Как через напряженность найти ускорение - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Что общего между микроволновой печью, электронным микроскопом и старым ЭЛТ-телевизором? Внутри всех этих устройств находится катодно-лучевая трубка, испускающая электроны, которые затем ускоряются электростатическим полем.

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом: заряды одинакового знака отталкиваются друг от друга, заряды противоположного знака притягиваются друг к другу. Эти взаимодействия опосредуются электрическим полем. Он создается каждым зарядом, и каждый заряд взаимодействует с ним. Электрическое поле описывается векторной величиной E, — напряженностью электрического поля. Эта величина определяется как отношение силы F, которой поле действует на электрический заряд q, к величине этого заряда: E = F / q .

Поэтому, если электрический заряд q оказывается в электрическом поле, создаваемом другими зарядами, на него действует сила: F = q * E . [2]

Рис. 1. Влияние внешнего электрического поля на положительные и отрицательные заряды

Согласно второму закону Ньютона действие силы вызывает движение с ускорением: a = F / m . [3]

Если объединить уравнения (2) и (3), то получим уравнение для ускорения заряженной частицы в электрическом поле: a = q * E / m . [4]

Следует помнить, что в общем случае это ускорение не является постоянным, поскольку величина напряженности электрического поля может зависеть от положения. Это будет иметь место, например, для электрического поля, создаваемого точечным зарядом, напряженность которого уменьшается с квадратом расстояния от заряда.

Рассмотрим пример, когда электрическое поле везде постоянно (так называемое однородное поле). Примерно так обстоит дело внутри плоского конденсатора, т.е. между двумя проводящими заряженными пластинами, расположенными параллельно друг другу.

Рис. 2. Схема системы отклонения электронного пучка. U_C — источник электрического напряжения.

К двум пластинам прикладывается электрическое напряжение U_C, в результате чего пластины заряжаются: верхняя — положительным электрическим зарядом, а нижняя — отрицательным. Линии электрического поля перпендикулярны пластинам и направлены от положительно заряженной пластины к отрицательно заряженной.

Теперь предположим, что электрон падает в область между пластинами со скоростью v₀, параллельной поверхности пластин. В самом начале электрон имеет только компонент скорости v_x, но электрическое поле заставляет электрон ускоряться. Поскольку электрическое поле, а значит и сила, перпендикулярны компоненту v_x, она будет оставаться постоянной, как и в случае горизонтальной проекции в гравитационном поле. Однако компонент v_y изменится, потому что в направлении y действует сила F_y = q * E.

Поскольку внутри плоского конденсатора поле однородно, сила будет постоянной. Поэтому ускорение также будет постоянным. Поэтому мы можем определить временную зависимость компонента скорости: v_y = a * t .

Используя уравнение (4), мы можем написать, что значение этой составляющей будет: v_y = ( q * E * t ) / m . [6]

Обратите внимание, что электрическое поле направленно вниз, но заряд электрона отрицательный. Это означает, что сила действует вверх, поэтому составляющая скорости v_y будет направлена вверх.

Зная длину пластин, мы можем определить время t, необходимое электрону для прохождения участка между пластинами: t = l / v₀ [7], где где l — длина пластин и, следовательно, x — составляющая положения электрона на выходе из области между пластинами. Наконец, объединив уравнения (6) и (7), мы получим значение компонента v_y :

v_y = q * E * l / m * v₀ .

Эту систему можно использовать для отклонения пути электронов или любых других заряженных частиц. Её также можно использовать в качестве детектора заряженных частиц. Изучая отклонение частицы, мы можем найти отношение ее заряда к массе и, таким образом, определить, с каким типом частицы мы имеем дело.

Теперь рассмотрим систему, которая используется для придания электронам огромных скоростей, так называемую электронную пушку.

Электронная пушка

Рис. 3. Схема электронной пушки

Первым компонентом электронной пушки является катод (K), который представляет собой кусок проводника (например, вольфрамовой проволоки), нагретый до очень высокой температуры. Катод является источником электронов, которые вырываются из него благодаря так называемой термоэмиссии. Однако скорость электронов, отрывающихся от катода, очень мала.

Второй компонент системы, анод (A), отвечает за их ускорение. В простейшем случае это может быть металлический диск с отверстием. Если к катоду и аноду приложить электрическое напряжение (U_A), между ними возникнет электрическое поле. Если электрический потенциал анода выше электрического потенциала катода, тогда электрическое поле будет направлено от анода к катоду. Электроны (e), поскольку они имеют отрицательный заряд, будут притягиваться к аноду. Они достигнут своей максимальной скорости (V) в центре анодного отверстия, потому что электрический потенциал там самый высокий.

В этом случае электрическое поле между катодом и анодом неоднородно, поэтому электрон будет двигаться с неоднородным движением, то есть с переменным ускорением. Однако мы можем определить скорость электрона, пролетающего через отверстие анода, если знаем электрическое напряжение U_A, подключенное между катодом и анодом. Электрическое напряжение, или разность потенциалов, умноженная на величину заряда, равна работе, проделанной электрическим полем для ускорения электрического заряда. Если предположить, что скорость электрона непосредственно у катода пренебрежимо мала по сравнению с максимальной скоростью, то эта работа равна кинетической энергии электрона:

e * U_A = ( m_e * v² ) / 2 , где m_e — масса электрона, а e — заряд электрона (так называемый элементарный заряд). Из этого мы можем определить значение максимальной скорости электрона:

v = 2 * e * U_A / m_e .

Электронную пушку можно найти во многих устройствах, например, в микроволновой печи, рентгеновской трубке, ламповом усилителе для электрогитары или электронном микроскопе. Значение напряжения U_A для ускорения электронов зависит от области применения и может варьироваться от нескольких сотен вольт в случае ламповых усилителей, до значений в диапазоне 2 — 5 кВ в микроволновой печи, и даже до 100 — 300 кВ в трансмиссионном электронном микроскопе.

Использованная литература

1. Физическая энциклопедия.- М.: Советская энциклопедия, 1988.
2. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма.- М.: Высшая школа, 1983.
3. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм.- М.: Высшая школа, 1983.

Источник

Задача. Определите ускорение, с которым начнёт двигаться частица массой мг и зарядом $displaystyle E=6,0cdot {{10}^{7}}$ нКл в однородном горизонтально направленном электростатическом поле, модуль напряжённости которого $displaystyle E=6,0cdot {{10}^{7}}$ В/м. Какой путь пройдёт частица за первую секунду движения?

Дано:

displaystyle m=4,0 мг
displaystyle q=13,5 нКл
$displaystyle E=6,0cdot {{10}^{7}}$ В/м
displaystyle t=1 с

Найти:
displaystyle a — ?
displaystyle S — ?

Решение

Думаем: вопросы ускорения связаны с использованием второго закона Ньютона.

$displaystyle sumlimits_{i}{{{{vec{F}}}_{i}}}=mvec{a}$ (1)

Использование второго закона Ньютона лучше всего проводить по соответствующему плану. Силу, действующую на заряд в электростатическом поле можно найти исходя из определения напряжённости:

displaystyle vec{F}=qvec{E} (2)

Т.к. движение равноускоренное, то расстояния можно найти как:

$displaystyle Delta vec{r}={{vec{upsilon }}_{0}}t+frac{vec{a}{{t}^{2}}}{2}$ (3)

Решаем: согласно плану нарисуем рисунок, расставим все силы, действующие на тело, введём оси и запишем второй закон Ньютона (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие на заряд

Для двух сил проще рассмотреть векторную сумму этих сил ( $displaystyle sumlimits_{i}{{{{vec{F}}}_{i}}}$ ), т.к. исходя из (1), суммарный вектор направлен также как и ускорение. Проиллюстрируем (рис. 2).

Рис. 2. Суммарный вектор силы, действующей на тело

Из рис. 2 следует, что модуль суммарного вектора силы, действующей на тело можно найти из прямоугольного треугольника через теорему Пифагора:

$displaystyle left| sumlimits_{i}{{{{vec{F}}}_{i}}} right|=sqrt{{{F}^{2}}+{{left( mg right)}^{2}}}$ (4)

Исходя из (1):

$displaystyle sqrt{{{F}^{2}}+{{left( mg right)}^{2}}}=ma$ (5)

Подставим (2) в (5) и выразим искомое ускорение:

$displaystyle sqrt{{{left( qE right)}^{2}}+{{left( mg right)}^{2}}}=maRightarrow a=frac{sqrt{{{left( qE right)}^{2}}+{{left( mg right)}^{2}}}}{m}$ (6)

Путь, который преодолела частица найдём через (3) в проекции на ось OX. При этом учтём, что фраза «за первую секунду движения» говорит о том, что начальной скорости не было ( $displaystyle {{upsilon }_{0}}=0$ ):

$displaystyle S=frac{a{{t}^{2}}}{2}$ (7)

Подставим (6) в (7):

$displaystyle S=frac{sqrt{{{left( qE right)}^{2}}+{{left( mg right)}^{2}}}}{m}frac{{{t}^{2}}}{2}$ (8)

Считаем: вспомним значение ускорения свободного падения ( $displaystyle ^{2}$ м/с $displaystyle ^{2}$ ).

$displaystyle Rightarrow a=frac{sqrt{{{10}^{-4}}left[ {{left( 81,0 right)}^{2}}+{{left( 4,0 right)}^{2}} right]}}{4,0*{{10}^{-3}}}$ $displaystyle =frac{sqrt{left[ {{left( 81,0 right)}^{2}}+{{left( 4,0 right)}^{2}} right]}}{4,0*{{10}^{-1}}}$ $displaystyle =frac{sqrt{left[ {{left( 81,0 right)}^{2}}+{{left( 4,0 right)}^{2}} right]}}{4,0*{{10}^{-1}}}approx 2,0*{{10}^{2}}$ $displaystyle ^{2}$ м/с $displaystyle ^{2}$

$displaystyle S=frac{sqrt{{{left( 81,0*{{10}^{-2}} right)}^{2}}+{{left( 4,0*{{10}^{-2}} right)}^{2}}}}{4,0*{{10}^{-3}}}frac{{{1}^{2}}}{2}approx 1,0*{{10}^{2}}$ м

Ответ: $displaystyle ^{2}$ м/с $displaystyle Sapprox 1,0*{{10}^{2}}$ ; $displaystyle Sapprox 1,0*{{10}^{2}}$ м.

Ещё задачи на тему «Напряжённость электростатического поля»

Источник

Чтобы найти ускорение рассматриваемого электрона, будем использовать второй закон Ньютона: m_е * a = q_е * E, откуда a = q_е * E / m_е.

Переменные и постоянные: q_е — заряд электрона (q_е = -1,6 * 10^-19 Кл); E — напряженность поля (Е = 10 кВ/м = 10 * 10³ В/м); m_е — масса электрона (m_е = 9,11 * 10^-31кг).

Произведем расчет: a = a = q_е * E / m_е = 1,6 * 10^-19 * 10 * 10³ / 9,11 * 10^-31 = 1,756 * 10¹⁵ м/с².

Ответ: Рассматриваемый электрон должен был двигаться в поле с ускорением 1,756 * 10¹⁵ м/с².

Источник

In English

Поле
ускорений

Из проекта Викизнание

Поле ускорений — двухкомпонентное векторное
поле, ковариантным образом описывающее 4-ускорение
отдельных частиц и плотность 4-силы,
возникающие в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле
ускорений является компонентой общего поля,
представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы
членом с энергией движения частиц, и членом с энергией поля. ^[1] ^[2]
Поле ускорений входит в большинство уравнений
векторного поля. При этом в уравнение движения поле ускорений входит через тензор ускорений, а в уравнение для метрики –
через тензор энергии-импульса поля ускорений.

Поле
ускорений было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и ковариантной теории гравитации, а уравнения
этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия. ^[3]
^[4]

Содержание

1 Математическое описание

1.1 Действие, Лагранжиан и
энергия
1.2 Уравнения
1.3 Тензор энергии-импульса

2 Частные решения для функций
поля ускорений

2.1 Идеально твёрдая частица
2.2 Вращение частицы
2.3 Система частиц

3 Другие подходы
4 Использование в общей теории
относительности
5 См. также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Математическое описание

4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный и векторный
потенциалы:

$~U_{mu }=left({frac {vartheta }{c}},-{mathbf {U}}right).$

Антисимметричный тензор ускорений
вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала:

$~u_{{mu nu }}=nabla _{mu }U_{nu }-nabla _{nu }U_{mu }=partial _{mu }U_{nu }-partial _{nu }U_{mu }.$

Компонентами тензора ускорений являются компоненты напряжённости поля и компоненты соленоидального вектора :

$~u_{{mu nu }}={begin{vmatrix}0&{frac {S_{x}}{c}}&{frac {S_{y}}{c}}&{frac {S_{z}}{c}}\-{frac {S_{x}}{c}}&0&-N_{{z}}&N_{{y}}\-{frac {S_{y}}{c}}&N_{{z}}&0&-N_{{x}}\-{frac {S_{z}}{c}}&-N_{{y}}&N_{{x}}&0end{vmatrix}}.$

При этом получается следующее:

$~{mathbf {S}}=-nabla vartheta -{frac {partial {mathbf {U}}}{partial t}},qquad qquad {mathbf {N}}=nabla times {mathbf {U}}.qquad qquad (1)$

В общем случае скалярный и векторный потенциалы находятся путём решения
волновых уравнений для потенциалов поля ускорений.

Действие, Лагранжиан и энергия

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал $~U_{mu }$ поля ускорений является частью 4-потенциала общего поля
$~s_{mu }$ ,
который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное
и гравитационное поля, поле ускорений, поле
давления, поле диссипации, поле
сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей,
действующих на вещество и его частицы. Все эти поля так или иначе представлены
в веществе, так что 4-потенциал $~s_{mu }$ не может состоять только из одного
4-потенциала $~U_{mu }$ .
Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением
4-потенциала общего поля на массовый 4-ток:
$~s_{mu }J^{mu }$ .
Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего
поля:

$~s_{{mu nu }}=nabla _{mu }s_{nu }-nabla _{nu }s_{mu }.$

Тензорный инвариант, в виде $~s_{{mu nu }}s^{{mu nu }}$ ,
с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего
поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну и космологическую постоянную , определяется выражением: ^[1]

$~S=int {Ldt}=int (kR-2kLambda -{frac {1}{c}}s_{mu }J^{mu }-{frac {c}{16pi varpi }}s_{{mu nu }}s^{{mu nu }}){sqrt {-g}}dSigma ,$

где – функция Лагранжа или лагранжиан, – дифференциал времени координатной системы
отсчёта,   и   – постоянные, подлежащие определению, – скорость света, как мера скорости
распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, $~{sqrt {-g}}dSigma ={sqrt {-g}}cdtdx^{1}dx^{2}dx^{3}$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через
дифференциал временной координаты $~dx^{0}=cdt$ ,
через произведение $~dx^{1}dx^{2}dx^{3}$   дифференциалов пространственных координат, и
через квадратный корень   из детерминанта   метрического тензора, взятого с отрицательным
знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное
уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле ускорений
является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают
соответствующие уравнения поля ускорений.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде

$~ckLambda =-s_{mu }J^{mu },$

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится
однозначно определённой: ^[4]

$~E=int {(s_{0}J^{0}+{frac {c^{2}}{16pi varpi }}s_{{mu nu }}s^{{mu nu }}){sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},$

где $~s_{0}$ и $~J^{0}$ обозначают временные компоненты
4-векторов $~s_{{mu }}$ и $~J^{{mu }}$ .

4-импульс системы определяется формулой:

$~p^{mu }=left({frac {E}{c}}{,}{mathbf {p}}right)=left({frac {E}{c}}{,}{frac {E}{c^{2}}}{mathbf {v}}right),$

где и обозначают импульс системы и скорость
движения центра импульсов системы.

Уравнения

Четырёхмерные уравнения поля ускорений по своей форме оказываются подобными
уравнениям Максвелла и имеют следующий вид:

$nabla _{sigma }u_{{mu nu }}+nabla _{mu }u_{{nu sigma }}+nabla _{nu }u_{{sigma mu }}={frac {partial u_{{mu nu }}}{partial x^{sigma }}}+{frac {partial u_{{nu sigma }}}{partial x^{mu }}}+{frac {partial u_{{sigma mu }}}{partial x^{nu }}}=0.$

$~nabla _{nu }u^{{mu nu }}=-{frac {4pi eta }{c^{2}}}J^{mu },$

где $J^{mu }=rho _{{0}}u^{mu }$ есть массовый 4-ток, $rho _{{0}}$ – плотность массы в сопутствующей системе
отсчёта, $u^{mu }$ – 4-скорость движения элемента вещества, – постоянная, определяемая в каждой задаче, и
предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой
физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений:

$~nabla ^{mu }U_{{mu }}=0.$

Если второе уравнение с источником поля записать с ковариантным индексом в
следующем виде:

$~nabla ^{nu }u_{{mu nu }}=-{frac {4pi eta }{c^{2}}}J_{mu },$

то после подстановки сюда выражения тензора ускорений $u_{{mu nu }}$ через 4-потенциал поля ускорений $~U_{mu }$ получается волновое уравнение для вычисления
потенциалов поля ускорения:

$~nabla ^{nu }nabla _{nu }U_{mu }+R_{{mu nu }}U^{nu }={frac {4pi eta }{c^{2}}}J_{mu },$

где $~R_{{mu nu }}$ – тензор Риччи.

Уравнение непрерывности в искривлённом пространстве-времени:

$~R_{{mu alpha }}u^{{mu alpha }}={frac {4pi eta }{c^{2}}}nabla _{{alpha }}J^{{alpha }}.$

В пространстве Минковского специальной теории относительности тензор Риччи
обнуляется, вид уравнений поля ускорений упрощается и их можно выразить через
напряжённость поля и соленоидальный вектор :

$~nabla cdot {mathbf {S}}=4pi eta gamma rho _{0},qquad qquad nabla times {mathbf {N}}={frac {1}{c^{2}}}left(4pi eta {mathbf {J}}+{frac {partial {mathbf {S}}}{partial t}}right),$

$~nabla times {mathbf {S}}=-{frac {partial {mathbf {N}}}{partial t}},qquad qquad nabla cdot {mathbf {N}}=0.$

где $~gamma ={frac {1}{{sqrt {1-{v^{2} over c^{2}}}}}}$ есть фактор Лоренца, $~{mathbf {J}}=gamma rho _{0}{mathbf {v}}$ – плотность тока массы, – скорость элемента вещества.

Упрощается и волновое уравнение, которое может быть записано отдельно для
скалярного и векторного потенциалов:

$~partial ^{nu }partial _{nu }vartheta ={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}vartheta }{partial t^{2}}}-Delta vartheta =4pi eta gamma rho _{0},qquad qquad (2)$

$~partial ^{nu }partial _{nu }{mathbf {U}}={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}{mathbf {U}}}{partial t^{2}}}-Delta {mathbf {U}}={frac {4pi eta }{c^{2}}}{mathbf {J}}.qquad qquad (3)$

Уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой:

$~s_{{mu nu }}J^{nu }=0$ .

Так как $~J^{nu }=rho _{0}u^{nu }$ ,
а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение
движения можно представить через эти тензоры:

$~-u_{{mu nu }}J^{nu }=F_{{mu nu }}j^{nu }+Phi _{{mu nu }}J^{nu }+f_{{mu nu }}J^{nu }+h_{{mu nu }}J^{nu }+gamma _{{mu nu }}J^{nu }+w_{{mu nu }}J^{nu }.$

Здесь $~F_{{mu nu }}$   – тензор электромагнитного поля, $~j^{nu }$ – зарядовый 4-ток, $~Phi _{{mu nu }}$   – тензор
гравитационного поля, $~f_{{mu nu }}$   – тензор
поля давления, $~h_{{mu nu }}$   – тензор
поля диссипации, $~gamma _{{mu nu }}$   – тензор поля сильного взаимодействия, $~w_{{mu nu }}$   – тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса

Тензор
энергии-импульса поля ускорений вычисляется с
помощью тензора ускорений:

$~B^{{ik}}={frac {c^{2}}{4pi eta }}left(-g^{{im}}u_{{nm}}u^{{nk}}+{frac {1}{4}}g^{{ik}}u_{{mr}}u^{{mr}}right)$ .

В составе
тензора $~B^{{ik}}$ находится 3-вектор потока энергии-импульса , подобный по смыслу вектору Пойнтинга
и вектору Хевисайда. Вектор можно представить через векторное произведение
вектора напряжённости поля и соленоидального вектора :

$~{mathbf {K}}=cB^{{0i}}={frac {c^{2}}{4pi eta }}[{mathbf {S}}times {mathbf {N}}],$

здесь индекс

Ковариантная
производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы:

$~f_{alpha }=nabla _{beta }{B_{alpha }}^{beta }=-u_{{alpha k}}J^{k}=-rho _{0}u_{{alpha k}}u^{k}=rho _{0}{frac {DU_{alpha }}{Dtau }}-J^{k}nabla _{alpha }U_{k}=rho _{0}{frac {dU_{alpha }}{dtau }}-J^{k}partial _{alpha }U_{k},qquad qquad (4)$

где обозначает дифференциал собственного времени в
искривлённом пространстве-времени.

Тензор энергии-импульса поля ускорений входит в состав тензора
энергии-импульса общего поля $~T^{{ik}}$ :

$~T^{{ik}}=W^{{ik}}+U^{{ik}}+B^{{ik}}+P^{{ik}}+Q^{{ik}}+L^{{ik}}+A^{{ik}},$

где $~W^{{ik}}$ – тензор энергии-импульса электромагнитного
поля, $~U^{{ik}}$ – тензор
энергии-импульса гравитационного поля, $~P^{{ik}}$ – тензор
энергии-импульса поля давления, $~Q^{{ik}}$ – тензор
энергии-импульса поля диссипации, $~L^{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля сильного
взаимодействия, $~A^{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля слабого
взаимодействия.

Через тензор $~T^{{ik}}$ тензор
энергии-импульса поля ускорений входит в уравнение для метрики:

$~R^{{ik}}-{frac {1}{4}}g^{{ik}}R={frac {8pi Gbeta }{c^{4}}}T^{{ik}},$

где $~R^{{ik}}$ – тензор Риччи, – гравитационная
постоянная, – некоторая постоянная, и использовано условие
калибровки космологической постоянной.

Частные решения для функций поля ускорений

4-потенциал любого векторного поля, глобальный векторный потенциал которого
равен нулю в собственной системе отсчёта K’, то есть в системе центра
импульсов, при прямолинейном движении в лабораторной системе отсчёта K может
быть представлен так: ^[3] ^[5]

$~L_{{mu L}}={frac {k_{f}varepsilon }{rho _{0}c^{2}}}u_{{mu L}},$

где $~k_{f}={frac {rho _{0}}{rho _{{0q}}}}$ для электромагнитного поля и $~k_{f}=1$ для остальных полей; $~rho _{{0}}$ и $~rho _{{0q}}$ – инвариантная плотность массы и
соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта; – инвариантная плотность энергии
взаимодействия, вычисляемая как произведение 4-потенциала поля на
соответствующий 4-ток; $~u_{{mu L}}$ – ковариантная 4-скорость, задающая движение
центра импульсов физической системы в K.

В специальной
теории относительности (СТО), в системе центра импульсов K’ плотность энергии $~varepsilon =gamma 'rho _{0}c^{2}$ , где есть фактор Лоренца, и для поля ускорений при
движении физической системы в K
4-потенциал поля ускорений будет равен
$~U_{{mu L}}=gamma 'u_{{mu L}}$ .

В том случае, когда физическая система неподвижна в K, будет $~u_{{mu L}}=(c,0,0,0)$ ,
и следовательно, скалярный потенциал $~vartheta =gamma 'c^{2}$ . Если в физической системе в среднем имеются
направленные потоки вещества или вращение вещества, векторный потенциал поля ускорений перестаёт быть равен нулю.

Если
известен 4-потенциал $~U'_{{nu }}$ поля ускорений в K’ , то в лабораторной системе отсчёта K
4-потенциал определяется с помощью матрицы $~M_{{mu }}^{{ nu }}$ ,
связывающей координаты и время обеих систем отсчёта: ^[6]

$~U_{{mu L}}=M_{{mu }}^{{ nu }}U'_{{nu }}.$

В
частном случае движения системы с постоянной скоростью $~M_{{mu }}^{{ nu }}$ представляет собой матрицу преобразований
Лоренца.

Идеально твёрдая частица

В приближении, когда частица рассматривается как идеально твёрдый объект,
вещество внутри частицы неподвижно. Это означает, что фактор Лоренца этого вещества в системе центра импульсов
K’ равен единице, так что 4-потенциал
поля ускорений становится равным 4-скорости движения центра импульсов:

$~U_{mu }=u_{mu }.$

В СТО выражение для 4-скорости упрощается и можно записать:

$~U_{mu }=left({frac {vartheta }{c}},-{mathbf {U}}right)=u_{mu }=left(gamma c,-gamma {mathbf {v}}right).$

Компоненты тензора ускорений согласно (1) будут равны:

$~{mathbf {S}}=-c^{2}nabla gamma -{frac {partial (gamma {mathbf {v}})}{partial t}},qquad qquad {mathbf {N}}=nabla times (gamma {mathbf {v}}).$

Так как в уравнении твердотельного движения для 4-ускорения с ковариантным
индексом $~a_{mu }$ справедливо соотношение

$~rho _{0}a_{mu }=rho _{0}{frac {Du_{mu }}{Dtau }}=-u_{{mu nu }}J^{nu }=-rho _{0}u_{{mu nu }}u^{nu },$

то в СТО получается следующее:

$~{frac {Du_{mu }}{Dtau }}={frac {du_{mu }}{dtau }}=gamma {frac {du_{mu }}{dt}},qquad qquad u^{nu }=left(gamma c,gamma {mathbf {v}}right),$

а также уравнения для лоренцевского фактора и для 3-ускорения $~a={frac {d{mathbf {v}}}{dt}}$ :

$~{frac {dgamma }{dt}}=-{frac {1}{c^{2}}}{mathbf {S}}cdot {mathbf {v}},qquad (5)qquad {frac {d(gamma {mathbf {v}})}{dt}}=gamma {mathbf {a}}+{frac {dgamma }{dt}}{mathbf {v}}=-{mathbf {S}}-[{mathbf {v}}times {mathbf {N}}].qquad (6)$

Умножая скалярно уравнение (6) на скорость подставляя из уравнения (5) в (6)
величину учитывая соотношение $~gamma ^{{-2}}=1-{v^{2} over c^{2}},$ находим известное выражение для производной
фактора Лоренца через скалярное произведение скорости и ускорения в СТО:

$~gamma ^{3}{mathbf {v}}cdot {mathbf {a}}=c^{2}{frac {dgamma }{dt}}.$

В справедливости уравнения (6) можно убедиться, если подставить в его
правую часть выражения для напряжённости и соленоидального вектора:

$~{frac {d(gamma {mathbf {v}})}{dt}}=c^{2}nabla gamma +{frac {partial (gamma {mathbf {v}})}{partial t}}-{mathbf {v}}times [nabla times (gamma {mathbf {v}})].qquad qquad (7)$

Действительно, применение производной Лагранжа даёт:

$~{frac {d(gamma {mathbf {v}})}{dt}}={frac {partial (gamma {mathbf {v}})}{partial t}}+({mathbf {v}}cdot nabla )(gamma {mathbf {v}})={frac {partial (gamma {mathbf {v}})}{partial t}}+gamma ({mathbf {v}}cdot nabla ){mathbf {v}}+{mathbf {v}}({mathbf {v}}cdot nabla gamma ).$

Кроме этого

$~-{mathbf {v}}times [nabla times (gamma {mathbf {v}})]=-gamma {mathbf {v}}times [nabla times {mathbf {v}}]-{mathbf {v}}times [nabla gamma times {mathbf {v}}]=-{frac {gamma }{2}}nabla v^{2}+gamma ({mathbf {v}}cdot nabla ){mathbf {v}}-v^{2}nabla gamma +{mathbf {v}}({mathbf {v}}cdot nabla gamma ).$

Подставляя эти соотношения в (7), с учётом выражения $~gamma ^{{-2}}=1-{v^{2} over c^{2}},$ приходим к тождеству:

$~c^{2}nabla gamma -{frac {gamma }{2}}nabla v^{2}-v^{2}nabla gamma =0.$

Если компоненты скорости частицы являются функциями от времени и прямо не
зависят от пространственных координат, то для такого движения соленоидальный
вектор обращается
в нуль.

В СТО $~E=gamma mc^{2}$ – релятивистская энергия, – 3-вектор релятивистского импульса частицы.
Если масса частицы постоянна, то умножая (7) на массу
частицы, приходим к следующему выражению для силы:

$~{mathbf F}={frac {d{mathbf p}}{dt}}=nabla E+{frac {partial {mathbf p}}{partial t}}-{mathbf {v}}times [nabla times {mathbf p}].$

Вращение частицы

Для малой по размерам идеально твёрдой частицы можно пренебречь движением
вещества внутри частицы и считать, что 4-потенциал поля ускорений равен
4-скорости центра импульсов частицы. Пусть частица вращается вокруг оси OZ
системы координат на расстоянии $~rho ={sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ от оси с постоянной угловой скоростью против часовой стрелки, если смотреть с той
стороны, куда направлена ось OZ. Тогда можно считать, что линейная скорость
частицы зависит только от координат и ,
и для проекций скорости на оси системы координат можно записать: , при
этом квадрат скорости равен $~v^{2}=omega ^{2}(x^{2}+y^{2})$ . Для фактора Лоренца в рамках СТО получается
следующее:

$~gamma ={frac {1}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}={frac {1}{{sqrt {1-{frac {omega ^{2}(x^{2}+y^{2})}{c^{2}}}}}}}.$

С учётом этого потенциалы и напряжённости поля ускорений запишутся так:

$~vartheta =gamma c^{2},qquad {mathbf {U}}=gamma {mathbf {v}}.$

$~{mathbf {S}}=-nabla vartheta -{frac {partial {mathbf {U}}}{partial t}}=left(-gamma ^{3}omega ^{2}x,-gamma ^{3}omega ^{2}y,0right).$

$~{mathbf {N}}=nabla times {mathbf {U}}=left(0,0,gamma omega +gamma ^{3}omega right).$

Если подставить , , и в (6), можно определить компоненты ускорения
частицы и амплитуду ускорения:

$~{mathbf {a}}=left(-omega ^{2}x,-omega ^{2}y,0right).$

$~a={sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=omega ^{2}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}=omega ^{2}rho =omega v={frac {v^{2}}{rho }}.$

Ускорение направлено к центру вращения и представляет собой
центростремительное ускорение. Используя далее классическое векторное описание,
в координатах и времени системы отсчёта в центре вращения находим:

$~{vec rho }=(x,y,0),qquad {vec omega }={frac {{vec {dvarphi }}}{dt}}=(0,0,omega ),$

$~{mathbf {v}}=[{vec omega }times {vec rho }],qquad {mathbf {a}}=[{vec omega }times {mathbf {v}}]=[{vec omega }times [{vec omega }times {vec rho }]]={vec omega }({vec omega }cdot {vec rho })-{vec rho }({vec omega }cdot {vec omega })=-omega ^{2}{vec rho },$

где и являются двумя координатами цилиндрической
системы координат, есть вектор от центра вращения до частицы, обозначает аксиальный вектор дифференциала
угла вращения, который направлен вдоль оси OZ.

Как видно, при таком движении с ускорением векторное произведение не равно нулю, так же как и 3-вектор потока энергии-импульса поля ускорений
внутри частицы.

Система частиц

Благодаря взаимодействию множества частиц друг с другом посредством
различных полей, в том числе на расстоянии без непосредственного контакта, поле
ускорений в веществе изменяется и отличается от поля ускорений отдельных частиц
в точке наблюдения. В результате плотность 4-силы в системе частиц задаётся
через напряжённость и соленоидальный вектор, характеризующие типичные
усреднённые характеристики движения вещества. Например, в
гравитационно-связанной системе возникает радиальный градиент вектора а если система движется или имеет вращение, то
возникает вектор Из (4) следует общее выражение для плотности
4-силы с ковариантным индексом:

$~f_{nu }=rho _{0}{frac {cdt}{ds}}left(-{frac {1}{c}}{mathbf {S}}cdot {mathbf {v}}{,}qquad {mathbf {S}}+[{mathbf {v}}times {mathbf {N}}]right),$

где обозначает четырёхмерный
пространственно-временной интервал.

Для стационарного случая, когда потенциалы поля ускорений не зависят от
времени, в предположении, что $~vartheta =gamma c^{2},$ волновое
уравнение (2) для скалярного потенциала в СТО преобразуется в уравнение:

$~Delta gamma =-{frac {4pi eta gamma rho _{0}}{c^{2}}}.$

Решение этого уравнения для неподвижной сферы с хаотически движущимися в
ней частицами имеет вид: ^[7]

$~gamma ={frac {cgamma _{c}}{r{sqrt {4pi eta rho _{0}}}}}sin left({frac {r}{c}}{sqrt {4pi eta rho _{0}}}right)approx gamma _{c}-{frac {2pi eta rho _{0}r^{2}gamma _{c}}{3c^{2}}}.$

где $~gamma _{c}={frac {1}{{sqrt {1-{v_{c}^{2} over c^{2}}}}}}$ есть фактор Лоренца для скоростей $~v_{c}$ частиц в центре сферы, и ввиду малости
аргумента синус разложен до членов второго порядка. Из формулы следует, что
средние скорости частиц максимальны в центре и уменьшаются при приближении к
поверхности сферы.

В такой системе скалярный потенциал становится функцией радиуса, а векторный
потенциал и соленоидальный вектор равны нулю. Напряжённость поля ускорений находится с помощью (1). Далее могут быть
вычислены все функции поля ускорений, включая 4-ускорение, энергию частиц в
этом поле и энергию самого поля ускорений. ^[8] Для космических тел
основной вклад в 4-ускорение в веществе вносит гравитационная сила тяжести и
поле давления. При этом автоматически выводится релятивистская энергия покоя
системы, с учётом движения частиц внутри сферы. Для системы частиц с полем
ускорения, полем давления, гравитационным и электромагнитным полями указанный
подход позволил решить проблему 4/3 и показал, где и в какой форме содержится
энергия системы. При этом было найдено соотношение для постоянной поля
ускорения в этой задаче:

$~eta =3G-{frac {3q^{2}}{4pi varepsilon _{0}m^{2}}},$

где $~varepsilon _{0}$ – электрическая
постоянная, и – полный заряд и масса системы.

Решение волнового уравнения для поля ускорений внутри системы приводит к
распределению температуры по формуле: ^[7]

$~T=T_{c}-{frac {eta M_{p}M(r)}{3kr}},$

где $~T_{c}$ – температура в центре, $~M_{p}$ – масса частицы, в качестве которой
принимается масса протона (для систем, основой которых является водород или
нуклоны в атомных ядрах), – масса системы внутри текущего радиуса ,
– постоянная Больцмана.

Данная зависимость хорошо выполняются для самых разных космических
объектов, включая газовые облака и глобулы Бока, Землю, Солнце и нейтронные
звёзды.

В статьях ^[9] ^[10] соотношение для
коэффициентов полей было уточнено следующим образом:

$~eta +sigma =G-{frac {rho _{{0q}}^{2}}{4pi varepsilon _{0}rho _{{0}}^{2}}},$

где есть постоянная поля давления.

Если ввести параметр как количество нуклонов на одну частицу
ионизированного газа, то постоянная поля ускорения выразится так:

$~eta ={frac {3gamma _{c}mu G}{2+3gamma _{c}mu }}.$

Для температуры внутри космических тел в модели гравитационного равновесия
находится зависимость от текущего радиуса:

$~T=T_{c}-{frac {4pi eta m_{u}rho _{{0c}}gamma _{c}r^{2}}{9k}}+{frac {2pi eta Am_{u}gamma _{c}r^{3}}{9k}}+{frac {2pi eta Bm_{u}gamma _{c}r^{4}}{15k}},$

где $~m_{u}$ есть масса одной частицы газа, в качестве
которой берётся атомная единица массы, коэффициенты и входят в зависимость плотности массы от
радиуса в соотношении $~rho _{0}=rho _{{0c}}-Ar-Br^{2}.$

В
предположении, что типичные частицы системы имеют массу $~{stackrel {-}{m}}=mu m_{u}$ и именно типичные частицы задают температуру
и давление, для постоянной поля ускорения получается следующее: ^[11]

$~eta ={frac {3}{5}}left(G-{frac {rho _{{0q}}^{2}}{4pi varepsilon _{0}rho _{0}^{2}}}right).$

Находится
также фактор Лоренца частиц в центре системы: ^[12]

$~gamma _{c}={frac {1}{{sqrt {1-{frac {v_{c}^{2}}{c^{2}}}}}}}approx 1+{frac {v_{c}^{2}}{2c^{2}}}+{frac {3v_{c}^{4}}{8c^{4}}}approx 1+{frac {3eta m}{10ac^{2}}}left(1+{frac {9}{2{sqrt {14}}}}right)+{frac {27eta ^{2}m^{2}}{200a^{2}c^{4}}}left(1+{frac {9}{2{sqrt {14}}}}right)^{2}.$

Волновое уравнение (3) для векторного потенциала поля ускорений было
использовано для того, чтобы релятивистское уравнение движения жидкости
представить в виде уравнения Навье-Стокса в гидродинамике и описать движение
вязкого сжимаемого вещества. ^[13]

Учёт
поля ускорений и поля давления в релятивистской однородной системе
позволил уточнить теорему вириала, которая в релятивистской форме записывается
так: ^[14]

$~langle W_{k}rangle approx -0,6sum _{{k=1}}^{N}langle {mathbf {F}}_{k}cdot {mathbf {r}}_{k}rangle ,$

причём
величина $~W_{k}approx gamma _{c}T$ превышает кинетическую энергию частиц на множитель, равный фактору Лоренца $~gamma _{c}$ частиц в центре системы. В обычных условиях
можно считать, что $~gamma _{c}approx 1$ , и тогда видно, что в теореме вириала
кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом 0,5, а скорее
коэффициентом, близким к 0,6. Отличие от классического случая возникает за счёт
учёта поля давления и поля ускорений частиц внутри системы, при этом
производная от вириальной скалярной функции
$~G_{v}$ не равна нулю и должна рассматриваться как
производная Лагранжа.

Анализ
интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля
формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя
понятия температуры: ^[15]

$v_{{mathrm {rms}}}=c{sqrt {1-{frac {4pi eta rho _{0}r^{2}}{c^{2}gamma _{c}^{2}sin ^{2}{left({frac {r}{c}}{sqrt {4pi eta rho _{0}}}right)}}}}}.$

Интегральная
теорема
энергии поля для поля ускорений в искривлённом
пространстве-времени выглядит следующим образом:^[6]

$~-int {left({frac {8pi eta }{c^{2}}}U_{alpha }J^{alpha }+u_{{alpha beta }}u^{{alpha beta }}right){sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={frac {2}{c}}{frac {d}{dt}}left(int {U^{alpha }u_{alpha }^{{ 0}}{sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}right)+2iint limits _{S}{U^{alpha }u_{alpha }^{{ k}}n_{k}{sqrt {-g}}dS}.$

В
релятивистской однородной системе скалярный потенциал поля ускорений связан со скалярным потенциалом
поля давления соотношением: ^[16]

$~wp ={frac {sigma (vartheta -c^{2})}{eta }}={frac {2(vartheta -c^{2})}{3}}.$

При
этом находится релятивистское выражение для давления:

$p={frac {2rho c^{2}(gamma -1)}{3}}={frac {2rho c^{2}}{3}}left({frac {1}{{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}-1right)approx {frac {rho v^{2}}{3}},$

где — плотность движущегося вещества, — скорость света, $gamma ={frac {1}{{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ — Лоренц-фактор. В пределе малых скоростей
это соотношение переходит в стандартную формулу молекулярно-кинетической
теории.

Другие подходы

Изучая лоренц-ковариантность 4-силы, Friedman и Scarr нашли не полную
ковариантность выражения для 4-силы в виде
$~F^{mu }={frac {dp^{mu }}{dtau }}.$ ^[17] Это привело их к выводу, что 4-ускорение в
СТО должно быть выражено с помощью некоторого антисимметричного тензора $~{A^{mu }}_{nu }$ :

$~c{frac {du^{mu }}{dtau }}={A^{mu }}_{nu }u^{nu }.$

Исходя из анализа различных видов движения, они оценили требуемые для них
значения компонент тензора ускорений, дав тем самым этому тензору косвенное
определение.

Из сравнения с (4) следует, что тензор
$~{A^{mu }}_{nu }$   с точностью до знака и постоянного множителя
совпадает с тензором ускорений $~{u^{alpha }}_{k}$   в случае, когда рассматривается прямолинейное
движение твёрдого тела без вращения. Действительно, тогда 4-потенциал поля
ускорений совпадает с 4-скоростью, $~U_{mu }=u_{mu }$ . В результате величина $~-J^{k}partial _{alpha }U_{k}=-rho _{0}u^{k}partial _{alpha }u_{k}$   в правой части (4) обнуляется, поскольку
справедливы соотношения: $~u^{k}u_{k}=c^{2}$ ,   $~2u^{k}partial _{alpha }u_{k}=partial _{alpha }(u^{k}u_{k})=partial _{alpha }c^{2}=0$ . С учётом этого в (4) можно поднять
индекс   и сократить плотность массы, что даёт
следующее:

$~-{u^{alpha }}_{k}u^{k}={frac {du^{alpha }}{dtau }}.$

Mashhoon и Muench рассматривали преобразование инерциальных систем
отсчёта, сопутствующих ускоренной системе отсчёта, и пришли к соотношению: ^[18]

$~c{frac {dlambda _{alpha }}{dtau }}={Phi _{alpha }}^{beta }lambda _{beta }.$

Тензор $~{Phi _{alpha }}^{beta }$ имеет те же свойства, что и тензор
ускорений $~{u_{alpha }}^{beta }.$

Использование в общей теории относительности

Функция действия в
общей
теории относительности (ОТО) может быть представлена как
сумма четырёх членов, отвечающих соответственно за метрику
пространства-времени, за материю в виде вещества, за электромагнитное поле и за
поле давления:

$~S=S_{m}+S_{{mat}}+S_{{em}}+S_{p}.$

В функцию действия можно включать дополнительные члены, если требуется
учесть другие поля. Первый, второй и третий члены действия имеют стандартный
вид: ^[19]

$~S_{m}=int (kR-2kLambda ){sqrt {-g}}dSigma .$

$~S_{{mat}}=int (-crho _{0}){sqrt {-g}}dSigma .$

$~S_{{em}}=int (-{frac {1}{c}}A_{mu }j^{mu }-{frac {cvarepsilon _{0}}{4}}F_{{mu nu }}F^{{mu nu }}){sqrt {-g}}dSigma ,$

где $A_{mu }$ есть электромагнитный 4-потенциал.

Член $~S_{p}$ , отвечающий за вклад давления в функцию
действия, оказывается различным у разных авторов, в зависимости от того, как
давление связано с упругой энергией, и является ли поле давления скалярным или
считается векторным полем. Заметим, что в ОТО гравитационное поле входит в
функцию действия не прямо, а косвенно, через метрический тензор. При этом как
правило поле давления считается скалярным полем.

В отличие от этого, в ковариантной теории гравитации
(КТГ) вместо члена $~S_{{mat}}$ используется член $~S_{{ac}}$ , связанный с полем ускорений, и функция
действия может быть записана так: ^[4]

$~S=S_{m}+S_{{ac}}+S_{{em}}+S_{p}.$

Здесь

$~S_{{ac}}=int (-{frac {1}{c}}U_{mu }J^{mu }-{frac {c}{16pi eta }}u_{{mu nu }}u^{{mu nu }}){sqrt {-g}}dSigma ,$

$~S_{p}=int (-{frac {1}{c}}pi _{mu }J^{mu }-{frac {c}{16pi sigma }}f_{{mu nu }}f^{{mu nu }}){sqrt {-g}}dSigma ,$

где
$~pi _{mu }$ – 4-потенциал поля давления,
– коэффициент поля давления, $~f_{{mu nu }}$ – тензор поля давления, $J^{mu }=rho _{{0}}u^{mu }$ .

В случае прямолинейного движения твёрдого тела без вращения будут
выполняться соотношения: $U_{mu }=u_{mu }$ ,   $~u_{mu }u^{mu }=c^{2}$ , и в члене
$~S_{{ac}}$   получается соотношение $~-{frac {1}{c}}U_{mu }J^{mu }=-crho _{0}$ . В
этом частном случае видно, что член $~S_{{ac}}$   отличается от члена $~S_{{mat}}$   дополнительным слагаемым, связанным с
энергией поля ускорений. Это является следствием того, что в КТГ поле ускорений
представляет собой векторное поле, тогда как как в ОТО поле ускорений
используется фактически как скалярное поле, не зависящее от скоростей частиц. В
обеих теориях поле ускорений позволяет определить вклад энергии покоя частиц в
общую энергию системы из частиц и полей. Однако применение поля ускорений в
виде скалярного поля в ОТО по своей форме не согласуется с векторной природой
электромагнитного поля. Действительно, в предельном случае, когда в учёт
берутся только ускорения частиц и электромагнитные силы, ускорение должно быть
двухкомпонентным, как это имеет место для ускорения от действия
двухкомпонентной силы Лоренца. Но такое возможно лишь в случае, когда поле
ускорений является векторным полем. Улучшить ситуацию можно, если приписать
метрическому полю $~g_{{mu nu }}$   в ОТО кроме функции гравитационного поля ещё и
функцию векторной компоненты поля ускорений, однако это ещё более усложняет и
запутывает уравнения теории.

Следует заметить, что в общем случае произвольного движения вещества
соотношение $~-{frac {1}{c}}U_{mu }J^{mu }=-crho _{0}$   уже не выполняется и КТГ перестаёт совпадать
с ОТО в способе описания энергии покоя физической системы. Это означает, что в
ОТО движение вещества рассматривается упрощённо, как прямолинейное движение
твёрдого тела, тогда как в КТГ использование 4-потенциала поля ускорений $U_{mu }$   позволяет учесть внутреннее движение вещества
в каждом выделенном элементе объёма. Например, при вращении частицы по
окружности 4-потенциал $U_{mu }$   вещества частицы будет зависеть от
местоположения этого вещества относительно линии окружности, так как скорость
вещества частицы зависит от радиуса вращения.

См. также

Общее
поле
Поле
давления
Поле диссипации
Ковариантная
теория гравитации
Метрическая теория
относительности
Тензор
ускорений
Тензор
энергии-импульса поля ускорений
4-сила
Уравнение векторного поля

Ссылки

1. ^а ^б Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459;
статья на русском языке: Концепция
общего силового векторного поля.

2. Fedosin S.G. Two components of the macroscopic
general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2,
1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025; статья на русском языке: Две компоненты макроскопического общего поля.

3. ^а ^б Fedosin S.G. The
procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any
form. Advanced Studies in Theoretical
Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101;
статья на русском языке: Процедура
для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

4. ^а ^б ^в Fedosin
S.G. About the cosmological constant, acceleration
field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304;
статья на русском языке: О
космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5.
Fedosin S.G. Equations of Motion in
the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry,
Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в
теории релятивистских векторных полей.

6.
^а ^б Fedosin S.G. The Integral Theorem of the Field Energy. Gazi
University Journal of Science. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783. // Интегральная
теорема энергии поля.

7. ^а ^б Fedosin S.G. The Integral
Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure
Field and Acceleration Field. American Journal of
Modern Physics. Vol. 3, No. 4, pp. 152-167 (2014). http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ;
статья на русском языке: Интегральный
4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля
ускорений.

8. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics.
Vol. 8, No. 1, pp. 1-16 (2015). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889210;
статья на русском языке: Релятивистская
энергия и масса в пределе слабого поля.

9. Fedosin S.G. Estimation of the physical parameters of planets
and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of Physics, Vol.
94, No. 4, pp. 370-379
(2016). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0593;
статья на русском языке: Оценка
физических параметров планет и звёзд в модели гравитационного равновесия.

10.
Fedosin S.G. The generalized
Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem.
International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая
теорема Пойнтинга для
общего поля и
решение проблемы 4/3.

11. Fedosin S.G.
The binding energy and the total energy of a macroscopic body in the
relativistic uniform model. Middle East Journal of
Science, Vol. 5, Issue 1, pp. 46-62 (2019). http://dx.doi.org/10.23884/mejs.2019.5.1.06.
// Энергия связи и полная энергия
макроскопического тела в релятивистской однородной модели.

12.
Fedosin S.G. Energy and metric
gauging in the covariant theory of gravitation. Aksaray University Journal of Science and Engineering,
Vol. 2, Issue 2, pp. 127-143 (2018). http://dx.doi.org/10.29002/asujse.433947. // Калибровка энергии и метрики в ковариантной
теории гравитации.

13. Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion
for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration
Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics.
Vol. 18, No. 1, pp. 13-24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003;
статья на русском языке: Четырёхмерное
уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля
давления и поля диссипации.

14. Fedosin
S.G. The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic
system in the general field concept. Continuum
Mechanics and Thermodynamics. Vol. 29, Issue 2, pp. 361-371 (2017). https://dx.doi.org/10.1007/s00161-016-0536-8;
статья на русском языке: Теорема вириала и
кинетическая энергия частиц макроскопической системы в концепции общего поля.

15.
Fedosin S.G. The integral theorem of generalized
virial in the relativistic uniform model.
Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol. 31, Issue 3, pp. 627-638 (2019). https://dx.doi.org/10.1007/s00161-018-0715-x. // Интегральная
теорема обобщённого вириала в релятивистской однородной модели.

16. Fedosin
S.G. The potentials of the acceleration field and pressure field in rotating
relativistic uniform system. Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol. 33, Issue 3, pp. 817-834 (2021). https://doi.org/10.1007/s00161-020-00960-7.
// Потенциалы поля ускорений и поля давления
во вращающейся релятивистской однородной системе.

17.
Yaakov
Friedman and Tzvi Scarr. Covariant Uniform Acceleration. Journal of Physics: Conference Series Vol. 437
(2013) 012009 doi:10.1088/1742-6596/437/1/012009.

18.
Bahram Mashhoon and Uwe Muench. Length measurement in accelerated
systems. Annalen der Physik.
Vol. 11, Issue 7, P. 532–547, 2002.

19. Фок
В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.

Внешние ссылки

Acceleration field

Источник: http://sergf.ru/af.htm

На список страниц

Источник

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

На заряженную частицу в электростатическом поле действует кулоновская сила, которую можно найти, зная напряженность поля в данной точке[~ vec F = q vec E]. Эта сила сообщает ускорение (~ vec a= frac {vec F} {m} =frac {q vec E}{m}), где m — масса заряженной частицы. Как видно, направление ускорения будет совпадать с направлением (~vec E), если заряд частицы положителен (q > 0), и будет противоположно (~vec E), если заряд отрицателен (q<0).

Если электростатическое поле однородное ((~vec E) = const), то ускорение (~vec a ) = const и частица будет совершать равноускоренное движение (разумеется, при отсутствии других сил). Вид траектории частицы зависит от начальных условий. Если вначале заряженная частица покоилась (~(v_0 = 0)) или ее начальная скорость сонаправлена с ускорением (~ (vec v_o upuparrows vec a )), то частица будет совершать равноускоренное прямолинейное движение вдоль поля и ее скорость будет расти. Если (~ vec v_o downarrow uparrow vec a ), то частица будет тормозиться в этом поле.

Если угол между начальной скоростью и ускорением острый О < α < 90° (или тупой), то заряженная частица в таком электростатическом поле будет двигаться по параболе.

Во всех случаях при движении заряженной частицы в электростатическом поле будет изменяться модуль скорости, а следовательно, и кинетическая энергия частицы.

Существенное отличие магнитного поля от электростатического состоит, во-первых, в том, что магнитное поле не действует на покоящуюся заряженную частицу. Магнитное поле действует только на движущиеся в поле заряженные частицы. Во-вторых, сила Лоренца, действующая на заряженные частицы в магнитном поле, всегда перпендикулярна скорости их движения. Поэтому модуль скорости в магнитном поле не изменяется. Не изменяется, следовательно, и кинетическая энергия частицы. Вид траектории заряженной частицы в магнитном поле зависит от угла между скоростью влетающей в поле частицы и магнитной индукцией. Возможны три различных случая.

1. Заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью (~vec v), направленной вдоль поля (~(vec v upuparrows vec B)) или противоположно направлению магнитной индукции поля (~ (vec v downarrow uparrow vec B )). В этих случаях сила Лоренна (~F_L = 0 ) и частица будет продолжать двигаться равномерно прямолинейно.

2. Заряженная частица движется перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 2), тогда сила Лоренца (~ F_L = qbv ), а следовательно, и сообщаемое ускорение будут постоянны по модулю и перпендикулярны к скорости частицы. В результате частица будет двигаться по окружности, радиус которой можно найти на основании второго закона Ньютона:

(~F_l = ma_c; qBv = frac {mv^2}{R} Rightarrow R =frac {mv}{qB}. )

Отношение (~frac q m ) — называют удельным зарядом частицы.

Рис. 2

Период вращения частицы

(~T = frac {2 pi R}{v} = frac {2 pi m}{qB},)

то есть период вращения не зависит от скорости частицы и радиуса траектории. На этом основано действие циклотрона.

3. Скорость заряженной частицы направлена под углом (~alpha ) к вектору (~vec B) (рис. 3).

Рис. 3

Движение частицы можно представить в виде суперпозиции равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью (~ v_{lVert} = v cos alpha ) и движения по окружности с постоянной по модулю скоростью (~ v_{perp} = v sin alpha) в плоскости, перпендикулярной полю. Радиус окружности определяется аналогично предыдущему случаю, только надо заменить (~ v) на (~ v_{perp} = v sin alpha), то есть

(~R = frac {mv sin alpha} {qB}.)

В результате сложения этих движений возникает движение по винтовой линии, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии

(~h = v_{lVert} cdot T = v cos alpha cdot T = frac {2 pi mv cos alpha} {qB})

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы.

Если скорость заряженной частицы составляет угол α с направлением вектора (~vec B) неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, тο R и h уменьшаются с ростом B. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

Если на движущуюся заряженную частицу помимо магнитного поля с индукцией (~vec B) действует одновременно и электростатическое поле с напряженностью (~vec E), то равнодействующая сила, приложенная к частице, равна векторной сумме электрической силы и силы Лоренца[~ vec F_e = vec F_L]. Характер движения и вид траектории зависят в данном случае от соотношения этих сил и от направления электростатического и магнитного полей.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C.326-327.

Источник