Как архимед нашел объем короны

Перед тем как поговорить о законе Архимеда, мы обратимся к истории, которую обычно вспоминают, когда речь заходит об этом открытии. После этого сформулируем данный закон. В конце мы приведем некоторые комментарии к трактату, где Архимед описал свои идеи о плавании тел.

Гиерон, тиран Сиракуз и родственник Архимеда, заказал некоему мастеру корону из золота, для покупки которого он выдал ему необходимую сумму. Однако, когда он получил заказанный головной убор, у него зародилось подозрение, что ювелир использовал не чистое золото, а его сплав с серебром, чтобы присвоить остаток. Именно тогда у тирана возникла счастливая мысль пригласить Архимеда, поделиться с ним подозрениями и выяснить, не могут ли его знания помочь разрешить эту проблему. Мудрец не ответил сразу, но пообещал подумать над задачей и попробовать найти способ ее решения. Однажды, принимая ванну в одной из городских бань, Архимед увидел, что при погружении в нее вода вылилась через край, и понял, как он может решить загадку короны. Радость его была такова, что он выскочил из ванны и побежал нагим по улицам Сиракуз, восклицая: «Эврика! Эврика!», что значило «Я нашел! Я нашел!» То, что он нашел, известно теперь как закон Архимеда. В результате ученый доказал, что ювелир пытался обмануть тирана. А в наши дни выражение «эврика» используется, когда говорится о внезапно найденном решении важной проблемы.

В действительности маловероятно, чтобы Архимед бегал по городу в таком виде, да еще крича, как безумный. И все- таки эта легенда, должно быть, основана на каких-то реальных фактах, ведь ее в деталях передают различные историографы. Самым ранним свидетельством мы обязаны римскому архитектору Витрувию, и здесь стоит привести наиболее важную его часть, взятую из трактата «Десять книг об архитектуре»:

«Что же до Архимеда, то из всех его многочисленных и замечательных открытий приводимое мною является, несомненно, доказательством прямо-таки безграничной его изобретательности. А именно, когда Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотую корону, он заказал сделать ее за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении короны в нее было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он немедля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика! Эврика!»

Закон Архимеда изучают во всех школах мира — это один из физических постулатов, которые легко понять интуитивно. Любой человек испытывал уменьшение своего веса при погружении в бассейн, видел летящие воздушные шарики, смотрел на лодки, плавающие по морю, помнит кадры с подводными лодками, спускающимися в океанские глубины. Это только немногие примеры, в основе которых лежит закон Архимеда. Но в его эпоху многие понятия были еще неизвестны или только исследовались. Так, ему пришлось вводить понятие удельного веса (плотности), чтобы иметь возможность объяснить явление плавучести. Тем не менее он ничего не знал о понятии силы, которое в наши дни используется для изучения закона Архимеда, носящего теперь еще одно название: закон гидростатики. Есть много способов его формулировки, один из самых распространенных: «На всякое тело, полностью или частично погруженное в воду или иную жидкость, вертикально вверх действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом». Используя современную терминологию, выталкивающая сила и вес — это две силы, и надо было ждать времен Ньютона, чтобы получить серьезное и точное математическое описание этих величин. Однако закон Архимеда можно трактовать и с помощью геометрических инструментов или пользуясь понятием плотности.

Вес тела в воздухе всегда больше его веса в жидкости. Кажущийся вес в жидкости будет равен реальному весу минус выталкивающая сила. Так что способ вычислить выталкивающую силу F_e, которой подвергается тело,состоит в том, чтобы измерить его вес в воздухе F_p, затем в жидкости F’_р и вычесть одно из другого: F_e=F_p-F’_р.

Архимед знал, что тело, погружаясь в воду (здесь и далее под водой понимается любая среда, будь то жидкость или газ), должно вытеснить равное объему погруженного тела количество воды. Вот почему рассказ о ванной служит хорошей иллюстрацией для закона гидростатики: если поместить тело в ванну, полную воды, часть жидкости выльется, то есть отправной пункт такой: V_{погруженной} части = V_{вытесненной воды}

С точки зрения приложения сил получается, что вода (или другая среда) действует выталкивающей силой на погруженное тело (см. рисунок на стр. 42). То есть сила F_E по модулю равна весу F_p вытесненной воды. Это значит F_E = F_Р(воды). Вес (сила действия тела на опору или подвес) вытесненной воды равен произведению ее массы на земное ускорение (значение которого у поверхности земли составляет примерно 9,8 м/с?): F_Р(воды) ^{= m}_воды • g. Добавив математическую формулу расчета плотности, то есть d_воды = m_воды/V_воды , можно резюмировать: F_Р(воды) = V_воды • d_воды • g. Мы уже говорили, что объем вытесненной воды равен объему погруженной части тела, из чего выводится F_Р(воды) ⁼ V_тела • d_воды • g. Наконец, опустив нижние индексы, поскольку вес вытесненной воды равен выталкивающей силе, действующей на тело, мы можем сформулировать закон гидростатики с помощью уравнения F_E= V • d • g, где F_E — это выталкивающая сила, которую испытывает тело, измеряющаяся в ньютонах (Н, данная единица измерения названа в честь Ньютона); V — объем погруженной части тела, измеряемый в м?; d — плотность среды, измеряемая в кг/м?; a g — ускорение свободного падения.

От мифа к реальности

Как это бывает с любой легендой, история короны тирана Гиерона — отчасти правда, а отчасти миф. Можно утверждать, что элемент выдумки есть даже в самом методе, приписываемом Архимеду, с помощью которого он раскрыл обман хитрого ювелира.

Конечно, Архимед мог вывести ремесленника на чистую воду, но с помощью другого, более сложного метода, использовав для этого не только закон гидростатики, но и закон рычага. Посмотрим описание данного открытия, сделанное Марком Витрувием:

«Тогда, исходя из этого открытия, он, говорят, сделал два слитка одинакового веса с короной — один из золота, другой из серебра. Сделав это, он взял объемистый сосуд, наполнил его до самых краев водой и опустил в него серебряный слиток, при погружении которого вода вытекла в количестве, равном величине слитка. Вынув затем слиток, он долил воды, отмерив ее секстарием, так, чтобы она опять сравнялась с краями, как и раньше. Так он определил, что серебро по весу соответствует известному количеству воды. Проделав этот опыт, он подобным же образом опустил в наполненный сосуд золотой слиток и, вынув его, нашел посредством прежнего измерения, что воды убавилось не столько же, а меньше, насколько меньше был объем золотого слитка сравнительно с равным ему по весу серебряным. После же этого, вновь наполнив сосуд и опустив в то же количество воды саму корону, он нашел, что воды вытекло больше, чем при погружении золотого слитка такого же веса; и таким образом, исходя из того, что корона вытеснила больше воды, чем слиток, он показал примесь в золоте серебра и обнаружил покражу подрядчика».

Хотя метод теоретически совершенно правильный, заметим, что вряд ли Архимед пользовался именно таким способом, как описано выше. Сложность состоит в измерении объемов. Сначала для лучшего понимания проблемы упорядочим шаги, описанные Витрувием.

1. Архимед взял два куска материала, про весу идентичные короне, — кусок серебра (m_р) и золота (mo).

2. Затем он погрузил серебро в определенное количество воды, из-за чего вылился некоторый ее объем V_p, который ученый измерил.

3. Потом он погрузил золото в такое же количество воды, отчего вылился объем Vo жидкости, который он также измерил.

4. Архимед обнаружил, что V_p больше, чем V_o.

5. Наконец, он опустил настоящую корону в то же количество воды, и она вытеснила объем V_o этой воды, который он тоже измерил.

Иллюстрация к легенде, согласно которой Архимед нашел решение задачи с короной Гиерона,когда находился в общественной бане. 1575 год.

Среди фраз, которые приписывают Архимеду, самая известная — «Дайте мне точку опоры,и я переверну Землю». Ее цитирует Папп Александрийский в VIII книге «Математического собрания». Рисунок воспроизводит гравюру из берлинского издания Фридриха Отто Хулча 1878 года.

6. Ученый выяснил, что объем V, вытесненный короной, больше, чем объем воды, вытесненной золотом, и меньше, чем объем, вытесненный серебром ( V_p > V_c > V_o). Это доказало, что в короне была примесь серебра, то есть она состояла не из одного золота.

Теперь давайте воспроизведем этот опыт на наиболее правдоподобном примере, исходя из реальных данных, которыми мы располагаем, и следуя изложенному выше алгоритму, чтобы выявить, если необходимо, противоречия. Мы помним, что, как было отмечено ранее, любой погруженный в воду предмет вытесняет количество воды, равное его объему. Объем предмета можно вычислить исходя из его плотности и массы по известной формуле: d = m/V.

1. Чтобы не мелочиться, возьмем в качестве примера самую большую из сохранившихся золотых корон эпохи Архимеда. Речь идет о «венце из Вергины» (город в нынешней греческой Центральной Македонии), датированном IV веком до н. э. Этот венец имеет массу 714 г и диаметр 18,5 см. Учитывая, что некоторые из его листьев утеряны, и для облегчения расчетов примем массу короны за 1000 г. Итак, для опыта у нас есть 1000 г серебра, 1000 г золота и корона аналогичного веса, состав которой и является предметом эксперимента.

2. Теперь, в качестве второго шага, мы опускаем 1000 г серебра в воду. Так как плотность серебра равна 10,5 г/см?, объем вытесненной воды будет 95,2 см?:

3. Третьим шагом будет погружение в воду 1000 г золота. Поскольку его плотность составляет 19,3 г/см?, вытесненный объем воды будет 51,8 см?:

4. Объем воды, вытесненной 1000 г серебра, больше, чем объем воды, вытесненной 1000 г золота, так как плотность серебра меньше, и та же его масса занимает больше места.

5. Наконец, в воду опускается корона, и замеряется количество вытесненной ею воды. Тут надо сделать еще одно добавление. Предположим, что к золоту короны примешано 30 % серебра.

6. После погружения короны в воду можно заметить, что она вытесняет большее количество воды по сравнению с золотом и меньшее — по сравнению с серебром. Согласно нашему предположению, 30% от 1000 г короны составляет серебро и 70 % — золото:

Объем воды, вытесненной короной (64,8 см?), больше, чем вытесненной золотом (51,8 см?), что могло бы доказать обман ювелира.

Но как измерить столь малые объемы? Заметьте: разница составляет всего 13 см?, что примерно равно объему пары орехов.

В истории предлагались разные методы измерения, рассмотрим два из них — измерить уровень оставшейся в сосуде воды или собрать вытесненную воду в другой сосуд. Первый вариант, по-видимому, невероятен для той эпохи и выглядит приемом, далеким от возможностей Архимеда. Согласно первому способу, после погружения короны и других металлов в сосуд вода поднимется на некоторую высоту. Если сосуд цилиндрический (см. рисунок), то и поднимающаяся вода имеет форму цилиндра. Предположим, диаметр сосуда равен 20 см, тогда поверхность воды имеет площадь 314 см?. С этими данными мы можем вычислить высоту (А), на которую поднимется вода в каждом из случаев:

Объем цилиндра высчитывается умножением площади его основания на высоту.

Это означает, что разница в уровнях между короной из золота и короной из сплава составит (h_o — h_о = 0,4 мм), то есть меньше чем полмиллиметра! Напомним, что представленные расчеты приблизительны, но в любом случае от перемены изначальных допущений разница в результатах изменилась бы очень мало. Кроме того, допущения были сделаны таким образом, чтобы получить самые поддающиеся измерению величины. Возможно ли, чтобы Архимед смог измерить эту разницу? Вряд ли, ведь столь малая величина еще и сочетается с мениском, искривлением поверхности жидкости в сосуде из-за взаимодействия со стенками данного сосуда.

Итак, отвергнув первый вариант, некоторые ученые решили, что Архимед собирал вытесненную воду в отдельный сосуд, то есть приняли вариант Витрувия. Для этого он, вероятно, использовал водяные часы — клепсидру, то есть простой резервуар с небольшим отверстием, через которое вытекает вода. Эта гипотеза подкреплялась и тем фактом, что подобный инструмент измерения времени был широко распространен еще со времен Древнего Египта. Ведь и грек Ктесибий изобрел свои усовершенствованные водяные часы во времена Архимеда. Для использования метода клепсидры необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1. Отверстие закрывается, и резервуар наполняется водой так, чтобы при опускании в него тела вода не перелилась через край.

Шаг 2. В резервуар погружается золотой слиток, по весу равный короне.

Шаг 3. Отверстие открывается, и вода вытекает через него, пока не перестанет течь.

Шаг 4. Слиток вынимается, и отверстие закрывается.

Шаг 5. В резервуар погружается корона.

Шаг 6. Отверстие открывается. Если вода вытекает из него, это значит, что корона по объему больше золотого слитка, то есть изготовлена из сплава и содержит другое вещество. Если вода доходит только до уровня отверстия, значит корона золотая.

Опытным путем доказано, что таким способом можно измерить разницу в 10 см? — это и есть примерно тот объем, о котором идет речь. В любом случае в рассказе Витрувия ничего не говорится об использованных Архимедом средствах, а значит, у нас нет доказательств того, что он воспользовался именно таким методом. Тем не менее применение обоих упомянутых способов (замер высоты воды и клепсидра) вполне можно себе представить в эпоху Архимеда. Но любой исследователь в своей работе старается опираться на тексты самого математика, а не только на вторичные источники, как в случае с Витрувием или последующей литературой. Поэтому утверждение, что приведенные римским архитектором сведения могут быть и неверными, вовсе не означает презрения к таланту Архимеда; как раз наоборот, поскольку можно сделать предположение, что его гений пошел еще дальше. Ведь мы упоминали о его трудах, посвященных рычагу. Почему бы ему не использовать данный принцип и для решения задачи с короной? Давайте рассмотрим предположение, которое выдвигают многие специалисты. Как мы показали предыдущими расчетами, 1000 г чистого золота и корона весом 1000 г вытесняют разное по объему количество воды, а значит, разное и по массе. Мог ли Архимед измерить разницу в количестве воды в 13 г? Да, мог, но не измерением уровня воды и не методом клепсидры. Он мог бы измерить ее с помощью равноплечих весов, которые ученый применял на протяжении всей жизни.

КТЕСИБИЙ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ И КЛЕПСИДРА

Ктесибий из Александрии (285-222 до н. э.) в наше время считается отцом пневматики, так как он написал первый научный трактат о сжатом воздухе и использовании пневматических насосов. Список приписываемых ему изобретений и открытий включает в себя водяной орган, научное обоснование сифона и клепсидру: то есть он создал отличающиеся невиданной по тем временам точностью водяные часы, работа которых была основана на вытекавшей в специальное отверстие воде.

Реконструкция клепсидры конца V века до н. э. (фото: Marsyas).

В целом идея такова: если с двух сторон равноплечих весов разместить килограммовый слиток золота и килограммовую же корону, то весы, естественно, останутся в равновесии (рисунок 1).

Но если те же предметы будут при этом погружены в воду, весы больше не будут в равновесии, так как их вес в воде окажется разным (рисунок 2). Почему? Потому что согласно закону гидростатики выталкивающая сила, действующая на тело, равна весу вытесненной воды, который будет разным у двух предметов с разными объемами. То есть предмет с большим объемом (корона) в воде станет легче, чем предмет с меньшим объемом (слиток), так что весы наклонятся в сторону золотого слитка.

И такая процедура представляется вполне возможной для Архимеда, учитывая список его работ. Нужны были только жидкая среда и весы с достаточной чувствительностью, чтобы реагировать на разницу в несколько граммов, а все это в его распоряжении было. В самом деле, такие ученые, как Галилей, продемонстрировали, что данный метод работает.

РИС. 1

РИС. 2

Что и как плавает

Тело будет плавать на поверхности жидкости, если его плотность меньше плотности жидкости; станет тонуть, если его плотность выше; и останется висеть в равновесии, если их плотности равны. Это всем известное правило, впервые сформулированное Архимедом, можно продемонстрировать с помощью динамических процессов, сравнив выталкивающую силу среды и вес объекта, помещенного в нее. Если читатель в какой-то момент запутается, он может просто пропустить следующие строки, написанные только для того, чтобы изложить идеи Архимеда современным языком.

ВОДЯНОЙ ГИГАНТ

С водой связана интересная аномалия, из-за которой, собственно, и возможно существование океанов и в целом жизнь на Земле: в твердом состоянии ее плотность меньше, чем в жидком. Это значит, что лед может плавать на поверхности воды. Так происходит, к примеру, с айсбергами. Слово «айсберг» пришло из голландского языка через английский и означает «ледяная гора». Речь идет о гигантских кусках замерзшей пресной воды, дрейфующих в океане и постепенно опускающихся к низким широтам, куда их влекут течения. Значительная часть айсберга погружена в воду. При этом вес айсберга (Р) равен выталкивающей силе воды (Е), в которую он погружен и которая равна весу воды, вытесненной погруженной частью айсберга. Объем этой воды обозначим как (V_s).

Сила
Объем
Плотность
Формула

Выталкивающая сила: Е
Объем погруженной части: V_s
Морской воды: d_a
E=V_s • d_a • g

Вес айсберга: Р
Объем всего айсберга: V_c
Льда: d_l
P=V_c • d_l • g

Действующая на айсберг выталкивающая сила равна Е = V_s • d_a • g, где d_a — плотность соленой воды. С другой стороны, вес всего айсберга равен P=V_c • d_l • g, где d_l — плотность айсберга, a V_c — объем всего айсберга. Чтобы узнать соотношение видимой и подводной частей айсберга, достаточно вычислить отношение V_s/V_c. Нужно просто разделить выталкивающую силу на вес, учитывая, что они равны (Е = Р), так как айсберг находится в равновесии.

Надо отметить, что соотношение между погруженной частью айсберга и всем его объемом будет равно соотношению плотности айсберга и плотности воды, в которой он плавает. Плотность айсберга (то есть пресной воды в твердом состоянии) равна 0,92 г/см?, а плотность морской воды может различаться (зависит от ее температуры и степени солености), так что возьмем ее среднее значение: 1,03 г/см?.

Доля объема подводной части = 0,92/1,03 • 100 = 89,3 %.

Таким образом, подводная часть айсберга составляет почти 90 % от его объема.

Айсберги существуют благодаря тому, что вода в твердом состоянии имеет меньшую плотность, чем вода океанов. Если было бы иначе, то лед скапливался бы на дне.

Здесь будут приведены математические выкладки, базирующиеся на следующих величинах:

m_c — масса тела;

m_a — масса вытесненной воды (или другой среды);

d — плотность тела;

d_a — плотность воды;

V — объем погруженной части тела и вытесненной воды.

Тело тонет

Вес тела в воздухе больше выталкивающей силы:

F_p > F_E ? m_c • g > V • d_a • g ? V • d_c >V • d_a  ? d_c > d_a.

Тело погружается, если его плотность больше плотности воды.

Тело плавает на поверхности

Вес тела в воздухе меньше выталкивающей силы:

Fp < F_E ? m_c • g < V • d_a • g ? V • d_c < V • d_a ? d_c < d_a.

Тело плавает, если его плотность меньше плотности воды.

Равновесие

Вес тела в воздухе равен выталкивающей силе:

Fp = F_E ? m_c • g = V • d_a • g ? V • d_c = V • d_a ? d_c = d_a.

Тело пребывает в положении равновесия, если его плотность равна плотности воды.

О плавающих телах

Основную часть своих идей о законе гидростатики Архимед изложил в трактате «О плавающих телах» — единственном труде на данную тему, который сохранился до наших дней. Возможно, это самая известная из книг Архимеда и, без сомнения, лучшее свидетельство его гениальности. Хотя во всех книгах ученого присутствует дедуктивный метод, видно, что он постоянно обращается к физической реальности, предвосхищая таким образом за 2000 лет научный экспериментальный метод, который станет развиваться лишь в XVI — XVII веках.

Именно осмысление и освоение наследия Архимеда заложило базу научной революции XVII века.

Александр Койре (1892—1964), историк науки

Трактат состоит из двух книг. Первая открывается краткой преамбулой, за которой следуют девять утверждений, а вторая содержит десять утверждений. В первой книге объясняется закон равновесия жидкостей и показывается, что вода принимает форму шара вокруг центра тяжести. Под таким центром Архимед понимает центр Земли. Он был согласен с Эратосфеном, что Земля имеет сферическую форму. Впервые в истории науки в данном трактате излагается концепция удельного веса и плотности, хотя сам оригинальный текст не содержит специальной терминологии для этих понятий. Далее разбираются три возможных положения тела в жидкости в зависимости от соотношения их плотностей: плотность тела равна плотности жидкости (утверждение 3), плотность тела меньше плотности жидкости (утверждения 4 и 6) и плотность тела больше плотности жидкости (утверждение 7). То, что сегодня известно как закон Архимеда, или закон гидростатики, формулируется в утверждениях 6 и 7. Во второй книге рассматриваются вопросы равновесия помещенных в жидкость параболоидов. Следует учитывать, что Архимед жил в Сиракузах, где главной частью города был торговый и военный порт, так что иногда его вдохновляли формы корпусов кораблей, которые он пытался моделировать с помощью известных ему геометрических фигур.

Как мы уже говорили раньше, первая книга открывается преамбулой, где выдвигается предположение, что жидкость сдавливается в вертикальном направлении той жидкостью, которая находится сверху. Эта гипотеза верна и получила подтверждение законом всемирного тяготения Ньютона, так как сама жидкость имеет вес и испытывает силу давления от той части жидкости, которая выше.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ВВЕРХ И ВНИЗ В ЖИДКОСТИ

Многие рыбы обладают органом, который называется плавательным пузырем: он дает им возможность по своему усмотрению регулировать собственную плотность, чтобы подниматься или опускаться в толще воды, не двигая ни одним внешним мускулом. Механизм его действия основан на регулировании содержания газа в крови для поднятия вверх, ведь рыбы могут высвобождать кислород и углекислый газ, находящиеся в кровяном потоке. Часто в музеях и на научных выставках можно увидеть простую конструкцию, иллюстрирующую принцип работы этого замечательного продукта эволюции: бутылку с трубкой (рисунок 1). В бутылку может свободно проникать вода и выходить из нее. Внутрь нее вставлен воздушный шарик, к которому подведена трубка для подачи воздуха. Вся конструкция помещена в сосуд с водой, и когда шарик наполняется воздухом, общая плотность всей системы уменьшается, и бутылка всплывает. Когда воздух из шарика выходит, вода занимает освободившееся пространство, общая плотность всей конструкции увеличивается, и бутылка тонет.

РИС. 1

Это устройство не только схематически представляет работу рыбьего плавательного пузыря, но может иллюстрировать принцип, который используют подводные лодки.

РИС. 2

Чтобы сделать «водолаза» своими руками, понадобится только пластиковая бутылка, открытый с одной стороны цилиндрический сосуд (например, пробирка) и вода.

Чертенок Декарта

«Картезианский водолаз», или «чертенок Декарта», (рисунок 2) — это классическая игрушка для поклонников занимательной физики, которая представляет принцип всплытия и погружения субмарин. Она состоит из сосуда с водой, в которую помещен предмет, частично наполненный воздухом. Конструкция сделана так, что воду можно сжимать либо с помощью мембраны на крышке, либо просто надавливая на стенки сосуда. Согласно закону Паскаля это давление передается на все точки жидкости, таким образом воздействуя и на предмет и, соответственно, на заключенный в нем воздух. Так как воздух отличается высокой степенью сжимаемости, «чертенок» представляет собой систему, которая позволяет менять плотность предмета и тем самым управлять его погружением или всплытием.

Верны также и утверждения 1 и 2, в которых говорится, что поверхность жидкости в спокойном состоянии представляет собой шар с центром, расположенном в центре Земли: «Поверхность установившейся неподвижно жидкости имеет форму шара с тем же центром, что и у Земли». Утверждение 3 являет собой небывалый уровень абстракции: если у тела та же плотность, что и у жидкости, в которую оно погружено, то тело остается неподвижным в том месте жидкости, куда его поместили, то есть находится в состоянии статического равновесия. С другой стороны, если в жидкость погружается тело, плотность которого меньше плотности жидкости, то оно будет погружено в нее только частично. Этот вывод изложен в утверждении 4, а развивает его утверждение 5 (см. рисунок): объем жидкости, вытесненной погруженной частью тела, будет иметь вес, равный весу всего тела. Речь идет о явном предшественнике принципа равнодействия сил, который стал известным благодаря Ньютону. Простой способ понять его — это опустить в воду винную бутылку с примерно стаканом воды внутри: она погрузится частично.

В трактате «О плавающих телах» все доказательства чисто геометрические, как обычно и бывало в то время. Данный рисунок относится к утверждению 5 первой книги в издании Хита. Текст полон подобными рисунками, которые снабжаются пространными геометрическими комментариями. Они приводятся в качестве иллюстраций, ведь такие тексты трудны для восприятия, потому что изобилуют математическими терминами и символами.

В утверждении 6 говорится, что если к телу, находящемуся в жидкости с большей, чем у него, плотностью, приложить силу, на тело начнет действовать направленная вверх выталкивающая сила, которая заставит его всплыть и плавать на поверхности, уменьшив его вес. В утверждении 7 мы находим идею, согласно которой, если мы опустим тело в жидкость с меньшей, чем у него, плотностью, оно опустится на дно сосуда, хотя его вес тоже уменьшится. В обоих случаях Архимед показывает, насколько уменьшится вес тела: «На количество, равное весу жидкости, объем которой совпадает с объемом твердого тела». Это и есть, иными словами, знаменитый закон Архимеда.

ПОСИДЕТЬ НА ВОДЕ

Мертвое море — это большое озеро около 80 км в длину и не больше 16 км в ширину, расположенное на границе Израиля и Иордании. Главная его отличительная особенность состоит в том, что из-за очень высокого содержания солей вода в нем по плотности намного превосходит обычную морскую воду, доходя до 1240 кг/м?, что позволяет человеку без какого- либо труда лежать на ее поверхности. Как можно понять из его названия, в Мертвом море не может жить никакое живое существо, кроме некоторых видов оомицетов и высших грибов.

В Мертвом море купающиеся лежат на поверхности воды, как поплавки.