Как быстро найти числа в квадратах

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 114K

Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.

70 * 70 = 4900.

В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.

75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.

В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.

XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2

Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:

43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.

В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.

XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2

Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:

53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.

В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.

XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2

Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:

93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.

В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 числа)

Для чисел от 25 до 50

XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2

Например:

37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для чисел от 50 до 100

XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2

Например:

67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136. 

UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:

Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».

Для квадратов, соответственно, еще проще.

92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464

(от sielover)

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

21 сентября 2013

Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.

Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:

[{{34}^{2}}=times frac{34}{frac{34}{+frac{136}{frac{102}{1156}}}}]

1156 — это и есть квадрат 34.

Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:

1) он требует письменного оформления;

2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.

Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.

Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:

[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}]

[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}]

Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.

Например, 28 можно представить в следующем виде:

[begin{align}& {{28}^{2}} \& 20+8 \& 30-2 \end{align}]

Аналогично представляем оставшиеся примеры:

[begin{align}& {{51}^{2}} \& 50+1 \& 60-9 \end{align}]

[begin{align}& {{42}^{2}} \& 40+2 \& 50-8 \end{align}]

[begin{align}& {{42}^{2}} \& 40+2 \& 50-8 \end{align}]

[begin{align}& {{77}^{2}} \& 70+7 \& 80-3 \end{align}]

[begin{align}& {{21}^{2}} \& 20+1 \& 30-9 \end{align}]

[begin{align}& {{26}^{2}} \& 20+6 \& 30-4 \end{align}]

[begin{align}& {{39}^{2}} \& 30+9 \& 40-1 \end{align}]

[begin{align}& {{81}^{2}} \& 80+1 \& 90-9 \end{align}]

Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.

Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:

[begin{align}& {{28}^{2}} \& 30-2 \end{align}]

[begin{align}& {{51}^{2}} \& 50+1 \end{align}]

[begin{align}& {{42}^{2}} \& 40+2 \end{align}]

[begin{align}& {{77}^{2}} \& 80-3 \end{align}]

[begin{align}& {{21}^{2}} \& 20+1 \end{align}]

[begin{align}& {{26}^{2}} \& 30-4 \end{align}]

[begin{align}& {{39}^{2}} \& 40-1 \end{align}]

[begin{align}& {{81}^{2}} \& 80+1 \end{align}]

Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.

Можете самостоятельно попробовать рассчитать оба разложения, и вы убедитесь, что разложение с наименьшим вторым слагаемым считается проще. А мы перейдем к примерам, которые посчитаем без калькулятора:

[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784]

[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601]

[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764]

[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929]

[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441]

[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676]

[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521]

[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561]

Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.

Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.

Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:

[{{50}^{2}}=2500]

Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:

[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601]

И так со всеми числами, отличающимися на единицу.

Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:

[{{21}^{2}}=400+20+21=441]

[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521]

[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561]

Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:

[begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \& 26=25+1 \end{align}]

При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.

Ключевые моменты

С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!

Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:

[begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,…, \& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \end{align}]

Далее — выкладки квадрата суммы или разности, в зависимости от того, к какому опорному значению ближе наше искомое выражение. Например:

[begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2cdot 30cdot 4+{{4}^{2}}= \& =900+240+16=1156; \end{align}]

[begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2cdot 30cdot 3+{{3}^{2}}= \& =900-180+9=729. \end{align}]

Как считать еще быстрее

Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:

[begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \& =225-29=196. \end{align}]

Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:

[begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \& =900+61=961. \end{align}]

Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:

[begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \& =(n-1)cdot n-(n-1)= \& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \end{align}]

— это и есть формула.

[begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \& =(n+1)cdot n+(n+1)= \& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \end{align}]

— аналогичная формула для чисел, больших на 1.

Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!

Смотрите также:

1. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
2. Задача B1 — время, числа и проценты
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Интегрирование по частям
5. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги
6. Особенности решения неравенств с радикалами

Сколько будет 11 в квадрате? Сколько будет 12 в квадрате? Сколько будет 13 в квадрате? Сколько будет 14 в квадрате? Сколько будет 15 в квадрате? Сколько будет 16 в квадрате? Сколько будет 17 в квадрате? Сколько будет 18 в квадрате? Сколько будет 19 в квадрате? Сколько будет 20 в квадрате? 121, 144, 169, 196, 225, … 400 — в принципе, задачка несложная, квадраты этих чисел помнятся класса с пятого назубок, даже без дополнительных вычислений. Гораздо хуже дело обстоит с квадратами трехзначных чисел и с кубами, но эксель вам в помощь слева числа, справа формула, которую растягиваете на всю высоту списка — вуаля, нужные результаты получены. система выбрала этот ответ лучшим Petla­na [205K] более года назад  Для тех, кто не знает, что такое квадрат числа, следует пояснить, что это всего лишь умножение числа на само себя. То есть, чтобы вычислить квадрат числа 11, нам нужно умножить одиннадцать на одиннадцать. Чтобы вычислить квадрат числа 12, необходимо двенадцать умножить на двенадцать и так поступить нужно с любым из приведенного списка числом, или другим числом, жеквадрат которого нужно вычислить. В столбце ниже у меня будет число , а через чёрточку будет его квадрат 1) 11/ в квадрате 121 2) 12/в квадрате 144 3) 13/в квадрате 169 4) 14/в квадрате 196 5) 15/в квадрате 225 6) 16/в квадрате 256 7) 17/в квадрате 289 18/ в квадрате 324 9) 19/ в квадрате 361 10) 20/ в квадрате 400 Azama­tik [55.3K] 7 лет назад  Для начала скажем, что возведение числа в квадрат значит, что мы должны умножить число на это же число (х умножить на х = х^2). Теперь будем возводить в квадрат заданные числа (от 11 до 20): 11 в квадрате = 11х11 = 121; 12 в квадрате = 144; 13 в квадрате = 169; 14 в квадрате = 196; 15 в квадрате = 225; 16 в квадрате = 256; 17 в квадрате = 289; 18 в квадрате = 324; 19 в квадрате = 362; 20 в квадрате = 400. Чёрна­я Луна [265K] более года назад  Как известно, квадрат числа — это число умноженное на само себя. Куб, соответственно, число умноженное на само себя 2 раза. Поэтому считается просто: умножаем число на такое же число. 11 в квадрате, то есть 11х11 и получаем 121; 12 в квадрате (12х12) получаем 144; 13 в квадрате (13х13) получаем 169; 14 в квадрате получается 196; 15 в квадрате получается 225; 16 в квадрате 256; 17 в квадрате 289; 18 в квадрате 324; 19 в квадрате 361; Ну и наконец 20 в квадрате равняется 400. Trok [43K] более года назад  Если говорить о данных числах, которые требуется возвести в квадрат, то совершите несколько не очень сложных действий. Умножьте его само на себя, то есть если говорить об 11, то на 11. Далее, 12 на 12; 13 на 13; 14 на 14; 15 на 15; также умножьте 16 на 16; 17 на 17; 18 на 18; 19 на 19; далее 20 на то же число — 20. Получается к примеру, если помножить 11 на 11, то есть получить 11 в квадрате мы получим 121. Таким образом, мы получили нужные числа в квадрате, применив некоторые математические действия. 88Sky­Walke­r88 [429K] более года назад  Такие данные нужно знать, они пригодятся при решении заданий по математике. Итак, Число 11 в квадрате будет 121. Число 12 в квадрате будет 144 Число 13 в квадрате будет 169. Число 14 в квадрате будет 196 Число 15 в квадрате будет 225. Число 16 в квадрате будет 256. Число 17 в квадрате будет 289. Число 18 в квадрате будет 324. Число 19 в квадрате будет 361. Число 20 в квадрате будет 400. Shipo­3 [33.1K] 6 лет назад  В квадрате, во второй степени — все это про одно и тоже: берём некое число и перемножаем его с точно таким же числом. А теперь конкретно: 11•11=121; 12•12=144; 13•13=169; 14•14=196; 15•15=225; 16•16=256; 17•17=289; 18•18=324; 19•19=362; 20•20=400. Все эти примеры рекомендуется запомнить наизусть всем, кто хочет связать свою жизнь с математикой (да и остальным такие знания пригодятся), чтобы не отвлекаться по пустякам. владс­андро­вич [766K] более года назад  Если мы хотим возвести то или иное число в квадрат, то нам надо это же число, умножить на такое же число, а потому: Квадрат числа 11  = 121; Квадрат числа 12  = 144; Квадрат числа 13 = 169; Квадрат числа 14 = 196; Квадрат числа 15  = 225; Квадрат числа 16  = 256; Квадрат числа 17 = 289; Квадрат числа 18  = 324; Квадрат числа 19  = 362; Квадрат числа 20 = 400. lerik­37 [710] 3 года назад  Квадратом числа или второй степенью, считается произведение этого числа на его же. Квадраты чисел 11,12,13,14,15,16,17­,18,19 и 20 будут соответственно числа 121,144,169,196,225,­256,289,324,362 и 400. Вычислить это можно при помощи калькулятора или же просто запомнить. Чосик [208K] более года назад  Для того, чтобы возвести число в квадрат, его следует умножить самого на себя. Это реально сделать и на листочки, и на калькуляторе, выбрав нужную функцию, или же воспользоваться таблицей Excel, которая может помочь в расчетах. Получатся следующие результаты: Точно в цель [110K] более года назад  Чтобы узнать, сколько будет число Х в квадрате, нужно умножить это же число на само себя. Итак, если число Х возвести в квадрат, то получится: 11 — 121 12 — 144 13 — 169 14 — 196 15 — 225 16 — 256 17 — 289 18 — 324 19 — 361 20 — 400. Знаете ответ?

Смотрите также: Как вы можете обосновать верность выкладки 32х36=34^2-2^2? Если известен квадрат числа, как быстро найти квадрат следующего …? ЕГЭ Базмат, Как правильно решить пример на разность квадратов? Как решить детскую задачу (из книги Кирносова про советского маршала)? Как составить программу на языке Pascal, которая определяет произведение..? Чему равна разность квадратов чисел 2021 и 2020? Как выглядят таблица квадратов чисел от 10 до 99? Сколько будет 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 в кубе?

Did this article help you?

Содержание

• — Что такое быстрый способ возвести число в квадрат?
• — 20 — это кубическое число?
• — Как найти двузначный квадрат?
• — Как рассчитать квадрат?
• — Каков квадрат от 1 до 30?
• — Как возвести число в квадрат без калькулятора?
• — Что такое куб от 2 до 20?
• — Какие первые 20 чисел в кубе?

Что такое быстрый способ возвести число в квадрат?

Шаги по возведению двузначных чисел в квадрат

1. Шаг 1: Добавьте последнюю цифру числа, которое вы пытаетесь возвести в квадрат, к самому числу, получая сумму.
2. Шаг 2: Умножьте сумму (шаг 1) на первую цифру основного числа.
3. Шаг 3: возведите в квадрат последнюю цифру основного числа.

20 — это кубическое число?

или более) положительные кубики, чтобы представить их в виде суммы. 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, … 2, 9, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91, …
…
Кубическое число.

17	17	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
18	6	0, 1, 8, 9, 10, 17
19	7	0, 1, 7, 8, 11, 12, 18
20	15	0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19

Как найти двузначный квадрат?

Сначала добавьте последнюю цифру (2) к самому числу: 32 + 2 = 34. Умножьте сумму на первую цифру: 34 × 3 = 102. Возведите последнюю цифру в квадрат: 2² = 4. Добавьте этот квадрат к только что вычисленному произведению: 1024.

Как рассчитать квадрат?

«Квадрат» означает вычислить значение числа, умноженное на само себя. Простой пример — три в квадрате или трижды три. Математически задача выглядит так: 3² = 3 × 3 = 9. Показатель степени 2, записанный как верхний индекс 2 (N²), говорит, что нужно умножить число (N) само на себя, например: N² = N × N.

Каков квадрат от 1 до 30?

Квадрат, куб, квадратный корень и кубический корень для чисел от 0 до 100

Число x	Квадрат x2	Квадратный корень x1/2
27	729	5.196
28	784	5.292
29	841	5.385
30	900	5.477

Как возвести число в квадрат без калькулятора?

Как найти квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами, без калькулятора

1. Оценка — во-первых, подойдите как можно ближе к двум точным квадратным корням, между которыми находится ваше число.
2. Разделить — разделите ваше число на один из этих квадратных корней.
3. Среднее — возьмите среднее значение результата шага 2 и корня.

Что такое куб от 2 до 20?

Кубы с 1 по 20 — это список кубиков со всеми числами от 1 до 20.
…
Куб от 1 до 20 — четные числа.

23 = 8	43 = 27
143 = 2744	163 = 3375
183 = 5832	203 = 6859

Какие первые 20 чисел в кубе?

Числа в кубе от 1 до 100

Число	Куб
19	6859
20	8000
21	9261
22	10648

Интересные материалы:

Могу ли я надеть документы на снегу?
Могу ли я надеть вольфрамовое кольцо в душе?
Могу ли я найти чью-то налоговую декларацию?
Могу ли я найти код друга на смену в Интернете?
Могу ли я найти кого-нибудь, кого я смахнул влево в Tinder?
Могу ли я найти кого-нибудь по адресу электронной почты?
Могу ли я найти предмет с изображением?
Могу ли я найти свои наушники Bluetooth?
Могу ли я найти в Facebook кого-нибудь с картинкой?
Могу ли я накрыть свою электрическую панель?