный импульс тележки (0) и мальчика () будет равен суммарному импульсу тележки с мальчиком на ней после прыжка:

Ответ: 1, 62 м/с

Задача 8.

Два неупругих шара с массами 4 и 6 кг движутся со скоростями 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если первый догоняет второй? Если они двигаются навстречу?

Запишем закон сохранения в первом случае:

Все слагаемые с плюсами, так как тела движутся в одну сторону.

Теперь тела двигаются навстречу друг другу:

Ответ: 5 м/с, 1,4 м/с

Задача 9.

Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с. Шар после попадания в песок застревает в нем. В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.

Записываем уравнение сохранения импульса системы тел вдоль горизонтальной оси: примем — масса камня, — скорость камня, — масса тележки, — скорость тележки.

За положительное направление примем направление полета камня, тогда скорость тележки будет со знаком «минус»

Получили скорость тележки с камнем со знаком «плюс» — это значит, что она после «поимки» камня поедет в противоположную сторону.

Ответ: 2 м/c

Задача 10.

Средневековая пушка массой 200 кг установлена у края плоской крыши высокой башни. Пушка выпускает ядро массой 5 кг горизонтально, оно приземляется на расстоянии 300 м от стены башни. Пушка, двигаясь без трения, откатывается назад и падает на землю. На каком расстоянии от основания башни она упадет?

Предположим, что высота стены башни . Ядро пушка выпустила горизонтально, и его полет подобен телу, брошенному горизонтально: по горизонтали ядро перемещается с постоянной скоростью, а по вертикали падает, то есть движется равноускоренно.

Тогда ядро будет падать с этой высоты в течение времени, которое можно установить из формулы:

Все это время ядро летит горизонтально с постоянной скоростью, и пролетает 300 метров. Тогда его скорость по горизонтали равна:

Импульс ядра равен импульсу пушки, поэтому пушка откатится назад со скоростью:

Здесь — масса ядра, — его скорость, — масса пушки, — ее скорость.

Найдем горизонтальную скорость пушки:

Пушка падает ровно столько же времени, как и ядро, так как все тела на Земле падают вниз с одним и тем же ускорением, поэтому пушка пролетит за время расстояние от стены до места падения, равное: м

Ответ: 7,5 м

Источник

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Импульс это векторная величина, которая определяется по формуле

Импульс служит мерой того, насколько велика должна быть сила, действующая в течение определенного времени, чтобы остановить или разогнать его с места до данной скорости. Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости.

Если тело покоится, импульс равен нулю. Ненулевым импульсом обладает любое, движущееся тело. Например, когда мяч покоится, его импульс равен нулю.

После удара он приобретает импульс. Импульс тела изменяется, так как изменяется скорость.

Импульс силы

Это векторная величина, которая определяется по формуле.

$beta=45^{circ}$

Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Это иная формулировка второго закона Ньютона

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела. Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара – 30 м/с.

Сила, с которой нога действовала на мяч – 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

[custom_ads_shortcode1]

Изменение импульса тела

Как определить изменение импульса тела? Необходимо найти численное значение импульса в один момент времени, затем импульс через промежуток времени. От второй найденной величины отнять первую. Внимание! Вычитать надо вектора, а не числа. То есть из второго вектора импульса отнять первый вектор. Смотрите вычитание векторов. Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара. 1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры, сила тяжести.

Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола. 2) Изменение импульса тела изображено на рисунке

3) Из второго закона Ньютона.

[custom_ads_shortcode2]

Главное запомнить

1) Формулы импульса тела, импульса силы; 2) Направление вектора импульса; 3) Находить изменение импульса тела

[custom_ads_shortcode3]

Вывод второго закона Ньютона в общем виде

[custom_ads_shortcode1]

График F(t). Переменная сила

Импульс силы численно равен площади фигуры под графиком F(t).

Если же сила непостоянная во времени, например линейно увеличивается F=kt, то импульс этой силы равен площади треугольника. Можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину за тот же промежуток времени

Средняя равнодействующая сила.

Категория: Закон сохранения импульсаЗаконы сохранения энергии Импульсом тела называется произведение его массы на скорость. Также импульс называют количеством движения. Импульс является векторной величиной. Направление его совпадает с направлением скорости.

Здесь – изменение импульса за время . Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Сила здесь может быть и равнодействующей всех сил, действующих на тело.

Закон сохранения импульса – следствие второго и третьего законов Ньютона. Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой. В замкнутой системе суммарный импульс системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел в системе между собой.

Рассмотрим сначала простые задачи, где движение тел происходит вдоль одной прямой. Задача 1. Тело массой кг движется равномерно по окружности, со скоростью м/с. Определить изменение импульса тела после того, как оно пройдет четверть окружности, половину окружности.

Изменение импульсаПосле того, как тело пройдет четверть окружности, вектор его скорости повернется на 90 градусов, как показано на рисунке – . Изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу параллелограмма. Зеленым показан вектор изменения скорости . По теореме Пифагора можно найти его длину – он будет равен м/с, тогда изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Вектора импульсов тел системы.

Вектора импульсов и их сложениеКогда тело пройдет половину окружности, вектор его скорости развернется в противоположную сторону – . Точно так же изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу многоугольника. Зеленым показан вектор изменения скорости . Видно, что м/с.

Изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Ответ: кг*м/с, кг*м/с.

Задача Снаряд массой кг вылетает из ствола орудия со скоростью м/с. Зная, что время движения снаряда внутри ствола равно с, определить среднюю силу давления пороховых газов.

Ответ: 100 кгЗадача 4. Скорость реактивного самолета равна км/ч. На пути самолета оказалась птица массой кг. Определить среднюю силу удара птицы о стекло кабины летчика, если длительность удара с. Каково среднее давление на стекло при ударе, если площадь соприкосновения птицы со стеклом см?

$[upsilon_1=sqrt{4cdot 20^2+80cdot500cdot0,5+500^2}=521,2]$

Среднюю силу удара можно определить так: Скорость самолета выразим в единицах СИ – метрах в секунду. км/ч м/сИли 500 кН. Можно теперь определить среднее давление на стекло при ударе, только прежде представить площадь в м:

см мПаскалей или 50 атмосфер.

Ответ: Па или 50 атмосфер. Задача 5. Падающий вертикально шарик массой кг ударился о пол и подпрыгнул на высоту 0,4 м. Найти среднюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара с, к моменту удара о пол скорость шарика м/с.

Шарик двигается равноускоренно, поэтому, когда он соприкоснется с полом, его вес будет больше силы тяжести. А его вес – это, собственно, и есть сила его давления на пол. При равноускоренном движении вес можно вычислить:

Определим ускорение шарика. Здесь – мера изменения скорости шарика, Так как шарик взлетел на высоту 0,4 метра, то определим его скорость при отрыве от пола по формуле:

Скорость шарика в наивысшей точке равна 0, поэтому:

Тогда изменение скоростиОтвет: 158 НЗадача 6. Шарик летит навстречу стенке со скоростью . Стенка движется навстречу шарику со скоростью . Какой станет скорость шарика после упругого удара о стенку?

Сначала рассмотрим полет шарика относительно стенки. Тогда (если мы представим себе, что смотрим от стенки, и вместе с ней двигаемся со скоростью , не замечая этого) нам будет казаться, что шарик летит на нас со скоростью . Тогда после отскока шарик изменит свою скорость на такую же по модулю, но противоположную по направлению: – это мы его от стенки наблюдаем. А вот теперь мы покинули движущуюся стенку и смотрим с неподвижной земли – и тогда шарик летит уже со скоростью – минус показывает противоположное, относительно первоначального, направление полета.

Задача Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/c, вскакивает сзади на платформу массой 12 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?

Ответ: 1, 62 м/сЗадача 8. Два неупругих шара с массами 4 и 6 кг движутся со скоростями 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если первый догоняет второй? Если они двигаются навстречу?

Запишем закон сохранения в первом случае: Все слагаемые с плюсами, так как тела движутся в одну сторону.

Теперь тела двигаются навстречу друг другу:

Ответ: 5 м/с, 1,4 м/сЗадача 9. Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с. Шар после попадания в песок застревает в нем. В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.

Записываем уравнение сохранения импульса системы тел вдоль горизонтальной оси: примем – масса камня, – скорость камня, – масса тележки, – скорость тележки.

За положительное направление примем направление полета камня, тогда скорость тележки будет со знаком «минус»Получили скорость тележки с камнем со знаком «плюс» – это значит, что она после «поимки» камня поедет в противоположную сторону.

Ответ: 2 м/cЗадача 10. Средневековая пушка массой 200 кг установлена у края плоской крыши высокой башни. Пушка выпускает ядро массой 5 кг горизонтально, оно приземляется на расстоянии 300 м от стены башни. Пушка, двигаясь без трения, откатывается назад и падает на землю. На каком расстоянии от основания башни она упадет?

Тогда ядро будет падать с этой высоты в течение времени, которое можно установить из формулы: Все это время ядро летит горизонтально с постоянной скоростью, и пролетает 300 метров. Тогда его скорость по горизонтали равна:

Импульс ядра равен импульсу пушки, поэтому пушка откатится назад со скоростью:

Здесь – масса ядра, – его скорость, – масса пушки, – ее скорость.

Найдем горизонтальную скорость пушки:

None Весь материал – в документе.

Проверка знания формул по темам:

«Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Импульс тела. Закон сохранения импульса».

Вопрос.	Формула.	Единица измерения.
Центростремительное ускорение.
Закон сохранения импульса. Проверка знания формул по темам:

«Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Импульс тела. Закон сохранения импульса».

Вопрос.	Формула.	Единица измерения.
Центростремительное ускорение.
Закон сохранения импульса. Проверка знания формул по темам:

«Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Импульс тела. Закон сохранения импульса».

Вопрос	Формула.	Единица измерения.
Центростремительное ускорение.
Закон сохранения импульса. Проверка знания формул по темам:

«Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Импульс тела. Закон сохранения импульса».

$[-200sin 30^{circ}-15 sin 45^{circ}=21upsilon_y]$

Вопрос.	Формула.	Единица измерения.
Центростремительное ускорение.
Закон сохранения импульса.

Источники:

fizmat.by
easy-physic.ru
videouroki.net

Источник

Задачи на Закон сохранения импульса с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на импульс тела. Задачи на Закон сохранения импульса».

Название величины	Обозначение	Единица измерения	Формула
*Скорость тела*	v	м/с	*v = p/m*
*Масса тела*	m	кг	*m = p/v*
*Импульс тела (модуль)*	p	кг•м/с	p = m•v

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.
Определите массу автомобиля, имеющего импульс 2,5•10⁴ кг•м/с и движущегося со скоростью 90 км/ч.

Задача № 2.
Тележка массой 40 кг движется со скоростью 4 м/с навстречу тележке массой 60 кг, движущейся со скоростью 2 м/с. После неупругого соударения тележки движутся вместе. В каком направлении и с какой скоростью будут двигаться тележки ?

Задача № 3.
Снаряд, выпущенный вертикально вверх, разорвался в верхней точке траектории. Первый осколок массой 1 кг приобрел скорость 400 м/с, направленную горизонтально. Второй осколок массой 1,5 кг полетел вверх со скоростью 200 м/с. Какова скорость третьего осколка, если его масса равна 2 кг?

Решение. Взрывающийся снаряд можно считать замкнутой системой, потому, что сила тяжести намного меньше, чем сила давления пороховых газов, разрывающих снаряд на осколки. Значит, можно использовать закон сохранения импульса. Поскольку разрыв снаряда произошел в верхней точке траектории, векторная сумма импульсов всех осколков должна быть равна нулю. Следовательно, векторы импульсов осколков образуют треугольник; этот треугольник прямоугольный, а искомый вектор — его гипотенуза.

Ответ: 250 м/с.

Задача № 4.
К стене прикреплен шланг с насадкой, изогнутой под прямым углом (см. рисунок). Из шланга вытекает вода со скоростью v = 10 м/с. Найдите горизонтальную составляющую силы, с которой шланг давит на стену. Площадь сечения шланга S = 10 см².

F = 1000 (кг/м³) • 0,001 (м²) • 100 (м²/с²) = 100 (кг/м•с²)
Ответ: 100 Н.

Задача № 5.
Какую силу тяги развивает реактивный двигатель, выбрасывающий каждую секунду 10 кг продуктов сгорания топлива со скоростью 3 км/с относительно ракеты?

Ответ: 30 кН.

Задача № 6. Повышенной сложности
Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с относительно льда. Найдите, на какое расстояние S откатится при этом конькобежец, если μ = 0,02.

Ответ: 0,3 м.

Задача № 7. Повышенной сложности
Деревянный брусок, движущейся вертикально, падает со скоростью v = 3 м/с на горизонтальную ленту транспортера, движущегося со скоростью u = 1 м/с. Брусок после удара не подскакивает. При каком коэффициенте трения брусок не будет проскальзывать по транспортеру?

Ответ: μ ≥ 0.33

Задача № 8.
ОГЭ
Конькобежец массой M = 70 кг, стоя на льду, бросает в горизонтальном направлении шайбу массой m = 0,3 кг со скоростью v = 40 м/с. На какое расстояние s откатится конькобежец, если коэффициент трения коньков о лёд μ = 0,02?

Задача № 9.
ЕГЭ
Вагон массой m = 4•10⁴ кг, движущийся со скоростью v = 2 м/с, в конце запасного пути ударяется о пружинный амортизатор. На сколько он сожмёт пружину амортизатора, жёсткость которой k = 2,25•10⁶ Н/м?

Краткая теория для решения задачи на Закон сохранения импульса.

Алгоритм решения задач на закон сохранения импульса:
1. Записать «дано».
2. Сделать чертеж, на котором изобразить направления импульсов (или скоростей) каждого тела до взаимодействия и после взаимодействия.
3. Записать закон сохранения импульса для данной системы в векторной форме.
4. Выбрать координатную ось (оси), найти проекции векторов на эту ось (оси).
5. Записать закон сохранения импульса в скалярной форме.
6. Решить получившееся уравнение относительно неизвестной величины.
7. Оценить ответ на реальность.

Рассмотрим взаимодействия тел, при котором они движутся вдоль одной прямой в одном направлении или навстречу друг другу. При столкновении тела испытывают соударение. Соударение может быть двух типов: упругий удар и неупругий удар.

Упругий удар — тела после взаимодействия приобретают скорости, направленные в разные стороны.
Неупругий удар — тела после взаимодействия будут двигаться вместе, как одно целое.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Закон сохранения импульса». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к теме: ЗАДАЧИ на Механические колебания
Посмотреть конспект по теме ДИНАМИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
Вернуться к списку конспектов по Физике.
Проверить свои знания по Физике.

Источник

Главная >> Введение в теорию относительности

До сих пор мы занимались исключительно пространственно-временными соотношениями, кинематикой теории относительности. Теперь нам предстоит познакомиться с основными положениями релятивистской динамики.

Прежде всего вспомним основные представления динамики классической, ньютоновской. Во-первых, считается, что свойства всякого материального тела, какова бы ни была его природа и внутренняя структура, позволяют приписать ему вполне определенные числовые значения ряда величин: массы, импульса, кинетической энергии и т. д. Во-вторых, взаимодействия между телами осуществляются посредством действующих между ними сил, которые также допускают точное числовое выражение. В-третьих, хотя в процессе движения значения всех этих величин и изменяются, но при этом они всегда удовлетворяют некоторым соотношениям, которые и выражают собой законы механики.

Так, второй закон Ньютона, лежащий в фундаменте классической динамики, утверждает, что изменение импульса какого-либо тела в течение промежутка времени t₂—t₁ всегда равно произведению величины этого промежутка на действующую на тело силу. Аналогичный смысл имеют и другие законы.

Различные физические законы обладают разной степенью общности. Одни из них применимы к сравнительно небольшому, узкому кругу явлений; для других область применимости более широка. В частности, физика сумела выявить и такие законы, которые справедливы всегда и везде, которые точнейшим образом соблюдаются буквально во всех явлениях. Важнейшими из них являются законы сохранения.

Законов этих в классической физике имеется три: закон сохранения массы, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Они утверждают, что во всякой изолированной системе тел (т. е. такой системе, которая не взаимодействует ни с какими внешними телами) суммарные масса, импульс и энергия всех составляющих данную систему тел остаются постоянными.

В ньютоновской механике импульс р тела и его кинетическая энергия Т выражаются через массу m и скорость u следующим образом:

p = mu, T = mu²/2.

Можно ли без всяких изменений перенести все эти законы и соотношения в.теорию относительности? Другими словами, совместимы ли они с релятивистской кинематикой? Легко убедиться, что ответ на этот вопрос будет отрицательным. В самом деле, рассмотрим хотя бы следующий простой пример.

Пусть навстречу друг другу движутся два абсолютно упругих шара (рис. 27). Пусть масса одного шара ровно вдвое больше массы другого, а скорость его соответственно вдвое меньше. Тогда после столкновения оба шара будут двигаться с теми же скоростями, лишь переменив их направления на обратные — только при этом условии импульс и кинетическая энергия системы этих двух тел останутся неизменными.

Рассмотрим теперь то же самое движение в системе отсчета, где первый (более легкий) шар до удара неподвижен. Из закона сложения скоростей нетрудно получить скорости обоих шаров в этой новой системе отсчета. Обозначим через и абсолютную величину скорости второго шара в старой системе отсчета. Тогда до удара в новой системе отсчета скорость первого шара будет равна, конечно, нулю, а скорость второго —

После удара скорости обоих шаров будут иметь одно и то же направление; величины их равны соответственно

Если массу первого шара принять за единицу, то масса второго шара будет равна двум единицам. Умножая эти массы на соответствующие скорости и складывая, получим суммарный импульс обоих шаров. До удара он оказывается равным

Это значит, что в новой системе отсчета закон сохранения импульса оказывается нарушенным.

Что же отсюда вытекает? Если мы желаем перенести законы сохранения в теорию относительности — а это сделать необходимо,— то для импульса и кинетической энергии следует поискать новые выражения, которые были бы полностью согласованы с релятивистской кинематикой. Для этого можно, рассматривая те или иные мысленные эксперименты в различных системах отсчета, подбирать формулы для импульса и энергии таким образом, чтобы законы сохранения выполнялись во всех системах отсчета одновременно. Ввиду некоторой сложности выкладок, мы их опускаем и приведем лишь окончательный результат. Оказывается, что единственно возможным выражением для релятивистского импульса является следующее:

Для его вывода достаточно рассмотреть следующее движение двух абсолютно упругих шаров одинаковой массы (рис. 28). Шары сначала движутся друг другу навстречу с равными скоростями, а затем, столкнувшись, расходятся так, как показано на рисунке. Соображения, основанные на симметрии этого движения, показывают, что оно, во всяком случае, возможно. Тогда, рассматривая это движение в подходящих системах отсчета и требуя выполнения закона сохранения импульса, мы придем к вышеуказанному выражению.

Нужно отметить, что формула релятивистского импульса была впервые получена Эйнштейном из электродинамики Максвелла — Лоренца. К тому времени законы движения заряженных частиц в электромагнитном поле были изучены с достаточной полнотой. Анализ их с точки зрения теории относительности приводил неизбежно к такому же выражению.

При малых скоростях, как легко убедиться, эта формула практически совпадает с классической.
Интересно выяснить, как нарастает импульс при рассмотренном нами в предыдущем параграфе равноускоренном движении. Скорость изменяется согласно уравнению

показывающему, что при равноускоренном движении импульс нарастает пропорционально времени. Этот вывод вполне согласуется с нашими представлениями о равноускоренном движении; величину m₀a с этой точки зрения следует рассматривать как силу. Впрочем, понятие силы нам в дальнейшем придется несколько уточнить.

Приведенные выше аргументы при всей их убедительности не могут, однако, рассматриваться как строгий вывод формулы релятивистского импульса. Нужно с полной ясностью отдать себе отчет в том, что чисто умозрительным путем доказать эту формулу невозможно, так же как невозможно доказать и классическую формулу р=ти. Ее надлежит рассматривать как опытный факт. То обстоятельство, что мы сумели получить ее без непосредственного обращения к опыту, этому высказыванию не противоречит, ибо те соображения, которыми мы при этом пользовались (релятивистская кинематика, принцип относительности, законы соударений упругих тел), основаны в конце концов на опыте. Из них еще не вытекает, что закон сохранения импульса в такой формулировке будет выполняться всегда и всюду; эта гипотеза, будучи чрезвычайно правдоподобной, нуждается в подтверждении на опыте. Некоторые результаты опытов мы рассмотрим ниже; сейчас же мы можем сказать, что закон сохранения релятивистского импульса подтвержден огромным экспериментальным материалом и в настоящее время по праву может считаться твердо установленным физическим фактом.

Обратимся теперь к вопросу о массе. С первого взгляда представляется, что вопрос этот уже решен,— мы обозначили массу через т₀ и без дальнейших околичностей ввели эту величину в формулу релятивистского импульса; при этом считалось само собой разумеющимся, что масса не зависит от скорости, т. е. является величиной абсолютной. Однако более внимательное рассмотрение показывает, что дело обстоит тут не так просто.

Обратимся сначала еще раз к нашей ускоренно движущейся ракете. По мере роста ее скорости дальнейшее ее ускорение происходит все медленнее; прибавить к уже имеющейся скорости одну и ту же «добавку» становится все труднее. Чем больше скорость ракеты, тем больше она «сопротивляется» попыткам дальнейшего изменения скорости. В некотором смысле инертность тела возрастает вместе с ростом его скорости. Но ведь мерой инертности является масса. Нужно признать, следовательно, что по мере увеличения скорости масса тела должна возрастать. Величина т₀ остается, конечно, постоянной; наши рассуждения показывают лишь, что свойства инертности тела характеризуются этой величиной далеко не полностью.

Теперь обратим внимание еще на один чрезвычайно важный физический закон, тесно связанный с законом сохранения импульса, так называемый закон движения центра тяжести. Он заключается, как известно, в том, что одними лишь внутренними силами нельзя изменить движения центра тяжести системы тел. Если на любую сколь угодно сложную систему внешние силы не действуют, то центр тяжести ее будет двигаться равномерно и прямолинейно. В частности, для такой системы всегда можно выбрать такую систему отсчета, в которой центр тяжести будет неподвижен, каким бы сложным ни
было движение отдельных тел. Рассмотрим этот закон с точки зрения теории относительности.
Пусть имеются два тела с массами m₀ и М₀; пусть они вначале неподвижны и соприкасаются друг с другом. Их общий центр тяжести будет находиться близ точки соприкосновения. Пусть, далее, в некоторый момент времени эти тела внезапно друг от друга отталкиваются. Для определенности можно представить себе, что это отталкивание производится с помощью сжатой пружины, которая в нужный момент освобождается. В результате оба тела получат одинаковые по величине импульсы (так как до отталкивания их общий импульс был равен нулю), но так как массы их различны, то различны будут и скорости; обозначим абсолютные величины скоростей через u и U. Через единицу времени после момента отталкивания наши тела будут находиться от прежнего положения центра тяжести на расстояниях, равных как раз u и U (рис. 29).

Известно, что центр тяжести двух тел находится на прямой, соединяющей эти тела, ближе к телу с большей массой, и притом во столько раз, во сколько раз больше масса. Так как до начала движения центр тяжести был неподвижен, он должен находиться в той же самой точке и теперь. Таким образом, должно, казалось бы, выполняться соотношение

Это значит, что, вычисляя положение центра тяжести системы движущихся тел, мы должны брать вместо
m₀ и М_о величины

в соответствии с обычным правилом вычисления центра тяжести.

Стало быть, наряду с «обычной» массой, которую мы обозначили через т₀, в теории относительности играет роль также и величина, обозначенная нами через т. Если скорость тела относительно невелика, эти две величины практически совпадают, но при больших скоростях т растет и может стать сколь угодно большой. Вспомнив нашу ракету, мы приходим к заключению, что величина т отражает свойства инертности тела гораздо полнее, чем т₀.

Но продолжим наши рассмотрения. Представим себе прямоугольный ящик с абсолютно упругими стенками; пусть его масса будет М₀. Эту массу мы можем измерить, действуя на ящик внешней силой известной величины и измеряя полученное им ускорение. При этом можно ограничиться малыми силами и ускорениями, так что в результаты измерений релятивистских поправок можно не вносить.
Допустим теперь, что к этому ящику приближается релятивистская, т. е. очень быстро движущаяся, частица с массой т₀. В тот момент, когда она подойдет вплотную, откроем одну из стенок ящика, пропустив внутрь частицу, а затем тотчас же закроем стенку, так что наша частица окажется «запертой». Поскольку стенки ящика абсолютно упруги, частица начнет «метаться» по ящику из конца в конец, ударяясь о его стенки. Рассматривая ящик снаружи, мы обнаружим, что под действием ударов частицы он «дрожит». Если скорость частицы достаточно велика, то эта дрожь будет столь частой, что мы можем считать ящик всреднем неподвижным (или движущимся равномерно и прямолинейно).

Попытаемся теперь снова измерить массу ящика. Для этого подействуем на него той же самой силой и измерим ускорение, которое он при этом получит. Находящаяся внутри частица будет также принимать участие в движении ящика, так что сообщенная ящику скорость прибавится к той быстропеременной скорости, какой обладает частица внутри ящика (разумеется, при таком сложении скоростей необходимо учитывать их мгновенные направления). Но мы уже видели, что изменить скорость быстро движущегося тела труднее, чем неподвижного или движущегося медленно. Поэтому наша частица будет сопротивляться изменению скорости тем сильнее, чем больше ее собственная скорость. Это вполне подтверждается точным расчетом, основанным ца законе сохранения импульса. Оказывается, что при повторном измерении массы мы получим результат, который больше старого как раз на величину т! Стало быть, новая видимая масса ящика с запертой в нем частицей складывается из массы самого ящика и величины т частицы.

Тем самым значение этой величины т еще больше возрастает; пора присвоить ей название. Ее называют релятивистской массой. Так как при u=0 имеем m=т₀, то величину т₀ называют массой покоя.

Мы можем рассмотреть ящик, в котором заперты не одна, а много частиц. Результат будет тем же самым — видимая масса ящика равна массе пустого ящика плюс сумма релятивистских масс всех находящихся в нем частиц. Но такой ящик представляет собой не что иное, как простейшую модель сосуда, наполненного газом. Значит, общая масса такого сосуда складывается из массы его стенок и релятивистских масс молекул газа. То же самое относится и к твердому телу, так как его молекулы совершают, как известно, беспрерывное тепловое движение. Измеряя массу твердого тела, мы измеряем, собственно, суммарную релятивистскую массу всех его молекул. Стало быть, рассматриваемая нами видимая масса есть просто та самая масса, которая служит мерой инертности тела. Если тело неподвижно, то она равна массе покоя, если же тело движется, то это будет его релятивистская масса.

Если два или несколько тел соединяются, образуя одно новое тело, то релятивистская масса нового тела будет в точности равна сумме релятивистских масс составных его частей; таким образом, релятивистская масса подчиняется закону сохранения. Что же касается массы покоя, то для нее никакого закона сохранения не существует. В самом деле, на примере сосуда с газом мы видели, что его масса покоя отнюдь не равна сумме масс покоя молекул и стенок. Более того, мы скоро убедимся, что масса покоя может уничтожаться или возникать там, где раньше никакой такой массы не было.

Итак, релятивистский закон сохранения массы формулируется точно так же, как и классический; отличие состоит лишь в том, что вместо классической массы (которую до некоторой степени можно отождествить с массой покоя) в него входит масса релятивистская. Поскольку эта масса является величиной относительной, то и новый закон по своему значению и физическому содержанию существенно отличается от классического закона.

Раньше полагали, что можно измерить массу сколь угодно сложной физической системы, измеряя поочередно массы ее составных частей; при этом можно было составные части вынимать из системы, водворяя их на прежнее место после измерений. Считалось, что арифметическая сумма полученных таким образом масс и есть масса всей системы. Закон сохранения массы считался законом статическим, движение и внутреннее состояние системы не имело к нему никакого отношения.

Теория относительности такой процедуры уже не допускает. Масса тела не равна простой сумме масс покоя его составных частей; здесь необходим учет движения и взаимодействия их между собой. Закон сохранения массы утратил свою статичность, он стал законом динамическим, законом движения. Правильнее всего его было бы формулировать следующим образом: в любой (изолированной от внешних воздействий) физической системе составляющие ее тела движутся таким образом, что их суммарная релятивистская масса остается постоянной.

Некоторая парадоксальность этого закона связана, конечно, с тем, что релятивистская масса есть величина относительная, т. е. зависит от выбора системы отсчета. Все мы со школьной скамьи слишком привыкли видеть в массе не столько меру инертности, сколько меру количества вещества или материи; зачастую само слово «масса» фигурирует в качестве синонима «материи». Трудно отрешиться от мысли, что если масса тела меняется, то с ним обязательно что-то должно происходить, как-то должно меняться и внутреннее состояние тела. Безусловно, масса обладает многими свойствами, делающими ее подходящим средством для измерения количества вещества. Это связано в первую очередь с тем, что при обычных скоростях релятивистская масса практически точно совпадает с массой покоя, а физические явления, связанные с «исчезновением» и «зарождением» массы покоя, дают слишком ничтожный эффект. Поэтому и получается, что масса тела практически равна сумме масс его составных частей. Как видим, более точный учет релятивистских эффектов показывает, что эти представления являются лишь некоторым приближением к действительности.

Но не указывает ли закон сохранения релятивистской массы на то, что эта масса все же может служить мерой количества материи? Ведь известно, что материя не уничтожается и не самозарождается. Даже в тех случаях, когда пропадает масса покоя, материя отнюдь не пропадает; она лишь переходит в другую форму.

Такому пониманию релятивистской массы препятствует опять-таки ее относительность. Одно и то же тело в различных системах отсчета имеет различную массу; выходит, что в различных системах отсчета в нем содержится различное количество материи. Но если даже примириться с этим, все же никак нельзя избежать нелепостей. Рассмотрим, например, два упругих шара одинаковой массы покоя. Пусть первый шар движется, а второй неподвижен. Известно, что возможно такое их столкновение, после которого первый шар остановится, а второй будет двигаться с той же скоростью в том же направлении. До столкновения большую релятивистскую массу имеет первый шар; после столкновения, наоборот, большей массой обладает другой. Мы вынуждены заключить, что в момент удара часть материи первого шара каким-то образом перешла на второй шар. Рассмотрим теперь то же самое движение в системе отсчета, где до удара неподвижен не второй, а первый шар. Там все происходит в обратном порядке: большую массу имеет сначала второй шар, а потом первый. Получается, что материя перешла со второго шара на первый. Все это делает весьма и весьма сомнительной пользу рассмотрения массы как количества материи.

Масса не есть материя, а лишь одно из свойств материи. Закон сохранения массы не есть закон сохранения материи. Безусловно, сохранение массы в какой-то степени отражает факт сохранения материи; но считать этот физический закон точным и адекватным количественным выражением общефилософского принципа сохранения материи было бы ошибкой.

Свойство инертности материи в классической физике описывалось одной величиной; теория относительности выявила большее богатство, разносторонность этого понятия. Одной величины для отображения этого свойства оказывается недостаточно, теперь приходится иметь дело с двумя величинами — относительной и абсолютной.

Теперь рассмотрим несколько детальнее вопрос о преобразовании массы и импульса при изменении системы отсчета. Мы знаем, как эти величины выражаются через массу покоя и скорость; при перемене системы отсчета масса покоя не меняется, а скорость преобразуется согласно релятивистскому закону сложения скоростей. Таким образом, зная массу и импульс тела в одной системе отсчета, мы всегда сможем вычислить их в любой другой системе. Если в системе отсчета S

Результат этот весьма интересен. Мы получили, что при перемене системы отсчета импульс и масса преобразуются так же, как и координаты событий, по формулам Лоренца. Это значит, что между массой и импульсом существует такая же связь, как и между пространством и временем: как та, так и другая пара величин объединяются в некоторую сложную величину. Тем самым и законы сохранения массы и импульса соединяются в единый закон сохранения новой сложной величины — массы — импульса.

Установленный нами закон преобразования массы и импульса на математическом языке означает, что масса и импульс вместе составляют единый четырехмерный вектор. То, что мы имели дело лишь с двумя измерениями, вызвано, конечно, нашим рассмотрением только одномерных задач. Вообще же импульс есть, как известно, величина векторная, т. е. имеет три компоненты. Теория относительности прибавляет еще одну — релятивистскую массу.

Объединение ранее разнородных и даже независимых понятий в единое целое является вообще характерной особенностью теории относительности. Особенно важным успехом ее в этом направлении является теория электромагнитного поля. Классическая теория, созданная трудами Максвелла и Лоренца, страдала многими характерными недостатками. Известно, например, что при вдвигании магнита внутрь проволочной катушки в ней возникает электрический ток. Это явление объясняется законом индукции Фарадея. Наоборот, если катушку надвигать на неподвижный магнит, то появляющийся в ней ток относится за счет действия так называемых сил Лоренца. Хотя с точки зрения принципа относительности перед нами совершенно одно и то же явление, объяснение его в обоих случаях совершенно различно! То обстоятельство, что как в том, так и в другом случае сила тока получается одинаковой, выглядит чистейшей случайностью.

Это значит, что теория Максвелла — Лоренца не совсем удовлетворяет принципу относительности; как мы знаем, это и явилось основной побудительной причиной к созданию теории относительности. В своей первой работе Эйнштейн занимается в первую очередь приведением законов электродинамики в соответствие с принципом относительности. Достигается это прежде всего объединением электрического и магнитного поля в единое новое понятие — электромагнитное поле. Если раньше в теории фигурировало два вектора, напряженности электрического и магнитного ноля, то теперь в ней появилось одно сложное математическое понятие, так называемый тензор электромагнитного поля. При перемене системы отсчета компоненты этого тензора преобразуются по формулам преобразования Лоренца. Формулы преобразований показывают, в частности, что если в некоторой системе отсчета поле является чисто магнитным, то в другой системе у него появляются и электрические составляющие. Таким образом, в случае катушки и магнита в той системе отсчета, где катушка неподвижна, в обоих случаях существует электрическое поле, которое и вызывает ток. Так устраняется упомянутая выше «неувязка». Кроме того, новая теория позволяет легко и просто решать многие задачи, которые раньше вызывали серьезные затруднения. Например, поле движущегося заряда определяется простым изменением системы отсчета, так как поле заряда неподвижного хорошо известно — оно дается законом Кулона.

Рассмотрим еще вкратце вопрос о силе в релятивистской механике. Мы уже упоминали, что силой можно было бы назвать произведение «собственного» ускорения тела на его массу покоя. Однако по ряду причин такое определение неудобно. В теории относительности силу определяют как произведение собственного ускорения на релятивистскую массу. Тогда второй закон Ньютона записывается в таком виде:

p₂ — p₁ = f(τ₂ — τ₁)

Таким образом, словесная его формулировка почти не изменяется: изменение импульса равно произведению силы на соответствующий промежуток собственного времени данного тела.

Так как релятивистская масса растет вместе со скоростью, то даже в случае равноускоренного движения действующая на тело сила увеличивается; так обстоит дело и с неоднократно рассматривавшейся выше ракетой. Нужно сказать, что в теории относительности все силы, как правило, зависят от скорости тела, на которое они действуют. Это имеет место, в частности, и при движении заряженного тела в постоянном и однородном электрическом поле. Кстати, в этом случае движение будет как раз равноускоренным.

В связи с определением силы у читателя может возникнуть недоумение. Ведь, казалось бы, сила есть некоторое объективное отношение между телами и полями, существующее совершенно независимо от какой бы то ни было теории. Как же в таком случае можно выбирать определение силы? Должно бы существовать одно-единственное определение — то, которое отвечает действительности, а не удобству.

Дело здесь в том, что, определяя силу как произведение массы на ускорение, мы имеем в виду не саму силу, как объективное взаимодействие между реальными физическими телами, а лишь число, с помощью которого мы эту силу измеряем и которое будет подставляться в соответствующие уравнения. Способы же измерения силы могут быть различными. Если бы мы пожелали измерять силу, например, произведением массы покоя на ускорение, то второй закон Ньютона принял бы вид

p₂ — p₁ = f(t₂ — t₁)

Хотя обе формулировки этого закона и различны по форме, они выражают одно и то же физическое содержание. Решая одну и ту же задачу с помощью обоих уравнений, мы получим один и тот же ответ (разумеется, вместо f в каждом случае будут подставляться различные числа).

Признать то или иное определение правильным или неправильным, удачным или неудачным можно лишь в процессе развития всей теории, которая на каждом шагу непрерывно сравнивается с опытом. Формальных признаков для такого отбора не существует; с формальной точки зрения всякое определение до некоторой степени произвольно и выглядит как некое условное соглашение. Действительный смысл и значение каждого научного понятия нельзя оценить, прочтя только первые страницы соответствующей монографии, где дается определение этому понятию; это можно сделать после усвоения всей теории или хотя бы достаточно значительной ее части. В настоящей книге мы, понятно, лишены такой возможности»

Отметим в заключение, что релятивистские формулы импульса и массы были подвергнуты опытной проверке даже еще до создания теории относительности. В начале текущего столетия физиками были предприняты первые успешные попытки измерения заряда и массы элементарной частицы материи — электрона. С этой целью поток свободных электронов пропускался через электромагнитное поле, которое, действуя на электроны, заставляло их отклоняться от прямолинейного пути. Зная величину этого отклонения, можно было вычислить скорость электрона, а также отношение его электрического заряда, к массе. Опыты с очень быстрыми электронами показали, что отношение заряда к массе с ростом скорости уменьшается. Так как на основании весьма веских соображений заряд электрона от его скорости зависеть не может, остается допустить, что по мере возрастания скорости увеличивается масса. Первые опыты давали невысокую точность и лишь качественно подтвердили формулу для массы, данную Лоренцом (эта формула совпадает с известной нам релятивистской формулой).

Нужно сказать, что в то время с формулой Лоренца конкурировала другая, выведенная из других соображений Абрагамом. Вскоре появилась на свет теория относительности, и вопрос о выборе той или другой формулы приобрел принципиальное значение. Последовал целый ряд теоретических и экспериментальных работ; возникла полемика. Однако первые убедительные экспериментальные результаты в пользу формулы Лоренца — Эйнштейна удалось получить лишь в двадцатых годах.

В настоящее время формула Абрагама имеет лишь исторический интерес.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:

Социальные комментарии Cackle

Источник

Относительный импульс

Изменение импульса тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно упругий удар

Пуля пробила стенку

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Реактивное движение

Суммарный импульс системы тел

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Сохранение проекции импульса

Импульс силы

Изменение импульса тела

Главное запомнить

Вывод второго закона Ньютона в общем виде

График F(t). Переменная сила

Задачи на Закон сохранения импульса с решениями

Название величины

Обозначение

Единица измерения

Формула

Скорость тела

v

м/с

v = p/m

Масса тела

m

кг

m = p/v

Импульс тела (модуль)

p

кг•м/с

p = m•v

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Краткая теория для решения задачи на Закон сохранения импульса.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: