Как графически найти корень уравнения

Решение уравнений с помощью графиков

Решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: ( displaystyle 2{x} -10=2)

Как его решить?

Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

Иными словами, у нас будет:

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата ( displaystyle x) точки пересечения графиков:

Наш ответ: ( displaystyle x=6)

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число ( displaystyle 6)!

Вариант 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, ( displaystyle 3).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка ( displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Нам необходимо еще две точки, соответственно, ( displaystyle x) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=2).

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых ( displaystyle y=0), то есть ( displaystyle x=2) и ( displaystyle x=-4). Потому что ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0).

И если мы говорим, что ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8), то значит, что ( displaystyle y) тоже должен быть равен ( displaystyle 0), или ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично!

Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}).

Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси ( displaystyle Ox) у нас ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}) находится выше, чем ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Верно, ( displaystyle xin left( -2;0 right)cup left( 2;+infty right)).

Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

(y =b) (график — прямая, параллельная оси (x));

(y = kx) (график — прямая, которая проходит через начало координат);

(y = kx + m) (график — прямая);

Этот приём полезен при решении уравнений. Продемонстрируем это на примерах.

    

2. В одной системе координат начертить графики этих функций.

3. Определить точки пересечения полученных графиков.

4. Взять из них значения абсцисс.

  

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) , то x₀ – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ совпадают. А из этого следует, что x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ равны, значит, f(x₀)=g(x₀) . А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

• Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
• По чертежу определить все точки пересечения графиков:
  • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
  • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
• По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
• Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

Решение примеров

Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.

Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :

Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].

И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, — рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.

Решите уравнение

В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.

3.1. Отделение корней нелинейного уравнения

Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.

На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.

В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни. Задача отделения вещественных корней решается Аналитическими и Графическими методами.

Аналитические методы основаны на функциональном анализе.

Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида

Pn(x) = an x n + an-1xn-1 +. +a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)

Верхняя граница положительных действительных корней определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):

, (3.3)

Где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;

B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.

Нижнюю границу положительных действительных корней можно определить из вспомогательного уравнения

(3.4)

Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R1, то

= (3.5)

Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале

≤x+≤.

Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.

и .

≤x–≤ = =.

Рассмотрим пример отделения корней с использованием этого аналитического метода.

Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.

3×8 – 5×7 – 6×3 – x – 9 = 0

K = 1 B = |– 9| an = 3

= 4

9×8 + x7 + 6×5 + 5x – 3 = 0

k = 8 B = 3 an = 9

Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x+ ≤ 4

3×8 + 5×7 + 6×3 + x – 9 = 0

=

9×8 – x7 – 6×5 – 5x – 3 = 0

K = 1 B = 6 an = 9

Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x– ≤ –0,6

Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.

Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.

На практике получил большее распространение Графический метод приближённой оценки вещественных корней. Для этих целей строится график функции по вычисленным её значениям.

Графически корни можно отделить 2-мя способами:

1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.На графике 3 корня.

Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).

2. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.

На графике 2 корня.

Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).

Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.

Для отделения вещественных корней можно использовать ЭВМ. Алгоритм отделения корней основан на факте Изменения знака функции в окрестности корня. Действительно, если корень вещественный, то график функции пересекает ось абсцисс, а знак функции изменяется на противоположный.

Рассмотрим Схему алгоритма отделения корней нелинейного уравнения на заданном отрезке в области определения функции.

Алгоритм позволяет определить приближённые значения всех действительных корней на отрезке [a, b]. Введя незначительные изменения в алгоритм, его можно использовать для определения приближённого значения максимального или минимального корня.

Приращение неизвестного Δx не следует выбирать слишком большим, чтобы не «проскочить» два корня.

Недостаток метода – использование большого количества машинного времени.

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.

(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: (_<1>=-1; _<2>=3).

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac<10+5y><2>) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):

МБОУ Алтайская СОШ №1

Тема : « Графическое решение уравнений и неравенств»

Работу выполнила:

Лубошникова Софья,

Учащаяся 9 а класса

МБОУ Алтайская СОШ №1

Научный руководитель:

 Бабаева Галина Яковлевна,

учитель математики

МБОУ Алтайской СОШ №1

С. Алтайское , Алтайский район, 2019 год.

Оглавление:

I. Введение_____________________________________________стр.2

II. Основная часть

1.Основные понятия.____________________________________стр.3

2. Как графически решить уравнение________________________стр.4

3. Какие бывают
функции ?________________________________стр.4

4. Графическое
решение линейного уравнения с одной переменной.стр.5

5. Решение квадратного уравнения графическим
способом._____ стр6-8

6.
Графическое решение смешанных уравнений._______________стр.8-12. 7. Решение квадратных
неравенств графическим способом_______стр.13

8. Решение линейных неравенств графическим способом                 
стр 14

III. Заключение____________________________________________стр.15

IV. Список литературы______________________________________стр.16

I.Введение.

Цель моей  работы – изложить графический метод
решения  уравнений и  неравенств, который дает возможность определить корни или
доказать ,что уравнение корней не имеет ( или решением неравенства является
пустое множество).

 
Актуальность темы: графический метод, опирающийся на знания элементарных
функций, удобно применять при решении задач на нахождение числа корней  и на нахождение корней
уравнений.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным
разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто
помогает решать многие задачи и порой является единственным средством решения.
Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный
интерес. В данной исследовательской работе я показала как наиболее удобным
способом преобразовывать уравнения . чтобы сводить к построению элементарных
функций.

Часто построение графиков связано
с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не
ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений
уравнений и неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при
этом являются единственным методом решения таких задач.  Данный метод может использоваться не
только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств

II. Основная часть

1.Основные понятия.

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или
доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в
уравнение получается верное числовое равенство.

График функции – это множество всех точек координатной плоскости,
абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим
значениям функции.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное
значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

 При построении графиков и решении уравнений используются свойства
функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим. Графиком функции y = f(x)
называется множество всех точек{x, f(x) | x D (f)} координатной плоскости.

Заметим , что так как функция f
сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается
любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И
наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой,
параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком
какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком
функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два
значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно
записать в виде f(x)=g(x),где f(x) и g(x) — некоторые функции. Функция f(x)
является левой частью, а g(x) -правой частью уравнения.

Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе
координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут
являться решениями данного уравнения.

Использование монотонности
функций при
решении уравнений: если функция   строго возрастает, а функция  
строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более
одной точки пересечения, а уравнение   на этом множестве имеет не более одного
решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это
удается) число, которое является их корнем. 

2. Как графически решить уравнение.

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо
преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном
виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых
легко можно нарисовать графики функций. Графическим решением уравнения являются
абсциссы точек пересечения графиков построенных функций. Графики могут
пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда
следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или
вообще их не иметь.

3.
Какие бывают функции .

Линейная функция задаётся уравнением у = k*x+ b, где k и b –
некоторые числа. Графиком этой функции является прямая. Для построения прямой
достаточно в таблице значений взять только две точки. Это вытекает из аксиомы
планиметрии

Функция обратной пропорциональности у =k/x, где.  График этой функции
называется гиперболой.

Функция (х– a)^2+ (у – b)^2 = r^2,
где а, b и r –
некоторые числа. Это окружность радиуса r с центром в т. А (а, b ).

Квадратичная функция y = a *х ² + b*x+ c , где а, b, с –
некоторые числа и

а не равно 0. Графиком этой функции является
парабола.

Графики линейных
функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком
модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни
разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке
отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком
модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области
отрицательных значений y, отобразить симметрично оси ОХ.

Элементарная функций,
содержащая модуль :

у = | х |

.

4. Графическое
решение линейного уравнения с одной переменной.

Как мы
уже знаем, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и
название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать
алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все,
что нам известно – в другую и уравнение решено. Мы нашли корень .А  я покажу ,
как это сделать графическим
способом.

Задание. Решить графическим способом уравнение :  2x−10=2

Решение.

1)Перенесем слагаемые
следующим образом: 2
x = 12.

2) Построим графики
функций: y=2x  и  y=12.

Но можно решать и по-другому.

Для рассмотрения альтернативного
решения вернемся к нашему уравнению:

2x−10=2.

Построим графики функций:
y=2x−10  y=2

5. Решение
квадратного уравнения графическим способом.

Задание. Решить уравнение : х ²+2x−8=0

Для этого преобразуем уравнение к виду:  х ²=-2x+8 . Построим графики функций:  у = -2x+8  и  у = х ² 

  

 Получим точки пересечения
графиков данных функций.

В ответ запишем абсциссы этих
точек : x = -4 и   x =2.

Данное уравнение
можно решить , переписав  уравнение следующим образом:  x^2 – 8 = -2x

Тогда будем
строить  графики функций: y = x^2
– 8 и  y = -2x.

А также уравнение
можно решить , переписав  следующим образом:

 x^2 +2x = 8 .

Тогда будем
строить  графики  следующих функций : y
= x^2 + 2x и y =  8 .

При этом абсциссы
точек пересечения графиков будут  одинаковые :

 x = -4 и   x =2

Задание.
Решить уравнение:  x² – 2x = 0

Перепишем
уравнение в виде : x² = 2x

Построим
графики функций y = x² и y = 2  и найдем точки их пересечения :

Ответ: х=0; х=2

Задание. Решить уравнение:  х
² +2=0

Преобразуем так:  х ²  =
-2

Построим графики функций:  у=-2 
и  у= х ²  

Графики
функций не пересекаются ,поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ : решений нет.

6. Графическое решение смешанных
уравнений.

Задание. Решить уравнение: 3/х +2
=х

Решение:

1)Перенесем слагаемые таким
образом: 3/ х = х-2

2) Построим графики функций от
каждой части уравнения.

y=3/х  и  y =х-2

 

Найдем координаты точек
пересечения графиков данных функций.

Из построения видно, что графики
функций пересекаются в точках с координатами : (3;1) и(-1;-3).

Ответ: х=-1 ; х=3

Задание. Решить
уравнение: 2 х^3 – x — 1=0

Перепишем его так : 2 х ³=x+1

Построим графики функций от левой
и правой части уравнения:

 у=2 х ³ (графиком этой функции является кубическая парабола)  и график от
правой части уравнения :у=х+1 

Из построения видно, что абсцисса точки пересечения является х=1.
значит, в ответ нужно записать: х=1

Решим графическим способом такое уравнение : х ³=8.

Строим графики  функций: у = х ³  и  у=8., затем найдем абсциссу точки пересечения графиков этих
функций.

Ответ : х=2

Задание. Решить уравнение: √x –
0.5x = 0

Перепишем так: √x = 0.5x

Построим графики функций:  у=0.5x и  у = √x

 

 Как видно из построения, графики функций пересекаются в
двух точках:

(0; 0) и (4; 2).

Нас интересует только координата  x.

Значит уравнение √x – 0.5x = 0 имеет два корня: x₁= 0
и x₂= 4.

Ответ:
х=0 ; х=4

7. Решение квадратных неравенств
графическим способом.

Способ , который  нам хорошо известен
при изучении данной темы по учебнику.

Я же предлагаю переписать
неравенство следующим образом : х^2-4>3х.

Построим графики  функций
от левой и правой частей неравенства.

Выделим ту часть, где
график от левой части выше графика от правой части.

На мой взгляд такое
решение более красивое , интересное и более понятное.

 

8. Решение линейных неравенств и
систем неравенств графическим способом.

Неравенства
вида :

 ,

Называются линейными неравенствами.

График
линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график
любой функции (уравнения).

Разница
заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений,
поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой
прямой или линию на координатной плоскости.

С
помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество
решений неравенства

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только
для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов.

Суть
графического способа решения неравенств
следующая:

рассматривают
функции y = f(x) и y = g(x), которые
соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной
прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной
из них располагается ниже или выше другого.

Те
промежутки, на которых график функции у = f(х) выше графика функции y = g(х)  являются
решениями неравенства f(x)>g(x);

график функции y = f(х)  не ниже графика функции y = g(x)
являются
решениями неравенства f(x) ≥ g(x);

график функции у = f(х)
ниже графика
функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x)<g(x);

график функции y = f(х)  не выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ≤ g(x).

Также
скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x)
и y = g(x), являются решениями уравнения f(x) = g(x).

III.
Заключение.

Мы рассмотрели графический метод решения
уравнений и квадратных неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при
решении  которых использовали некоторые свойства функций.

 Иногда при графическом решении некоторых уравнений и
неравенств  корни определяются только приближённо в силу того, что невозможно с высокой точностью
построить график функции, измерить абсциссы или ординаты точек пересечения
графика с осями координат или с другими графиками. Тем не менее, той точности,
которую обеспечивает графический метод, бывает вполне достаточно для
практических нужд.

Построение графиков основывается на знании основных
элементарных функций, и на основные методы построения графиков функций. В
работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих графический
метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, который доступен
для понимания  .

Работа может быть использована для углубления и
расширения  знаний в области построения графиков функций и использовании
графического метода при решении некоторых видов  уравнений и неравенств. Теорию
можно использовать так же при подготовки к экзаменам , к олимпиадам.

Я свою работу представляла учащимся 8-х и 9-х классов нашей школы. И
продолжаю дополнять свои исследования , а именно находить красивые решения
линейных неравенств и систем неравенств.

Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация
их применения на практике.

В
старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями , с другими уравнениями и неравенствами и мне
интересно будет продолжить свой
проект.

IV. Список литературы:

·       
Алгебра:9класс: учеб. для общеобразоват.
учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,
К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред.
С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009

·       
Колмагоров
.Алгебра и начала математического анализа. . — М. : Просвещение, 2009

·       
Сборник заданий для
подготовки и проведения письменного экзамена  по математике (курс А) и алгебре
и началам анализа (курс В)  за курс  средней школы», М.: «Дрофа», 2010 г

·       
А.В. Попадюк 
«Тригонометрические уравнения и неравенства», 2006 г

·       
Е.В. Хорошилова. Элементарная математика. Учебное пособие для
старшеклассников и абитуриентов. — М.: Изд-во МГУ, 2010, Ч.1 —
472с., Ч.2 —

·       
Графическое решение
уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images;
berdsk.edu; pege 3–6.htm.

·       
Е.В. Хорошилова. Элементарная математика. Учебное пособие для
старшеклассников и абитуриентов. — М.: Изд-во МГУ, 2010, Ч.1 —
472с., Ч.2 —

·       
Графическое
решение уравнений. Правила [Электронный ресурс]

·       
//
school-assistant.ru: многопрофильный обучающий сайт — Режим доступа: / school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=graficheskoe_reshenie_uravnenij,
свободный. — Загл. с экрана. (дата обращения: 8.12.2016);

·       
Графическое
решение неравенств [Электронный ресурс]

·       
// bymath.net:
сайт по элементарной математике — Режим доступа: / www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun 11. htm, свободный. — Загл.
с экрана. (дата обращения: 8.12.2016);