Как математически найти квадратный корень

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

---

• 
  √−9
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• 
  √64 = 8
  
• 
  √−1,44
  
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;

• 
  √256 = 16
  

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из единицы

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

• √81 = 9
• √64 = 8
• √100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

√16 = 4

√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
√0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,4²» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

---

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен

√2

или

√3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7 ≈ 2,646

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

In everyday situations, the challenge of calculating the square root of a number is faced. What if one doesn’t have access to a calculator or any other gadget? It can be done with old-fashioned paper and pencil in a long division style. Yes, there are a variety of ways to do so. Let’s start with discussing Square root and its properties first.

What is a Square Root?

A square root is a value, which gives the original number that multiplication of itself. e.g., 6 multiplied by itself gives 36 (i.e. 6 × 6 = 36), therefore, 6 is the square root of 36 or in other words, 36 is the square number of 6.

Suppose, a is the square root of b, then it is represented as,

a = √b or  

a² = b

Let the square of 2 is 4 so the square root of 4 will be 2 i.e. 

√4 = 2

The following are square roots of the first 50 digits as:

Square Root	Value	Square Root	Value
√1	1	√26	5.0990
√2	1.4142	√27	5.1962
√3	1.7321	√28	5.2915
√4	2	√29	5.3852
√5	2.2361	√30	5.4772
√6	2.4495	√31	5.5678
√7	2.6458	√32	5.6569
√8	2.8284	√33	5.7446
√9	3	√34	5.8310
√10	3.1623	√35	5.9161
√11	3.3166	√36	6
√12	3.4641	√37	6.0828
√13	3.6056	√38	6.1644
√14	3.7417	√39	6.2450
√15	3.8730	√40	6.3246
√16	4	√41	6.4031
√17	4.1231	√42	6.4807
√18	4.2426	√43	6.5574
√19	4.3589	√44	6.6332
√20	4.4721	√45	6.7082
√21	4.5826	√46	6.7823
√22	4.6904	√47	6.8557
√23	4.7958	√48	6.9282
√24	4.8990	√49	7
√25	5	√50	7.0711

Hence, the square root of the square of a positive number gives the original number. However, the square root of a negative number represents a complex number.

Properties of Square Root 

• A perfect square root always exists if a number is a perfect square.
• The square root of 4 is 2 and the square root of 16 is 4. So we can conclude that the square root of an even perfect square is even.
• The square root of 9 is 3 and the square root of 81 is 9. So we can conclude that the square root of an odd perfect square is odd.
• A perfect square cannot be negative and hence the square root of a negative number is not defined.
• From the above point, it can be concluded that numbers ending with (having unit’s digit) 1, 4, 5, 6, or 9 will have a square root.
• If a number of ends with an even number of zeros (0’s), then it can have a square root.
• If the unit digit of a number is 2, 3, 7, or 8 then a perfect square root is not possible.
• If a number of ends with 2, 3, 7, or 8 (in the unit digit), then the perfect square root does not exist.
• The two square root values can be multiplied. For example, √5 can be multiplied by √2, then the result should be √10.
• Two same square roots are multiplied to give a non-square root number. When √5 is multiplied by √5 we get 5 as a result.

Perfect Square 

A number that can be expressed as the product of two identical integers is called a perfect square. Perfect squares are numbers that can be made by squaring any whole number.

e.g.: 

9 is a perfect square because it is the product of two equal integers, 3 × 3 = 9. 

However, 10 is not a perfect square because it cannot be expressed as the product of two equal integers. (5 × 2 = 10). 

Thus, a perfect square is an integer that is the square of an integer; in other words, it is the product of some integer with itself.

The numbers that are perfect squares are mentioned below, and finding the square roots of those numbers is easy. Here are few examples of square roots:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

As a result, the complete squares are 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, and 100. 

Methods to find Square Root of a number

To determine if a given number is a perfect square or an imperfect square, we must first determine if it is a perfect square or an imperfect square. If the number is a perfect square, such as 4, 9, 16, etc., we will use the prime factorization process to factorize it. We must use the long division approach to find the root if the number is an incomplete square, such as 2, 3, 5, and so on.

1. Repeated Subtraction Method
2. Prime Factorization Method
3. Division Method

1.  Repeated Subtraction Method 

The sum of the first n odd natural numbers is known to be n². We’ll do this to calculate the square root of an integer by subtracting it several times. Let’s consider an example and see how this approach works. Let’s say you ought to find the square root of 25, which is √25. The steps are as follows:

Let’s consider the following examples to understand the repeated subtraction method to determine the square roots.

Example 1: Determine the square root of 25 using the repeated subtraction method.
Solution:

Since, 25 is an odd number. Therefore, the steps to find the square root of 25 is:

• 25 – 1 = 24
• 24 – 3 = 21
• 21 – 5 = 16
• 16- 7 = 9
• 9 – 9 = 0

Here it takes five steps to get the 0. 

Hence, the square root of 25 is 5.

Example 2: Determine the square root of 16 using the repeated subtraction method.
Solution:

Since, 16 is an even number. Therefore, the steps to find the square root of 16 is:

• 16 – 4 = 12
• 12 – 4 = 8
• 8 – 4 = 4

Here it takes four steps to get the 0. 

Hence, the square root of 16 is 4.

Example 3: Find the square root of 49 using the repeated subtraction method.

Solution:

Since, 49 is an odd number. Therefore, the steps to find the square root of 49 is:

• 49 – 1 = 48
• 48 – 3 = 45
• 45 – 5 = 40
• 40 – 7 = 33
• 33 – 9 = 24
• 24 – 11 = 13
• 13 -13 = 0

Here it takes seven steps to get the 0. 

Hence, the square root of 49 is 7.

2.  Prime Factorization Method 

The prime factorization method involves expressing numbers as a function of their prime factors. The square root of the number is given by the product of one element from each pair of equal prime factors. This approach can also be used to determine whether a given number is a perfect square or not. This method, however, cannot be used to find the square root of non-perfect square decimal numbers.

e.g.: The prime factors of 126 will be 2, 3 and 7 as 2 × 3 × 3 × 7 = 126 and 2, 3, 7 are prime numbers.

• 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2² × 2² = √16 = 4
• 25 = 5 × 5 = 5² = √25 = 5
• 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = √64 = 8

3.  Division Method 

When the integers are sufficiently large, it is easy to obtain the square root of a perfect square by utilizing the long division approach, because getting their square roots through factorization becomes lengthy and complicated. To overcome this problem, a new method for finding the square root is developed. This method basically uses the division operation by a divisor whose square is either less than or equal to the dividend.

Following are the steps to for division method:

Step 1: Take the number whose square root is to find. Place a bar over every pair of the digit of the number starting from that in the unit’s place (rightmost side).

Step 2: Let’s divide the leftmost number by the largest number whose square is less than or equal to the number under the leftmost bar. Take this number as the divisor and the quotient. The number under the leftmost bar is considered to be the dividend.

Step 3: Divide and get the number. Bring down the number under the next bar to the right of the remainder.

Step 4: Double the divisor (or add the divisor to itself). To the right of this divisor find a suitable number which together with the divisor forms a new divisor for the new dividend. The new number in the quotient will have the same number as selected in the divisor. The condition is the same as being either less or equal to that of the dividend.

Step 5: Continue this process till we get zero as the remainder. The quotient thus obtained will be the square root of the number.

Let’s consider the following examples to understand the division method to determine the square roots.

Example 1: Find the square root of 144 using the division method.

Solution:

The steps to determine the square root of 144 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1. 

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give as,

Step 3: Now it is required to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x. 

Step 4: Therefore, check when 2x multiplies by x give a number of less than or equal to 44. Take x = 1, 2, 3, and so on and check.

In this case,

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44

So we choose x = 2 as the new digit to be put in the divisor and in the quotient. 

The remainder here is 0 and hence 12 is the square root of 144.

Example 2: Find the square root of 196 using the division method.

Solution:

The steps to determine the square root of 196 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1. 

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give.

Step 3: Now we need to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x. 

Step 4: We need to check when 2x multiplies by x give a number less than or equal to 96. Take x = 1, 2, 3 and so on and check.

In this case, 

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44
• 23 × 3 = 69
• 24 × 4 = 96

So, choose x = 4  as the new digit to be put in divisor and in the quotient. 

The remainder here is 0 and hence 14 is the square root of 196.

Example 2: Find the square root of 225 using the division method.

Solution:

The steps to determine the square root of 225 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1. 

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give.

Step 3: Now we need to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x. 

Step 4: We need to check when 2x multiplies by x gives a number which is either less than or equal to 125. Take x = 1, 2, 3 and so on and check.

In this case,

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44
• 23 × 3 = 69
• 24 × 4 = 96
• 25 × 5 = 125

So we choose x = 5 as the new digit to be put in divisor and in the quotient. 

The remainder here is 0 and hence 15 is the square root of 225.

4.  Square Roots of Complex Numbers 

To calculate the square root of a complex number, let’s suppose that the root is ea + ib. Then compare it to the original number to get the values of a and b, yielding the square root.

Let a + ib is a complex number, therefore to find the square root of a + ib following formula can be used

Let’s consider the following examples to understand the determination of the square roots of complex numbers.

Example 1: Find the square root of 6 – 8i.

Solution:

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

For the given case, substitute a = 6 and b = (-8) in the above formula,

which is the required solution.

Example 2: Find the square root of 9 + 40i.

Solution :

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

For the given case, substitute a = 9 and b = 40 in the above formula,

which is the required solution.

Example 3: Find the square root of 3 + 4i.

Solution :

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

For the given case, substitute a = 3 and b = 4 in the above formula,

which is the required solution.

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). (  (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

• ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
• ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})
• ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Читается: квадратный корень из (a).

Число (a) называется подкоренным числом.

Часто используемые квадраты целых чисел: