Как быстро найти делители большого числа

Была ли эта статья полезной?

Нахождение всех делителей числа

• Все делители числа
• Калькулятор нахождения всех делителей

Все делители числа

Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.

Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:

1. Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
2. Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
3. Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
4. В конце добавляем в качестве делителя единицу.

Например, найдём все делители числа  40.  Раскладываем число  40  на простые множители:

40 = 2³ · 5.

Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это  2  и  5.

Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:

2 · 2 = 4,

2 · 2 · 2 = 8,

2 · 5 = 10,

2 · 2 · 5 = 20,

2 · 2 · 2 · 5 = 40.

Добавляем в качестве делителя  1.  В итоге получаем все делители, на которые число  40  делится без остатка:

1,  2,  4,  5,  8,  10,  20,  40.

Других делителей у числа  40  нет.

Калькулятор нахождения всех делителей

Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку «Вычислить».

На этой странице вы узнаете

• Как быстро работает программа?
• Есть ли смысл перебирать делители после корня?
• Что количество делителей может сказать о самом числе?

Гадание на кофейной гуще или на картах Таро? Может, на ромашке? Хотя лучше не доверять свои отношения цветку. Наша судьба — только в наших руках. А судьба чисел предопределена заранее. Сегодня мы будем предсказывать их жизнь и судьбу по делителям. Но главная проблема — найти эти делители.

Постановка проблемы. Переборное решение

Встречали ли вы странных персонажей в задачах, которым резко понадобилось купить 50 арбузов? А что подумаете, если ваш учитель математики задаст найти число, у которого 50 делителей?

Поиск делителей в математике не самый сложный процесс. Есть разные способы: разложение на простые множители, обычный перебор и так далее. Сложность задания будет зависеть от самого числа. Довольно быстро получится найти делители числа 24 — число небольшое, красивое, удобное. Нахождение делителей числа 1234567 займет гораздо больше времени.

Я предлагаю включить компьютер, открыть среду разработки и заставить код сделать за нас всю работу.

Идея в следующем:

1. Создадим список, в который мы сохраним все делители числа.
2. С помощью цикла for переберем все числа из диапазона от 1 до самого числа.
3. Если в переборе мы нашли такое число, которое является делителем исходного — остаток от деления будет равен 0 — сохраним это число в список.

В итоге мы получим список всех делителей исходного числа.

---

number = 1234567
dels = []

for i in range(1, number + 1):
	if number % i == 0:
		dels.append(i)

print(dels)
_____________________________________________________________________
Вывод: [1, 127, 9721, 1234567]

---

У этого метода есть очень большая проблема — время его работы.

Программа выполняет команды очень быстро, но не бесконечно быстро.

Замеры времени зависят от многих факторов, например, мощности компьютера. Но мы можем повысить эффективность работы программы. 

Ускоренный перебор делителей

Идея ускоренного перебора делителей заключается в том, что, найдя один делитель, мы сразу можем подобрать второй — его пару.

Возьмем число 24. Найдя его делитель 2, мы сразу можем сказать, что у 24 есть еще один делитель — 12, потому что 12 = 24 / 2. Интересная мысль? Давайте ее развивать.

Найдем по такой логике все делители числа 16.

1. Самый простой делитель числа — 1. И по этой логике сразу найдем второй делитель — само число 16, так как 16 / 1 = 16.

1. Проверим число 2. Это делитель, так что сразу найдем его пару: 16 / 2 = 8.

1. Проверяем число 3 — это не делитель, его просто пропускаем.

1. При проверке числа 4 мы столкнемся с интересной ситуацией. Его парой будет 16 / 4 = 4 — то же самое число, а мы ищем различные пары. Значит, у корня числа пары не будет: найдя корень, мы найдем только один делитель.

Если мы продолжим перебор, числа 5, 6 и 7 — не будут делителями. А за ними — 8, делитель, который мы уже нашли.

Если у числа целого корня нет, перебираем до его округленного вниз значения.
Нам нет смысла перебирать числа после корня, так что будем перебирать до предельно близкого к нему значения, но не больше.

Логика программы будет такой:

1. Перебираем числа от 1 до корня исходного числа.
2. Если мы нашли корень числа, добавляем в список делителей только его.
3. Если мы нашли не корень, а обычный делитель — добавляем в список сразу пару делителей.

Пример реализации ускоренного перебора делителей для числа 1234567000:

---

number = 1234567000
dels = []

for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
	if i * i == number:
		dels.append(i)
	elif number % i == 0:
		dels.append(i)
		dels.append(number // i)

print(len(dels))
_____________________________________________________________________
Вывод: 64

---

Эта программа нашла все делители числа и выдала их количество — 64. А на ее работу ушло меньше секунды.

Но и это не панацея. Что, если нам придется проверить делители сразу нескольких чисел? Например, мы хотим найти все числа, у которых ровно 7 делителей, в диапазоне от 1 до 10000. 

Программу надо немного модифицировать:

1. заведем переменную-счетчик, которая будет считать подходящие числа;
2. number сделаем перебираемой переменной по нужному диапазону с помощью цикла for;
3. ускоренный перебор будет внутри перебора number;
4. в конце каждого шага цикла проверяем — если делителей у числа ровно 7, то увеличиваем наш счетчик на 1.

Теперь программа будет выглядеть следующим образом:

---

count = 0
for number in range(1, 10000):
	dels = []

	for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
		if i * i == number:
			dels.append(i)
		elif number % i == 0:
			dels.append(i)
			dels.append(number // i)

	if len(dels) == 7:
		count += 1

print(count)
_____________________________________________________________________
Вывод: 2

---

Эта программа работала всего 0.2 секунды. Звучит неплохо, но давайте снова поднимать ставки:

1. диапазон 1 — 10000 — 0.2 секунды;
2. диапазон 1 — 100000 — 2.6 секунды;
3. диапазон 1 — 1000000 — 80.2 секунды.

Время снова увеличивается очень быстро. Что можно с этим сделать? 

Еще более ускоренный перебор делителей

Не считаем, что не нужно

Обратите внимание — программа выше нашла среди чисел 1–10000 всего 2 числа, имеющих ровно 7 делителей. А сколько же у остальных? Может быть и больше, может быть и меньше. Например, у числа 9864 делителей аж 24 штуки. Стоило ли тратить время на поиск их всех, если количество делителей больше 7?

Конечно, нет. Как только мы нашли 8 штук, мы уже можем понять, что анализировать число далее нам неинтересно. Значит, нужно остановить работу цикла.

Команда break полностью останавливает работу цикла.

Мы можем модернизировать нашу последнюю программу: если в переборе делителей мы увидим, что их больше семи, завершаем цикл командой break.

---

count = 0
for number in range(1, 10000):
	dels = []

	for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
		if i * i == number:
			dels.append(i)
		elif number % i == 0:
			dels.append(i)
			dels.append(number // i)
		if len(dels) > 7:
			break

	if len(dels) == 7:
		count += 1

print(count)

---

При этом завершится именно цикл перебора делителей i, так как break находится именно в нем, а цикл перебора number продолжит свою работу.

Давайте произведем замеры еще раз:

1. диапазон 1-10000 — 0.2 секунды;
2. диапазон 1-100000 — 2.1 секунды;
3. диапазон 1-1000000 — 53.5 секунды.

В последнем случае мы сэкономили около трети от времени работы программы. Но и это не предел.

Не считаем, что не нужно 2.0

Вернемся на несколько абзацев выше, когда мы искали делители числа 16. Мы нашли 5 делителей — 2 пары и 1 корень, который не даст пару. Это справедливо для любого числа: целый корень не будет давать пару ни с каким другим числом, а все остальные делители — будут. 

Нам нужны числа, у которых ровно 7 делителей. Следовательно, нам нужны числа, у которых есть целый корень. Это можно проверить, вычислив точный корень числа и его округленное значение. Если они совпадут, значит, округлять корень было некуда и он целый. 

Но как пропускать числа, которые нам не нужны?

Команда continue останавливает работу текущего шага цикла и сразу переходит к следующему.

Если мы найдем число number, у которого нет целого корня, мы можем применить команду continue: данный шаг цикла перебора number завершается, и мы сразу перейдем к следующему.

Включить эту проверку в программу можно следующим образом:

---

count = 0
for number in range(1, 10000):
	if number ** 0.5 != int(number ** 0.5):
		continue

	dels = []

	for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
		if i * i == number:
			dels.append(i)
		elif number % i == 0:
			dels.append(i)
			dels.append(number // i)
		if len(dels) > 7:
			break

	if len(dels) == 7:
		count += 1

print(count)

---

Снова посмотрим на время работы программы при разных диапазонах:

1. диапазон 1-100000 — 0.1 секунды;
2. диапазон 1-1000000 — 0.5 секунды;
3. диапазон 1-10000000 — 4.5 секунды;
4. диапазон 1-100000000 — 44.4 секунды.

Зная все особенности ускорения перебора делителей и поиска чисел с конкретными делителями, за считанные секунды можно решать задачи огромных диапазонов. 

Фактчек

• Ускоренный перебор делителей подразумевает нахождение делителей попарно, при этом перебирать делители достаточно только до корня числа.
• Команда break полностью останавливает работу цикла, а команда continue завершает работу лишь текущего шага цикла, перенося нас сразу на следующий.
• Если у числа есть целый корень, количество делителей числа будет нечетным, так как корень не даст пару ни с кем. Если же у числа целого корня нет — количество его делителей будет четным, так как все делители будут иметь пару.

Проверь себя

Задание 1.
Для чего нужен ускоренный перебор делителей?

1. Обычный перебор слишком скучный
2. Для большей точности вычислений
3. Для ускорения работы программы

Задание 2.
Найдите количество делителей числа 2568568668.

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8

Задание 3.
Найдите, сколько чисел из диапазона от 2000 до 1002000 имеют ровно 5 делителей.

1. Ни одного
2. 1
3. 10
4. 8

Ответы: 1. — 3; 2. — 3; 3. — 4.

Как найти количество делителей

В самом общем случае, количество возможных делителей произвольного числа бесконечно. Фактически, это все не равные нулю числа. Но если речь идет о натуральных числах, то под делителем числа N подразумевается такое натуральное число, на которое нацело делится число N. Количество таких делителей всегда ограничено, а найти их можно с помощью специальных алгоритмов. Также существуют простые делители числа, которые представляют собой простые числа.

Вам понадобится

• — таблица простых чисел;
• — признаки делимости чисел;
• — калькулятор.

Инструкция

Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, никакой закономерности в ряду простых чисел не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».

Начинайте подбирать простые числа, на которые делится данное число. Частное снова делите на простое число и продолжаете этот процесс до тех пор, пока в качестве частного не останется простое число. Затем просто посчитайте количество простых делителей, прибавьте к нему число 1 (которое учитывает последнее частное). Результатом будет количество простых делителей, которые при умножении дадут искомое число.

Например, количество простых делителей числа 364 найдите таким образом:

364/2=182
182/2=91
91/7=13

Получите числа 2, 2, 7, 13, которые являются простыми натуральными делителями числа 364. Их количество равно 3 (если считать повторяющиеся делители за один).

Если же нужно найти общее количество всех возможных натуральных делителей числа, воспользуйтесь его каноническим разложением. Для этого по описанной выше методике разложите число на простые множители. Затем запишите число как произведение таких множителей. Повторяющиеся числа возведите в степени, например, если трижды получали делитель 5, то запишите его как 5³.

Записывайте произведение от наименьших множителей к наибольшим. Такое произведение и называется каноническим разложением числа. Каждый множитель этого разложения имеет степень, представленную натуральным числом (1, 2, 3, 4 и т.д.). Обозначьте показатели степени при множителях а1, а2, а3, и т.д. Тогда общее количество делителей будет равно произведению (a1 + 1)∙(a2 + 1)∙(a3+1)∙…

Например, возьмите то же число 364: его каноническое разложение 364=2²∙7∙13. Получите а1=2, а2=1, а3=1, тогда количество натуральных делителей этого числа будет равно (2+1)∙(1+1)∙(1+1)=3∙2∙2=12.

Источники:

• Число и сумма натуральных делителей натурального числа