Известны координаты вершин прямоугольника как найти площадь - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь по заданным координатам.

Как найти (вычислить) площадь фигуры (треугольник, четырехугольник, трапеция, многоугольник и др.) по координатам?

Какие есть формулы и методы, позволяющие находить площадь через координаты?

бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов

Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая «формулой землемера», «формулой геодезиста», «формулой шнурования», «алгоритмом шнурования», а так же «методом треугольников».

Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи.

Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки.

Фигура многоугольника может иметь произвольную геометрию. Например:

Список координат многоугольника представлен в виде массива: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…(xn, yn).

Для многоугольника на первом рисунке он задан точками: (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6). Его площадь будет равна:

Существует также метод трапеций, основанный на сложении и вычитании площадей трапеций, образованных каждой из сторон многоугольника, её проекцией на ось абсциссы и перпендикулярами, опущенных из вершин на абсциссу. При обходе вершин по часовой стрелке учитывается величина координаты вершин. Если первая вершина меньше второй, то площадь трапеции прибавляется, если нет, то отнимается.

Для многоугольника ABCDE на левом нижнем рисунке существует 5 трапеций : ABJH, CBJF, CDIF, EDIG и EAHG.

Так как X1<X2, X3<X4 и X5<X1, то площади трапеций ABJH, CDIF и EAHG складываются, а X3>X4 и X4<X5, следовательно, площади трапеций CBJF и EDIG вычитаются:

S = S(ABJH) – S(CBJF) + S(CDIF) – S(EDIG) + S(EAHG)

Площади трапеций рассчитываются по формуле;

Sтрапеции = 1/2 *((a+b))*h,

где a, b – основания трапеции,

h – высота трапеции.

Значения a, b и h вычисляются по координатам.

В декартовых координатах круг может быть представлен двумя точками: центр А и любая точка В, лежащая на окружности. Для расчета площади круга необходимо вычислить его радиус по формуле:

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Ксарфакс
[156K]

5 лет назад

Площадь фигуры по координатам вершин

Если известны координаты всех вершин, то площадь заданной геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, трапеции, ромба и т.д) можно найти по стандартным формулам. Но предварительно нужно найти длину сторон, диагоналей и т.п. (всё зависит от фигуры) с помощью формулы нахождения длины отрезка по заданным координатам.

Эта формула выглядит следующим образом:

Здесь:

AB — отрезок,

точка A имеет координаты (x1, y1),

точка B имеет координаты (x2, y2).

Рассмотрим несколько примеров.

1) Треугольник ABC имеет координаты A(2,3); B(6,7); C(5,0). Его площадь можно найти по формуле Герона:

Здесь:

S — площадь треугольника,

a, b, c — стороны,

p — полупериметр, который равен половине суммы сторон a, b и c.

Найдём, чему равны стороны треугольника по формуле нахождения длины отрезка по координатам:

AB = √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66.

AC = √(3² + (-3)²) = √18 ≈ 4,24.

BC = √((-1)² + (-7)²) = √50 ≈ 7,07.

Полупериметр треугольника будет равен (5,66 + 4,24 + 7,07) / 2 ≈ 16,97 / 2 ≈ 8,49.

Отсюда площадь треугольника ABC ≈ √(8,49 * 2,83 * 4,25 * 1,42) ≈ √145 ≈ 12,04.

2) Ромб ABCD имеет координаты A(1,2); B(3,4); C(5,2); D(3,0). Площадь можно найти через диагонали:

Здесь:

S — площадь ромба,

d1 и d2 — диагонали.

Таким образом, нам нужно найти диагонали AC и BD.

AC = √(4² + 0) = √16 = 4.

BD = √(0 + (-4)²) = √16 = 4.

Отсюда площадь ромба ABCD = 0,5 * 4 * 4 = 8.

3) Трапеция ABCD имеет координаты A(1,1); B(3,4); C(5,4); D(6,1). Стандартная формула площади трапеции такая:

Здесь:

S — площадь трапеции,

a и b — основания,

h — высота.

Высота трапеции (пусть это будет BE) — это перпендикуляр, который был опущен из вершины трапеции (из точки B) на её основание (в нашем случае это AD).

Определим координаты её отрезка:

координаты первой точки совпадают с точкой B, это (3,4).
координаты 2 точки (точка E) будут (3,1) — так как абсцисса совпадает с абсциссой точки B, а ордината совпадает с ординатой точек A и D.

Высота трапеции BE = √(0 + (-3)²) = √9 = 3.

Теперь посчитаем длину оснований:

BC = √(2² + 0) = √4 = 2.

AD = √(5² + 0) = √25 = 5.

Таким образом, площадь трапеции ABCD = 3 * 0,5 * (2 + 5) = 10,5.

Степан-16
[34.5K]

6 лет назад

Первоначально нужно вычислить длины сторон. В этом здесь будет основная задача. Получив стороны, вычисляем площади по стандартным формулам.

Самый простой случай — для прямоугольника, когда его стороны параллельны осям координат. Тогда одна сторона будет равна разнице абсцисс, вторая ординат.

Треугольник. Допустим, основание параллельно оси абсцисс. Вычисляем его длину, как разницу абсцисс. Далее нужно найти высоту. Она будет равна разнице ординат третьей вершины и ординаты любой из вершин основания. Затем — площадь по формуле: половина произведения основания на высоту.

И т.д.

Если же стороны фигуры не параллельны осям, то находить длины сторон придется уже более сложными расчетами. Допустим, прямоугольник. Первую сторону будем искать, как если бы она была гипотенузой в составе прямоугольного треугольника. Каждая сторона будет равна квадратному корню из суммы квадратов абсцисс и ординат концов отрезков стороны.

Так и для любой фигуры. Вначале определяем длины сторон как гипотенузу треугольника. После чего применяем стандартные формулы площадей.

Эления
[445K]

3 года назад

Рассчитать площадь какой угодно геометрической фигуры, зная координаты, не составляет сложности. Каждая из точек, соответствующая вершинам искомой фигуры, будь это треугольник, четырех- или многоугольник, имеет определенную координату, а значит у нее есть значение, через которое можно рассчитать площадь.

Координаты, как найти на графике, чтобы узнать площадь фигуры? Проецируем на оси абсцисс и ординат прямые, проведя перпендикуляр из каждой точки. Полученные значения будут исходной величиной. Каждая из сторон фигуры — это разница двух точек на горизонтальную и вертикальную оси. Разница между значениями означает длину стороны фигуры. А зная все стороны и их значение, по формуле находим площадь.

Пример 1. Ищем площадь треугольника.

Мы видим два отрезка зеленого цвета AB и BC, которые образуют стороны равнобедренного треугольника, а основание есть отрезок на оси абсцисс AC.

Даны значения: AC основание в промежутке от «-4» до «+4», то есть длина основания равна восьми.

Будет лучше, если посчитать площадь этого треугольника, как сумму из образовавших его двух треугольников, которые являются прямыми, ABO и BOC, совпадающие прямым углом с координатой «0» на графике.

Известна длина каждй из сторон, образующих прямой угол (AO или OC) х = 4 — 0 = 4 и y = 2 — 0 = 2 (BO).

Зная длину двух сторон, образующих прямой угол (AO и BO), находим длину основания (AB или BC). Тогда уже знаем все длины каждой из сторон обоих прямых треугольников. Остается только найти площадь по формуле:

Зная площадь каждого из прямых треугольников, умножаем на два, получаем сумму заштрихованного треугольника на графике ABC.

И еще математически можно записать решение следующим образом, исходя из того, что имеем изначально следующую систему неравенств:

Пример 2.

Пример 3. Есть парабола, ищем площадь фигуры, ограниченную кривой параболы. Чтобы посчитать, используем интеграл.

Бекки Шарп
[71.2K]

3 года назад

Рассмотрим простой случай, где буквально на пальцах можно посчитать площадь через обычную формулу, а затем применим к этой задаче формулу Гаусса.

У нас есть трапеция, у которой известны координаты вершин. (3:2) (5:2) (9:6) (6:6). Мы знаем, что площадь трапеции равна сумме оснований, деленной на 2 и умноженной на высоту.

S = (a+b)/2 х h Считаем площадь: S = (3+2):2х4 = 10. Ответ — 10.

А теперь по теореме Гаусса.

Не смотря на страшный вид, формула очень простая. В квадратных скобках мы перемножаем абсциссу первой точки с ординатой второй, прибавляем абсциссу второй, умноженную на ординату третьей и так идем по кругу фигуры. Далее вычитаем ординату первой умноженную на абсциссу второй и т.д. В квадратных скобках у нас может получиться отрицательное число.

S= 0,5 х [3х6+6х6+9х2+5х2 — 2х6-6х9-6х5-2х3] = 10

Таким образом можно найти площадь любой сложной фигуры, зная ее координаты.

dydySacha
[10.8K]

6 лет назад

Можно взять милиметровку и нанести точки с заданными координатами, согласно осей абсцис и ординат. Соединить эти точки между собой и замерить длины образовавшихся сторон, а с помощью формулы по определению площади образовавшейся фигуры узнать её значение подставив данные в эту формулу.

Алиса в Стране
[364K]

3 года назад

Существует специальная формула, называемая формулой Гаусса, она и позволит нам определить искомую площадь по координатам. Вот как эта формула выглядит:

Формула выглядит немного устрашающе, но давайте попробуем в ней разобраться. У нас есть многоугольник и есть его координаты, подсчитать n — количество сторон многоугольника несложно, а дальше просто нужно подставлять значения в эту формулу, нужно только быть внимательным и не перепутать какие координаты куда надо писать.

Давайте теперь приведем пример нахождения такой площади через формулу Гаусса. Допустим, у нас есть вот такой пятиугольник:

Координаты его пяти вершин, как мы видим: (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6).

Теперь нам остается только очень внимательно подставить эти координаты в нашу формулу, n = 5, координаты известны, вот что у нас получится:

Когда разбираешься в этой формуле, понимаешь, насколько она проста и даже легко запоминается, несмотря на то, что сначала кажется очень сложной.

duselldorf
[4.3K]

5 лет назад

Для вычисления площади геометрической фигуры по координатам ее вершин, нужно воспользоваться формулой Гаусса, иногда ее называют формулой землемера или формулой геодезиста, так как она применяется геодезистами для определения площади земельного участка, например, при межевании:

где

А — площадь многоугольника с заданными координатам его вершин,

n — количество сторон многоугольника,

(xi, yi) — координаты вершин многоугольника,

i = 1, 2,…, n — номер вершины многоугольника.

Бархатные лапки
[382K]

3 года назад

Находим площадь вот такого несложного четырехугольника. Координаты его вершин нам известны. Применяем формулу Гаусса, которая выглядит так:

S (площадь) = 0,5 [6х4 +9х7 + 10х6 + 7х3 — 3х9 — 4х10 — 7х7 — 6х6] = 8 (квадратных единиц)

Как видим если применять при решении формулу Гаусса то решить такую задачку несложно.

Не вижу здесь серьезных проблем. Мы, как я понял, имеем готовые точки координат, которые нужно проставить на координатной плоскости. Далее, соединяя эти точки, получаем фигуру, как в примере вопроса — квадрат, треугольник и т.п.

Теперь вычисляем площадь любой из полученных фигур по формуле ей соответствующей.

Знаете ответ?

Источник

Как определить площадь прямоугольника, зная координаты трех его вершин

Прямоугольник — это фигура, у которой есть четыре угла и все они прямые. Его площадь можно вычислить, зная координаты трех вершин, только если он является прямоугольником.

Шаги для определения площади

Определите стороны прямоугольника

Найдите расстояние между вершинами с помощью формулы расстояния между двумя точками. Для этого требуется знать координаты двух точек: $x_1$, $y_1$ и $x_2$, $y_2$.

Сторона прямоугольника $a$ будет равна расстоянию между вершинами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, а сторона $b$ будет равна расстоянию между вершинами $(x_1, y_1)$ и $(x_3, y_3)$ или $(x_2, y_2)$ и $(x_3, y_3)$.

Формула расстояния между двумя точками:

$d = sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}$

где $d$ — расстояние между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
Вычислите площадь

После определения сторон прямоугольника $a$ и $b$, площадь можно вычислить, используя формулу:

$S = a cdot b$

где $S$ — площадь прямоугольника.

Рекомендуется округлить результат до двух знаков после запятой.

Пример

Пусть требуется найти площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты $(1,1)$, $(4,4)$ и $(1,4)$. Сначала определим стороны:

$a = sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = sqrt{27} approx 5.2$

$b = sqrt{(1-4)^2 + (4-1)^2} = sqrt{27} approx 5.2$

Затем вычислим площадь:

$S = 5.2 cdot 5.2 = 27.04$

Поэтому площадь прямоугольника равна примерно 27,04.

Источник

2 / 2 / 0

Регистрация: 18.09.2015

Сообщений: 72

20.02.2016, 14:50. Показов 20277. Ответов 8

Известны координаты вершин прямоугольника ABCD , A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3). Найти площадь и периметр.
Напишите пожалуйста полностью код с выводом. Буду очень благодарен.

zss

Модератор

13101 / 10373 / 6207

Регистрация: 18.12.2011

Сообщений: 27,744

20.02.2016, 15:20

Как-то странно у Вас задан прямоугольник (нельзя задавать произвольные значение для B).
Гораздо логичнее было бы задать А, C и угол наклона к осям координат.
Если предположить, что данные правильные, то

C++

double a1=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
double a2=sqrt((x3-x2)*(x3-x2)+(y3-y2)*(y3-y2));
double s=a1*a2;
double p=2.0*(a1+a2);

Проверка правильности: скалярное произведение должно быть равно нулю

C++

1
2
3

double sp=(x2-x1)*(x3-x2)+(y2-y1)*(y3-y2);
if(fabs(sp)>1e-10)
  cout<<"Это не прямоугольник";

2 / 2 / 0

Регистрация: 18.09.2015

Сообщений: 72

20.02.2016, 15:27

[ТС]

Большое спасибо, но можно пожалуйста полностью код, c меня спасибки)

Timbl4

20 / 20 / 20

Регистрация: 21.12.2015

Сообщений: 32

20.02.2016, 20:22

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main()
{
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
    double x_A,y_A,x_B,y_B,x_C,y_C,x_D,y_D;
    double  d1,d2,d3,d4,S,P;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки А: "<<endl;
    cin>>x_A>>y_A;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки B:"<<endl;
    cin>>x_B>>y_B;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки C:"<<endl;
    cin>>x_C>>y_C;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки D:"<<endl;
    cin>>x_D>>y_D;
    d1=sqrt(pow(x_B-x_A,2)+pow(y_B-y_A,2));
    d2=sqrt(pow(x_C-x_B,2)+pow(y_C-y_B,2));
    d3=sqrt(pow(x_D-x_C,2)+pow(y_D-y_C,2));     
    d4=sqrt(pow(x_A-x_D,2)+pow(y_A-y_D,2)); 
    S=d1*d2;
    P=d1+d2+d3+d4;
    cout<<S<<endl;
    cout<<P<<endl;
    system("pause");
}

Модератор

13101 / 10373 / 6207

Регистрация: 18.12.2011

Сообщений: 27,744

21.02.2016, 08:55

Timbl4, А что делать, если получится, что d1!=d3 или d2!=d4
Допишите Ваш пример с учетом моего поста №2.

Timbl4

20 / 20 / 20

Регистрация: 21.12.2015

Сообщений: 32

21.02.2016, 09:55

Сообщение было отмечено Hidan990 как решение

Решение

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main()
{
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
    double x_A,y_A,x_B,y_B,x_C,y_C,x_D,y_D;
    double  d1,d2,d3,d4,S,P;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки А: "<<endl;
    cin>>x_A>>y_A;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки B:"<<endl;
    cin>>x_B>>y_B;
    if(x_B==x_A && y_A==y_B)
    { cout<<"Вы ввели неправильные координаты точки!"<<endl; system("pause"); return 0;}
    cout<<"Введите через пробел координаты точки C:"<<endl;
    cin>>x_C>>y_C;
    if(x_C==x_A && y_C==y_A || x_C==x_B && y_C==y_B)
    { cout<<"Вы ввели неправильные координаты точки!"<<endl; system("pause"); return 0;}
    cout<<"Введите через пробел координаты точки D:"<<endl;
    cin>>x_D>>y_D;
    if(x_D==x_A && y_D==y_A || x_D==x_B && y_D==y_B || x_D==x_C && y_D==y_C )
    { cout<<"Вы ввели неправильные координаты точки!"<<endl; system("pause"); return 0;}
    d1=sqrt(pow(x_B-x_A,2)+pow(y_B-y_A,2));
    d2=sqrt(pow(x_C-x_B,2)+pow(y_C-y_B,2));
    d3=sqrt(pow(x_D-x_C,2)+pow(y_D-y_C,2));     
    d4=sqrt(pow(x_A-x_D,2)+pow(y_A-y_D,2)); 
    double sk_pr=(x_B-x_A)*(x_C-x_B)+(y_B-y_A)*(y_C-y_B);
    if(fabs(sk_pr)>1e-10){
    cout<<"Это не прямоугольник";
    system("pause");
    return 0;
    }
    S=d1*d2;
    P=d1+d2+d3+d4;
    cout<<S<<endl;
    cout<<P<<endl;
    system("pause");
}

zss

Модератор

13101 / 10373 / 6207

Регистрация: 18.12.2011

Сообщений: 27,744

21.02.2016, 10:26

Timbl4, В сравнении совпадения точек нужно тоже задавать точность

C++

1 2	if( fabs(x_B-x_A)<1e-10 && fabs(y_A-y_B)<1e-10) ...

20 / 20 / 20

Регистрация: 21.12.2015

Сообщений: 32

21.02.2016, 10:32

zss, Спасибо, что-то я не обратил на это внимание

ArTeMoN_777

0 / 0 / 0

Регистрация: 02.03.2020

Сообщений: 30

11.10.2020, 20:43

Сообщение от Timbl4

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main()
{
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
    double x_A,y_A,x_B,y_B,x_C,y_C,x_D,y_D;
    double  d1,d2,d3,d4,S,P;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки А: "<<endl;
    cin>>x_A>>y_A;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки B:"<<endl;
    cin>>x_B>>y_B;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки C:"<<endl;
    cin>>x_C>>y_C;
    cout<<"Введите через пробел координаты точки D:"<<endl;
    cin>>x_D>>y_D;
    d1=sqrt(pow(x_B-x_A,2)+pow(y_B-y_A,2));
    d2=sqrt(pow(x_C-x_B,2)+pow(y_C-y_B,2));
    d3=sqrt(pow(x_D-x_C,2)+pow(y_D-y_C,2));     
    d4=sqrt(pow(x_A-x_D,2)+pow(y_A-y_D,2)); 
    S=d1*d2;
    P=d1+d2+d3+d4;
    cout<<S<<endl;
    cout<<P<<endl;
    system("pause");
}

Можете переделать эту программу под С(Си)?
Очень нужно.

Источник

Задачи на координатной сетке

Площадь фигур на координатной сетке или плоскости можно решить несколькими способами:

1. Достроить фигуру до прямоугольника или квадрата.

2. Найти площадь прямоугольника.

3. Найти площади всех дополнительных фигур (чаще всего это прямоугольные треугольники или трапеции).

4. Из площади прямоугольника вычесть все площади дополнительных фигур.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(0;5), (4;7), (7;0), (11;2)$.

1. Достроим параллелограмм до прямоугольника

2. Найдем длину и ширину прямоугольника:

Чтобы найти длину стороны, параллельную какой либо оси, надо из большей координаты отнять меньшую координату.

Длина стороны $EF= 11$, стороны $FK= 7$. Подставим в формулу площади данные и сделаем вычисления: $S_= 11·7=77$.

3. Найдем площади дополнительных (ненужных) фигур:

4. Из площади прямоугольника вычтем все площади дополнительных фигур и таким образом получим площадь искомого параллелограмма.

Второй способ

1. Если линии фигуры идут ровно по клеточкам и можно посчитать длины сторон, высот и т.д., то считаем клеточки и определяем величины.

2. Подставляем известные значения в формулу площади.

Третий способ.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:

$S=<Г>/<2>+В-1$, где $Г$ — количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);

$В$ — количество узлов внутри фигуры.

Узел – это уголок клетки или пересечение линий

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 см × 1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).

Подставим данные в формулу Пика: $S=<7>/<2>+6-1=3.5+6-1=8.5$

Площади некоторых фигур

Площадь треугольника:

$S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников:

Прямоугольник $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
Трапеция $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Параллелограмм $S=a·h_a$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.

Площадь круга:

$S=π·R^2$, где $π=3.14, R$ — радиус окружности.

Площадь сектора:

$S=n°>/<360>=<πR^2 n°>/<360>$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Площадь кольца:

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC$;

$ctg BOA= — ctg BOC$.

Углы в окружности.

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах.

Угол $МРК$ равен половине градусной меры дуги $МК$, так как он вписанный. Чтобы отыскать градусную меру дуги, посмотрим, на сколько таких дуг мы можем разделить всю окружность, потом $360°$ разделим на полученное количество.

Дуга $МК$ отсекается хордой, занимающей две клетки. Разделим такими хордами всю окружность, получилось $8$ дуг.

$360:8=45°$, составляет градусная мера дуги $МК$.

Прямые на координатной плоскости

Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.

Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости имеет вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – это коэффициенты.

Уравнение можно задать с помощью формулы:

Точки пересечения прямой с осями координат:

Если прямая пересекает ось Ох, то в уравнении прямой координата $у = 0$, а если прямая пересекает ось Оу, то уравнении прямой координата $х = 0$.

Две прямые на координатной плоскости будут параллельны, если в уравнениях прямых будут равны коэффициенты k.

Если уравнение первой прямой: $y=k_<1>x+b_1$;

Уравнение второй прямой: $y= k_<2>x+b_2$, то при параллельности прямых, $k_1=k_2$.

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Как найти площадь четырехугольника заданного координатами

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).

Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольников. Поэтому

Приведем другое решение.

Пусть А(8; 0), В(9; 2), С(1; 6), D(0; 4). Найдем стороны четырехугольника:

Тогда площадь прямоугольника

источники:

http://www.mozgan.ru/Geometry/ArearQuadrangle

http://ege.sdamgia.ru/test?theme=181

Источник

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

«Решение задач на вычисление площади прямоугольника»

Урок «Решение задач на вычисление площади прямоугольника», рассчитан на учащихся 5 класса….

Формулы для вычисления площади и периметра квадрата и прямоугольника.

Урок по математике для 5 класса по теме «Единицы измерение площадей». Тип урока: комплексное применение знаний и способов деятельности учащихся. Вид учебного занятия: урок − опрос с элемен…

Диагностический контроль материала по теме «Площадь. Площадь прямоугольника, квадрата. Единицы измерения площади».

Данный материал позволит проверить прочность знаний учеников 5 класса по данным темам….

Урок геометрии: «Вычисление площади прямоугольника».

Вычисление площади прямоугольника…

Технологическая карта урока по теме «Площадь. Площадь прямоугольника. Площадь квадрата» 5 класс

Урок по математике в 5 классе по теме «Площадь. Площадь прямоугольника. Тип урока — получение новых знаний….

Вычисление площадисложной фигуры, состоящей из прямоугольников (квадратов).

Совершенствование знаний и умений учащихся при вычислении площади сложных фигур путем деления их на части, площади прямоугольника, квадрата; уметь давать анализ заданий на вычисление площади “сл…

Понятие о площади плоской фигуры и её свойствах. Измерение площадей. Единицы измерения площади. Сравнение и вычисление площадей. Понятие площади многоугольника. Площадь многоугольника

Изучение новой темы….

Источник