Как найди корень трехчлена - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Тема 3.

Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.

Если x = 2, то 2x² — 5x — 3 = 2 ∙ 2² — 5 ∙ 2 — 3 = -5

Если x = -5, то 2x² — 5x — 3 = 2 ∙ (-5)² — 5 ∙ (-5) — 3 = 72

Если x = 3, то 2x² — 5x — 3 = 2 ∙ 3² — 5 ∙ 3 — 3 = 0

Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

2x² — 5x — 3 = 0

D = 25 — 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49

x1=5+74=3

x1=5-74=-0,5

Ответ: -0,5; 3

Количество корней зависит от дискриминанта.

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;

Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;

Если же D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x² – 6x – 2.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

a+b2=a2+2ab+b2
a-b2=a2-2ab+b2

x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11

При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например

-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5

х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.

Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,

где x₁, x₂— корни квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Разложить на множители 3×2+5x-2

3×2+5x-2=0

D=52-4∙3∙-2=49

x1=-5+76=26=13

x2=-5-76=-126=-2

3×2+5x-2=3x-13x—2

3×2+5x-2=3x-1x+2

Источник

Квадратным трехчленом называется многочлен вида (ax^2 + bx + c), где (x) – переменная, (a, b, c) – некоторые числа, причем (a ≠ 0).

Числа (a,b,c) называются коэффициентами. Число (a) называется старшим коэффициентом, число (b) – коэффициентом при (x), а число (c) называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена (ax^2 +bx+c) называют любое значение переменной (x), такое, что квадратный трехчлен (ax^2 +bx+c) обращается в нуль.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение вида (ax^2 +bx+c =0).

Нахождение корней квадратного трехчлена

1 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

Найти значение дискриминанта по формуле (D =b^2-4ac).
В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

a) если (D>0), то квадратный трехчлен имеет два корня: (x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}; x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a};)

b) если (D=0), то квадратный трехчлен имеет один корень: (x=-frac{b}{2a};)

c) если (D<0), то квадратный трехчлен не имеет корней.

2 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата.

Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение – уравнение, у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена (x^2-4x-60). Для этого решим следующее квадратное уравнение: (x^2-4x-60=0).

Выделим полный квадрат из трехчлена, стоящего в левой части уравнения:

((x^2-2cdot xcdot2+2^2)-2^2-60=0 \(x-2)^2-64=0 \(x-2)^2-8^2=0.)

Левую часть уравнения разложим на множители по формуле разности квадратов:

((x-2-8)(x-2+8)=0 \(x-10)(x+6)=0.)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

(x-10=0; x+6=0 \x=10; x=-6)

Ответ: –6; 10.

Источник

Квадратный трехчлен – это многочлен вида (ax^2+bx+c) ((a≠0)).

Пример:

(x^2-2x+1)
(3x^2-5x+6)

Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.

Примеры не квадратных трехчленов:

(x^3-3x^2-5x+6) — кубический четырёхчлен
(2x+1) — линейный двучлен

Корень квадратного трехчлена:

Значение переменной (x), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.

Пример:
У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)

Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).

(D=4-4cdot1=0)
(x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)

Готово. Корень равен (1).

Разложение квадратного трёхчлена на множители:

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно разложить как (a(x-x_1 )(x-x_2)), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) больше нуля (x_1) и (x_2) — корни того же уравнения).

Например, рассмотрим трехчлен (3x^2+13x-10).
У квадратного уравнения (3x^2+13x-10=0) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны (-5) и (frac{2}{3}). Поэтому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-frac{2}{3})). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно представить как (a(x-x_1)^2), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) равен нулю.

Например, рассмотрим трехчлен (x^2+6x+9).
У квадратного уравнения (x^2+6x+9=0) дискриминант равен (0), а единственный корень равен (-3). Значит, (x^2+6x+9=(x+3)^2) (здесь коэффициент (a=1), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) меньше нуля.

Например, у трехчленов (x^2+x+4) и (-5x^2+2x-1) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители (2x^2-11x+12).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения (2x^2-11x+12=0)

(D=11^2-4 cdot 2 cdot 12=121-96=25>0)
(x_1=frac{11-5}{4}=1,5;) (x_2=frac{11+5}{4}=4.)

Значит, (2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4))
Ответ: (2(x-1,5)(x-4))

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: ((2x-3)(x-4)).

Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители (5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)). Найдите (a).
Решение:
(5x^2+33x+40=0)
(D=33^2-4 cdot 5 cdot 40=1089-800=289=17^2)
(x_1=frac{-33-17}{10}=-5)
(x_2=frac{-33+17}{10}=-1,6)
(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6))
Ответ: (-1,6)

Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)

Источник

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Квадратный трехчлен и его корни

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x² +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x² +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x² +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x² +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b²-4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

x= -b / 2*a

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x²+2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x²+2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

x²+2*x=3;

В левой части уравнения стоит многочлен x²+2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x²+2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

(x+1)² -1=3;

(x+1)² = 4;

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Свойства функции: разбираем на примере
Следующая тема: Разложение квадратного трехчлена на множители: теорема и формулы

Нравится

Источник

Как найти корень квадратного трехчлена

Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов.

Инструкция

Квадратные уравнения – довольно обширная тема в школьной алгебре. Левая часть такого уравнения представляет собой многочлен второй степени вида А•х² + B•х + C, т.е. выражение из трех одночленов разной степени неизвестной х. Чтобы найти корень квадратного трехчлена, нужно вычислить такое значение х, при котором выполняется равенство этого выражения нулю.

Для решения квадратного уравнения нужно найти дискриминант. Его формула является следствием выделения полного квадрата многочлена и представляет собой определенное соотношение его коэффициентов:

D = B² – 4•А•C.

Дискриминант может принимать различные значения, в том числе быть отрицательным. И если младшие школьники могут с облегчением сказать, что корней у такого уравнения нет, то старшеклассники уже способны их определить, исходя из теории комплексных чисел. Итак, вариантов может быть три:

• Дискриминант – положительное число. Тогда корни уравнения равны: х1 = (-B + √D)/2•А; х2 = (-B — √D)/2•А;
• Дискриминант обратился в ноль. Теоретически в этом случае уравнение также имеет два корня, но практически они одинаковы: х1 = х2 = -B/2•А;
• Дискриминант меньше нуля. В расчет вводится некая величина i² = -1, которая позволяет записать комплексное решение: х1 = (-B + i•√|D|)/2•А; х2 = (-B — i•√|D|)/2•А.

Метод дискриминанта справедлив для любого квадратного уравнения, однако есть ситуации, когда целесообразно применить более быстрый способ, особенно при небольших целочисленных коэффициентах. Этот способ называется теоремой Виета и заключается в паре соотношений между коэффициентами в приведенном трехчлене:

х² + P•х + Q
х1 + х2 = -P;
х1•х2 = Q.

Остается только подобрать корни.

Следует отметить, что уравнение может быть приведено к подобному виду. Для этого нужно разделить все слагаемые трехчлена на коэффициент при старшей степени А:

А•х² + B•х + C |А
х² + B/А•х + C/А
х1 + х2 = -B/А;
х1•х2 = C/А.

Видео по теме

Источники:

как находить корень уравнения с квадратом

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник