Как найди фокальный угол - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Видеоурок 1: Изображение в собирающей линзе — Физика в опытах и экспериментах

Видеоурок 2: Построение изображений с помощью линз

Лекция: Ход луча, прошедшего линзу под произвольным углом к её главной оптической оси. Построение изображений точки и отрезка прямой в собирающих и рассеивающих линзах и их системах

Итак, вспомним предыдущие вопросы о собирающей и рассеивающей линзах. Первая названа так, потому что все лучи, что попадают на неё, собираются за ней в одной точке; вторая же, наоборот, рассеивает эти лучи.

Собирающая линза

Если параллельные лучи будут падать на собирающуюся линзу, то они встретятся в фокусе, если же они будут выходить из мнимого фокуса и попадать на линзу, то после нее они пройдут параллельно друг другу.

Если же параллельные лучи пойдут под некоторым углом к основной оси, то они так же соберутся в одной точке, однако она будет назваться побочным фокусом, который находится в фокальной плоскости.

Правила хода лучей:

1. Лучи, попавшие в оптический центр, не изменяют траектории движения.

2. Параллельный к главной оси луч собирается в фокусе.

3. Чтобы понять, куда пойдет луч, падающий под некоторым углом на линзу, следует построить побочную ось, что будет ему параллельна.

Вести её следует до точки пересечения с фокально плоскостью. Это позволит определить побочный фокус.

Рассеивающая линза

Итак, в рассеивающейся линзе пучок собирается во мнимом фокусе и расходится за пределами линзы.

Если же лучи будут падать под некоторым углом к линзе, то они в любом случае будут расходиться, однако перед линзой соберутся в мнимом побочном фокусе.

Правила хода лучей:

1. Данное правило справедливо для всех линз — лучи, проходящие через оптический центр, не меняют траектории.

2. Если луч, параллельный главной оптической оси, попадает на линзу, то он рассеивается, но пересекает мнимый фокус.

3. Для определения побочного мнимого фокуса для луча, который падает на линзу под углом, следует провести побочную ось, параллельную ходу лучей.

Построение изображений

Без всех предыдущих правил построить изображение, полученное в результате преломления линзой лучей, невозможно. Все они позволяют обобщить правила в теорему:

Если перед линзой находится некоторая точка, излучающая свет, то изображение от данной точки можно получить в случае пересечения лучей в фокусе.

В случае, когда лучи пересекаются в некоторой точке после того, как преломились, то говорят, что полученное изображение является действительным. Если же мы получили изображение из-за пересечения лучей вблизи мнимого фокуса, то оно называется мнимым. Как уже говорилось ранее — мнимое изображение получается в результате обманных процессов в нашем мозге, когда нам кажется, что предмет находится где-то в зеркале.

Построение изображения в собирающей линзе

Рассмотрим несколько возможных вариантов расположения светящейся точки перед линзой.

1. Расстояние от предмета до линзы больше, чем фокусное расстояние: d>F.

Для получения изображения направим один луч SO через центр линзы, а второй SX произвольный. Параллельно к произвольному расположим побочную оптическую ось OP до пересечения с фокальной плоскостью. Проведем луч через точку пересечения фокальной плоскости и побочной оси. Будем вести луч до тех пор, пока он не пересечется с лучом SO. В данной точке и покажем изображение.

Если светящаяся точка находится в некотором месте на оси, то поступаем таким же образом — ведем произвольный луч до линзы, параллельно ему побочную ось, после линзы пропускаем луч через точку пересечения фокальной плоскости и побочной оси. Место, где данный луч пересечет главную оптическую ось, и будет местом расположения изображения.

Существует так же более простой способ построения изображения. Однако, он используется только в том случае, когда светящаяся точка находится вне главной оси.

От предмета проводим два луча — один через оптический центр, а другой параллельно главной оси до пересечения с линзой. Когда второй луч пересек линзу, направляем его через фокус. Место, где пересекутся два луча — это и есть место для расположения изображения.

Полученные изображения от предметов после собирающей линзы

1. Предмет находится между первым и вторым фокусом, то есть 2F > d >F.

Если один край предмета находится на главной оси, то следует находить расположение за линзой только конечной его точки. Как проецировать точку, мы уже знаем.

Стоит отметить тот факт, что если тело находится между первым и вторым фокусами, то благодаря собирающей линзе его изображение получается перевернутым, увеличенным и действительным.

Чтобы определить, насколько изображение получится больше, чем предмет, следует воспользоваться формулой:

2. Изображение за вторым фокусом d > 2F.

Если местонахождение предмета сместилось левее относительно линзы, то в ту же сторону сместится и полученное изображение.

Изображение получается уменьшенное, перевернутое и действительное.

Представьте себе ситуацию — вы смотрите на некоторый предмет через бинокль, чем сильнее вы отдаляетесь от него, тем меньше он становится — в этом и суть изображения от предмета, который находится за вторым фокусом.

3. Расстояние до предмета меньше расстояния до фокуса: F > d.

В данном случае, если мы воспользуемся известными правилами и проведем один луч через центр линзы, а второй параллельно, а потом через фокус, то увидим, что они будут расходиться. Соединятся они только в том случае, если их продолжить перед линзой.

Данное изображение получится мнимое, увеличенное и прямое.

4. Расстояние до предмета равно расстоянию до фокуса: d = F.

Если использовать те же правила, что и ранее, то можно заметить, что лучи после линзы идут параллельно — это значит, что изображения не будет.

Рассеивающая линза

Для данной линзы используем все те же правила, что и раньше. В результате построения аналогичных изображений, получим:

Где бы не находился предмет относительно рассеивающей линзы: изображение мнимое, прямое, увеличенное.

Источник

Эллипсом называют плоскую кривую, состоящую из точек, сумма расстояний которых от двух определённых точек плоскости является неизменной, строго заданной величиной, равной суммарной длине двух больших его полуосей (2a). Эти две точки называются фокусами эллипса.

F₁ и F₂ – фокусы эллипса;

а – большая полуось;

b – малая полуось

с – фокусное расстояние

Теорема

Фокусное расстояние эллипса и его полуоси связаны между собой соотношением [boldsymbol{a^{2}=b^{2}+c^{2}}]

Доказательство:

Когда точка M на линии эллипса находится на его пересечении с вертикальной осью, из теоремы Пифагора выходит, что

r₁ + r₂ = 2*√(b² + c²)

Когда точка M пересекает горизонтальную ось

r₁ + r₂ = а – c + а + c

По определению эллипса r₁ + r ₂= const

Это позволяет после приравнивания получить

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2а

Что и требовалось доказать.

Уравнение эллипса

Каноническим уравнением эллипса называют уравнение [boldsymbol{1=left(x^{2} / a^{2}right)+left(y^{2} / b^{2}right)}]

Доказательство уравнения:

Введём прямоугольную декартову систему координат.

Сначала докажем, что координаты любой из точек на эллипсе удовлетворяют приведённому каноническому уравнению. Затем покажем, что любое из решений уравнения является координатами точки, лежащей на линии эллипса. Из этого будет следовать удовлетворение каноническому уравнению только тех точек, которые лежат на поверхности эллипса. Опираясь на этот факт и на определение эллипса можно будет однозначно сделать вывод, что написанное нами уравнением является каноническим уравнением или, как ещё говорят, основной формулой эллипса.

Пусть М(х, у) будет точкой эллипса, т.е. сумму её фокальных радиусов примем равной 2а, т. е. r₁ + r₂ = 2a.
С помощью формулы расстояния, разделяющего две точки на координатной плоскости, можно легко найти фокальные радиусы точки M.
r₁ = √[(x + c)² + y²]
r₂ = √[(x — c)² + y²]

Из этих уравнений получаем √[(x + c)² + y²] + √[(x — c)² + y²] = 2a

Если один из корней перенести в правую часть и возвести всё в квадрат, то придём к выражению
(x + c)² + y² = 4a² – 4a√[(x — c)² + y²] + (x – c)² + y²

После сокращения приходим к 2xc = 4a² – 4a√[(x-c)² + y²] – 2xc
После приведения подобных членов, сокращения на 4 и уединения радикала будем иметь
a√[(x-c)² + y²] = a² – xc

Возведём это выражение в квадрат
a²(x-c)² + a² y2 = a⁴ – 2a²xc + x²c²

Если раскрыть скобки и сократить на -2a² xc, то a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²
Отсюда легко получить (a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)
Из этого следует, что b²x² +a²y² = a²b²
Пусть некоторые числа (x, y) полностью удовлетворяют каноническому уравнению
1 = (x²/a²) + (y²/b²)
Пусть нам дана точка M(x,y) на координатной плоскости 0xy
Из канонического уравнения следует, что Y² = b²(1- x²/a²)
Если это равенство подставить в выражение для фокальных радиусов, которые имеет точка M, то можно получить
r₁ = √[(x + c)² +y²] = √[x²+2xc + c² +b²– b²x²/a²] = √[x²(1 – b²/a²) + 2xc +c² +b²] =
= √[x²(a² – b²)/a² + 2xc + (c² + b²)] = √[x²(c²/a²) + 2xc +a²] = √[x(c/a) +a]² = |a +xε|
т. е. r₁= |a +xε|
Отношение 2с/2a = c/a = ε называется эксцентриситетом эллипса. Оно у него всегда меньше 1.
То же самое просчитываем для r_2.
Т. к. x²/a² больше или равно 1 или x больше или равно большой полуоси (a), то можно сделать вывод о справедливости неравенства a≥|x|> |x|* ε = |xε|
Отсюда явно следует, что a+-|xε|>0 или a+-xε > 0 и r₁= a + xε, r₂ = a — xε
Из полученных равенств выходит, что r₁ + r₂ = 2a, это значит, что точка M однозначно является точкой эллипса. Это нам и нужно было доказать.

Свойства эллипса

У эллипса имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство:
Переменные x и y в уравнение эллипса входят лишь во второй степени. Это означает, что если точка M с координатами (x,y) ему принадлежит, то и точки М₁(-x, y) и M₂ (x, -y) тоже принадлежат ему. Легко проверить, что указанные координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. M₁ симметрична по отношению к оси X, а M₂по отношению к оси Y. Получается, что у эллипса есть две взаимно перпендикулярные точки симметрии.
У эллипса есть центр симметрии.

Доказательство:
Если координаты точки М(x,y) будут удовлетворять уравнению эллипса, то и точка
N (–x; –y) ему тоже будет удовлетворять. M и N симметричны по отношению к началу координат. Это как раз и означает, что у эллипса имеется центр симметрии.
Эллипс пересекает каждую из осей в двух точках.

Доказательство:
Возьмём произвольную точку эллипса M(x,y). Расстояние этой точки до фокусов будет
r₁ = √[(x + c)² + y²]
r₂ = √[(x — c)² + y²]

Теперь давайте рассмотрим выражение

(x+-c)² + y² = x²+- 2xc + c²+ y² =
= x²+- 2xc + a² – b²+y² = x²+- 2xc+ a²— b² + b²(1-x²/a²) =
= (a² – b²)*x²/a² +-2xc +a² = c²*x²/a²+-2xa(c/a) + a² = (a +c*x/a)²

Эксцентриситет эллипса, как сказано ранее, меньше 1. Т. к. |x|≤ a, то a – εx > 0. Поэтому
F₁M = a + εx и F₂M = a – εx. Напомним, что ε – это эксцентриситет эллипса.

А теперь несколько свойств эллипса без доказательств.

Эллипс можно получить, сжав окружность.
Если через эллипс проходят две прямые, то отрезок, концами которого являются середины отрезков созданных при пересечении прямых, обязательно пересекает середину, центр эллипса.
Угол, созданный касательной к эллипсу и его радиусом, проходящем через фокусы указанной геометрической фигуры, в любых случаях пересекает середину эллипса.
Уравнение касательной к эллипсу в точке М, имеющей координаты x_M и y_M
1 = (x*x_M)/a² + (y*y_M)/b²
Эволюта эллипса представляет собой астероиду, растянутую вдоль его малой оси.
Угол между касательной к эллипсу и одним его фокальным радиусом (r₁) имеет ту же величину, что и угол, разделяющий касательную и другой фокальный радиус (r₂) фигуры.

Как построить эллипс

Расскажем, как построить эллипс по его большой и малой полуосям и с помощью циркуля.

Построение эллипса по его большой и малой осям

Считается самым простым, не требующим серьёзных навыков.

Проведите две перпендикулярные оси;

От места пересечения осей на вертикальной отложите верх и вниз отрезки. Они будут составлять малую ось эллипса. На горизонтальной отложите отрезки вправо и влево. Из них будет состоять большая ось;

Проведите две концентрические окружности. Одну диаметром AB, диаметром CD;

Проведите ещё диаметры в различных направлениях;

В местах, где лучи соприкасаются с окружностями, проведите линии параллельные малой и большой осям эллипса, пока они не пересекутся в точках, которые принадлежат эллипсу;

Соедините полученные точки плавной линией.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Как построить эллипс с помощью циркуля

Во многом здесь всё аналогично предыдущему способу, поэтому перегружать текст иллюстрациями не будем.

Порядок действий следующий:

Проведите две перпендикулярные линии. Они будут осями эллипса, а точка их пересечения центром геометрической фигуры;
Определитесь с величиной большой и малой полуосей, если их значения не заданы в условии задачи;
Установите раствор циркуля на длину большой полуоси (a). Поместите циркуль в точку O и отметьте на одной из линий две точки, P₁и P₂. Установите раствор циркуля на длину малой полуоси. Опять поместите его в точку O и отметьте на другой из линий ещё две точки, обозначьте их как Q₁ и Q₂. Отрезки P₁P₂ и Q₁Q₂ будут большой и малой полуосями будущего эллипса;
Установите раствор циркуля на величину a. Поместите циркуль в точке Q₁или Q₂. После этого обозначьте циркулем на отрезке P₁P₂точки F_{1 и}F₂. Это будут фокусы фигуры.
Отметьте на P₁P₂любую точку и обозначьте её T. Поставьте в этой точке циркуль и измерьте этим инструментом расстояние до P₁. Затем начертите окружность данного радиуса из фокуса F₁. После этого нужно сделать ещё одну окружность с радиусом величиной с расстояние от T до P₂, но уже с центром из F₂;
Отметьте точки, в которых пересекаются обе окружности. Повторяйте процедуру, описанную в предыдущем пункте с новыми точками, отмечаемыми на отрезке P₁P₂;
Соедините точки пересечения окружностей сплошной линией, когда построите их достаточное количество. Так у вас получится построить фигуру эллипс с помощью циркуля.

Примеры решения задач

Задача 1

Эллипс задан уравнением 16x² + 25y² = 400. Требуется найти большую и малую полуоси эллипса, координаты его фокусов и эксцентриситет.

Решение:

Разделим полученное уравнение на 400. Этим мы приведём его к виду

(x²/25) + (y²/16) =1. Большая полуось равна 5, корню квадратному из 25, а малая 4, корню квадратному из 16.

Из соотношения a² = b² + c² находим фокусное расстояние. Оно равно

c=+-√(a² – b²) = +-√(25-16) = +-3, а значит координаты фокусов будут

F₁(-3,0)и F₂(3,0). Эксцентриситет ε = с/a = 3/5.

Ответ: a = 5, b = 4, ε = 3/5.

Задача 2

Выяснить, является ли эллипсом линия, заданная как

9x² + 25y² – 225 = 0

Преобразуем данное нам уравнение к каноническому виду. Для этого:

Перенесём 225 в правую сторону

9x² + 25y² = 225

Поделим обе части этого уравнения на 225

(9x²/225) + (25y²/225) = 1

Сократим дроби и получим

(x²/25) + (y²/9) = 1

Как видим, нам удалось получить каноническое уравнение эллипса в чистом виде, т. е. исходное уравнение представляет собой эллипс, что и требовалось выяснить.

Ответ: 9x² + 25y² – 225 = 0 является уравнением эллипса.

Задача 3

Составить каноническое уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 8, а большая ось 10.

Решение:

Если большая ось равняется 10, значит полуось будет 5.

Если фокусное расстояние равно 8, то число c из координат фокусов будет 4.

Далее нужно подставить и вычислить

4 = √(25-b²)

Возведём это уравнение в квадрат

16 = 25 – b²

Перенесём b² влево, а 16 вправо

b² = 25 – 16 =9

В результате этих не сложных преобразований и вычислений получим каноническое уравнение

(x²/25) + (y²/9) = 1

Ответ: (x²/25) + (y²/9) = 1.

Задача 4

Получить каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 12/13, а большая полуось равна 26.

Решение:

Из уравнения эксцентриситета ε = с/a находим, что a = 13, а величина с = 12. Далее нужно вычислить квадрат длины меньшей полуоси

c = √(169 – b²)

Возведём обе части уравнения в квадрат

c² = 169 – b²

Отсюда

b² = 169 – 144 = 25

Далее остаётся лишь составить каноническое уравнение

(x²/169) + (y²/25) = 1

Ответ: (x²/169) + (y²/25) = 1

Задача 5

Найти фокусы у эллипса, который задан уравнением (x²/25) + (y²/16) = 1

Решение:

Нам нужно найти число с, которое определяет первые координаты фокусов

c = √(25-16) =3

Фокусы заданного эллипса будут равны

F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Ответ: F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Источник

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса $F_{1}$ и $F_{2}$ . Допустим, что расстояние $F_{1}{F_{2}}$ = – фокусное расстояние.

Рис. 1

$F_{1}, F_{2}$ – фокусы .

$F_{1} = (c, 0)$ ; $F_{2} = (- c ; 0)$ ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, $r_{1} + r_{2} = 2 * sqrt{b^2 + c^2}$ (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, $r_1} + r_{2} = a - c + a + c$ . Так как по определению сумма $r_{1} + r_2}$ – постоянная величина, то приравнивая получается:

$a^2 = b^2 + c^2to{r_{1} + r_{2} = 2a$ .

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

Каноническое уравнение эллипса.
Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

$1 = {x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}}$

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами $(x_{0}, y_{0})$ тогда уравнение:

$1 = {(x - x_{0})^2over{a^2}} + {(y - y_{0})^2over{b^2}}$

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим $F_{1}$ и $F_{2}$ на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты $F_{2}(-c, 0)$ и $F_{2}(c, 0)$ (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через $r_{2}$ и $r_{1}$ – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

$r_{1} + r_{2} = 2a$

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) $r_{1} = F_{1}M = sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2}$ , $r_{2} = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

$r_{2} = 2a - r_{1}tosqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - sqrt{(x - c)^2 + y^2}}to{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 - 4asqrt{(x - c)^2) + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2to{4a}sqrt{(x - c^2 + y^2} = 4a^2 - 4cxarrowvert:4$

$asqrt{(x - c)^2 + y^2} =a^2 - cx$

(подносим к квадрату обе части): $to{a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2} = {a^4 - 2ca^2x + c^2x^2to{(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)arrowvert:a^2(a^2 - c^2)$ ,

${x^2over{a^2}} + {y^2over{a^2 - c^2}} = 1$

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон больше третьей) из $Delta{F_{1}}MF_{2}$ у нас получается $F_{2}M + F_{1}M > F_{1}F_{2}to{r_{1} + r_{2}} > 2c$ . Так как $r_{1} + r_{2} = 2a$ , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка $M_{1}(x, y)$ принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки $M_{2}(-x, y), M_{3}(-x, -y), M_{4}(x, -y)$ тоже удовлетворяют это уравнение: из

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = 1to{(pm{x})^2over{a^2}} + {(pm{y})^2over{b^2}} = {1}$ .

Точки $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим $y = pm{{b}over{a}}sqrt{a^2 - x^2$ , для первой четверти ${y} = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2}$ .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки $A_{1}(a, 0)$ и $B_{1}(0, b)$ , а также симметричные с ними $A_{2}(-a, 0)$ , $B_{2}(0, -b)$ – вершины эллипса, точка – центр эллипса, $A_{1}A_{2}$ = большая ось, $B_{1}B_{2} = 2b$ – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из $y = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2$ получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

$left{ begin{aligned} x = a{cos}alpha\ y = b{sin}alpha end{aligned}quad {0leqalpha < 2pi right$

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом $r_{1}$ равен углу между касательной и фокальным радиусом $r_{2}$ .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами $(x_{M}, y_{M})$ :

$1 = {x x_{M}over{a^{2}}} + {y y_{M}over{b^{2}}}$ .

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами $F_{1}$ и $F_{2}$ у треугольника , тогда выполняется соотношение:

= ${{overline{F_{1}A} * overline{F_{2}A}}over{overline{CA} * overline{AB}}} + {{overline{F_{1}B} * overline{F_{2}B}}over{overline{AB} * overline{BC}}} + {{overline{F_{1}C} * overline{F_{2}C}}over{overline{BC} * overline{CA}}}$

Эксцентриситет эллипса

Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда $c = {sqrt{a^2 + b^2}} = 0to{varepsilon = 0}$ – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

$left{ begin{aligned} r_{1} = a - varepsilon{x},\ r_{2} = a + varepsilon, end{aligned} quad{xin[-a, a]. right$

Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим $c = {sqrt{a^2 + b^2}}$ – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках $F_{1}$ и $F_{2}$ . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Задача

Задан эллипс уравнением ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ и точки $M_{0}(4; 1,8), M_{1}(3; 2,4)$ . Необходимо:

убедиться, что точки $M_{0}$ и $M_{1}$ лежат на эллипсе;
найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
найти расстояние от точки $M_{0}$ к фокусам;
убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты точки $M_{0}$ в левую часть уравнения эллипса:

${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = {4^2over25}} + {1,8 * 1,8over{9}} = {16over25}} + {36over{100}} = {16over{25}} + {9over25}} = 1$ – точка $M_{0}$ лежит на эллипсе. Аналогично для $M_{1}(3; 2,4)$ :

точка $M_{1}$ лежит на эллипсе.

2. С канонического ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ и данного уравнения ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ эллипса выходит: $a^2 = {25},quad{b^2 = 9}to{a = 5, b = 3}.$ Из равенства получается:

$b^2 = a^2 - c^2to {c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9} = {16}to{c = 4}$ – полуфокусное расстояние. Координаты фокусов $F_{1}(4; 0)$ и $F_{2}(-4; 0)$ .

3. Найдём фокальные радиусы точки $M_{0}$ :

$r_{2} = F_{2}M_{0} = sqrt{(4 - (-4))^2 + 1,8^2} = sqrt{64 + 3,24} = sqrt{67,24} = 8,2$

$r_{1} = F_{1}M_{0} = sqrt{(4 - 4)^2 + 1,8^2} = 1,8.$

4. Найдём сумму $r_{1} + r_{2} = 1, 8 + 8.2 = 10 = 2 * 5 = 2a$ , что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле .

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

$169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0to{x^2over{25}} + {y^2over{169}} = 1$

, $b^2 = 169to{a = 5, b = 13}$ . Вершины эллипса в точках $A_{1}(5, 0)$ , $B_{1}(0, 13)$ , $A_{2}(-5, 0)$ , $B_{2}(0, -13)$ . Строим вершины на координатных осях и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае больше, чем , то эллипс, который вытянут вдоль оси , находим полуфокусное расстояние $c = sqrt{b^2 - a^2} = sqrt{169 - 25} = sqrt{144} = 12$ .

Фокусы в точках $F_{1}(0, 12)$ и $F_{2}(0, -12)$ . (см. рис. 3)

Рис. 4

Найти оси, вершины и фокусы эллипса $25x^2 + 144y^2 = 3600quad{:}arrowvertto{25x^2over{3600}} + {144y^2over{3600}} = {1}to{x^2over{144}} + {y^2over{25}} = {1}$ или ${X^2over{12^2}} + {y^2over{5^2}} = {1}$ . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, $b^2 = 5^2to{a = 12, b = 5}$ . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: $A_{1}(12, 0)$ , $A_{2} (-12, 0)$ , $B_{1}(0, 5)$ , $B_{2}(0, -5)$ . Дальше из формулы:

$b^2 = a^2 - c^2to{c^2 = a^2 - b^2 = 144 - 25 = 119}to{c = sqrt{119}}approx{10,91}$ . Значит, фокусами эллипса есть точки: $F_{1}(sqrt{119}, 0)$ и $F_{2}(-sqrt{119}, 0)$ . Для построения эллипса отложим на осях и вершины $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ соответственно соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда $c = sqrt{b^2 - a^2}$ .

Источник

Свойства тонкой линзы определяются главным образом расположением ее главных фокусов. Поэтому, зная расстояние от источника света до линзы, а также ее фокусное расстояние (положение фокусов), мы можем определить расстояние до изображения, опустив описание хода лучей внутри самой линзы. Поэтому в изображении на чертеже точного вида сферических поверхностей линзы необходимость отсутствует.

Схематически тонкие линзы обозначают отрезком со стрелками на конце. Они смотрят от центра в противоположные стороны, если линза собирающая, и они направлены к центру отрезка, если линза рассеивающая.

Внимание!

Напомним, что линзы могут давать действительные и мнительные изображения. Причем, собирающая линза может давать как действительные, так и мнимые изображения. Рассеивающая линза всегда дает только мнимые изображения.

Способ построения изображений, а также вид самих изображений в линзе зависит от того, где расположен изображаемый предмет. Он может располагаться за двойным фокусным расстоянием, в фокальной плоскости второго фокуса, между вторым и первым фокусом, в фокальной плоскости главного фокуса и на расстоянии меньше фокусного расстояния линзы.

Определение

Вторым фокусом называют точку, которая расположена на главной оптической оси от главного фокуса на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы. Относительно линзы он располагается на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию линзы.

Построение изображения в собирающей линзе

Предметы схематично изображаются в виде стрелки. Чтобы построить изображение предмета в собирающей линзе, нужно найти положение верхней и нижней точки этого изображения. Сначала находят положение точки изображения, соответствующей верхней точки предмета (точки А). Для этого из этой точки нужно пустить два луча:

Два вида лучей при построении изображений в линзе

Первый луч проходит из верхней точки предмета (точки А) параллельно главной оптической оси. На линзе (в точке С) луч преломляется и проходит через точку фокуса (точку F).

Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета (точки А) через оптический центр линзы (точку О). Он пройдет, не преломившись.

На пересечении двух лучей обозначаем точку А₁. Это и будет изображение верхней точки предмета. Таким же образом нужно поступить с нижней точкой предмета. Но на пересечении вышедших из линзы лучей нужно поставить точку В₁. Изображение предмета при этом — А₁ В_1.

В зависимости от того, где расположен предмет, изображение может получиться действительным или мнимым, увеличенным или уменьшенным, перевернутым или прямым. Построим изображения для каждого из таких случаев.

Схема построения изображения	Расположение предмета относительно линзы + характеристика изображение
	Предмет располагается за двойным фокусом. Изображение: уменьшенное; перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в фокальной плоскости второго фокуса. Изображение: перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом. Изображение: увеличенное; перевернутое; действительное.
	Предмет находится в фокальной плоскости. Изображения нет, поскольку лучи идут параллельно друг другу и не пересекаются.
	Предмет располагается между линзой и фокусом. Изображение: увеличенное; прямое; мнимое.

Пример №1. Построить изображение предмета, изображенного на рисунке. Определить тип изображения.

Чтобы построить изображение предмета, достаточно определить его положение одной точки — верхней. Поскольку предмет расположен параллельно линзе, для построения изображения, достаточно будет соединить найденную точку изображения для верхней точки предмета перпендикуляром, проведенным к главной оптической оси.

Чтобы построить изображение верхней точки, пустим от нее два луча — побочную оптическую ось через оптический центр и перпендикуляр к линзе. Затем найдем пересечение побочной оптической оси с преломленным лучом. Теперь пустим перпендикуляр к главной оптической оси и получим изображение. Оно является действительным, увеличенным и перевернутым.

Частный случай — построение изображения точки

Положение изображения точки можно найти тем же способом, описанным выше. Нужно лишь построить два луча и найти их пересечение после выхода из линзы (см. рисунок ниже). Так, изображению точки S соответствует точка S´.

Особую сложность составляет случай, когда точка расположена на главной оптической оси. Сложность заключается в том, что все лучи, которые можно построить, будут совпадать с главной оптической осью. Поэтому возникает необходимость в определении хода произвольного луча. Направим луч от точки S (луч SB) к собирающей линзе. Затем построим побочную оптическую ось PQ такую, которая будет параллельна лучу SB. После этого построим фокальную плоскость и найдем точку пересечения (точка С) фокальной плоскости с побочной оптической осью. Теперь соединим полученную точку С с точкой В. Это будет преломленный луч. Продолжим его до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения с ней и будет изображением точки S. В данном случае оно является мнимым.

Пример №2. Построить изображение точки, расположенной на главной оптической оси.

Чтобы построить изображение, пустим произвольный луч к линзе. Затем построим параллельную ему побочную оптическую ось и фокальную плоскость. Из места пересечения этой оси с фокальной плоскостью пустим луч, также проходящий через точку пересечения линзы с произвольным лучом. Построим продолжение луча до получения точки пересечения с главной оптической осью. Отметим точку пересечения — она является действительным изображением точки.

Построение изображения в рассеивающей линзе

Чтобы построить изображение предмета в рассеивающей линзе, нужно определить положения точек изображения, соответствующих верхней и нижней точкам предмета. Вот как определить положение точки изображения для верхней точки предмета:

Нужно пустить луч, перпендикулярный главной оптической оси. Этот луч после преломления отклонится. Но его продолжение обязательно пересечет главный фокус линзы.
Нужно пустить луч от верхней точки предмета через оптический центр линзы (построить побочную оптическую ось).
Точку пересечения продолжения луча, полученного в шаге 1, с побочной оптической осью, нужно обозначить за изображение верхней точки предмета (на рисунке это точка А´).

Точно такие же действия нужно выполнить для нижней точки предмета. В результате получится точка пересечения, соответствующая изображению нижней точки предмета (на рисунке это точка А´´).

Внимание! Независимо от расположения предмета относительно рассеивающей линзы, изображение всегда получается прямым, уменьшенным, мнимым.

Пример №3. Построить изображение предмета в рассеивающей линзе.

Чтобы построить изображение, пустим от верхней точки предмета побочную оптическую ось через оптический центр и проведем перпендикуляр к линзе. Затем из точки главного фокуса проведем луч через точку пересечения линзы с перпендикуляром. Пересечение этого луча с побочной оптической осью есть изображение верхней точки предмета. Теперь проведем от нее перпендикуляр к главной оптической оси. Это и будет являться изображением предмета. Оно является мнимым, уменьшенным и прямым.

Построение изображений в плоском зеркале

Определение

Плоское зеркало — это плоская поверхность, зеркально отражающая свет.

Построение изображения в зеркалах основывается на законах прямолинейного распространения и отражения света. Продемонстрируем это с помощью рисунка ниже.

Построим изображение точечного источника S. От точечного источника света лучи распространяются во все стороны. На зеркало падает пучок света ASB, и изображение создается всем пучком сразу. Но для построения изображения достаточно взять любые два луча из этого пучка. Пусть это будут лучи SO и SC. Луч SO падает перпендикулярно поверхности зеркала АВ. Поскольку угол между ним и перпендикуляром, восстановленным в точке падения, равен 0, то угол падения принимаем равным за 0. поэтому отраженный пойдет в обратном направлении OS. Луч SC отразится под углом γ=α. Отраженные лучи OS и СК расходятся и не пересекаются, но если они попадают в глаз человека, то человек увидит изображение S₁, которое представляет собой точку пересечения продолжения отраженных лучей.

Таким образом, чтобы получить изображение в плоском зеркале, нужно:

Пустить от источника света луч, перпендикулярный к плоскости зеркала (падающий луч совпадает с отраженным лучом).
Пустить от источника света к плоскости зеркала еще один луч под произвольным углом.
Построить отраженный луч от падающего луча, построенного в шаге 2, используя закон отражения света.
Найти пересечение продолжений отраженных от зеркала лучей (пущенного под прямым углом и произвольным углом).

Внимание!

Изображение в зеркале всегда является мнимым. Это связано с тем, что изображение строится на пересечении продолжении лучей, а не на самих лучах.

Изображение в плоском зеркале находится от зеркала на таком же расстоянии, как предмет от этого зеркала. Это легко доказать тем, что треугольники SOC и S₁OC равны по стороне и двум углам. Следовательно SO = S₁O. Отсюда делаем вывод, что для построения изображения точечного источника света достаточно знать расстояние, на котором он находится от зеркала. Останется только провести к зеркалу перпендикулярную прямую и отложить на ней точку на нужном расстоянии.

При построении изображения какого-либо предмета последний представляют как совокупность точечных источников света. Поэтому достаточно найти изображение крайних точек предмета. Так, изображение А₁В₁соответствует предмету АВ.

Изображение и сам предмет всегда симметричны относительно зеркала.

Пример №4. Построить изображение треугольника ABC в плоском зеркале.

Чтобы построить изображение, пустим к плоскому зеркалу перпендикулярные прямые. Затем измерим расстояние от каждой точки до зеркала и отложим их по перпендикуляру от зеркала в обратную сторону. Так для точки А мы находим точку А´, для В — В´, для С — С´.

Видно, что треугольник отразился зеркально (изображение и предмет симметричны друг другу). Так и должно быть в случае с зеркалом.

Задание EF17760

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Сделать рисунок — построить изображение в линзе.

3.Записать формулу для нахождения площади полученной фигуры.

4.Выполнить решение в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Оптическая сила линзы: D = 2,5 дптр.

• Сторона треугольника AC = 4 см.

4 см = 0,04 м

Построим изображение в линзе. Для этого достаточно построить изображение точки В. Сначала пустим луч, параллельный главной оптической оси, к плоскости линзы. Он будет преломляться, после чего пройдет через фокус. Затем пустим луч через оптический центр. На месте пересечения двух лучей поставим точку и обозначим ее за B´.

Так как точки B и C предмета лежат на одной прямой, перпендикулярной главной оптической оси, для нахождения точки изображения C´ достаточно пустить перпендикуляр от B´ этой оси. На месте пересечения поставим точку и обозначим ее C´.

Рассматривать ход лучей для построения точки A´ тоже не будем. Точка A лежит в плоскости второго фокуса. Значит, она будет находиться в этой же точке и с противоположной стороны линзы. Это легко доказать с помощью формулы тонкой линзы:

1d+1f=1F

Если расстояние от предмета до линзы равно 2F, то и расстояние от линзы до его изображения будет 2F:

12F+1f=1F

1f=1F−12F=2−12F=12F

f=2F

Теперь соединим все найденные точки и получим треугольник A´ B´ C´. Найдем его площадь. Поскольку это прямоугольный треугольник, его площадь будет равна половине произведения двух катетов — B´ C´и A´ C´:

S=A´C´·B´C´2

Из формулы оптической силы линзы найдем фокусное расстояние:

F=1D=12,5=0,4 (м)

Известно, что точка A находится в точке двойного фокусного расстояния. И ее изображение тоже находится на таком же расстоянии от линзы. Следовательно, чтобы найти длину катета A´ C´, нужно найти расстояние от точки C до ее изображения. Расстояние от этой точки до линзы равно разности двойного фокусного расстояния и длины отрезка AC:

dC=2F−AC=2·0,4−0,04=0,76 (м)

Используя формулу тонкой линзы, вычислим расстояние от линзы до изображения этой точки:

10,76+1f=1F

1fC=1F−10,76=0,76−F0,76F=0,76−0,40,76·0,4

fC=0,76·0,40,76−0,4=0,844 (м)

Тогда длина катета A´ C´ будет равна:

A´C´=fC−fA=fC−2F=0,844−0,4·2=0,044 (м)

Треугольники BCO и B´ C´O подобны по 3 углам. Углы O равны как вертикальные. Углы C и C´ как прямые, а B и B´ как накрест лежащие (полученные при пересечении секущей в виде луча через оптический центр и параллельных фокальных плоскостей). Следовательно BC относится к B´ C´ так же, как OC относится к C´O:

BCB´C´=ACA´C´

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AС. Тогда:

ACB´C´=ACA´C´

Следовательно:

B´C´=A´C´

Отсюда площадь треугольника равна:

S=A´C´·A´C´2=(0,044)22=0,000968 (м2)=9,68 (см2)

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18181

Предмет S отражается в плоском зеркале ab. На каком рисунке верно показано изображение S1 этого предмета?

Ответ:

Алгоритм решения

Записать, какое изображение дает плоское зеркало.
Выбрать изображение, которое соответствует типу описанного изображения.

Решение

Зеркало дает мнимое изображение предмета без увеличения в зеркальном отражении. Это значит, что предмет и его изображение должны быть симметричны относительно плоскости зеркала. Симметричными являются только предмет и его изображение на последнем рисунке — Г.

Ответ: Г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18876

Какая точка является изображением точки S (см. рисунок), создаваемым тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F?

Алгоритм решения

1.Построить изображение точки.

Решение

Построим изображение точки с учетом того, что линза собирающая. Для этого пустим из этой точки луч света, параллельный главной оптической оси. После прохождения через линзу луч преломится и пройдет через фокус. Затем пустим луч от этой точки через оптический центр линзы. Точка, в которой оба луча пересекутся, будет искомой. В данном случае это точка 4.

Ответ: 4

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 32.4k

Источник

Определение эллипсa

Определение.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F₁ и F₂ равна постоянной величине. Точки F₁ и F₂ называют фокусами эллипса.

F₁M₁ + F₂M₁ = F₁M₂ + F₂M₂ = A₁A₂ = const

Элементы эллипсa

F₁ и F₂ — фокусы эллипсa

Оси эллипсa.

А₁А₂ = 2a — большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B₁B₂ = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a — большая полуось эллипса

b — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A₁, A₂, B₁, B₂ — точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa

Диаметр эллипсa — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.

Фокальное расстояние c — половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

Фокальные радиусы эллипсa r₁, r₂ — расстояния от точки на эллипсе до фокусов.

Радиус эллипсa R — отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =	ab	=	b
√a²sin²φ + b²cos²φ	√1 — e²cos²φ

где e — эксцентриситет эллипсa, φ — угол между радиусом и большой осью A₁A₂.

Фокальный параметр эллипсa p — отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k — отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k < 1, для круга k = 1:

k = √1 — e²

где e — эксцентриситет.

Сжатие эллипсa (1 — k ) — величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

Директрисы эллипсa — две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии

от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r₁ равен углу между касательной и фокальным радиусом r₂ (Рис. 2, точка М₃).

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами (x_M, y_M):

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)

4. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами F₁ и F₂ у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:

1 =	F₁A ∙ F₂A	+	F₁B ∙ F₂B	+	F₁C ∙ F₂C
CA ∙ AB	AB ∙ BC	BC ∙ CA

Уравнение эллипсa

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипсa описывается уравнением:

Если центр эллипсa О смещен в точку с координатами (x_o, y_o), то уравнение:

1 =	(x — x_o)²	+	(y — y_o)²
a²	b²

Параметрическое уравнение эллипсa:

{	x = a cos α	де 0 ≤ α < 2π
y = b sin α

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписан в эллипс касается только двух вершин эллипсa B₁ и B₂. Соответственно, радиус вписанного круга r будет равен длине малой полуоси эллипсa OB₁:

r = b

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описан вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A₁ и A₂. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa OA₁:

R = a

Площадь эллипсa

Формула определение площади эллипсa:

S = πab

Площадь сегмента эллипсa

Формула площади сегмента, что находится по левую сторону от хорды с координатами (x, y) и (x, -y):

S =	πab	—	b	(	x	√	a² — x² + a² ∙ arcsin	x	)
2	a	a

Периметр эллипсa

Найти точную формулу периметра эллипсa L очень тяжело. Ниже приведена формула приблизительной длины периметра. Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 %:

L ≈ 4	πab + (a — b)²
a + b

Длина дуги эллипсa

Формулы определения длины дуги эллипсa:

1. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую a и малую b полуоси:

	t₂
l =	∫	√a²sin²t + b²cos²t dt
	t₁

2. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую полуось a и эксцентриситет e:

	t₂
l =	∫	√1 — e²cos²t dt, e < 1
	t₁

Источник