Загрузить PDF
Загрузить PDF
Объем фигуры представляет собой занимаемое этой фигурой трехмерное пространство.[1]
Представьте себе объем как количество жидкости (или воздуха, или песка), которым можно заполнить данную фигуру. Объем измеряется в кубических единицах (мм3, см3, м3).[2]
Эта статья расскажет вам, как вычислять объем шести трехмерных фигур. Вы можете заметить, что многие формулы для вычисления объема схожи, что упрощает их запоминание.
-
1
Куб – это трехмерная фигура, которая имеет шесть одинаковых квадратных граней, то есть все ее стороны (ребра) равны.[3]
- Например, игральная кость – это куб.
-
2
Формула нахождения объема куба: V = s3, где V — объем, а s — длина ребра.
- Возведение в куб аналогично следующему умножению: s3 = s * s * s
-
3
Найдите длину стороны (ребра) куба. Она будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой). Так как ребра куба равны, измеряйте любое ребро.
- Если вы не уверены, что ваша фигура является кубом, измерьте каждую сторону, чтобы убедиться, что они равны. Если они не равны, перейдите к следующему разделу.
-
4
Подставьте длину ребра куба в формулу V = s3. Например, если ребро куба равно 5 см, напишите формулу следующим образом: V = 53 = 5 * 5 * 5 = 125 см3 – это объем куба.
-
5
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребро куба измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах. Если, например, сторона куба равна 3 см, то V = 33 = 27см3.
Реклама
-
1
Прямоугольный параллелепипед или прямоугольная призма – это трехмерная фигура с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником (вспомните коробку из под обуви). [4]
- Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.
-
2
Формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда или прямоугольной призмы: V = l*w*h, где V = объем, l = длина, w = ширина, h = высота.[5]
-
3
Длина прямоугольного параллелепипеда – это самое длинное ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Длина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, то есть l = 4 см.
- Не беспокойтесь о том, какие ребра выбрать в качестве длины, ширины и высоты. В любом случае в итоге вы получите правильный ответ (только измерьте три ребра, перпендикулярные друг другу).
-
4
Ширина прямоугольного параллелепипеда – это самое короткое ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Ширина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3 см, то есть w = 3 см.
- Если вы измеряете ребра параллелепипеда линейкой или рулеткой, не забудьте измерить их в одинаковых единицах измерения. Не измеряйте одно ребро в миллиметрах, а другое в сантиметрах.
-
5
Высота прямоугольного параллелепипеда – это расстояние между его нижней и верхней гранями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, то есть h = 6 см.
-
6
Подставьте найденные значения в формулу V = l*w*h.
- В нашем примере l = 4, w = 3 и h = 6. Поэтому V = 4*3*6 = 72.
-
7
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребра измерялись в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 72 см3.
- Если в прямоугольной призме l = 2 см, w = 4 см, h = 8 см, то V = 2*4*8 = 64 см3
Реклама
-
1
Цилиндр – это трехмерная фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.[6]
- Например, банка или батарейка АА имеют форму цилиндра.
-
2
Формула нахождения объема цилиндра: V = πr2h, где V — объем, h — высота, r – радиус основания и πr2 — площадь основания цилиндра.
- В некоторых задачах ответ требуется представить с пи, а в некоторых вместо пи подставить 3,14.
- Формула для нахождения объема цилиндра на самом деле очень похожа на формулу вычисления объема прямоугольной призмы, то есть вы перемножаете высоту и площадь основания. В прямоугольной призме площадь основания равна l*w, а в цилиндре она равна πr2.
-
3
Найдите радиус основания. Он, скорее всего, дан в задаче. Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы найти радиус (d = 2r).
-
4
Если радиус не дан, измерьте его. Для этого измерьте основание цилиндра при помощи линейки или рулетки. Измеряйте основание в его самой широкой части (то есть измерьте диаметр основания), а затем разделите полученное значение на 2, чтобы найти радиус.
- Другой вариант – измерьте длину окружности цилиндра (то есть измерьте обхват цилиндра) при помощи рулетки, а затем найдите радиус по формуле r = с/2π, где с – обхват (длина окружности) цилиндра (2π = 6,28).
- Например, если обхват цилиндра равен 8 см, то радиус будет равен 1,27 см.
- Если вам нужно точное измерение, вы можете использовать оба метода, чтобы убедиться, что значения радиуса совпадают (нахождение радиуса через длину окружности является более точным методом).
-
5
Вычислите площадь круглого основания. Для этого подставьте радиус в формулу πr2.
- Если радиус основания равен 4 см, то площадь основания равна π42.
- 42 = 4 * 4 = 16. 16*π = 16*3,14 = 50,24 см2
- Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус.
-
6
Найдите высоту цилиндра. Это расстояние между двумя круглыми основаниями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
-
7
Умножьте площадь основания на высоту цилиндра, чтобы найти его объем. Или же просто подставьте значения соответствующих величин в формулу V = πr2h. В нашем примере, когда радиус основания равен 4 см, а высота равна 10 см:
- V = π4210
- π42 = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
-
8
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 502,4 см3.
Реклама
-
1
Пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. [7]
Правильная пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), а вершина проецируется в центр основания.[8]
- Обычно мы представляем пирамиду, имеющую квадратное основание, но в основании пирамиды может лежать многоугольник с 5, 6 или даже со 100 сторонами!
- Пирамида с круглым основанием называется конусом, который будет обсуждаться в следующем разделе.
-
2
Формула нахождения объема правильной пирамиды: V = 1/3bh, где b – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды (перпендикуляр, соединяющий основание и вершину пирамиды).
- Эта формула для вычисления объема пирамиды одинаково годна как для правильных пирамид (в которых вершина проецируется в центр основания), так и для наклонных (в которых вершина не проецируется в центр основания).
-
3
Вычислите площадь основания. Формула будет зависеть от фигуры, лежащей в основании пирамиды. В нашем примере в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Площадь квадрата равна s2, где s – сторона квадрата. Таким образом, в нашем примере площадь основания пирамиды равна 62 = 36 см2
- Площадь треугольника равна 1/2bh, где h – высота треугольника, b – сторона, к которой проведена высота.
- Площадь любого правильного многоугольника можно вычислить по формуле: А = 1/2ра, где А – площадь, р – периметр фигуры, а – апофема (отрезок, соединяющий центр фигуры с серединой любой стороны фигуры). Для получения дополнительной информации о нахождении площади многоугольников прочитайте эту статью.[9]
-
4
Найдите высоту пирамиды. Высота будет дана в задаче. В нашем примере высота пирамиды равна 10 см.
-
5
Умножьте площадь основания пирамиды на ее высоту, а затем разделите полученный результат на 3, чтобы найти объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды: V = 1/3bh. В нашем примере площадь основания равна 36, а высота равна 10, поэтому объем: 36*10*1/3 = 120.
- Если, например, дана пирамида с пятиугольным основанием площадью 26, а высота пирамиды равна 8, то объем пирамиды: 1/3*26*8 = 69,33.
-
6
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 120 см3.
Реклама
-
1
Конус – это трехмерная фигура, которая имеет круглое основание и одну вершину. Или конус – это особый случай пирамиды с круглым основанием.[10]
- Если вершина конуса находится непосредственно над центром круглого основания, то конус называется прямым; в противном случае конус называется наклонным. Но формула для вычисления объема конуса одинаковая для обоих типов конуса.
-
2
Формула для вычисления объема конуса: V = 1/3πr2h, где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.
- b = πr2 – это площадь круглого основания конуса. Таким образом, формулу для вычисления объема конуса можно записать так: V = 1/3bh, что совпадает с формулой нахождения объема пирамиды!
-
3
Вычислите площадь круглого основания. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Для вычисления площади круглого основания подставьте радиус в формулу πr2.
- Например, радиус круглого основания конуса равен 3 см. Тогда площадь этого основания равна π32.
- π32 = π(3*3) = 9π.
- = 28,27 см2
-
4
Найдите высоту конуса. Это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию пирамиды. В нашем примере высота конуса равна 5 см.
-
5
Перемножьте высоту конуса и площадь основания. В нашем примере площадь основания равна 28,27 см2, а высота равна 5 см, поэтому bh = 28,27 * 5 = 141,35.
-
6
Теперь умножьте полученный результат на 1/3 (или просто разделите его на 3), чтобы найти объем конуса. В описанном выше шаге вы нашли объем цилиндра, а объем конуса всегда в 3 раза меньше объема цилиндра.
- В нашем примере: 141,35 * 1/3 = 47,12 – это объем конуса.
- Или: 1/3π325 = 47,12
-
7
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 47,12 см3.
Реклама
-
1
Шар – это идеально круглая трехмерная фигура, каждая точка поверхности которой равноудалена от одной точки (центра шара). [11]
-
2
Формула для вычисления объема шара: V = 4/3πr3, где r – радиус шара.[12]
-
3
Найдите радиус шара. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр шара, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Например, радиус шара равен 3 см.
-
4
Если радиус не дан, вычислите его. Для этого измерьте длину окружности шара (например, теннисного мяча) в его самой широкой части при помощи веревки, нити или другого подобного предмета. Затем измерьте длину веревки, чтобы найти длину окружности. Разделите полученное значение на 2π (или на 6,28), чтобы вычислить радиус шара.
- Например, если вы измерили мяч и нашли, что длина его окружности равна 18 см, разделите это число на 6,28 и получите, что радиус мяча равен 2,87 см.
- Проделайте 3 измерения окружности шара, а затем усредните полученные значения (для этого сложите их и сумму разделите на 3), чтобы убедиться, что вы получили значение, близкое к истинному.
- Например, в результате трех измерений длины окружности вы получили следующие результаты: 18 см, 17,75 см, 18,2 см. Сложите эти значения: 18 + 17,5 + 18,2 = 53,95, а затем разделите их на 3: 53,95/3 = 17,98. Используйте это среднее значение в расчетах объема шара.
-
5
Возведите радиус в куб (r3). То есть r3 = r*r*r. В нашем примере r = 3, поэтому r3 = 3 * 3 * 3 = 27.
-
6
Теперь умножьте полученный результат на 4/3. Вы можете использовать калькулятор или выполнить умножение вручную, а затем упростить дробь. В нашем примере: 27*4/3 = 108/3 = 36.
-
7
Умножьте полученный результат на π (3,14), чтобы найти объем шара.
- В нашем примере: 36*3,14 = 113,09.
-
8
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 113,09 см3.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 74 580 раз.
Была ли эта статья полезной?
Формулы объема геометрических фигур
Объем геометрической фигуры
— количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.
Объем куба
Объем куба равен кубу длины его грани.
Формула объема куба:
V = a3
где V — объем куба,
a — длина грани куба.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:
V = So h
где V — объем призмы,
So — площадь основания призмы,
h — высота призмы.
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Формула объема параллелепипеда:
V = So · h
где V — объем параллелепипеда,
So — площадь основания,
h — длина высоты.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:
V = a · b · h
где V — объем прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.
Формула объема пирамиды:
где V — объем пирамиды,
So — площадь основания пирамиды,
h — длина высоты пирамиды.
Объем правильного тетраэдра
Формула объема правильного тетраэдра:
где V — объем правильного тетраэдра,
a — длина ребра правильного тетраэдра.
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема цилиндра:
V = π R2 h
V = So h
где V — объем цилиндра,
So — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
h — высота цилиндра,
π = 3.141592.
Объем конуса
Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема конуса:
где V — объем конуса,
So — площадь основания конуса,
R — радиус основания конуса,
h — высота конуса,
π = 3.141592.
Объем шара
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.
Формула объема шара:
где V — объем шара,
R — радиус шара,
π = 3.141592.
Download Article
Download Article
The volume of a shape is the measure of how much three-dimensional space that shape takes up.[1]
You can also think of the volume of a shape as how much water (or air, or sand, etc.) the shape could hold if it was filled completely. Common units of volume include cubic centimeters (cm3), cubic meters (m3), cubic inches (in3), and cubic feet (ft3).[2]
This article will teach you how to calculate the volume of six different three-dimensional shapes that are commonly found on math tests, including cubes, spheres, and cones. You might notice that a lot of the volume formulas share similarities that can make them easier to remember. See if you can spot them along the way!
-
1
Recognize a cube. A cube is a three-dimensional shape that has six identical square faces.[3]
In other words, it is a box shape with equal sides all around.- A 6-sided die is a good example of a cube you might find in your house. Sugar cubes, and children’s letter blocks are also usually cubes.
-
2
Learn the formula for the volume of a cube. Since all of the side lengths of a cube are the same, the formula for the volume of a cube is really easy. It is V = s3 where V stands for volume, and s is the length of the sides of the cube.[4]
- To find s3, simply multiply s by itself 3 times: s3 = s * s * s
Advertisement
-
3
Find the length of one side of the cube. Depending on your assignment, the cube will either be labeled with this information, or you may have to measure the side length with a ruler. Remember that since it is a cube, all of the side lengths should be equal so it doesn’t matter which one you measure.
- If you are not 100% sure that your shape is a cube, measure each of the sides to determine if they are equal. If they are not, you will need to use the method below for Calculating the Volume of a Rectangular Solid.
-
4
Plug the side length into the formula V = s3 and calculate. For example, if you find that the length of the sides of your cube is 5 inches, then you should write the formula out as follows: V = (5 in)3. 5 in * 5 in * 5 in = 125 in3, the volume of our cube!
- Make sure all of the lengths are in the same unit before multiplying them.[5]
- Make sure all of the lengths are in the same unit before multiplying them.[5]
-
5
Be sure to state your answer in cubic units.[6]
In the above example, the side length of our cube was measured in inches, so the volume was given in cubic inches. If the side length of the cube had been 3 centimeters, for example, the volume would be V = (3 cm)3, or V = 27cm3.
Advertisement
-
1
Recognize a rectangular solid. A rectangular solid, also known as a rectangular prism, is a three-dimensional shape with six sides that are all rectangles.[7]
In other words, a rectangular solid is simply a three-dimensional rectangle, or box shape.- A cube is really just a special rectangular solid in which the sides of all of the rectangles are equal.
-
2
Learn the formula for calculating the volume of a rectangular solid. The formula for the volume of a rectangular solid is Volume = length * width * height, or V = lwh.
-
3
Find the length of the rectangular solid. The length is the longest side of the rectangular solid that is parallel to the ground or surface it is resting on. The length may be given in a diagram, or you may need to measure it with a ruler or tape measure.
- Example: The length of this rectangular solid is 4 inches, so l = 4 in.
- Don’t worry too much about which side is the length, which is the width, etc. As long as you end up with three different measurements, the math will come out the same regardless of how your arrange the terms.
-
4
Find the width of the rectangular solid. The width of the rectangular solid is the measurement of the shorter side of the solid, parallel to the ground or surface the shape is resting on. Again, look for a label on the diagram indicating the width, or measure your shape with a ruler or tape measure.
- Example: The width of this rectangular solid is 3 inches, so w = 3 in.
- If you are measuring the rectangular solid with a ruler or tape measure, remember to take and record all measurements in the same units. Don’t measure one side in inches another in centimeters; all measurements must use the same unit!
-
5
Find the height of the rectangular solid. This height is the distance from the ground or surface the rectangular solid is resting on to the top of the rectangular solid. Locate the information in your diagram, or measure the height using a ruler or tape measure.
- Example: The height of this rectangular solid is 6 inches, so h = 6 in.
-
6
Plug the dimensions of the rectangular solid into the volume formula and calculate. Remember that V = lwh.
- In our example, l = 4, w = 3, and h = 6. Therefore, V = 4 * 3 * 6, or 72.
-
7
Be sure to express your answer in cubic units. Since our example rectangle was measured in inches, the volume should be written as 72 cubic inches, or 72 in3.
- If the measurements of our rectangular solid were: length = 2 cm, width = 4 cm, and height = 8 cm, the Volume would be 2 cm * 4 cm * 8 cm, or 64cm3.
Advertisement
-
1
Learn to identify a cylinder. A cylinder is a three-dimensional shape that has two identical flat ends that are circular in shape, and a single curved side that connects them.[8]
- A can is a good example of a cylinder, so is a AA or AAA battery.
-
2
Memorize the formula for the volume of a cylinder. To calculate the volume of a cylinder, you must know its height and the radius of the circular base (the distance from the center of the circle to its edge) at the top and bottom. The formula is V = πr2h, where V is the Volume, r is the radius of the circular base, h is the height, and π is the constant pi.
- In some geometry problems the answer will be given in terms of pi, but in most cases it is sufficient to round pi to 3.14. Check with your instructor to find out what she would prefer.
- The formula for finding the volume of a cylinder is actually very similar to that for a rectangular solid: you are simply multiplying the height of the shape by the surface area of its base. In a rectangular solid, that surface area is l * w, for the cylinder it is πr2, the area of a circle with radius r.
-
3
Find the radius of the base.[9]
If it is given in the diagram, simply use that number. If the diameter is given instead of the radius, you simply need to divide the value by 2 to get the radius (d = 2r). -
4
Measure the object if the radius is not given. Be aware that getting precise measurement of a circular solid can be a bit tricky. One option is to measure the base of the cylinder across the top with a ruler or tape measure. Do your best to measure the width of the cylinder at its widest part, and divide that measurement by 2 to find the radius.
- Another option is to measure the circumference of the cylinder (the distance around it) using a tape measure or a length of string that you can mark and then measure with a ruler. Then plug the measurement into the formula: C (circumference) = 2πr. Divide the circumference by 2π (6.28) and that will give you the radius.
- For example, if the circumference you measured was 8 inches, the radius would be 1.27in.
- If you need a really precise measurement, you might use both methods to make sure that your measurements are similar. If they are not, double check them. The circumference method will usually yield more accurate results.
-
5
Calculate the area of the circular base.[10]
Plug the radius of the base into the formula πr2. Then multiply the radius by itself one time, and then multiply the product by π. For example:- If the radius of the circle is equal to 4 inches, the area of the base will be A = π42.
- 42 = 4 * 4, or 16. 16 * π (3.14) = 50.24 in2
- If the diameter of the base is given instead of the radius, remember that d = 2r. You simply need to divide the diameter in half to find the radius.
-
6
Find the height of the cylinder.[11]
This is simply the distance between the two circular bases, or the distance from the surface the cylinder is resting on to its top. Find the label in your diagram that indicates the height of the cylinder, or measure the height with a ruler or tape measure. -
7
Multiply the area of the base times the height of the cylinder to find the volume.[12]
Or you can save a step and simply plug the values for the cylinder’s dimensions into the formula V = πr2h. For our example cylinder with radius 4 inches and height 10 inches:- V = π4210
- π42 = 50.24
- 50.24 * 10 = 502.4
- V = 502.4
-
8
Remember to state your answer in cubic units. Our example cylinder was measured in inches, so the volume must be expressed in cubic inches: V = 502.4in3. If our cylinder had been measured in centimeters, the volume would be expressed in cubic centimeters (cm3).
Advertisement
-
1
Understand what a regular pyramid is. A pyramid is a three-dimensional shape with a polygon for a base, and lateral faces that taper at an apex (the point of the pyramid).[13]
A regular pyramid is a pyramid in which the base of the pyramid is a regular polygon, meaning that all of the sides of the polygon are equal in length, and all of the angles are equal in measure.[14]
- We most commonly imagine a pyramid as having a square base, and sides that taper up to a single point, but the base of a pyramid can actually have 5, 6, or even 100 sides!
- A pyramid with a circular base is called a cone, which will be discussed in the next method.
-
2
Learn the formula for the volume of a regular pyramid. The formula for the volume of a regular pyramid is V = 1/3bh, where b is the area of the base of the pyramid (the polygon at the bottom) and h is the height of the pyramid, or the vertical distance from the base to the apex (point).
- The volume formula is the same for right pyramids, in which the apex is directly above the center of the base, and for oblique pyramids, in which the apex is not centered.
-
3
Calculate the area of the base. The formula for this will depend on the number of sides the base of the pyramid has. In the pyramid in our diagram, the base is a square with sides that are 6 inches in length. Remember that the formula for the area of a square is A = s2 where s is the length of the sides. So for this pyramid, the area of the base is (6 in) 2, or 36in2.
- The formula for the area of a triangle is: A = 1/2bh, where b is the base of the triangle and h is the height.
- It is possible to find the area of any regular polygon using the formula A = 1/2pa, where A is the area, p is the perimeter of the shape, and a is the apothem, or distance from the center of the shape to the midpoint of any of its sides. This is a pretty involved calculation that goes beyond the scope of this article, but check out Calculate the Area of a Polygon for some great instructions on how to use it. Or you can make your life easy and search for a Regular Polygon Calculator online.[15]
-
4
Find the height of the pyramid. In most cases, this will be indicated in the diagram. In our example, the height of the pyramid is 10 inches.
-
5
Multiply the area of the base of the pyramid by its height, and divide by 3 to find the volume. Remember that the formula for the volume is V = 1/3bh. In our example pyramid, that had a base with area 36 and height 10, the volume is: 36 * 10 * 1/3, or 120.
- If we had a different pyramid, with a pentagonal base with area 26, and height of 8, the volume would be: 1/3 * 26 * 8 = 69.33.
-
6
Remember to express your answer in cubic units. The measurements of our example pyramid were given in inches, so its volume must be expressed in cubic inches, 120in. If our pyramid had been measured in meters, the volume would be expressed in cubic meters (m3) instead.3
Advertisement
-
1
Learn the properties of a cone. A cone is a 3-dimesional solid that has a circular base and a single vertex (the point of the cone). Another way to think of this is that a cone is a special pyramid that has a circular base.[16]
- If the vertex of the cone is directly above the center of the circular base, the cone is called a «right cone». If it is not directly over the center, the cone is called an «oblique cone.» Fortunately, the formula for calculating the area of a cone is the same whether it is right or oblique.
-
2
Know the formula for calculating the volume of a cone. The formula is V = 1/3πr2h, where r is the radius of the circular base of the cone, h is the height of the cone, and π is the constant pi, which can be rounded to 3.14.
- The πr2 part of the formula refers to the area of the circular base of the cone. The formula for the volume of the cone is thus 1/3bh, just like the formula for the volume of a pyramid in the method above!
-
3
Calculate the area of the circular base of the cone. To do this, you need to know the radius of the base, which should be listed in your diagram. If you are instead given the diameter of the circular base, simply divide that number by 2, since the diameter is simply 2 times the radios (d = 2r). Then plug the radius into the formula A = πr2 to calculate the area.
- In the example in the diagram, the radius of the circular base of the cone is 3 inches. When we plug that into the formula we get: A = π32.
- 32 = 3 *3, or 0, so A = 9π.
- A = 28.27in2
-
4
Find the height of the cone. This is the vertical distance between the base of the cone, and its apex. In our example, the height of the cone is 5 inches.
-
5
Multiply the height of the cone by the area of the base. In our example, the area of the base is 28.27in2 and the height is 5in, so bh = 28.27 * 5 = 141.35.
-
6
Now multiply the result by 1/3 (or simply divide by 3) to find the volume of the cone. In the above step, we actually calculated the volume of the cylinder that would be formed if the walls of the cone extended straight up to another circle, instead of slanting in to a single point. Dividing by 3 gives us the volume of just the cone itself.
- In our example, 141.35 * 1/3 = 47.12, the volume of our cone.
- To restate it, 1/3π325 = 47.12
-
7
Remember to express your answer in cubic units. Our cone was measured in inches, so its volume must be expressed in cubic inches: 47.12in3.
Advertisement
-
1
Spot a sphere. A sphere is a perfectly round three-dimensional object, in which every point on the surface is an equal distance from the center. In other words, a sphere is a ball-shaped object.[17]
-
2
Learn the formula for the volume of a sphere. The formula for the volume of a sphere is V = 4/3πr3 (stated: «four-thirds times pi r-cubed») where r is the radius of the sphere, and π is the constant pi (3.14).[18]
-
3
Find the radius of the sphere. If the radius is given in the diagram, then finding r is simply a matter of locating it. If the diameter is given, you must divide this number by 2 to find the radius. For example, the radius of the sphere in the diagram is 3 inches.
-
4
Measure the sphere if the radius is not given. If you need to measure a spherical object (like a tennis ball) to find the radius, first find a piece of string large enough to wrap around the object. Then wrap the string around the object at its widest point and mark the points where the string overlaps itself. Then measure the string with a ruler to find the circumference. Divide that value by 2π, or 6.28, and that will give you the radius of the sphere.
- For example, if you measure a ball and find its circumference is 18 inches, divide that number by 6.28 and you will find that the radius is 2.87in.
- Measuring a spherical object can be a little tricky, so you might want to take 3 different measurements, and then average them together (add the three measurements together, then divide by 3) to make sure you have the most accurate value possible.
- For example, if your three circumference measurements were 18 inches, 17.75 inches, and 18.2 inches, you would add those three values together (18 + 17.5 + 18.2 = 53.95) and divide that value by 3 (53.95/3 = 17.98). Use this average value in your volume calculations.
-
5
Cube the radius to find r3. Cubing a number simply means multiplying the number by itself 3 times, so r3 = r * r * r. In our example, r = 3, so r3 = 3 * 3 * 3, or 27.
-
6
Now multiply your answer by 4/3. You can either use your calculator, or do the multiplication by hand and then simplify the fraction. In our example, multiplying 27 by 4/3 = 108/3, or 36.
-
7
Multiply the result by π to find the volume of the sphere. The last step in calculating the volume is simply to multiply the result so far by π. Rounding π to two digits is usually sufficient for most math problems (unless your teacher specified otherwise,) so multiply by 3.14 and you have your answer.
- In our example, 36 * 3.14 = 113.09.
-
8
Express your answer in cubic units. In our example, the measurement of the radius of the sphere was in inches, so our answer is actually V = 113.09 cubic inches (113.09 in3).
Advertisement
Worksheet and Practice Problems
Add New Question
-
Question
How do you find the volume of a box?
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco
Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.
Math Instructor, City College of San Francisco
Expert Answer
Support wikiHow by
unlocking this expert answer.The volume of a box is equal to the product of the three dimensions of the box. You would multiply the length, the width, and the height of the box to find its volume. Make sure the dimensions have the same unit. Some tricky questions give different units for each dimension.
-
Question
How would you find the volume of a water tank?
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco
Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.
Math Instructor, City College of San Francisco
Expert Answer
Support wikiHow by
unlocking this expert answer.Assuming the tank is a cylinder, you’ll need the radius or diameter of one of the circular bases as well as the height of the tank. Calculate the area of the circle using πr² (if you have the diameter, divide it in half to get the radius). Then, just multiply the area of the circular base by the height of the tank to find its volume.
-
Question
How do I calculate the volume of compound shapes?
If the compound shapes are made up of basic geometric solids, then you can try dissecting them into their simpler parts. Their volumes will be additive.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Things You’ll Need
- Writing utensil
- Paper
- Calculator (optional)
- Ruler (optional)
References
- ↑ https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume
- ↑ http://www.mathsisfun.com/measure/us-standard-volume.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/cube.html
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Geometry_3Dprisms.xml
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/cylinder.html
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ Grace Imson, MA. Math Instructor, City College of San Francisco. Expert Interview. 1 November 2019.
- ↑ http://www.mathwords.com/p/pyramid.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/r/regular_pyramid.htm
- ↑ http://www.calculatorsoup.com/calculators/geometry-plane/polygon.php
- ↑ http://www.mathopenref.com/cone.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/sphere.html
- ↑ https://www.splashlearn.com/math-vocabulary/geometry/volume
About This Article
Article SummaryX
To calculate volume with a cube, use the formula v = s^3, where s is the length of the sides of the cube. To calculate the volume of a cylinder, use the formula v = hπr^2, where r is the radius of the base, h is the height, and π is pi. If you’re trying to find the volume of a rectangular prism, use the formula v = lwh, where l is the length, w is the width, and h is the height. If you need to learn how to calculate the volume of a sphere or pyramid, keep reading the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,416,831 times.
Reader Success Stories
-
«Thanks. I was doing science homework, and it said to find the volume of an object. I chose one shaped like a cake…» more
Did this article help you?
Изучение объемных фигур начинается со школы. В это время происходит знакомство с цилиндром, параллелепипедом, шаром, конусом и другими геометрическими телами. Одна из главных задача, которая сопровождает учеников, это вычисление объема фигур. Оперируя формулами, удается произвести расчет и получить ответ в метрах кубических (м3).
Чтобы вычислить объем, применяйте следующее правило – длину, ширину и высоту нужно перемножить между собой. Объем для каждой фигуры рассчитывается по специальной формуле, о которых, мы расскажем ниже.
Подписывайтесь на наш Telegram — канал
Содержание:
- Как найти объем трехмерных объектов
- Как найти объем для фигур цилиндрической формы
- Как рассчитать объем треугольной пирамиды
- Как посчитать объем куба
- Как найти объем прямоугольного параллелепипеда
- Как найти объем цилиндра
- Как найти объем пирамиды
Как найти объем трехмерных объектов
Начнем с расчета для прямоугольных и квадратных фигур. Придерживайтесь инструкции и постарайтесь рассчитать самостоятельно, чтобы закрепить знания. Числа, указанные в описании, берутся в качестве примера. Вы можете производить другие расчеты.
- Измеряем длину предмета в сантиметрах – 9. Сантиметры приходят на помощь, когда невозможно получить целое число в метрах .
- Замеряем ширину в сантиметрах – 17.
- Умножаем между собой длину и ширину 9 * 17 = 152 см2 – получили площадь основания
- Производим замер высоты – 28 см.
- Умножаем площадь основания на высоту 152 см2 * 28 см = 4256.
Полученное число необходимо перевести в кубические метры. Для этого конечный результат делим на 1.000.000. Пример будет выглядеть следующим образом – 4256 м3/1000000 = 0,004256 м3
Как найти объем для фигур цилиндрической формы
Цилиндр – это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Одним из видов цилиндра является призма.
Чтобы произвести вычисления нужно найти диаметр тела (ширина) одного круглого основания и полученное число поделить на 2. Допустим, диаметр основания равен 30 см.
- Производим расчеты: 30 см / 2 = 15 см. Половина диаметра круга ‒ радиус.
- Возводим полученный радиус в квадрат или умножаем самого на себя: 15 * 15 = 225 см2.
- Полученное число 225 см2 – это квадрат радиуса. Эту цифру умножаем на число ПИ — 3,14. Например: 225 см2 * 3,14 = 706,5 см2.
- Проводим новый замер, чтобы узнать расстояние между круглыми основаниями, допустим, оно равно 12 см.
- Это число умножаем на площадь круглого основания: 706,5 см2 * 12 см = 8 478 см3
- Полученное значение и будет искомым объемом. Для перевода в кубические метры необходимо конечное число поделить на один миллион. Как мы делали в предыдущем примере.
Как рассчитать объем треугольной пирамиды
Пирамида – это многогранник, где есть одна грань основания и боковые грани. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и другие. Также есть правильная и усеченная пирамида. Объем для каждой фигуры рассчитывается по разным формулам.
- Чтобы найти объём пирамиды замеряем длину стороны треугольника в основании пирамиды, предположим, что он равен 10 см.
- Затем повторим то же самое, но с высотой – 13 см.
- Длину высоты и стороны необходимо перемножить между собой и разделить на 2: 10 *13 = 130 см2 / 2 =65 см2.
- Замеряем высоту пирамиды – 33 см.
- Умножаем площадь треугольника у основания на высоту и делим на 3. Например: 65 см2 * 33 см =2 145 см2 / 3 = 715 см3.
- Для преобразования в кубические метры производим деление конечного числа на миллион.
Расчёт четырехгранной пирамиды производится тем же принципом. Потренируйтесь, используя разные задачи. Чтобы все замеры происходили правильно, не забудьте обзавестись хорошей линейкой, также на помощь придёт калькулятор, который поможет перемножать числа между собой.
В интернете представлено много онлайн-калькулятор, они дают подсказку и позволяют без лишних трудностей рассчитать объём куба, цилиндра и других фигур. Перед началом пользования таких подсказок, необходимо обладать базовыми знаниями, чтобы быстрее разобраться в полученном результате.
Как посчитать объем куба
Параллелепипед складывается из шести граней, которые являются параллелограммом. Все противоположные грани попарно равны и параллельны. Фигура получилась 4 диагонали, и все они пересекаются в одной точке, разделяют эту точку пополам. Параллелепипед, грани которого являются квадратами, будет называться кубом.
Все рёбра куба всегда будут равны. Для проведения вычислений, воспользуйтесь следующей формулой V = H3, где H ‒ высота ребра куба. Например: высота куба равняется ‒ 3 см, получается, что объем равен 33 = 27 см3.
Как найти объем прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, у которой все шесть граней прямоугольники. Для вычисления работает следующая формула:
V = SH = abc
Где H ‒ высота, S ‒ площадь основания, abc – ребра. Чтобы произвести расчеты и найти объём, необходимо узнать произведение площади основания на высоту. Например: 1 см * 2 см * 3 см = 6 см3
Советы по измерению:
- Измерить стороны.
- Каждая сторона параллелепипеда должна находиться в одинаковых единицах измерения.
- Вычисляем площадь основания.
- Умножаем площадь основания на высоту параллелепипеда.
Убедитесь, что перед вами параллелепипед, а не куб, так как в случае с кубом расчетная формула будет проще.
Как найти объем цилиндра
Цилиндр считать круглой фигурой, т.к. в его основании лежит круг. Чтобы произвести вычисления, необходимо узнать произведение площади основания на высоту. Для этого используется следующая формула:
V= π * r2 * h
Где r ‒ радиус цилиндра, h – высота цилиндра. Чисто π – является константой и равно 3,14. Оно всегда одинаковое и не требует никаких измерений. Рассмотрим на примере:
3,14 * 2 см2 * 5 см = 62.831853071796 = 63см3
Если вы не можете вычислить радиус, измерьте диаметр с помощью формулы преобразования.
Как найти объем пирамиды
фото 6 — посчитать объём
Чтобы произвести расчет объема, нам нужно найти произведение площади основания на высоту. Для вычисления используется следующая формула:
V = S*h
Где S (A*B*C*D*E) – площадь основания пирамиды, а h ‒ высота пирамиды. Рассмотрим на примере:
V = 3 * 2 = 2 см3 ‒ это и будет являться объемом искомой геометрической фигуры.
Не забывайте, что пирамиды бывают усеченные, правильные, трех- и четырехугольные. Для каждого тела действуют свои расчеты, но важно начинать с основного и не упускать базовые знания, в дальнейшем все примеры будут базироваться именно на них.
Если какая-то формула осталась непонятной, лучше вернуться к этому и поупражняться ещё раз, доведя знание до автоматизма. Так решение задач не будет вызывать сложности. Постоянная практика ‒ это основа успешного результата.
План урока:
Понятие объема
Свойства объема
Объем куба и прямоугольного параллелепипеда
Объем прямой призмы
Объем цилиндра
Понятие объема
Понятие объема появилось у человечества задолго до того, как геометрия оформилась как строгая наука. Многие вещества и товары, такие как зерно, рис и вода, необходимо хранить и транспортировать в различных упаковках (сосуды, бочки, ящики, контейнеры). При этом разные емкости могут вместить разное количество товаров. Например, пусть есть бочка, имеющая форму цилиндра, и контейнер, выглядящий как прямоугольный параллелепипед:
Предположим, что в бочку можно поместить 5 кг пшеницы, а в контейнер помещается уже 15 кг пшеницы, то есть в контейнер можно положить в 3 раза больше пшеницы, чем в бочку. Можно сказать, что вместимость контейнера втрое больше вместимости бочки. Однако измерять вместимость емкости с помощью массы пшеницы, помещаемой в него, неудобно, ведь в них можно класть и другие вещества. Мы можем положить в емкости что-нибудь более тяжелое, например сухой песок. Тогда в бочку может влезть уже 10 кг песка, а в контейнер – 30 кг. И снова получается, что вместимость контейнера втрое больше, хотя масса вещества увеличилась.
Именно для измерения вместимости и было введено понятие объема. Если в одну упаковку помещается вдвое больше товаров, чем во вторую упаковку, то и объем у нее будет вдвое больше. С древнейших времен замечено, что отношение объемов двух сосудов не зависит от того вещества, которое в них хранят. Например, если в один сосуд помещается в 5 раз больше риса, чем в другой сосуд, то в него также будет помещаться в 5 раз больше воды, в 5 раз больше песка, в 5 раз больше нефти и т. д. Таким образом, в практическом смысле объем – это количественная характеристика вместимости тех или иных упаковок.
В рамках стереометрии изучаются не реальные сосуды, а абстрактные тела. Каждое из них занимает определенную часть пространства, большую или меньшую. Объем используется для измерения этих частей пространства. Для обозначения объема используется латинская буква V.
Для измерения объема необходима единица измерения. Условно принимается, что куб, чьим ребром является единичный отрезок, имеет объем, равный единице. Такой куб именуется единичным. Заметим, что грани единичного куба – это единичные квадраты.
В случае, когда длина ребра куба является безразмерной величиной, то объем также будет безразмерной величиной. Если же указана единица измерения длины, то объем куба будет измеряться этой же единицей, к которой приписано слово «кубический». Например, если ребро куба равно 1 м, то объем куба будет равен 1 кубическому метру, или 1 м3. Объем куба с ребром 1 мм будет составлять 1 мм3 и т. д.
,
Свойства объема
Свойства объема во многом совпадают со свойствами площади. Ясно, что у равных тел будут одинаковы и объемы.
Второе свойство объема связано с тем, что он является аддитивной величиной. Это значит, что если тело можно разбить на несколько тел, то его объем будет равен сумме объемов этих тел.
Это свойство аддитивности объема уже позволяет решать некоторые стереометрические задачи.
Задание. Тело состоит из цилиндра объемом 12 см3 и конуса объемом 4 см3. Каков объем этого тела?
Решение. Здесь надо просто сложить объемы цилиндра и конуса, чтобы найти общий объем всей фигуры:
Ответ: 16 см3.
Задание. Найдите объем фигуры, показанной на рисунке:
Решение. Данную фигуру несложно разбить на три единичных куба:
Тогда объем тела будет равен сумме объемов трех единичных кубов, то есть трем:
Ответ: 3.
Задание. Вычислите объем фигуры, получающейся при рассечении куба плоскостью, проходящей через два его ребра.
Решение. Ясно, что такая секущая плоскость будет делить куб на две равные фигуры (иначе просто не удастся провести плоскость через два ребра):
Также понятно, что два получившихся многогранника равны друг другу. Обозначим объем каждого из них как V. Тогда в сумме их объем должен быть равен 1, ведь вместе эти фигуры образуют единичный куб. Это позволяет составить уравнение, из которого можно вычислить величину V:
Объем куба и прямоугольного параллелепипеда
Докажем важную вспомогательную теорему:
Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР <АК. Объем меньшего параллелепипеда с высотой АР обозначим как VР, а большего – как VK:
Нам надо доказать, что объемы фигур пропорциональны их высотам:
Для начала рассмотрим случай, когда отношение высот является рациональным числом. Это означает, что существует некоторая дробь m/n, такая, что
где m и n – натуральные числа. Тогда разобьем отрезок АК как раз на n равных отрезков. В этом случае отрезок АР будет состоять в точности из m таких отрезков. Далее через концы отрезков проведем плоскости, параллельные основанию:
В результате мы получили n равных параллелепипедов («пластин»), которые все вместе образуют большой параллелепипед объемом VK. Поэтому объем одной такой пластины равен величине VK/n:
Итак, мы доказали теорему для случая, когда отношение высот является рациональным числом. Теперь перейдем к более сложному случаю, когда это отношение представляет собой иррациональное число. Здесь можно рассуждать от противного. Предположим, что теорема ошибочна, тогда для каких-нибудь двух параллелепипедов отношение их объемов будет равно не отношению их высот, а какому-то другому числу k:
Это значит, что k либо меньше, либо больше, чем отношение АР/АК. Рассмотрим случай, когда k< АР/АК (случай, когда k> АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:
(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).
Умножим это неравенство на длину АК:
Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК < АР, то точка Е будет лежать между А и Р:
Объем параллелепипеда с высотой АЕ обозначим как VЕ. Ясно, что
ведь число k не может быть одновременно и больше, и меньше R. Полученное противоречие означает, что исходное предположение об ошибочности теоремы неверно, и на самом деле она справедлива, ч. т. д.
Теперь с помощью доказанной теоремы можно вывести известную ещё из младших классов формулу для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда являются числами а, b и c. Построим:
- единичный куб;
- параллелепипед с габаритами а, 1, 1 с объемом V1;
- параллелепипед с габаритами а, b, 1 с объемом V2;
- параллелепипед с габаритами а, b, c с объемом V.
Тогда можно последовательно вычислить их объемы. Объем первого параллелепипеда будет в а раз больше объема единичного куба, то есть он будет равен а. Объем второго параллелепипеда будет больше ещё в bраз, а третьего – ещё в с раз:
Соответственно, для расчета объема параллелепипеда используется формула
Иногда эту формулу формулируют несколько иначе: объем параллелепипеда – это произведение площади его основания на длину высоты, перпендикулярной этому основанию.
Задание. Три смежных ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длины 9, 4 и 7 см. Каков объем параллелепипеда?
Решение. Здесь надо просто перемножить габариты параллелепипеда:
Ответ: 252 см3.
Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.
Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.
Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:
Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм3. Какова длина ребра этого куба?
Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х3 дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2)3 дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:
Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета. Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.
Ответ: 3 дм.
Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м3 в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м3. С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:
Тогда объем этого куба можно посчитать так:
Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.
Объем прямой призмы
Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:
Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.
Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:
Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S1и S2, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:
Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S1, S2, S3…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V1, V2, V3 и. т. д.
Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:
Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.
Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе:
Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:
Задание. В кубе АВСDА1В1С1D1 через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС1. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.
Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС1. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:
Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а2. Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:
Объем цилиндра
Цилиндр не получится разбить на несколько призм, поэтому для вычисления его объема используется другой метод. Впишем цилиндр в правильную n-угольную призму. Одновременно построим и другую правильную n-угольную призму, которая сама будет вписана в цилиндр. Объем вписанной призмы обозначим как Vв, а объем описанной призмы как Vо. Объем самого цилиндра – это Vц. При этом высоты всех трех фигур одинаковы:
Ясно, что объем вписанной призмы меньше объема цилиндра, а тот в свою очередь меньше объема описанной призмы:
Теперь будем неограниченно увеличивать число n. При этом площади Sв и Sо будут стремиться к площади основания цилиндра, равной величине πr2, где r– радиус основания цилиндра. Это возможно лишь в том случае, если справедливо равенство
Задание. Найдите объем цилиндра с высотой 5 см и радиусом 6 см.
Решение. Сначала находим площадь основания:
Задание. Известно, что высота цилиндра вдвое больше его радиуса, а объем цилиндра равен 54π. Найдите радиус цилиндра.
Решение. Обозначим радиус цилиндра буквой х. Тогда по условию высота будет вдвое больше, то есть она составит 2х. Вычислим объем цилиндра:
Ответ: 3.
Задание. Труба изготовлена из металла с плотностью 11,4 г/см3. Внутренний диаметр трубы равен 13 мм, а ее стенка имеет толщину 4 мм. Длина трубы – 25 метров. Какова ее масса?
Решение. Для расчета массы необходимо сперва вычислить объем трубы. Ясно, что если к объему трубы прибавить объем внутреннего отверстия, то в итоге получится объем большого цилиндра, чей диаметр равен наружному диаметру трубы:
Легко найти объем отверстия, ведь оно имеет форму цилиндра. Его радиус вдвое меньше диаметра, то есть он равен 13/2 = 6,5 мм. При расчете важно не забыть перевести высоту в миллиметры:
Сегодня мы узнали о такой характеристике тел, как объем. Если объем куба и прямоугольного параллелепипеда мы умели находить ещё в средней школе, то определять объем цилиндра и прямой призмы мы научились только сейчас. Однако все эти случаи по сути одинаковы – надо перемножить высоту фигуры и площадь ее основания. В будущем мы научимся вычислять объемы более сложных фигур – пирамиды, конуса, шара.