Как для дискретной случайной величины найти моду

Значение случайной
величины
,
принимаемое с наибольшей вероятностью,
называетсямодойи обозначается

Мода называется
еще наивероятнейшим значениемслучайной величины.

Если эксперимент
описывается случайной величиной, то в
результате проведенной серии этого
эксперимента чаще всего встречается
мода случайной величины.

Медианаявляется значением случайной величины.
Вероятность того, что случайная величина
принимает значение меньше медианы,
равна 0,5:

Не все дискретные
случайные величины имеют медиану.

Пример 1. Задан
закон распределения случайной величины

		3	5	6
	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти моду и медиану
случайной величины
.

Найдем моду:

.

Тогда
.

Для нахождения
медианы нужно рассмотреть
,
гдезначения
случайной величины.

.

Заметим, что
.

Из данных закона
распределения случайной величины

.

Тогда
.
Нет необходимости находить.

Пример 2. Задан
закон распределения случайной величины

	0	1
	0,9	0,1

Найти моду и медиану
случайной величины
.
Значение 0 принимается с наибольшей
вероятностью

.

Тогда
.

Найдем медиану

.

Нет значения
случайной величины,
при котором.
Поэтому случайная величинамедианы не имеет.

3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Вводится величина,
характеризующая зависимость между
двумя случайными величинами. Задано
совместное распределение случайных
величин
и

.

Корреляционным
моментомслучайных величини(иликовариациеймеждуи)
называется число

Для дискретных
случайных величин
иимеем

.

Непосредственно
из свойств математического ожидания
вытекают свойства ковариации:

1. ;

2. ;

Для дискретных
случайных величин имеем
.

1. ;

2. ;

3. Если случайные
   величины независимы, то их ковариация
   равна нулю.

Обратное не верно.
Если
,
то случайные величиныимогут быть как зависимыми, так и
независимыми.

Коэффициентом
корреляциимежду случайными величинамииназываются число

.

Приведем некоторые
свойства коэффициента корреляции.

1. 

Пусть
и введем случайную величину

.

Знакоположительная
случайная величина
имеет не отрицательное математическое
ожидание:

при любом
.

Распишем

.

Получаем квадратичное
неравенство

,
где
,.

Неравенство
выполняется при любом
,
если дискриминант неположительный.
Тогда

,
откуда

.

Таким образом,
.

1. Если
   инезависимы, то,
   что следует из свойства 5 ковариации.

2. Коэффициент
   корреляции равен
   тогда и только тогда, когда случайные
   величины линейно зависимы

Пусть
.
Тогдаи,

.

Тогда
.

Пусть
.

Рассмотрим случайную
величину

.

Найдем

,

.

Из свойства
математического ожидания

.

Тогда

и

.

Получим линейное
выражение
через.

Случай
разбирается аналогично. Вводится
случайная величина.

Пример 1. Задано
совместное распределение случайных
величини

	2	4
0	0,1	0,3
1	0,2	0,4

Найти
.

Запишем распределения
случайных величин
и

	0	1	;
	0,4	0,6

	2	4	.
	0,3	0,7

Найдем основные
характеристики случайных величин
и:

;

;

.

Используем формулу
.

Найдем
:

.

Тогда
и

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Краткая теория

---

Кроме
математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд
числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность

 или плотность вероятности

 достигает максимума.

В
частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода
биномиального распределения.

Если
вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в
нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медиана непрерывной и дискретной случайной величины

Медианой случайной величины

 называют число

, такое, что

.

То есть вероятность того, что
случайная величина

 примет
значение, меньшее медианы

 или больше ее,
одна и та же и равна

.

Для дискретной случайной величины

 это число может
не совпадать ни с одним из значений

. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число

, лежащее между двумя соседними возможными значениями

 и

 такими, что

.

Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая

, проходящая через точку с абсциссой, равной

, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной
случайной величины

Очевидно, что в точке

  функция распределения непрерывной случайной
величины равна

, то есть

.

Медиана на графике функции распределения непрерывной
случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми
характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей
и процентных точек.

Квантилем уровня

 (или

 – квантилем)
называется такое значение

 случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное

, то есть:

Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть

. Квантили

 и

 получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили

) и процентили (квантили

).

С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под

 точкой
подразумевается квантиль

, то есть такое значение случайной величины

, при котором

.

Смежные темы решебника:

• Структурные средние в статистике — мода, медиана, квантиль, дециль
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

Найти
моду, медиану, квантиль

 и 40%-ну точку случайной величины

 c плотностью распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Производная
не обращается в нуль.

Значения
на концах отрезка:

Следовательно,
мода:

Медиану

 найдем из условия:

В нашем
случае получаем:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомый квантиль:

Найдем
40%-ную точку случайной величины

, или квантиль

 из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая точка:

Ответ:

.

---

Пример 2

Найти
моду, медиану, квантиль

 случайной величины

, заданной функцией
распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Найдем
плотность распределения:

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Значения
функции

 в стационарных точках и на концах отрезка:

Распределение
полимодальное:

Медиану

 найдем из уравнения:

Итак,
медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Итак:

Ответ:

.

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Для нахождения моды и медианы случайной величины необходимы хорошие умения интегрировать и знания следующего теоретического материала. Модой дискретной случайной величины называют те ее возможное значение, которые соответствует наибольшей вероятности появления (т.е. такое значение величины , которое случается чаще всего при проведении экспериментов, опытов, наблюдений). В случае случайной величины модой называют то ее возможное значение, которому соответствует максимальное значение плотности вероятностей

В зависимости от вида функции случайная величина может иметь разное количество мод. Если случайная величина имеет одну моду, то такое распределение вероятностей называют одномодальным; если распределение имеет две моды — двухмодальным и более – мультимодальным.

Существуют и такие распределения, которые не имеют моды, их называют антимодальными. Медианой случайной величины называют то ее значения, для которого выполняются равенство вероятностей событий, то есть, плотность вероятностей справа и слева одинаковы и равны половине (0,5)

Графически мода и медиана изображенные на рисунке

При таком значению случайной величины график функции распределения делится на части с одинаковой площадью. Непрерывная случайная величина имеет только одно значение медианы. Для дискретной случайной величины медиану обычно не определяют, однако в некоторой литературе приводятся правила, согласно которым, для ряда случайных величин размещенных в порядке возрастания (вариационного ряда) моду определяют распределения: если есть нечетное количество случайных величин то медиана равна средней величине

в случае четного количества полусумме средних величин

Рассмотрим примеры определения моды и медианы.

Пример 1. В развлекательном центре работник обслуживает четыре дорожки для боулинга. Вероятность того, что какая-то дорожка нуждается в уборке в течение смены является постоянной величиной с вероятностью 85%.

Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины — количество дорожек, которые требуют уборки. Найти моду .

Решение. Случайной величина может принимать значения

Вероятности появления значений определяем по образующей функцией

Для заданной задачи входные величины принимают значения

Искомые вероятности входят множителями при степенях аргумента

Закон распределения вероятностей запишем в виде таблицы

С таблице определяем моду , как значение при максимальной вероятности. Получили одномодальное распределение

Пример 2. По заданной плотностью вероятностей

найти параметр , плотность вероятностей , моду .

Решение. Применяя условие нормирования выполняем интегрирование

после того определяем параметр

Плотность вероятностей, учитывая найденное значение будет иметь вид

а ее график изображен на рисунке ниже

Из графика плотности вероятностей видим, что мода принимает значение . Определим медиану с помощью функции распределения вероятностей. Ее значение на промежутке находим интегрированием

Функция распределения иметь следующий вид

а ее график будет иметь вид

Для определения медианы случайной величины применяем формулу

Медиану можно найти с помощью плотности вероятностей

для дискретной случайной величины из промежутка

Таким образом медиану — возможное значение случайной величины , при котором прямая, проведенная перпендикулярно соответствующей точки на плоскости , делит площадь фигуры, ограниченной функцией плотности вероятностей на две равные части.

——————————-

Задача на определение моды и медианы случайной величины встречаются на практике не так часто, как плотности распределения вероятностей, однако вышеприведенный теоретический материал и решения распространенных примеров помогут Вам находить эти величины без больших затрат времени. При необходимости Вы всегда можете заказать решение задач по теории вероятностей в нас.

Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой Дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , при котором плотность распределения Имеет максимум, т. е. .

На рис. 3 и 4 показана мода для дискретной и непрерывной случайной величины.

Рис. 3 Рис. 4

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется Двухмодальным или многомодальным.

Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимум. Такие распределения называются Антимодальными.

Медианой непрерывной случайной величины X (обозначение:) называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина Меньше или больше, т. е.

. (9)

Геометрически вертикальная прямая , Проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 5). Каждая из этих площадей равна , т. к. площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения в точке равна , т. е. .

Рис. 5

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

< Предыдущая		Следующая >

Тема 31-32: «Математическое ожидание
и его свойства»

Цель: рассмотреть числовые характеристики дискретной
случайной величины, вывести формулы и обозначения, учить решать задачи.

   Функция распределения случайной дискретной величины
позволяет наиболее полно охарактеризовать рассматриваемую случайную величину.
Однако при решении многих задач проще указать числовые характеристики случайной
величины, чем соответствующий закон распределения. К важнейшим числовым
характеристикам случайной величины относятся: мода, медиана, математическое
ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

1)     
Модой ДСВ называется такое
значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая.

Обозначается: Мо(х)

Значение случайной величины,
вероятность которой минимальная. Называется антимодой.

Пример 1. Закон распределения СВ задан таблицей

х	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р

Наибольшая вероятность р =  , следовательно мода Мо(х) = 7, антимода равна 2.

Пример 2. При подбрасывании одного игрального  кубика
составить ряд выпадения граней

х	1	2	3	4	5	6
р

Мода
не может быть указана, так как вероятность выпадения каждой грани одинакова.

Пример
3. По наблюдениям метрологов, среднесуточная температура в первой половине
февраля имела следующий ряд распределения: -18, -15, -18, -18, -15, -12. -12.
-5, -10, -7, -12, -18, -20,-15, -12. Составить закон распределения ДСВ –
среднесуточной температуры и найти моду.

Решение:
Составим закон распределения ДСВ — среднесуточной  температуры, ранжируя ее
значения в порядке возрастания:

х	-20	-18	-15	-12	-10	-7	-5
р

В
данном случае наибольшую вероятность р =  имеют два значения ДСВ: х=-18 и х=-12. Значит мода ДСВ х равна
Мо(х)=-12 и Мо(х)=-18.

 
Моду как характеристику ДСВ часто используют в социологических исследованиях,
например при определении рейтинга популярности того или иного политического
деятеля или певца. При этом в качестве ДСВ выступает число голосов, отданных,
например, за любимого певца при социологическом опросе .

2)     
Медианой
ДСВ
называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ.

Обозначается  Ме(х)

Пример:
Учет производительности труда станочников цеха №3 за смену задан рядом
распределений:

Номер по списку	1	2	3	4	5	6	7	8
производительность	52	52	53	54	56	57	57	57

Найти
моду и медиану ДСВ х.

Решение:
мода Мо(х) = 57 (самая «модная» производительность труда)

т.к.
число столбиков четное то медиану вычисляем как среднее арифметическое ДСВ 
Ме(х)=

Для
нахождения медианы ранжирование ряда распределения является обязательным
условием.

 
Одна из самых важных характеристик ДСВ – математическое ожидание.

3)     
Математическим
ожиданием ДСВ
называется сумма произведений значений случайной величины на их вероятности.

Обозначается М(Х).

Не
любая ДСВ может имеет математическое ожидание.

Свойства математического ожидания.

1)     
Математическое
ожидание постоянной величины равно этой постоянной М(С)=С=const

2)     
Постоянный
множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(kX)=kМ(Х), k—const;

3)     
Математическое
ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(х +
у)=М(х) +М(у);

4)     
Математическое
ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий: М(ху)=М(х)М(у).

Математическое ожидание можно найти всегда, если задан
закон распределения ДСВ.

Задача
1. Найти математическое ожидание произведения двух независимых случайных
величин  Х и У, если известны их законы распределения.

у	1	2	3	4
р	0.3	0,1	0,25	0,35

М(х)
= 3*0,3 + 5*0,5 + 7*0,2 =4,8

М(у)
= 1*0,3 +2*0,1 + 3*0,25 + 4*0,35 = 2,65

М(ху)=М(х)М(у)=4,8*2,65=12,72.

Ответ:
12,72

Задача
2. Из 100 лотерейных билетов в тридцати выигрыш составляет 100 тыс. р., в
десяти – 200 тыс. р., в пяти – 300 тыс.р., в одном -1 млн.р.  Найти числовые
характеристики выигрыша.

Решение:
СВ х –выигрыш – принимает значения х₁=0, х₂=100 тыс.р, х₃=200
тыс.р., х₄=300 тыс.р., х₅=1 млн.р.

Вычислим
вероятности р₁==0.54;  р₂ =  =0.3;  р₃ = =0,1;  р₄ = =0,05;

Р₅
= =0,01. Составим закон распределения этой ДСВ

х	0	100тыс.	200 тыс.	300 тыс.	1 млн.
р	0,54	0,30	0,10	0,05	0,01

Мо(х)
= 0 ( т. К. наибольшая вероятность 0,54 )

Ме(х)
=200 тыс.

М(х)
= 0*0,54 + 100 тыс.р.*0,3 + 200 тыс.р.*0,1 +300 тыс.р.*0,05 + 1 млн.р*0,01=75
тыс.р.

Задача
3. Найти математическое ожидание случайной величины у = 5х + 9, если известно,
что М(х) =2,5

Решение:
зная свойства математического ожидания, имеем:

М(у)
= М(5х +9) = М(5х) +М(9) = 5М(х) +9 = 5*2,5 +9 =7,5 +9=16,5.

Решить
самостоятельно:

1.     
Найти
математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей следующее
распределение:

А)

Б)

В)

2.     
Дискретная
случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=4 с
вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3
и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃,
зная, что М(х) = 8.

3.     
Дискретная
случайная величина имеет следующий закон распределения:

Математическое ожидание равно 3. Найти х₁ и р₃.
Построить многоугольник распределения.

4.     
Найти
математическое ожидание величины Z, если:

А)  Z = 3х +4 у; М(х)=2; М(у)=6;

Б)  Z = 12х +3у; М(х)=0; М(у)=4.

Тема 33-34: «Дисперсия.
Среднеквадратическое отклонение»

Цель:
дать определения, ввести обозначение дисперсии и среднеквадратического
отклонения, учить вычислять эти величины.

 
Математического ожидания недостаточно для описания случайной величины. Для
более полной характеристики случайной величины надо оценивать рассеивание ее
возможных значений. Для характеристики рассеивания случайной величины и
предназначена дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х
называется математическое  ожидание квадрата отклонения ее возможных значений
от ее среднего значения.

Обозначается:
Д(х).

Д(х)=
М((х – М(х))²)  или

Д(х)
= М(х²) – М²(х).

Дисперсия
числа появлений в n независимых испытаниях ( с
одинаковой вероятностью появления р события в каждом испытании и вероятности не
появления q) вычисляется по формуле Д(х)
= npq.

Пример1. Найти Д(х) случайной
величины, заданной следующим законом распределения:

х	3	4	6	7
р	0.2	0,25	0,35	0,2

Решение:
вычислим М(х) = 3*0,2 +4*0,25 + 6*0,35 + 7*0,2 = 5,1

Составим
закон распределения случайной величины х²

Х2	32=9	16	36	49
р	0,2	0,25	0.35	0,2

М(х²)
= 9*0,2 + 16*0,25 + 36*0,35 +49*0,2 = 28,2

Д(х)
= М(х²) – М²(х) = 28,2 – 5,1² = 28,2 – 26,01 =
2,19

Ответ:
Д(х) =2,19

Пример
2. Найти
дисперсию ДСВ х – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти
независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Решение:
по условию  n = 10;     q =0.9 ;    p = 0.1

D(x) = nqp = 10*0,9*0,1 = 0,9

Ответ:
Д(х) = 0,9

Свойства дисперсии.

1.  
Д(х)  0 дисперсия любой случайной величины есть величина
неотрицательная.

2.     
Дисперсия
постоянной величины С равна 0.  Д(С) =0.

3.     
Постоянный
множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат. Д(Сх) = С²Д(х).

4.     
Дисперсия
не меняется от смещения случайной величины Д(х – С)=Д(х).

5.     
Дисперсия
суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин  Д( х₁
+ х₂ + х₃ +…+ х_n) = Д(х₁)+Д(х₂)+Д(х₃)+ …
+Д(х_n)

 Т.к. дисперсия имеет размерность квадрата случайной
величины, то это очень неудобно для наглядного представления степени
рассеивания случайной величины Х. Чтобы устранить этот недостаток, вводится
показатель степени рассеивания случайной величины Х, имеющий с ней одинаковую
размерность. Этот показатель называется среднеквадратическим отклонением и обозначается
σ.

 квадратный из дисперсии этой
ДСВ.

σ=

Пример 3. Найти дисперсию и среднеквадратическое
отклонение, если ДСВ задана законом распределения.

Решение: Д(х) = М(х²) – М²_(Х)
;  М(х) = 4*0,2 + 5*0,3 + 10*0,5 =7,3

Составим таблицу для х²     

х	16	25	100
р	0,2	0,3	0,5

М(х²) = 16*0,2 + 25*0,3 + 100*0,5 = 60,7

Д(х) = 60,7 – 7,3² =7,41;        σ =  =2,72

Ответ: 7,41; 2,72

Пример 4. Составить закон распределения ДСВ х,
принимающей значения х₁ =1, х₂ =3, Х₃=4, если
известно, что М(х) = 2,3; Д(х) =1,21.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Р₁ + 3р₂ + 4р₃ =2,3;

Р₁ +9р₂ + 16р₃ = 1,21
+2,3²;

Р_{1 +} р_{2 +} р₃ = 1

Решим систему и найдем р₁ =0,4; р_2
=0,5; р₃ =0,1

Решить задачи самостоятельно:

1.     
Найти М(х²)
дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

А)

Б)

х	0,2	0,5	0,6
р	0,1	0,5	0,4

2.     
Дан
перечень возможных значений дискретной значений величины: х₁ = -1, х₂
=0, х₃ =1, а также известны М(х) = 0,1 и М(х²) =0,9.
Найти вероятности р₁, р₂. Р₃.

3.     
Найти
дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, имеющей
следующее распределение:

А)

х	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0.1	0,2

Б)

В)

4.  
Дискретная
случайная величина имеет только два возможных значения х₁ и х₂,
причем х₁х₂. Вероятность того, что Х принимает значение х₁,
равно 0,6.

Найти закон распределения величины Х,
если М(х) = 1,4; Д(х) = 0,24.

Тема: Характеристики
непрерывной случайной величины.

Основные числовые характеристики: мода, медиана,
математическое ожидание, дисперсия.

1.     
Модой
НСВ Х
называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная.
Случайная вероятность может иметь несколько мод.

С геометрической точки зрения мода –
значение аргумента Х, при котором график функции плотности распределения
принимает максимальное значение.

( находят моду через производную.
Надо исследовать функцию на интервале и  найти точки максимума функции и
сравнить их со значением f(x) на границах интервала).

2.     
Медианой
НСВ Х называют
такое ее значение µ, для которого равновероятно что случайная величина Х больше
или меньше µ.

Р(хµ) = р(хµ) = 0,5

Т.е. медиана есть корень
алгебраического уравнения F(x) = 0,5 или

Интегрального уравнения 

C геометрической точки зрения медиана делит
площадь под графиком функции плотности вероятности на две равные части.

3.     
Математическим
ожиданием НСВ называется интеграл

М(Х) =   в том случае если он существует.

С геометрической точки зрения
математическое ожидание случайной величины равно абсциссе центра тяжести
площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.

     В случае, когда кривая
распределения симметрична относительно прямой

X = m математическое ожидание совпадает с этой абсциссой, и
математическое ожидание, мода и медиана равны между собой.

М(х) =Мо=Ме=µ.

4.  
Дисперсию
НСВ х находят
по формуле  D(x) =    или

D(x)

Примеры:

Тема: «Теорема сложения совместных
событий»

Пусть в некотором испытании
рассматриваются два совместных случайных  А и В, вероятности которых известны
ли могут быть найдены.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного
из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления, т. е.  р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ)

Эту формулу можно применить и для двух несовместных
событий т. к. р(АВ) = 0.

Если А и В независимые  р(а + В) = р(А) + р(В) –
р(А)*р(В)

Если А и В зависимые р(А + В) = р(А) + р(В) – р(А)* р_а(в).

Пример 1: Два футболиста делают независимо друг от
друга по одному удару по воротам. Вероятность попадания первого футболиста
равна 0,8; второго – 0,9. Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно
попадание.

Решение: событие А- попадание первым футболистом

Событие В – попадание вторым футболистом

А + В – произойдет хотя бы одно попадание.

По теореме р(А + В) = 0.8 + 0, 9 – 0,8*0,9 =

Ответ:

Эту задачу можно решить другим способом:

Р() = 1 – р(А) = 1 – 0,8 =0,2

Р() = 1 – р(В) = 1 – 0,9 = 0,1

Р(А + В) = 1 – 0,2*0,1 =

 Ответ:

 Существует более общая формула для нахождения
вероятности суммы трех и большего числа совместных событий.  А, В, С – события,
тогда

Р(А + В +С) = р(А) +р(В) + р(С) – р(АВ) – р (АС) –
р(ВС) + р(АВС), но решать задачу таким образом очень сложно, легче решать через
противоположные события.

Пример 2: Каждый из четырех стрелков независимо друг
от друга производит по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны:
0,7; 0,6; 0,8; 0,4. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно
попадание.

Решение: пусть события А₁ –попадет  первый
стрелок, А₂ – второй стрелок, А₃ – третий стрелок, А₄
– четвертый стрелок.

Для событий А₁ +А₂ +А₃
+А₄  противоположными являются события _{1 234} – все промахнутся.

Р(₁) = 1 – р(А₁) = 1 – 0,7 = 0.3

Р(₂) = 1 – р(А₂) = 1 – 0,6 = 0,4

Р(₃) = 1 – р(А₃) = 1 – 0,8 = 0,2

Р(₄) 1 – р(А₄) = 1 – 0,4 = 0,6

Р(А₁+А₂ +А₃ + А₄)
= 1 – 0,3*0,4*0,2*0,6 =

Ответ:

Таким способом решаются задачи в которых есть слова
«хотя бы».

Решить задачи самостоятельно:

1.     
Стрелок
производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух
концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно
равны 0,1; 0,3; 0,4. Определить вероятность попадания в мишень.

2.     
В
двух группах имеется по 25 студентов; в первой – 5 отличников. Во второй -8. Из
каждой группы выбирается по одному студенту. Какова вероятность того, что они
отличники?

3.     
Вероятности
вынуть белый шар из двух ящиков равны соответственно 0,8; 0,6. Из обоих ящиков
вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что хотя бы один из вынутых
шаров белый?

4.     
В
двух коробках лежат по 20 одинаковых по форме карточек. Из них в первой – 5
карточек зеленого цвета, во второй -10. Наугад выбирают из каждой коробки по
одной карточке. Какова вероятность того, что хотя бы одна  карточка будет не
зеленого цвета?

5.     
Из
колоды в 32 карты наугад выбирают 4 карты. Найдите вероятность того, что среди
отобранных карт окажется хотя бы один туз.

6.     
На
стеллаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем 5 из них в переплете.
Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы
один из взятых  учебников  будет в переплете.

Тема: « Формула полной вероятности.
Формула Байеса».

  
Чтобы вывести формулу полной вероятности рассмотрим задачу:

Задача
1. В трех одинаковых ящиках находятся: в первом – 3 белых и 2 черных шара; во
втором – 6 белых и 4 черных шара; в третьем – 2 белых и 3 черных. Из случайно
выбранного ящика наугад вынимают шар. Какова вероятность того, что этот шар
белый?

Решение: 
А – вынутый белый шар.

В₁
– шар вынут из первого ящика;

В₂
–шар вынут из второго ящика;

В₃
– шар вынут из третьего ящика.

Р(В₁)
=р(В₂) =р(В₃) =   Событие А должно произойти с одним из событий В₁,
В₂  или  В₃.

Р(А)
= р(В₁)р_В1(А) + р(В₂) р_В2(А) + р(В₃)
р_В3(А);    

Р_в1(А)
=;   р_в2(А) = ;   р_в3(А) =

Р(А)
=

Ответ:             
при решении этой задачи была использована формула полной вероятности.

Теорема: (формула полной вероятности)

Пусть
В₁, В₂, … В_n – полная группа событий для некоторого испытания, и событие
А может произойти вместе с одним из событий полной группы. Тогда справедлива
формула:

Р(А)
= р(В₁) р_в1(А) + р(В₂) р_в2р(А) + …
+ р(В_n) р_вnр(А),   В₁, В₂,
…  В_n  -называются   гипотезами.

Решить
задачу:  Для приема зачета преподаватель приготовил 50 задач: 20 по
дифференциальному и 30 по интегральному исчислению. Для получения зачета
студент должен должен решить первую попавшуюся ему задачу. Какова вероятность
для студента получить зачет, если он знает решение 18 задач по
дифференциальному и 15 по интегральному исчислению.

Решение:
А – студент сдаст зачет;  В₁ – попадет задача по дифференциальному
исчислению;   В₂ – по интегральному исчислению.

Р(В₁)
=  = 0,4       р(В₂) =  = 0,6;    р_в1(А) =  = 0,9;    р_в2(А) =  = 0,5;

Р(А)
= 0,4

Ответ:
0,66

Решим
задачу 1. С измененным условием: Предположим, что шар вынут и известно, что он
оказался  белым, т. е. событие А произошло. Какова вероятность того, что шар
был вынут из первого ящика?

Р(В₁)
– это вероятность события вычисленная до испытания;

Р_в1(А)
– вероятность события В₁ вычисленная при условии, что событие А уже
произошло.

Для
решения задачи использовали формулу:

Р_вi(А ) = ;    i =
1, 2, … , n.    Формула Байеса.  ( применяется, когда
известно, что событие А уже произошло).

Решить
задачу: Из имеющихся на складе кинескопов 30 % изготовлены на заводе №1,
остальные на заводе №2. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный на заводе
№1 не выйдет из строя в течении гарантийного срока службы, равна 0.9, для
кинескопов с завода №2 эта вероятность равна 0,8. Случайным образом для поверки
со склада выбирают кинескоп, который выдержал гарантийный срок. Определить
вероятность того, что его изготовили на заводе №2.

Решение: 
А – кинескоп  выдержавший  гарантийный срок;

В₁
– завод №1;      В₂ – завод №2;

р(В₁)
= 0,3;   р(В₂) = 0,7;   р_в1(А) = 0,9;    р_в2(А)
= 0,8.

Р(А)
= 0,3

Р_в2(А)
=  =     ( если надо найти р_в1(А)  = 1 – 0,67 = 0,33)

Ответ:
0,67

Решить
задачи самостоятельно:

1.     
Имеется
два набора открыток. В первом наборе имеется 13 стандартных и 2 не стандартных
по размеру открытки; во втором – 8 стандартных и 2 нестандартных открытки.
Определить вероятность того, что взятая наудачу открытка (из случайно
выбранного набора ) стандартная.

2.     
В магазин
поступили две партии костюмов. В первой партии – 20 синих и 15 черных, во
второй -15 синих и 10 черных. Первая партия изготовлена  заводом №1, вторая 
-заводом   №2. Покупатель купил синий костюм. Определить вероятность того, что
костюм изготовлен заводом №2.

3.     
Представитель
фирмы при приеме двух партий некоторой продукции для контроля случайным образом
выбирает по одному изделию из каждой партии. Вероятность выбора бракованного
изделия из первой партии равна 0,1; из  второй – 0,05.  Найдите вероятность
того, что: а) оба выбранных изделия будут без брака; б) хотя бы одно выбранное
изделие без брака.

Схема Бернулли. Локальная и
интегральная формулы Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.

  На практике часто приходится иметь дело с многократным
повторением одного и того же испытания по возможности в одних и тех же
условиях. Например, 10 выстрелов по мишени при неизменных условиях стрельбы –
это десятикратное повторение одного испытания – выстрела по мишени.

  Допустим, что выполняется n независимых одинаковых испытаний.  Испытания независимы  в
том смысле, что результаты одних испытаний не влияют на результаты других.

  Одинаковые независимые испытания называются испытаниями
Бернулли, если в каждом испытании возможны только два исхода («успех» и
«неудача») и вероятности каждого из этих исходов постоянны.

Введем обозначения: р – вероятность «успеха», появления
события А.

q – вероятность
«неудачи», непоявление события А, тогда р + q = 1.

  Пусть проводят n испытаний в которых событие А встречается   m   раз, и не встречается (n – m), то искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:

Рn(А = m) =                 

Пример:
Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два
раза?

Решение:
 n = 6;  m = 2;    p =  ( только два исхода орел и решка)

q = 1 – p =
1 – 0.5 = 0.5      p₆(A = 2) =

Ответ:

Решить
самостоятельно: Вероятность попадания в цель для стрелка равна 0,6. Какова
вероятность из 10 выстрелов попасть ровно 4 раза.  (ответ: 0,11)

 
Чем больше число n в задачах тем сложнее ее
вычислить. Это обстоятельство было отмечено еще в 18 веке математиками
занимающимися демографическими проблемами. Возникла необходимость получения
приближенной формулы для нахождения соответственно вероятности. Эта задача была
успешно решена для частного случая при р = 0,5 в 1730 году английским
математиком Абрахамом де Муавром и обобщена в1783 году французским математиком
Пьером Лапласом.

Локальная
теорема Муавра-Лапласа.

 
Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна Р и
отлична от нуля и единицы, а число испытаний велико, то вероятность того, что
в  n испытаниях событие А
наступит ровно m раз, приближенно равна
значению функции

Р_n (А = m)  ,     где — находим в таблице П2 учебник Спирина стр.265-267.

 Пример:
Вероятность того, что сошедшая с конвейра  деталь окажется бракованной, равна
0,1. Найти вероятность того, что 600 деталей, сошедших с конвеера, 87 деталей
будут бракованными.

Решение: 
р = 0,1, n = 600  m = 87

q = 1 – 0.1 = 0.9   P₆₀₀(A =87)  

Ответ:
0,000068

Решить
самостоятельно: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,7.
Найти вероятность того, что при 20 выстрелах стрелок поразит мишень 15 раз.

Теорема
Пуассона: Если
вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, но близка к
нулю, число независимых испытаний Бернулли достаточно велико, то вероятность
того, что в этих n испытаниях событие А
наступит ровно m раз, приближенно
равна:

Р_n(А = m) =      формула Пуассона.

Пример:
Завод отправил в магазин 5000 исправных телевизоров. Вероятность того, что во
время пути произойдет повреждение телевизора, равна 0,0002. Какова вероятность
того, что во время пути произойдет повреждение у трех телевизоров.

Решение: 
n = 5000   m = 3   p = 0.0002       λ = 5000

Р₅₀₀₀(А
=3) =

Ответ:
0,062

Интегральная
теорема Лапласа.

Вероятность
того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления
события А равна  р. Событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенна равна:

Р_n(m₁

Пример:
Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти
вероятность того, что среди  случайно отобранных 500 деталей проверку не
пройдут от 70 до 100 деталей.

Решение:
 n = 500  m₁=70    m₂=100      p = 0.1

q =1 – p = 1
– 0.1 = 0.9 

   P₅₀₀(        (  Ф(7,45) и Ф(2,98) находят
в таблице стр. 267 Спирина)

 Ответ:
0,0013

Решить
самостоятельно: Производится 600 выстрелов. Вероятность промаха при одном
выстреле равна 0,015. Найти вероятность того, что число промахов будет не
меньше 7 и не больше 9.